Løsn: Artium 1931, tillegg for enkelte kandidater
Vi har tredjegradsligningen
<math> x^3-3x^2-x+A_3=0. </math>
La de tre røttene være en aritmetisk rekke. Skriv dem som
<math> a-d,\quad a,\quad a+d. </math>
1. Finn røttene
Vietas formler:
For <math>x^3+A_1x^2+A_2x+A_3=0</math> med røtter <math>x_1,x_2,x_3</math> gjelder:
<math>\boxed{x_1+x_2+x_3=-A_1}</math>
<math>\boxed{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=A_2}</math>
<math>\boxed{x_1x_2x_3=-A_3}</math>
Altså: Koeffisientene i polynomet bestemmer bestemte kombinasjoner av røttene.
I oppgaven er
<math>A_1=-3,\qquad A_2=-1</math>
og dermed
<math>x_1+x_2+x_3=3</math>
og
<math>x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-1.</math>
Dette er forbindelsen som brukes til å finne røttene.
For en tredjegradsligning
<math> x^3+A_1x^2+A_2x+A_3=0 </math>
er summen av røttene
<math> r_1+r_2+r_3=-A_1. </math>
Her er <math>A_1=-3</math>, derfor
<math> r_1+r_2+r_3=3. </math>
Siden røttene danner en aritmetisk rekke, får vi
<math> (a-d)+a+(a+d)=3 </math>
og dermed
<math> 3a=3 </math>
slik at
<math> a=1. </math>
Røttene er altså
<math> 1-d,\quad 1,\quad 1+d. </math>
Produktet av røttene er
<math> (1-d)\cdot1\cdot(1+d)=1-d^2. </math>
For en tredjegradsligning er summen av produktene av to og to røtter lik <math>A_2</math>. Vi får derfor
<math> (1-d)d? </math>
Mer direkte:
<math> (1-d)\cdot1+(1-d)(1+d)+1(1+d)=-1. </math>
Dette gir
<math> 1-d+1-d^2+1+d=-1 </math>
<math> 3-d^2=-1 </math>
og dermed
<math> d^2=4. </math>
Vi kan velge <math>d=2</math>. Røttene blir derfor
<math> \boxed{-1,\;1,\;3}. </math>
2. Bevis for Vietas formler for tredjegradslikningen
La
<math> x^3+A_1x^2+A_2x+A_3=0 </math>
ha røttene <math>x_1,x_2,x_3</math>. Da kan polynomet faktoriseres som
<math> (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0. </math>
Vi utvider venstresiden:
<math> \begin{aligned} (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) &=(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2)(x-x_3)\\ &=x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2\\ &\quad +(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x\\ &\quad -x_1x_2x_3. \end{aligned} </math>
Dermed har vi
<math> x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2 +(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x -x_1x_2x_3. </math>
Dette skal være det samme polynomet som
<math> x^3+A_1x^2+A_2x+A_3. </math>
Ved å sammenligne koeffisientene får vi:
<math> \boxed{x_1+x_2+x_3=-A_1} </math>
<math> \boxed{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=A_2} </math>
<math> \boxed{x_1x_2x_3=-A_3}. </math>
Dette er Vietas formler for tredjegradslikningen.
3. Finn <math>A_3</math>
Produktet av røttene er
<math> (-1)\cdot1\cdot3=-3. </math>
For en tredjegradsligning er produktet av røttene lik <math>-A_3</math>. Derfor
<math> -A_3=-3 </math>
og
<math> \boxed{A_3=3}. </math>
Ligningen blir altså
<math> x^3-3x^2-x+3=0. </math>
Den kan faktoriseres:
<math> x^3-3x^2-x+3 =(x-3)(x-1)(x+1). </math>
4. Når er uttrykket større enn null?
Vi skal bestemme når
<math> (x-3)(x-1)(x+1)>0. </math>
Nullpunktene er
<math> x=-1,\quad x=1,\quad x=3. </math>
Fortegnet skifter ved hvert enkelt nullpunkt. Dermed får vi
<math> \begin{array}{c|ccccccc} x&(-\infty,-1)&-1&(-1,1)&1&(1,3)&3&(3,\infty)\\ \hline (x-3)(x-1)(x+1)&-&0&+&0&-&0&+ \end{array} </math>
Uttrykket er derfor større enn null når
<math> \boxed{-1<x<1\quad\text{eller}\quad x>3}. </math>
Svar
<math> \boxed{\text{Røttene er }-1,\;1,\;3} </math>
<math> \boxed{A_3=3} </math>
<math> \boxed{x\in(-1,1)\cup(3,\infty)} </math>