3MN-300589

RÅDET FOR VIDEREGÅENDE OPPLÆRING

Studieretning for allmenne fag

Naturfaglinja, 3. årssteg

EKSAMEN VÅREN 1989

Kode AF 3066

30. mai

MATEMATIKK 3MN

Bokmål

Eksamenstid

5 timer

Hjelpemidler

Lommeregner

«Symbol- og terminologiliste. Formelsamling», utgitt av RVO.

---

OPPGAVE 1

a) Deriver funksjonene gitt ved

1. <math>f(x)=3e^{4x}</math>
2. <math>g(x)=x^2\tan x</math>

b) Løs likningene

1. <math>3e^{4x}=2</math>
2. <math>2\cos x-3\sin x=1,\qquad x\in[0,2\pi\rangle</math>

c) Regn ut integralene

1. <math>\int xe^{-x}\,dx</math>
2. <math>\int_0^{\pi/2}\sin^2x\cos x\,dx</math>

d)

1. Skriv definisjonen på konvergens av en tallfølge og konvergens av en rekke.

I en tallfølge er det n-te leddet gitt ved

<math>a_n=\frac{2^{\,n-1}}{3^n}</math>

1. Vis at tallfølgen er konvergent.

1. Sett

<math>S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n,</math>

og påvis at

<math>S_n=1-\left(\frac23\right)^n</math>

1. Er den uendelige rekka

<math>a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots</math>

konvergent?

Begrunn svaret.

---

OPPGAVE 2

Et parkanlegg har form som vist på figuren. Det består av en likebeint trekant <math>PQR</math> der

<math>PR=QR=a,\qquad \angle R=v,</math>

og dessuten en halvsirkelflate med diameter lik <math>PQ</math>.

a)

Finn <math>PQ</math> uttrykt ved <math>a</math> og <math>v</math>, blant annet ved å bruke cosinussetningen.

b)

Vis at arealet <math>A</math> av anlegget kan skrives som

<math>A=\frac{a^2}{4}\left(2\sin v-\pi\cos v+\pi\right)</math>

c)

La <math>a</math> ha en fast verdi.

Bestem <math>v</math> slik at arealet blir størst mulig.

Regn ut det største arealet når <math>a=22\,\text{m}</math>.

---

OPPGAVE 3

Planene <math>\alpha</math> og <math>\beta</math> er gitt ved

<math>\alpha:\;x-y+3z=2</math>

<math>\beta:\;x+y-z=1</math>

a)

Regn ut vinkelen mellom <math>\alpha</math> og <math>\beta</math>.

La <math>s</math> være skjæringslinja mellom <math>\alpha</math> og <math>\beta</math>.

b)

Finn en parameterframstilling for <math>s</math>.

Linja <math>s</math> skjærer <math>xy</math>-planet i <math>P</math> og <math>yz</math>-planet i <math>Q</math>.

c)

Regn ut lengden av <math>PQ</math>.

d)

Finn likningen for et plan som inneholder <math>s</math> og står vinkelrett på <math>\alpha</math>.

I likningen

<math>a(x-y+3z-2)=b(x+y-z-1)</math>

er <math>a</math> og <math>b</math> konstanter som ikke begge er lik <math>0</math>.

e)

1. Begrunn at planene gitt ved (*) inneholder linja <math>s</math>.
2. Vis også at ethvert plan som inneholder linja <math>s</math>, har en likning som kan skrives på formen (*).

f)

Bruk punkt e) til å finne likningen til planet gjennom <math>s</math> og origo.

---

OPPGAVE 4

Funksjonen <math>f</math> er gitt ved

<math>f(x)=\frac{1+\ln x}{x^2},\qquad x>0</math>

a)

Finn nullpunktet til <math>f</math>.

b)

Regn ut <math>f'(x)</math> og <math>f(x)</math>.

c)

Bestem eventuelle topp-, bunn- og vendepunkt på grafen til <math>f</math>.

d)

Tegn grafen med 4 cm som enhet på begge aksene.

e)

Regn ut arealet av området som er avgrenset av førsteaksen, grafen og linja

<math>x=3</math>

---

OPPGAVE 5

I et romkoordinatsystem har fire punkt <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> og <math>D</math> alle avstanden <math>4</math> fra origo <math>O</math>.

<math>A</math> ligger på den positive <math>x</math>-aksen, <math>B</math> ligger i <math>xy</math>-planet i første kvadrant, og <math>C</math> ligger i <math>yz</math>-planet i første kvadrant.

Videre er

<math>\angle AOB=\angle BOC=\angle COD=\angle DOA=60^\circ</math>

a)

Bestem koordinatene til <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> og <math>D</math>.

b)

Regn ut volumet av romlegemet <math>ABCDO</math>.