Matematikk.net - Brukerbidrag [nb]

Mal:Nyheter

2026-04-28T06:32:43Z

Administrator: /* 07.04.2026 */

===28.04.2026===

Vi ønsker alle våre brukere lykke til med eksamenstrekket, og med eksamen når den tid kommer. Det kan lønne seg å sette inn støtet fra i dag. Lykke til!!

===07.04.2026===
En stor takk til alle som donerer bidrag til oss, det setter vi stor pris på. Det muliggjør drift uten reklame og bidrar til en bedre opplevelse for alle brukere. Tusen takk!

===20.02.2026===
Ha tålmodighet med oss. Sidene ser ut som en byggeplass, men brukeropplevelsen skal bli bedre. Vi fjerner reklamen fullstendig, i alle fall ut 2027. Vi håper å kunne drifte sidene på bidrag fra vennlige mennesker som forstår verdien av å inneha kunnskaper i matematikk. Vi tenker ny layout noe slikt: https://matematikk.net/side/Br%C3%B8kregning . Vi er svært mottakelige for innspill.
<noinclude>

===13.02.2026===
Forslag til justering av læreplanen i matematikk 1–10: https://hoering-publisering.udir.no/3731

Høringfrist: 8. april 2026

===04.12.2025===
Har du tilgang til eksamensoppgaver i matematikk fra før 2010? Da hører vi gjerne fra deg. Vi er relativt komplette bakover til ca 2010, men har ingenting før den tid. Både vgs. og grunnskole er av interesse. Send melding til cosinus@matematikk.net

=== 17.10.2025===
Høring vedrørende S fagene: https://hoering.udir.no/hoering/3629

===23.09.2025===
Nye læreplaner i S fagene: https://www.regjeringen.no/globalassets/departementene/kd/dokumenter/tillegg-til-tildelingsbrev-til-udir-1-18-2025.pdf

===18.08.2025===

Velkommen tilbake. Vi har en gave til deg.
====Tren hoderegning på en enkel og motiverende måte!====
Mange elever synes det er krevende å bli sikre i hoderegning – men øvelse gjør mester.
Med Mental Calculation får elever og lærere et verktøy som:

*Tilpasser oppgaver til nivå (fra grunnskole til VGS)
*Gir raske tilbakemeldinger og resultater
*Motiverer gjennom progresjon og mestring
*Kan brukes både i timen og som hjemmearbeid, og mens du venter på bussen.

👉 Last ned gratis her:
https://play.google.com/store/apps/details?id=com.mentalcalculation.android

Gi elevene muligheten til å styrke hoderegningen – et viktig fundament i all matematikk.

====26.06.2025====
God sommer til alle! Til høsten vil siden her fremstå som enda mer komplette, med flere eksamensoppgaver og løsninger enn noen gang. Dersom du trenger privatundervisning bør du tenke langsiktig og ta kontakt med oss så tidlig som mulig. Husk solkrem!

====29.05.2025====
Da er skoleåret snart slutt, for de fleste er det bare muntlig eksamen igjen (og kanskje ikke det en gang). Juli og august på matematikk.net er normalt stille. Disse månedene vil ha betydelig mindre reklame. Det vil også januar og februar. En god grunn til å henge rundt på sidene. God sommer!

====05.04.2025====
Det nærmer seg eksamen. Gamle oppgaver å øve på finner du her [[Eksamensoppgaver_2025]]

====16.03.2025====
Vår nyeste side, [[Regning]], tar for seg en del helt grunnleggende ved tallregning.
====11.03.2025====
Fredag er igjen $\pi$ dagen: https://www.piday.org/ . Vi gratulerer med dagen!

====18.02.2025====
NY side!! Derivasjon, praktiske problemer der derivasjon kan være løsningen. Sjekk ut [[Funksjoner II]]. Som alltid; vi setter pris på kritisk konstruktive tilbakemeldinger.

====31.01.2025====
Vi rydder! Gjennom 25 år har nettstedet est ut med mange gode og mindre gode sider. Vi reduserer nå antallet sider, med den konsekvens at hver enkelt side blir større og mer informativ og begreper settes i større grad inn i en sammenheng. Hver enkelt side får også en kvalitetssjekk og en ansiktsløfting. Bruk søkefeltet oppe til høyre, så er det sannsynlig at du finner det du leter etter. Vi redusere også mengden reklame for å gjøre sidene mer brukervennlige. Dersom dere har innspill til hva som kan bli bedre, innenfor rammen av våre resurser, så er vi alltid glad for å høre fra våre brukere. Dette arbeidet pågår nå og vil fortsette gjennom hele året.

====24.01.2025====
[https://matematikk.net/side/Eksamensoppgaver_2025 Eksamensoppgavesiden] vår, med løsninger, er trolig Norges største tilgjengelig for offentligheten. Vi vil gjerne gjøre dem enda større. Dersom noen har eksamenssett fra L 97 eller tidligere er vi veldig interessert i en kopi. Vi legger da ut oppgavene med forslag til løsning. Det er jo interessant å se hvordan oppgavene endrer seg over tid ut fra hva som reflekteres i læreplanene. Realartiumsoppgaver ville være flott….. Dersom noen ser feil eller mangler: Gi oss beskjed. Takk.

====15.01.25====
Da har andre termin begynt for de fleste av oss. Vi har endret eksamenssidene litt. Forhåpentligvis er det litt enklere og finne det eksamenssettet du trenger, og tilhørende løsningsforslag. Dersom noen har tilgang til elektroniske eksamensoppgaver av eldre dato, før 2006, er vi veldig interesserte i å få tilgang til disse, så lager vi løsninger og publiserer. Som alltid, vi blir glade om dere rapporterer feil og mangler

====01.01.25====
Godt $45^2$ ( 2025)!! Nest gang vi befinner oss i et kvadrattallsår er i 2116. I år feirer matematikk.net $5^2$ års jubileum, med måte. Godt nytt år!

====14.12.24====
Vi ønsker alle brukere en god juleferie. Vi vil prøve med mindre reklame i det nye året. Vi fyller 25 år neste år og ser at ting endrer seg hele tiden. Forumet er nesten dødt, vi tror det skyldes AI, men velger å beholde det inntil videre. Vi tar sikte på å være verdensledende på norske matematikkeksamener. Og, gode på en del sentrale emner i helt grunnleggende matematikk. Dersom noen har gode ideer eller kritikk hører vi alltid på det, god jul!

====Algebra og brøk====
(høst 24)
Å utdanne ingeniører er blitt mye vanskeligere enn før. Mange av studentene kommer til oss fra videregående uten å kunne grunnleggende brøkregning og algebra.

https://www.aftenposten.no/meninger/kronikk/i/o3kV1m/matematikk-elever-laerer-ikke-lenger-aa-regne-skikkelig

====Status Norsk skole (vår 24)====
I forbindelse med årets Holmboesymposie hold professor Tom Lindstrøm et foredrag med tittelen er "Hvordan går det egentlig med matematikk og andre realfag i norsk skole?"

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4942 Last ned og les foredraget her]

====Regneapp 12.09.24====
Vi har laget en applikasjon for trening av multiplikasjon, brøk og regnerekkefølge. Den er foreløpig kun for Androids. Du finner den her:
https://play.google.com/store/apps/details?id=com.mentalcalculation.android

==Nytt Eksamensformat 01.07.24==

Har UDIR våknet eller er det motvillig endringer som følge av politisk press? Ett lite skritt i retning bort fra avgrunnen er det:

https://www.udir.no/eksamen-og-prover/eksamen/slik-endrer-vi-eksamen/#a210172

Legg også merke til tidspunkter for eksamen.

==Digitale resurser 03.12.23==
Trenger du hjelp til det digitale? Sjekk her:
https://digitabel.org/
Vi har ikke testet ut siden, men det virker lovende.

== Eksamensoppgaver 26.08.23==
Skolen har startet, og det har vi også. Vi kompletterer eksamensoppgavene som denne
https://matematikk.net/side/1P_2023_v%C3%A5r_LK20_L%C3%98SNING først. Så vil et utvalg komme som video i løpet av høsten https://www.youtube.com/@matematikktips6444 .

== Video (11.03.23)==

Vi lager og legger ut videoer [https://www.youtube.com/@matematikktips6444 HER]. Mest for ungdomsskolen. Send oss gjerne oppgaver eller problemer, så lager vi videoløsninger så langt tiden rekker.

==Privatundervisning Matematikk.net 08.03.23==
Vi har prøvd å innlede et stabilt samarbeide med andre aktører, uten å lykkes med det. Vi tilbyr nå privatundervisning kun med matematikk.net's egne lærere, som før. Det som er nytt er at undervisningen er på digitale plattformer. [https://matematikk.net/side/Privatundervisning_-_matematikk Se mer her.]

==Nyheter fra UDIR - eksamen matematikk (19.08.2022)==

https://www.udir.no/eksamen-og-prover/eksamen/slik-endrer-vi-eksamen/#a173485

==Ny Eksempeloppgaver i matematikk for 10. trinn==
Eksempeloppgavene viser ulike oppgavetyper som kan bli gitt til elevene som skal ta eksamen etter ny læreplan.

[https://www.udir.no/eksamen-og-prover/eksamen/eksempeloppgaver/eksempeloppgaver-i-matematikk-grunnskolen/ Les mer her]

== Sluttvurdering i matematikk etter 10. trinn våren 2022 ==

[https://www.udir.no/laring-og-trivsel/lareplanverket/fagspesifikk-stotte/standpunktvurdering-i-matematikk/ Les mer her]

==Tilbake til todelt eksamen i matematikk frem til våren 2023==
Udir har bestemt at frem til våren 2023, skal alle eksamener i matematikk gjennomføres som todelt eksamen igjen, og da i det «gamle» systemet for eksamen som dere kjenner godt fra før.

Les mer her: [https://udirbloggen.no/tilbake-til-todelt-eksamen-i-matematikk-frem-til-varen-2023/?fbclid=IwAR0zV2cF0a0gBCu-5K7fiTy65xlhnu8TRWppWrAkZ07v-x7Pk1oIZYVyVxY https://udirbloggen.no/]

==Digitale ukentlige oppgaver for ungdomstrinnet==
To flinke matematikklærere på Verket Skole i Moss har laget en imponerende ny nettside: [https://matte.verket.me/digitale-innleveringer Digitale innleveringer] Ta en titt!

Skaperne forteller selv:
<blockquote>
Vi er to matematikklærere på Verket Skole i Moss som savner de gamle innføringsbøkene som vi jobbet iherdig med da vi selv gikk på skolen. Vi ønsket derfor å lage noe tilsvarende for våre elever. Vi ønsket ikke å få 30 innføringsbøker fra klassen som vi kunne sitte å rette, men vi ville at elevene skulle få muligheten til å sette seg ned med noen oppgaver hver uke, som de skal gjøre seg flid med, som de skal være stolte av når de leverer, og som de vet blir vurdert av læreren. Vi valgte derfor å lage et sett med oppgaver som elevene skal jobbe digitalt med. Elevene får her trening i å skrive matematiske utregninger i Word, bruke regneark, tegne og konstruere i dynamisk og jobbe med funksjoner i Geogebra. Alle oppgavene er fundamentert i kunnskapsløftet, og på hver oppgaveside har vi listet opp hvilke læringsmål som oppgaven legger opp til.</blockquote><blockquote>De digitale ferdighetene hos elever, foreldre og også hos matematikklærere er relativt ujevn, så for å sikre at alle elever skal ha mulighet til å løse oppgavene, så er det lagt ved en liten video til hver oppgave. Denne forklarer og viser elevene hvordan de kan løse oppgaven. Enkelte elever klarer å løse oppgavene helt fint på egenhånd, noen trenger litt hjelp på veien, og noen trenger mye hjelp. Videoene er ment å kunne fungere for alle. På denne måten sikrer vi ved Verket Skole at alle elever får ukentlig trening i å uttrykke seg digitalt i faget, og å kommunisere matemetikk på en måte som fremtidige studier vil kreve.</blockquote><blockquote>For å ha så lav terskel som mulig for elevene, så er sidene helt åpne og de fungerer godt på både PC, nettbrett og telefon. Dersom man vil lære seg matematikk, så skal det være enkelt å få tilgang. Det eneste som kreves er tid og innsats.</blockquote><blockquote>Matematisk hilsen fra Andreas Haaland og Niclas Roos</blockquote><blockquote>[http://matte.verket.me/home/digital-matte/digitale-innleveringer Link til de digitale innleveringene]</blockquote>
==OM BRUK AV matematikk.net PÅ EKSAMENSDAGEN==

Vi ønsker at matematikk.net skal brukes mest mulig, av flest mulig. De siste årene har vi fått et økende antall forespørsler fra kommuner om å kunne bruke nettstedet på eksamensdagen. Det krever at kommunikasjon ikke er mulig. Vi synes det er hyggelig at mange kommuner vurderer oss som så gode at de ønsker å ha tilgang til matematikk.net på eksamen.

Men, vi ønsker ikke å bli brukt slik. Nettstedet kan brukes gratis 364 dager i året. Det er laget for læring over tid, ikke for å være en ”krykke” på eksamensdagen. Vi er prinsipielt motstandere av nettkontakt på eksamen, og hjelpemidler (del 2) generelt. I tillegg er det trolig en del feil i de tusenvis av sider vi har. De vi finner retter vi opp, men det er trolig flere… Også en grunn til at vi ikke vil / kan tilpasse sidene til eksamensbruk.

Så; bruk sidene så mye og ofte dere vil, men på eksamen må dere i år og for all fremtid greie dere uten www.matematikk.net. Dersom dere bruker oss 364 dager i året vil eget hode være nok på eksamen.

==Gratis læreverk i matematikk R2==
Sindre Sogge Heggen har laget en lærebok i faget matematikk R2 som du kan finne her [https://forkalkulus.netlify.app/ https://forkalkulus.netlify.app/]

Han skriver: "Før kalkulus [er] et komplett og gratis læreverk i matematikk R2. Læreverket består av de to delene Før kalkulus; Teoridel og Før kalkulus; GeoGebra i R2. I teoridelen vektlegges den matematiske forståelsen, mens GeoGebra-delen tar for seg de viktigste verktøyene programvaren tilbyr for å kunne løse problemer knyttet til faget digitalt. Begge delene finner du i margen til venstre, i tillegg til prosjektoppgaver og forslag til undervisningsopplegg"

Verket er lisensiert under en Creative Commons lisens.

==Påstandsmatematikk==
[https://www.ntnu.no/documents/2004699/12108297/P%C3%A5standsmatematikk+3.4+-+oppgaver.pdf/845ef0f4-6cf2-4cb6-877b-2061cd2fa0df Oppgaveheftet om "påstandsmatematikk"] har kommet i en oppdatert utgave.

Heftet inneholder en rekke påstander som både skaper undring og engasjement og lærer elever og andre at en ikke alltid kan stole på sin intuisjon, men viser betydningen av å kunne bruke matematikk til gjøre overslagsberegninger. Oppgavene vil som oftest kreve at det gjøres antagelser og valg på grunnlag av faktakunnskap. Håpet er at oppgavene skal kunne brukes som krydder både i matematikkundervisningen og i naturfagene.

Heftet ble oppdatert desember 2016, og er laget av Nils Kr. Rossing og Ine Chatrin H. Hetty fra NTNU.

Lærere kan også få tilgang til oppgavehefte med løsningsforslag ved henvendelse til [mailto:nils.rossing@plu.ntnu.no Nils Kr. Rossing.]

==Eksempeloppgaver i 1P-Y og 1T-Y vår2016==

Fra våren 2016 samarbeider fylkeskommunene om produksjon av lokalt gitte eksamensoppgaver på alle utdanningsprogram, unntatt studiespesialisering. Er du elev på en videregående skole og ønsker å bruke eksempeloppgavene, må du først sjekke med skolen din om din eksamen inngår i dette samarbeidet.

Oppgavene er her:

* [http://www.vigoiks.no/media/Files/mat1001-eksempeloppgave 1P-Y Eksempeloppgave]
* [http://www.vigoiks.no/media/Files/mat1006-eksempeloppgave 1T-Y Eksempeloppgave]

===Lærebøker 1P 2P og 2P-Y===
2015-08-11: Vi publiserer en oppdatert utgave av tre lærebøker/oppgavesamlinger utviklet av matteseksjonen på Hellerud vgs for skoleåret 1516: [[Hellerud|Last ned bøkene her]]

===Realfagsskolen===
2014-02-05: Ny side: [[Realfagsskolen - kurs i grunnleggende regning]] er en utmerket samling med arbeidsark laget ved UiO for alle som trenger å lære eller repetere grunnleggende regning. Kan passe for elever i ungdomsskolen og 1P- eller 2P-elever i videregående opplæring.

== Videoer om bruk av TeX på vårt forum [http://matematikk.net/matteprat/viewforum.php?f=13 Matteprat]==
*[http://udl.no/bruk-av-tex-pa-forum/grunnleggende-tex-elementer/1-brok-608 Brøk]
*[http://udl.no/bruk-av-tex-pa-forum/grunnleggende-tex-elementer/2-eksponenter-subscript-superscript-609 Eksponenter, subscript, superscript ]
*[http://udl.no/bruk-av-tex-pa-forum/grunnleggende-tex-elementer/3-rotter-abc-formelen-615 Røtter og abc-formelen]
** Laget av moderator på [http://matematikk.net/matteprat/ forumet] Aleksander L. Rasch. Aleksander driver [http://udl.no UDL.no] - som tilbyr utmerkede videoforelesninger i matematikk fritt tilgjengelig for deg som ønsker å forbedre karakterene dine, eller å lære faget på et dypere nivå.

</noinclude>

2MX V2004

2026-04-28T06:19:09Z

Administrator: /* e) */

==Eksamen 2MX Våren 2004==

== Oppgave 1 ==

I hele oppgave 1 skal du på hvert delspørsmål velge mellom alternativ I og alternativ II.
Du skal bare regne ett av alternativene, og alternativ II gir om lag dobbelt så stor uttelling som alternativ I.

=== a) Løs likningene ved regning ===

# Enten I: $ e^x = 4 $
# eller II: $ 10^{x-1} = 10000 $

# Enten I: $ \sqrt{x^2 + 3} = x + 1 $
# eller II: $ \sqrt{2x + 17} - x = 1 $

=== b) Deriver funksjonene ===

# Enten I: $ f(x) = 4x^4 - 2x^3 $
# eller II: $ h(x) = \frac{\ln x}{x} $

# Enten I: $ g(x) = x \cdot e^x $
# eller II: $ k(x) = (x^2 - 1)^3 $

=== c) Bestem integralene ved regning ===

# Enten I: $ \int_0^1 3x^2 \, dx $
# eller II: $ \int_{-2}^{2} (e^{-x} + 4)\, dx $

=== d) ===

Enten I:
Undersøk om vektorene $ \vec{p} = 3\vec{a} + 9\vec{b} $ og $ \vec{q} = \vec{a} + 3\vec{b} $ er parallelle.

eller II:
Undersøk om det finnes tall $ k $ slik at vektorene
$ \vec{p} = (1 - k)\vec{a} + 3\vec{b} $ og $ \vec{q} = -\vec{a} + (k + 1)\vec{b} $ er parallelle.

----

== Oppgave 2 ==

Vektorene $ \vec{a} $ og $ \vec{b} $ er gitt på figuren nedenfor.

=== a) ===
Tegn vektorene inn på svararket ditt. Tegn også vektorene $ \vec{a} + \vec{b} $ og $ 2\vec{a} - \vec{b} $ på det samme arket.

=== b) ===
Vektorene på figuren er tegnet i et koordinatsystem. Forklar at koordinatene til $ \vec{a} $ er $[3, 1]$.
Finn koordinatene til $ \vec{b} $.

=== c) ===
Regn ut $ \vec{a} \cdot \vec{b} $.
Forklar hvordan du ut fra svaret kan avgjøre om $ \vec{a} \perp \vec{b} $.

En linje $ l $ går gjennom punktet $ (1, \frac{3}{2}) $ og er parallell med $ \vec{a} $.

=== d) ===
Forklar at en parameterframstilling for linja $ l $ er:

$ l: \begin{cases}
x = 1 + 3t \\
y = \frac{3}{2} + t
\end{cases} $

En linje $ m $ går gjennom punktet $ (8, \frac{1}{2}) $ og er parallell med $ \vec{b} $.

=== e) ===
Finn en parameterframstilling for linja $ m $.
Bestem skjæringspunktet mellom linjene $ l $ og $ m $ ved regning.

== Oppgave 3 ==

Innlandsisen på Grønland er en kilde til kunnskap om tidligere tiders klimaforhold. Vi kan måle kjemiske forhold i isen på ulike dybder. Da er det nødvendig å vite alderen til isen.

Danske forskere har kommet fram til en modell som gjør det mulig å bestemme innlandsisens alder $ f(x) $ (målt i år) i forskjellige dybder $ x $ (målt i meter).

For et 3000 meter tykt islag er modellen gitt ved:

$ f(x) = 110000 - 14000 \cdot \ln(3000 - x) $

når dybden $ x \in (1300, 1700) $.

=== a) ===
Hvor gammel er isen på 1400 meters dyp?

=== b) ===
Finn ved regning hvor dypt vi må bore for å finne is som er 9000 år gammel.

=== c) ===
Vis at $ f'(x) = \frac{14000}{3000 - x} $

=== d) ===
Regn ut $ f'(1500) $, og forklar hvordan du tolker svaret.

----

== Oppgave 4 ==

Fra et boligområde går det en bussrute til byen. Etter at en buss har forlatt boligområdet, passerer den tre stoppesteder før den kommer til byen. Busselskapet regner med at det på hvert av de tre stoppestedene er 70 % sjanse for at det står folk som skal med bussen. Ingen går av bussen før den er kommet inn til byen.

La $ X $ være antall ganger en buss stopper på vei til byen. Busselskapet regner med at sannsynligheten for at bussen må stoppe ved nøyaktig $ k $ stoppesteder, er

$ P(X = k) = \binom{3}{k} \cdot 0{,}7^k \cdot 0{,}3^{3-k} $

=== a) ===
Hvilke forutsetninger har busselskapet gjort?

=== b) ===
Beregn sannsynligheten for at bussen stopper ved henholdsvis 0, 1, 2 og 3 stoppesteder på turen inn til byen.

I morgenrushet må busselskapet sette opp to busser for å få med alle passasjerene. Buss A kjører først fra boligområdet, med buss B rett bak. Når de kommer til det første stoppestedet hvor det står folk og venter, stopper buss A for å ta opp passasjerene, mens buss B kjører forbi. På neste stopp er det buss B som stopper og tar opp passasjerene, mens buss A kjører forbi osv.

=== c) ===
Forklar hvorfor buss A kommer først til byen dersom det står folk og venter ved 0 eller 2 stoppesteder, mens buss B kommer først dersom det står folk og venter ved 1 eller 3 stoppesteder.

=== d) ===
Beregn sannsynligheten for at buss B kommer først til byen. Hvilken buss bør man ta fra boligområdet dersom man ønsker å komme først til byen?

Tallene ovenfor gjelder utenom ferietiden. I fellesferien regner busselskapet med at det ved hvert stopp bare er 20 % sjanse for at det står folk som skal med bussen. Anta at busselskapet fortsatt kjører med to busser i morgenrushet.

=== e) ===
Hvilken buss lønner det seg nå å ta fra boligområdet dersom man vil komme først til byen?

== Oppgave 5 ==

De komplekse tallene kan illustreres i et koordinatsystem.

På figuren har vi tegnet det komplekse tallet
$ z = 3 - 2i $.

=== a) ===

Vi har gitt de komplekse tallene $ z_1 = 2 + i $ og $ z_2 = -1 + 3i $.

# Tegn de komplekse tallene $ z_1 $ og $ z_2 $ i et koordinatsystem på svararket ditt.

# Bestem ved regning $ z_1 + z_2 $ og $ z_1 \cdot z_2 $.
# Tegn tallene i det samme koordinatsystemet.

# Finn absoluttverdien $ |z_1| $.
# Kontroller at $ |z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| $.

# Bestem $ \arg(z_1) $, $ \arg(z_2) $ og $ \arg(z_1 \cdot z_2) $.
# Hvilken sammenheng ser det ut til å være mellom disse vinklene?

# Skriv $ z_1 = 2 + i $ på den trigonometriske formen
$ z_1 = r(\cos v + i \sin v) $.

=== b) ===

Løs likningen $ x^2 + 2x + 2 = 0 $ ved regning.

2MX V2004

2026-04-28T06:06:51Z

Administrator: /* e) */

Administrator:

Å utvide brøk

2026-04-07T07:14:15Z

Administrator:

<div style="background:#f8f9fa; padding:22px; border-radius:10px; border:1px solid #dcdcdc;">

[[Fil:pizzaversjon2.PNG|center|400px]]

Om vi holder oss til eksempelet over, kan vi skrive:

<math>\frac{1}{4} = \frac{2}{8} = \frac{4}{16}</math>

Det vi egentlig gjør, er å multiplisere teller og nevner med samme tall.

I dette tilfellet multipliserer vi med 2.

</div>

<geogebra width="900" height="600">jnq7dpsw</geogebra>

<div style="background:#eef4ff; padding:22px; border-radius:10px; border-left:6px solid #2a6ebb;">

'''Eksempel'''

<math>
\frac{1}{4}
=
\frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2}
=
\frac{2}{8}
=
\frac{2 \cdot 2}{8 \cdot 2}
=
\frac{4}{16}
</math>

</div>

<div style="background:#f8f9fa; padding:22px; border-radius:10px; border:1px solid #dcdcdc;">

Vi kan utvide en brøk med både tall og bokstaver.

Det er viktig at vi gjør det samme i både teller og nevner.

Dersom vi ikke gjør det, vil brøkens verdi endre seg.

</div>



<div style="display:flex; gap:14px; flex-wrap:wrap; margin-top:10px;">

<div style="flex:1; min-width:150px; text-align:center; background:#2a6ebb; padding:14px; border-radius:10px; font-weight:bold; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.1);">
[[Test deg selv|<span style="color:white; text-decoration:none;">Test deg selv ✏️</span>]]
</div>

<div style="flex:1; min-width:150px; text-align:center; background:#2a6ebb; padding:14px; border-radius:10px; font-weight:bold; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.1);">
[[https://matematikk.net/res/eksamen/10-kl/opgLK20/ut_v25.pdf|<span style="color:white; text-decoration:none;">Arbeidsark 1 📄</span>]]
</div>

<div style="flex:1; min-width:150px; text-align:center; background:#2a6ebb; padding:14px; border-radius:10px; font-weight:bold; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.1);">
[[Arbeidsark|<span style="color:white; text-decoration:none;">Arbeidsark 2 📄</span>]]
</div>

<div style="flex:1; min-width:150px; text-align:center; background:#f1f1f1; padding:14px; border-radius:10px; font-weight:bold; color:#666;">
 
</div>

</div>

Mal:Nyheter

2026-04-07T06:26:43Z

Administrator:

===07.04.2026===
En stor takk til alle som donerer bidrag til oss, det setter vi stor pris på. Det muliggjør drift uten reklame og bidrar til en bedre opplevelse for alle brukere. Tusen takk!

===20.02.2026===
Ha tålmodighet med oss. Sidene ser ut som en byggeplass, men brukeropplevelsen skal bli bedre. Vi fjerner reklamen fullstendig, i alle fall ut 2027. Vi håper å kunne drifte sidene på bidrag fra vennlige mennesker som forstår verdien av å inneha kunnskaper i matematikk. Vi tenker ny layout noe slikt: https://matematikk.net/side/Br%C3%B8kregning . Vi er svært mottakelige for innspill.
<noinclude>

===13.02.2026===
Forslag til justering av læreplanen i matematikk 1–10: https://hoering-publisering.udir.no/3731

Høringfrist: 8. april 2026

===04.12.2025===
Har du tilgang til eksamensoppgaver i matematikk fra før 2010? Da hører vi gjerne fra deg. Vi er relativt komplette bakover til ca 2010, men har ingenting før den tid. Både vgs. og grunnskole er av interesse. Send melding til cosinus@matematikk.net

=== 17.10.2025===
Høring vedrørende S fagene: https://hoering.udir.no/hoering/3629

===23.09.2025===
Nye læreplaner i S fagene: https://www.regjeringen.no/globalassets/departementene/kd/dokumenter/tillegg-til-tildelingsbrev-til-udir-1-18-2025.pdf

===18.08.2025===

Velkommen tilbake. Vi har en gave til deg.
====Tren hoderegning på en enkel og motiverende måte!====
Mange elever synes det er krevende å bli sikre i hoderegning – men øvelse gjør mester.
Med Mental Calculation får elever og lærere et verktøy som:

*Tilpasser oppgaver til nivå (fra grunnskole til VGS)
*Gir raske tilbakemeldinger og resultater
*Motiverer gjennom progresjon og mestring
*Kan brukes både i timen og som hjemmearbeid, og mens du venter på bussen.

👉 Last ned gratis her:
https://play.google.com/store/apps/details?id=com.mentalcalculation.android

Gi elevene muligheten til å styrke hoderegningen – et viktig fundament i all matematikk.

====26.06.2025====
God sommer til alle! Til høsten vil siden her fremstå som enda mer komplette, med flere eksamensoppgaver og løsninger enn noen gang. Dersom du trenger privatundervisning bør du tenke langsiktig og ta kontakt med oss så tidlig som mulig. Husk solkrem!

====29.05.2025====
Da er skoleåret snart slutt, for de fleste er det bare muntlig eksamen igjen (og kanskje ikke det en gang). Juli og august på matematikk.net er normalt stille. Disse månedene vil ha betydelig mindre reklame. Det vil også januar og februar. En god grunn til å henge rundt på sidene. God sommer!

====05.04.2025====
Det nærmer seg eksamen. Gamle oppgaver å øve på finner du her [[Eksamensoppgaver_2025]]

====16.03.2025====
Vår nyeste side, [[Regning]], tar for seg en del helt grunnleggende ved tallregning.
====11.03.2025====
Fredag er igjen $\pi$ dagen: https://www.piday.org/ . Vi gratulerer med dagen!

====18.02.2025====
NY side!! Derivasjon, praktiske problemer der derivasjon kan være løsningen. Sjekk ut [[Funksjoner II]]. Som alltid; vi setter pris på kritisk konstruktive tilbakemeldinger.

====31.01.2025====
Vi rydder! Gjennom 25 år har nettstedet est ut med mange gode og mindre gode sider. Vi reduserer nå antallet sider, med den konsekvens at hver enkelt side blir større og mer informativ og begreper settes i større grad inn i en sammenheng. Hver enkelt side får også en kvalitetssjekk og en ansiktsløfting. Bruk søkefeltet oppe til høyre, så er det sannsynlig at du finner det du leter etter. Vi redusere også mengden reklame for å gjøre sidene mer brukervennlige. Dersom dere har innspill til hva som kan bli bedre, innenfor rammen av våre resurser, så er vi alltid glad for å høre fra våre brukere. Dette arbeidet pågår nå og vil fortsette gjennom hele året.

====24.01.2025====
[https://matematikk.net/side/Eksamensoppgaver_2025 Eksamensoppgavesiden] vår, med løsninger, er trolig Norges største tilgjengelig for offentligheten. Vi vil gjerne gjøre dem enda større. Dersom noen har eksamenssett fra L 97 eller tidligere er vi veldig interessert i en kopi. Vi legger da ut oppgavene med forslag til løsning. Det er jo interessant å se hvordan oppgavene endrer seg over tid ut fra hva som reflekteres i læreplanene. Realartiumsoppgaver ville være flott….. Dersom noen ser feil eller mangler: Gi oss beskjed. Takk.

====15.01.25====
Da har andre termin begynt for de fleste av oss. Vi har endret eksamenssidene litt. Forhåpentligvis er det litt enklere og finne det eksamenssettet du trenger, og tilhørende løsningsforslag. Dersom noen har tilgang til elektroniske eksamensoppgaver av eldre dato, før 2006, er vi veldig interesserte i å få tilgang til disse, så lager vi løsninger og publiserer. Som alltid, vi blir glade om dere rapporterer feil og mangler

====01.01.25====
Godt $45^2$ ( 2025)!! Nest gang vi befinner oss i et kvadrattallsår er i 2116. I år feirer matematikk.net $5^2$ års jubileum, med måte. Godt nytt år!

====14.12.24====
Vi ønsker alle brukere en god juleferie. Vi vil prøve med mindre reklame i det nye året. Vi fyller 25 år neste år og ser at ting endrer seg hele tiden. Forumet er nesten dødt, vi tror det skyldes AI, men velger å beholde det inntil videre. Vi tar sikte på å være verdensledende på norske matematikkeksamener. Og, gode på en del sentrale emner i helt grunnleggende matematikk. Dersom noen har gode ideer eller kritikk hører vi alltid på det, god jul!

====Algebra og brøk====
(høst 24)
Å utdanne ingeniører er blitt mye vanskeligere enn før. Mange av studentene kommer til oss fra videregående uten å kunne grunnleggende brøkregning og algebra.

https://www.aftenposten.no/meninger/kronikk/i/o3kV1m/matematikk-elever-laerer-ikke-lenger-aa-regne-skikkelig

====Status Norsk skole (vår 24)====
I forbindelse med årets Holmboesymposie hold professor Tom Lindstrøm et foredrag med tittelen er "Hvordan går det egentlig med matematikk og andre realfag i norsk skole?"

[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=4942 Last ned og les foredraget her]

====Regneapp 12.09.24====
Vi har laget en applikasjon for trening av multiplikasjon, brøk og regnerekkefølge. Den er foreløpig kun for Androids. Du finner den her:
https://play.google.com/store/apps/details?id=com.mentalcalculation.android

==Nytt Eksamensformat 01.07.24==

Har UDIR våknet eller er det motvillig endringer som følge av politisk press? Ett lite skritt i retning bort fra avgrunnen er det:

https://www.udir.no/eksamen-og-prover/eksamen/slik-endrer-vi-eksamen/#a210172

Legg også merke til tidspunkter for eksamen.

==Digitale resurser 03.12.23==
Trenger du hjelp til det digitale? Sjekk her:
https://digitabel.org/
Vi har ikke testet ut siden, men det virker lovende.

== Eksamensoppgaver 26.08.23==
Skolen har startet, og det har vi også. Vi kompletterer eksamensoppgavene som denne
https://matematikk.net/side/1P_2023_v%C3%A5r_LK20_L%C3%98SNING først. Så vil et utvalg komme som video i løpet av høsten https://www.youtube.com/@matematikktips6444 .

== Video (11.03.23)==

Vi lager og legger ut videoer [https://www.youtube.com/@matematikktips6444 HER]. Mest for ungdomsskolen. Send oss gjerne oppgaver eller problemer, så lager vi videoløsninger så langt tiden rekker.

==Privatundervisning Matematikk.net 08.03.23==
Vi har prøvd å innlede et stabilt samarbeide med andre aktører, uten å lykkes med det. Vi tilbyr nå privatundervisning kun med matematikk.net's egne lærere, som før. Det som er nytt er at undervisningen er på digitale plattformer. [https://matematikk.net/side/Privatundervisning_-_matematikk Se mer her.]

==Nyheter fra UDIR - eksamen matematikk (19.08.2022)==

https://www.udir.no/eksamen-og-prover/eksamen/slik-endrer-vi-eksamen/#a173485

==Ny Eksempeloppgaver i matematikk for 10. trinn==
Eksempeloppgavene viser ulike oppgavetyper som kan bli gitt til elevene som skal ta eksamen etter ny læreplan.

[https://www.udir.no/eksamen-og-prover/eksamen/eksempeloppgaver/eksempeloppgaver-i-matematikk-grunnskolen/ Les mer her]

== Sluttvurdering i matematikk etter 10. trinn våren 2022 ==

[https://www.udir.no/laring-og-trivsel/lareplanverket/fagspesifikk-stotte/standpunktvurdering-i-matematikk/ Les mer her]

==Tilbake til todelt eksamen i matematikk frem til våren 2023==
Udir har bestemt at frem til våren 2023, skal alle eksamener i matematikk gjennomføres som todelt eksamen igjen, og da i det «gamle» systemet for eksamen som dere kjenner godt fra før.

Les mer her: [https://udirbloggen.no/tilbake-til-todelt-eksamen-i-matematikk-frem-til-varen-2023/?fbclid=IwAR0zV2cF0a0gBCu-5K7fiTy65xlhnu8TRWppWrAkZ07v-x7Pk1oIZYVyVxY https://udirbloggen.no/]

==Digitale ukentlige oppgaver for ungdomstrinnet==
To flinke matematikklærere på Verket Skole i Moss har laget en imponerende ny nettside: [https://matte.verket.me/digitale-innleveringer Digitale innleveringer] Ta en titt!

Skaperne forteller selv:
<blockquote>
Vi er to matematikklærere på Verket Skole i Moss som savner de gamle innføringsbøkene som vi jobbet iherdig med da vi selv gikk på skolen. Vi ønsket derfor å lage noe tilsvarende for våre elever. Vi ønsket ikke å få 30 innføringsbøker fra klassen som vi kunne sitte å rette, men vi ville at elevene skulle få muligheten til å sette seg ned med noen oppgaver hver uke, som de skal gjøre seg flid med, som de skal være stolte av når de leverer, og som de vet blir vurdert av læreren. Vi valgte derfor å lage et sett med oppgaver som elevene skal jobbe digitalt med. Elevene får her trening i å skrive matematiske utregninger i Word, bruke regneark, tegne og konstruere i dynamisk og jobbe med funksjoner i Geogebra. Alle oppgavene er fundamentert i kunnskapsløftet, og på hver oppgaveside har vi listet opp hvilke læringsmål som oppgaven legger opp til.</blockquote><blockquote>De digitale ferdighetene hos elever, foreldre og også hos matematikklærere er relativt ujevn, så for å sikre at alle elever skal ha mulighet til å løse oppgavene, så er det lagt ved en liten video til hver oppgave. Denne forklarer og viser elevene hvordan de kan løse oppgaven. Enkelte elever klarer å løse oppgavene helt fint på egenhånd, noen trenger litt hjelp på veien, og noen trenger mye hjelp. Videoene er ment å kunne fungere for alle. På denne måten sikrer vi ved Verket Skole at alle elever får ukentlig trening i å uttrykke seg digitalt i faget, og å kommunisere matemetikk på en måte som fremtidige studier vil kreve.</blockquote><blockquote>For å ha så lav terskel som mulig for elevene, så er sidene helt åpne og de fungerer godt på både PC, nettbrett og telefon. Dersom man vil lære seg matematikk, så skal det være enkelt å få tilgang. Det eneste som kreves er tid og innsats.</blockquote><blockquote>Matematisk hilsen fra Andreas Haaland og Niclas Roos</blockquote><blockquote>[http://matte.verket.me/home/digital-matte/digitale-innleveringer Link til de digitale innleveringene]</blockquote>
==OM BRUK AV matematikk.net PÅ EKSAMENSDAGEN==

Vi ønsker at matematikk.net skal brukes mest mulig, av flest mulig. De siste årene har vi fått et økende antall forespørsler fra kommuner om å kunne bruke nettstedet på eksamensdagen. Det krever at kommunikasjon ikke er mulig. Vi synes det er hyggelig at mange kommuner vurderer oss som så gode at de ønsker å ha tilgang til matematikk.net på eksamen.

Men, vi ønsker ikke å bli brukt slik. Nettstedet kan brukes gratis 364 dager i året. Det er laget for læring over tid, ikke for å være en ”krykke” på eksamensdagen. Vi er prinsipielt motstandere av nettkontakt på eksamen, og hjelpemidler (del 2) generelt. I tillegg er det trolig en del feil i de tusenvis av sider vi har. De vi finner retter vi opp, men det er trolig flere… Også en grunn til at vi ikke vil / kan tilpasse sidene til eksamensbruk.

Så; bruk sidene så mye og ofte dere vil, men på eksamen må dere i år og for all fremtid greie dere uten www.matematikk.net. Dersom dere bruker oss 364 dager i året vil eget hode være nok på eksamen.

==Gratis læreverk i matematikk R2==
Sindre Sogge Heggen har laget en lærebok i faget matematikk R2 som du kan finne her [https://forkalkulus.netlify.app/ https://forkalkulus.netlify.app/]

Han skriver: "Før kalkulus [er] et komplett og gratis læreverk i matematikk R2. Læreverket består av de to delene Før kalkulus; Teoridel og Før kalkulus; GeoGebra i R2. I teoridelen vektlegges den matematiske forståelsen, mens GeoGebra-delen tar for seg de viktigste verktøyene programvaren tilbyr for å kunne løse problemer knyttet til faget digitalt. Begge delene finner du i margen til venstre, i tillegg til prosjektoppgaver og forslag til undervisningsopplegg"

Verket er lisensiert under en Creative Commons lisens.

==Påstandsmatematikk==
[https://www.ntnu.no/documents/2004699/12108297/P%C3%A5standsmatematikk+3.4+-+oppgaver.pdf/845ef0f4-6cf2-4cb6-877b-2061cd2fa0df Oppgaveheftet om "påstandsmatematikk"] har kommet i en oppdatert utgave.

Heftet inneholder en rekke påstander som både skaper undring og engasjement og lærer elever og andre at en ikke alltid kan stole på sin intuisjon, men viser betydningen av å kunne bruke matematikk til gjøre overslagsberegninger. Oppgavene vil som oftest kreve at det gjøres antagelser og valg på grunnlag av faktakunnskap. Håpet er at oppgavene skal kunne brukes som krydder både i matematikkundervisningen og i naturfagene.

Heftet ble oppdatert desember 2016, og er laget av Nils Kr. Rossing og Ine Chatrin H. Hetty fra NTNU.

Lærere kan også få tilgang til oppgavehefte med løsningsforslag ved henvendelse til [mailto:nils.rossing@plu.ntnu.no Nils Kr. Rossing.]

==Eksempeloppgaver i 1P-Y og 1T-Y vår2016==

Fra våren 2016 samarbeider fylkeskommunene om produksjon av lokalt gitte eksamensoppgaver på alle utdanningsprogram, unntatt studiespesialisering. Er du elev på en videregående skole og ønsker å bruke eksempeloppgavene, må du først sjekke med skolen din om din eksamen inngår i dette samarbeidet.

Oppgavene er her:

* [http://www.vigoiks.no/media/Files/mat1001-eksempeloppgave 1P-Y Eksempeloppgave]
* [http://www.vigoiks.no/media/Files/mat1006-eksempeloppgave 1T-Y Eksempeloppgave]

===Lærebøker 1P 2P og 2P-Y===
2015-08-11: Vi publiserer en oppdatert utgave av tre lærebøker/oppgavesamlinger utviklet av matteseksjonen på Hellerud vgs for skoleåret 1516: [[Hellerud|Last ned bøkene her]]

===Realfagsskolen===
2014-02-05: Ny side: [[Realfagsskolen - kurs i grunnleggende regning]] er en utmerket samling med arbeidsark laget ved UiO for alle som trenger å lære eller repetere grunnleggende regning. Kan passe for elever i ungdomsskolen og 1P- eller 2P-elever i videregående opplæring.

== Videoer om bruk av TeX på vårt forum [http://matematikk.net/matteprat/viewforum.php?f=13 Matteprat]==
*[http://udl.no/bruk-av-tex-pa-forum/grunnleggende-tex-elementer/1-brok-608 Brøk]
*[http://udl.no/bruk-av-tex-pa-forum/grunnleggende-tex-elementer/2-eksponenter-subscript-superscript-609 Eksponenter, subscript, superscript ]
*[http://udl.no/bruk-av-tex-pa-forum/grunnleggende-tex-elementer/3-rotter-abc-formelen-615 Røtter og abc-formelen]
** Laget av moderator på [http://matematikk.net/matteprat/ forumet] Aleksander L. Rasch. Aleksander driver [http://udl.no UDL.no] - som tilbyr utmerkede videoforelesninger i matematikk fritt tilgjengelig for deg som ønsker å forbedre karakterene dine, eller å lære faget på et dypere nivå.

</noinclude>

Å utvide brøk

2026-04-07T05:55:36Z

Administrator:

Å utvide brøk

2026-04-07T05:52:36Z

Administrator:

<div style="background:#f8f9fa; padding:22px; border-radius:10px; border:1px solid #dcdcdc;">

[[Fil:pizzaversjon2.PNG|center|400px]]

Om vi holder oss til eksempelet over, kan vi skrive:

<math>\frac{1}{4} = \frac{2}{8} = \frac{4}{16}</math>

Det vi egentlig gjør, er å multiplisere teller og nevner med samme tall.

I dette tilfellet multipliserer vi med 2.

</div>

<geogebra width="900" height="600">jnq7dpsw</geogebra>

<div style="background:#eef4ff; padding:22px; border-radius:10px; border-left:6px solid #2a6ebb;">

'''Eksempel'''

<math>
\frac{1}{4}
=
\frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2}
=
\frac{2}{8}
=
\frac{2 \cdot 2}{8 \cdot 2}
=
\frac{4}{16}
</math>

</div>

<div style="background:#f8f9fa; padding:22px; border-radius:10px; border:1px solid #dcdcdc;">

Vi kan utvide en brøk med både tall og bokstaver.

Det er viktig at vi gjør det samme i både teller og nevner.

Dersom vi ikke gjør det, vil brøkens verdi endre seg.

</div>



<div style="display:flex; gap:14px; flex-wrap:wrap; margin-top:10px;">

<div style="flex:1; min-width:150px; text-align:center; background:#2a6ebb; padding:14px; border-radius:10px; font-weight:bold; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.1);">
[[Test deg selv|<span style="color:white; text-decoration:none;">Test deg selv ✏️</span>]]
</div>

<div style="flex:1; min-width:150px; text-align:center; background:#2a6ebb; padding:14px; border-radius:10px; font-weight:bold; box-shadow:0 2px 6px rgba(0,0,0,0.1);">
[[Arbeidsark|<span style="color:white; text-decoration:none;">Arbeidsark 📄</span>]]
</div>

<div style="flex:1; min-width:150px; text-align:center; background:#f1f1f1; padding:14px; border-radius:10px; font-weight:bold; color:#666;">
 
</div>

<div style="flex:1; min-width:150px; text-align:center; background:#f1f1f1; padding:14px; border-radius:10px; font-weight:bold; color:#666;">
 
</div>

</div>

Å utvide brøk

2026-04-06T06:37:26Z

Administrator:

Å utvide brøk

2026-04-06T06:36:43Z

Administrator:

Å utvide brøk

2026-04-06T06:34:08Z

Administrator:

Differensiallikninger

2026-03-27T07:11:25Z

Administrator: /* Det gir Newtons lov for avkjøling: */

==Innledning==

En differensialligning vil typisk beskrive en forandring av en variabel i tid og/eller rom. Den skiller seg fra "vanlige" ligninger ved at løsningene er funksjoner, ikke bestemte verdier. Teorien for differensialligninger er fundamental for forståelsen av dynamikken i naturen og danner grunnlaget for blant annet klassisk mekanikk og kvantemekanikk. Vi deler diff.ligningene inn i partielle og ordinære ligninger, der matematikken i videregående skole kun fokuserer på ordinære ligninger, ofte kalt ODE (Ordinary Differential Equations). Dvs. at løsningsfunksjonen kun har én variabel, som oftest kalt $t$ (for tid) eller $x$ (for rom). Det er vilkårlig hvilken notasjon vi bruker så lenge vi er bevisst på hva som er den ukjente funksjonen og hva som er variabelen.

* På ungdomstrinnet og videregående grunnkurs arbeidet man med ligninger der den ukjente var et tall, ofte kalt $x$.

* I differensialligninger er den ukjente en funksjon $y(x)$. En differensialligning gir sammenhengen mellom en ukjent funksjon og noen av dens deriverte.

* I denne artikkelen skriver vi $y^\prime$ og $\frac{dy}{dx}$ om hverandre. Den siste skrivemåten kalles Leibniz' notasjon etter den tyske filosofen og matematikeren Gottfried Wilhelm Leibniz.

* Man bør være fortrolig med ligninger, funksjonslære, integrasjon og derivasjon før man gir seg i kast med differensialligninger.

* Ligningene er viktige i fysikk og andre fag, der de kan brukes til å modellere forskjellige situasjoner der størrelser forandrer seg over tid.

== Ordenen til en diff.ligning ==

Formelt vil en ordinær diff.ligning være på formen <math>g(x,f,f^\prime ,f^{\prime \prime},\ldots , f^{(n)})=0</math> der <math>g</math> er en gitt funksjon. <math>n</math> kalles ligningens ''orden'' og <math>f^{(n)}</math> er den n-te deriverte. <math>f</math> er her den ukjente funksjonen som vi ønsker å finne, og <math>x</math> er variabelen som vi deriverer med hensyn på, dvs. <math>f^\prime \equiv \frac{df}{dx}</math>, <math>f^{\prime \prime} \equiv \frac{d^2f}{dx^2}</math>, etc.

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel: Diff.ligning av første orden'''

En enkel ordinær differensialligning av første orden er <math>f^{\prime}(x)=0</math>. Løsningen finnes direkte ved integrasjon; vi får at <math>f(x)=c</math> for en konstant <math>c</math>.

</div>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">

'''Eksempel: Diff.ligning av 2.orden'''

En enkel andreordens ordinær differensialligning er <math>m\ddot{x}(t)=10</math>. Dette er Newtons andre lov med konstant kraft (10 N) der <math>x(t)</math> er posisionen ved tida <math>t</math>. De to prikkene over <math>x</math> betyr at vi dobbeltderiverer <math>x</math> med hensyn på tiden.

</div>

== Førsteordens lineære ligninger ==

Lineære differensialligninger av første orden kan skrives på formen

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
\begin{equation}
\label{linearEqFirstOrder}
y' + ay = b
\end{equation}
</div>

Her er $a$ og $b$ enten gitte konstanter, eller funksjoner av $x$. At en ligning er av ''første orden'' betyr at den inneholder den førstederiverte, $y'$, men ikke deriverte av høyere orden ($y^{\prime\prime}$, $y^{(3)}$ etc.). At en ligning er ''lineær'' betyr at $y$ og $y'$ inngår som lineære faktorer i leddene. Ligningen $y'+y^2=3$ vil f.eks. ikke være lineær siden vi har et ledd med $y^2$.

=== Homogene og inhomogene førsteordens diff.ligninger ===

Dersom $b\neq 0 $ i ligning kalles den ''inhomogen''. Dersom $b = 0$ kalles diff.ligningen ''homogen''. En homogen, lineær diff.ligning av første orden er altså på formen

\begin{equation}
\label{linearHomEqFirstOrder}
y' + ay = 0
\end{equation}

Slike ligninger kan løses på to måter:

* Multiplikasjon med ''integrerende faktor''
* Som en ''separabel'' ligning

=== [[Integrerende faktor]] ===

Når vi bruker integrerende faktor tenker vi multiplikasjonsregelen for derivasjon, baklengs. Vi omformer da to ledd til et produkt. Den integrerende faktorene er $e^{ax}$ der a er a'en i $y' + ax = b$

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">

'''Eksempel: Homogen ligning, integrerende faktor''' <p></p>

Vi skal løse $y'+2y = 0$. Integrerende faktor er $e^{2x}$.

\begin{align*}
y'+2y & = 0 \\
e^{2x}y'+2e^{2x}y & = 0 \quad \text{Multiplisert med integrerende faktor}\\
(e^{2x}y)' & = 0 \\
e^{2x}y & = C \\
y & = Ce^{-2x}
\end{align*}

For å finne ut hva $C$ er trenger man i tillegg en initialbetingelse (startbetingelse) på løsningen. Det behandles i avsnittet om ''Initialverdiproblemer''.

</div>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">

'''Eksempel: Inhomogen ligning, integrerende faktor''' <p></p>

Vi skal løse $y'+4y = 6$. Integrerende faktor er $e^{4x}$.

\begin{align*}
y'+4y & = 6 \\
e^{4x}y'+4e^{4x}y & = 6e^{4x} \quad \text{Multiplisert med integrerende faktor}\\
(e^{4x}y)' & = 6e^{4x} \\
e^{4x}y & = \int 6e^{4x}\,dx\\
e^{4x}y & = \frac{3}{2}e^{4x}+C\\
y & = \frac{3}{2}+Ce^{-4x}
\end{align*}

For å finne ut hva $C$ er trenger man i tillegg en initialbetingelse (startbetingelse) på løsningen.

</div>

=== [[Separable differensiallikninger]] ===

Separable ligninger er på formen

\begin{equation}
\label{separableDiffEq}
\frac{dy}{dx} = g(x)\cdot h(y)
\end{equation}

, der $g(x)$ og $h(y)$ er gitte funksjoner som vanligvis er relativt enkle å integrere. Merk at funksjonsargumentet til $h(y)$ er den funksjonen vi skal finne, men vi behandler likevel $y$ som en vanlig variabel. Ligningen løses ved å multiplisere med differensialet $dx$ på begge sider av likhetstegnet, dividere med $h(y)$, for så å integrere. Vi kan løse en generell separabel ligning formelt slik:

\begin{align*}
\frac{dy}{h(y)} &= g(x)\,dx \\
\int \frac{dy}{h(y)} &= \int g(x)\,dx \\
F(y) &= G(x) + C \\
y(x) &= F^{-1}\left(G(x) + C\right)
\end{align*}

, der $F(y)$ er integralet av $(h(y))^{-1}$ og $G(x)$ integralet av $g(x)$. $C$ er en integrasjonskonstant og $F^{-1}$ er inversfunksjonen til $F$.

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">

'''Eksempel: Separabel ligning''' <p></p>

Vi skal løse ligningen $y'+4xy=0$ som en separabel ligning. Da er det lurt å bruke Leibniz' notasjon. Vi omskriver til:
\begin{align*}
\frac{dy}{dx} &=-4xy \\
\frac{dy}{y} &=-4x\,dx \\
\int{\frac{dy}{y}} &=\int{-4x\,dx} \\
\ln|y| &= -2x^2 + C \\
y &= e^{-2x^2 + C} \\
y &= y_0 \cdot e^{-2x^2}
\end{align*}

Her har vi omdøpt konstanten foran eksponentialfunksjonen, slik at $y_0=e^C$. Ved å sette løsningen inn i den opprinnelige diff.ligningen, ser vi at løsningen stemmer.

</div>

== Homogene lineære andreordens diff.ligninger med konstante koeffisienter ==

En generell andreordens diff.ligning er på formen

\begin{equation}
A(x)y^{\prime\prime} + B(x)y' + C(x)y = D(x)
\end{equation}

* Ligningen er <b>homogen</b> dersom $D(x) = 0$. Det gir oss <math>A(x)y^{\prime\prime} + B(x)y' + C(x)y = 0</math>
* <b>Konstante koeffisienter</b> betyr at $A(x)$, $B(x)$ og $C(x)$ er konstanter uavhengig av $x$. Vi skriver ligningen på formen $y^{\prime\prime} + by' + cy = 0$
* <b>Andreordens</b> betyr at den dobbelderiverte opptrer i ligningen. I en tredjeordens ligning vil den tredjederiverte opptre.
* <b>Lineær</b> betyr at produkter eller potenser av $y$ og dens deriverte ikke forekommer i ligningen. $y^{\prime\prime} = yy'$ er således et eksempel på en ikkelineær ligning.
* <b>Karakteristisk ligning</b> til $y^{\prime\prime} + by' + cy = 0$ er $r^2+br + c = 0$

Den karakteristiske ligningen kan ha tre ulike typer løsninger:

* To ulike reelle røtter
* Én reell rot
* To komplekse røtter

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">

Dersom ligningen har to reelle røtter gir det generell løsning<p></p>
<math>y(x) = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}</math>
</div>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">

'''Eksempel: To reelle røtter''' <p></p>
<math> y^{\prime\prime} + y' = 2y \\
y^{\prime\prime} + y' - 2y = 0 \\
r^2 + r - 2 = 0 \\
r = 1 \vee r = 2 \\
y(x) = C_1e^x + C_2e^{2x}</math>

</div>

[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=A1D%2BA1E%2BA1F%2BA20%2BA21%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">

Dersom ligningen har én reell rot blir løsningen på formen<p></p>
<math>y(x) = C_1e^{rx} + C_2xe^{rx}</math><p></p></div>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">

'''Eksempel: Én reell rot'''<p></p>

$4y^{\prime \prime} + 8y' + 4y =0 \\r^2 + 2r + 1 = 0 \\r = -1\\y(x) = C_1e^{-x} + C_2xe^{-x}$
</div>

[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=A22%2BA23%2BA24%2BA25%2BA26%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">

Dersom ligningen har to komplekse røtter, <math>r_1 = a + ib</math> og <math>r_2 = a - ib</math>, blir løsningen
<math>y(x) = e^{ax}\left (C_1 \cos(bx) + C_2 \sin (bx)\right )</math></div>
<p></p>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel: To komplekse røtter''' <p></p>

<math>y^{\prime\prime}-y' + y = 0 \\
r^2 - r + 1= 0 \\
r_1 = \frac12 + \frac32i, \quad r_2 = \frac12 - \frac32i \\
y(x) = e^{\frac12x}\left (C_1 \cos(\frac32x) + C_2 \sin (\frac32x)\right )</math>
</div>

[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=A2A%2BA2B%2BA2C%2BA2D%2BA2E%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]

== Initialverdiproblemer ==

I eksemplene over (og senere) ser man at den generelle løsningen inneholder en eller to
konstanter $C_1$ og $C_2$. Disse kan i utgangspunktet være et hvilket som helst reelt tall.
For å finne den spesielle løsningen til en ligning trenger man en eller flere tileggsopplysninger.
<p></p>

Når en differensialligning er gitt med initialbetingelser kalles det for et initialverdiproblem.

<p></p>
Initialbetingelsen(e) kan være knyttet til situasjonen ved tiden $t = 0$, altså når en prosess starter,
eller den kan gis i form av en funksjonsverdi for en annen argumentverdi.
<p></p>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">

'''Eksempel: Initialverdiproblem''' <p></p>

Finn den spesielle løsningen til initialverdiproblemet:<p></p>

<math>\frac{dy}{dx} = 3x + 2 \hspace{50 mm} y (1)= 3 \\
dy = (3x + 2)\,dx \\
y(x) = \int 3x + 2 \,dx \\
y(x) = \frac 32x^2 + 2x + C </math>

Dette er den generelle løsningen.<p></p>
For å finne den spesielle løsningen benytter vi opplysningen
$y(1) = 3$.<p></p>
<math>y(1) = \frac 32 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 + C = 3 \\
C = - \frac 12 </math>

Den spesielle løsningen blir:<p></p>

<math>y(x) = \frac 32 \cdot x^2 + 2 x - \frac 12 </math>

</div>

== Retningsdiagram ==

Førsteorden ligninger kan skrives som $y'(x) = F(x,y)$ der $x$ er den variable og $y$ er den ukjente
funksjonen. Dette gir stigningstallet til tangen i punktet $(x,y)$. Dette gir et bilde av hvordan grafene til løsningsfunksjonene ser ut og kalles et retningsdiagram for differensialligningen. <p></p>
På engelsk er betegnelsen "slope field".<p></p> Utfra retningsdiagrammet får vi også et bilde av hvordan ulike integralkurver ser ut.

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel: Retningsdiagram'''
<p></p>
Gitt er ligningen $y' = 2$
<p></p>
Vi observerer at stigningstallet til $y(x)$ er $2$ for alle $x$. Løsningen på ligningen er en eller
annen rett linje med stigningstall $2$. Et retningsdiagram illustrerer dette:<p></p>
[[Bilde:Rettning1.png]]

<p></p>
Dersom man løser ligningen $y' = 2$
<p></p>
får man $y = 2x + C$, når man integrerer på begge sider.
<p></p>
Vi ser nå at retningsdiagrammet stemmer: $C$ skyver grafen opp eller ned i koordinatsystemet. Verken $x$ eller $y$ har noen betydning for grafens form. Diagrammet indikerer en løsning for $y = 2x + 1$

</div>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel: Retningsdiagram'''

Gitt er ligningen $y' = x + 1$

Man observerer at stigningstallet til $y(x)$ varierer med varierende $x$-verdi, og er $0$
for $x = -1$. Det gir følgende retningsdiagram: $\\$

[[Bilde:Rettning2.png]]

$\\$

Dersom man løser ligningen $y' = x + 1$ får man
<math> y = \frac 12x^2 + x + c </math> når man integrerer på begge sider.

Retningsdiagrammet indikerer at løsningen er en parabel med minimum i $x = -1$.

</div>

[[Bilde:Integralkurver1.png|right|thumb|Integralkurver for ligningen <math>f'(x)=0</math>]]

For å illustrere hva som menes med integralkurver går vi tilbake til den enkle differensialligningen <math>f'(x)=0</math> med løsning <math>f(x)=c</math>. Her ser vi at alle konstante funksjoner er løsninger siden vi ikke har spesifisert verdien av konstanten <math>c</math>. Med integralkurver menes simpelthen løsningskurver for forskjellige verdier av <math>c</math>. Mengden av integralkurver for denne diff.ligningen blir mengden av alle horisontale linjer.

== Eksempler ==

[[Bilde:Integralkurver2.png|right|thumb|Integralkurver for ligningen <math>f'(x)=f(x)</math>]]

Ser vi på differensialligningen <math>f'(x)=f(x)</math> er løsningen på formen <math>f(x)=ce^{x}</math>. Integralkurvene kan vi skissere i et koordinatsystem ved f.eks. å tegne kurvene <math>y=e^x</math> , <math>y=1.5e^x</math>, <math>y=2e^x</math>, <math>y=3e^x</math> osv. Legg merke til at de ulike integralkurvene aldri krysser hverandre.
<p></p>

== Retningsdiagram ==

Integralkurver gir viktig informasjon om differensiallikningen. Dersom man ikke har den generelle løsningen kan man allikevel få nyttig informasjon om integralkurvene ved å lage et såkalt retningsdiagram.

Å lage et retningsdiagram for hånd er en tidkrevende prosess, derfor lar vi en spesiell kalkulator gjøre jobben. Du finner den her:[http://www.math.rutgers.edu/~sontag/JODE/JOdeApplet.html]

[[Bilde:retning1.png|right|thumb|Retningsdiagram for <math>f'(x)= 0</math>]][[Bilde:retning2.png|right|thumb|Retningsdiagram for <math>f'(x)= -0,5</math>]]
[[Bilde:retning3.png|right|thumb|Retningsdiagram for <math>f'(x)= x-1</math>]]

----

En initialbetingelse(også kalt startbetingelse) for en differensialligning er en føring som pålegges løsningen i "startøyeblikket" og som bestemmer verdiene til alle ukjente konstanter som opptrer naturlig i løsningen.

== Initialverdiproblem ==

Et initialverdiproblem er en differensialligning med tilhørende initialbetingelser. Dersom $f(x)$ er den ukjente funksjonen i diff.ligningen vil typiske initialbetingelser være på formen <math>f(0)=\alpha</math> og <math>f'(0)=\beta</math> etc. for gitte konstanter.

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

'''Eksempel''' <p></p>

La oss se på initialverdiproblemet <math>f'(x)=f(x)</math> med initialbetingelsen <math>f(0)=10</math>. Løsningen av ligningen er <math>f(x)=ce^x</math>. Dersom denne skal passe med initialbetingelsen må <math>f(0)=ce^0=c=10</math>. Løsningen på initialverdiproblemet blir derfor <math>f(x)=10e^x</math>.
</blockquote>

== Svingninger ==
===Frie svingninger uten dempning===

:[[Bilde:kloss.png]]

En kloss ligger på et friksjonsfritt underlag. Klossen er festet til en fjær som er fastspent i veggen slik figuren viser. Likevektspunktet er $x_0$. Utslaget fra likevektspunktet kalles x(t).

Newtons andre lov sier at summen av kreftene som virker på klossen er lik masse multiplisert med akselerasjon.<p>
</p>
$\sum F = ma$

Hooks lov sier at:
$ F = kx $, k er fjærkonstanten. Siden kraften er proporsjonal med utslaget og virker hele tiden mot likevektspunktet, setter vi F = -kx<p></p>
Vi får:<p></p>
$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx $
som gir
$\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m}{x} = 0 $
Ved å innføre
$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$
får vi
$ \frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2x = 0 $
<p></p> som er identisk med<p></p>
$ x' ' + \omega^2x = 0 $<p></p>

Her finner du hvordan disse likningene løses:

[http://matematikk.net/side/Andre_ordens_differensiallikninger Andre ordens homogene]

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">

'''Eksempel 1:'''<p></p>
En kloss med masse 2,5 kg. ligger på en friksjonsfri overflate og er festet til en forankret fjær. Fjæren strekkes 0,5 meter med en kraft 1,25 Newton.

Klossen trekkes ut 0,3 meter mot høyre, fra likevektspunktet, der den slippes.
Beskriv bevegelsen.

'''Løsning:'''

Vi ser bort fra friksjonen og har harmoniske svingninger.

$ x' ' + \omega^2x = 0 $

$ r^2 +\omega ^2=0 $

$ r^2 = -\omega^2 $

$ r = \pm \sqrt {- \omega^2} $

$ r = \pm \omega i $

Det gir oss følgende generelle løsning:

$y(t)= C_1 sin \omega t + C_2 cos \omega t$

For å finne den spesielle løsningen må vi bruke de opplysningene vi har:

* Fjærkonstanten k: $k = \frac Fx = \frac{1,25N}{0,5m} = 2,5$ N/m
* Ved tiden t=0 er y = 0,3; y(0)= 0,3
* I ytterstillingene er farten null, dvs $y'(0)= 0$
* Ved likevekt er kraften, og derved akselerasjonen null: $y' ' (0) = 0$

* $\omega = \sqrt {\frac{2,5}{2,5}} = 1$

Vi har $y(t) = C_1 sin t + C_2 cos t$ og deriver og dobbeltderiverer for å kunne bruke initialbetingelsene til å finne den spesielle likningen.

$y'(t)= C_1cos t - C_2sin t $ $ y' '(t) = -C_1 sin t - C_2 cos t$

$y(0) = 0,3 S S y(0)=C_1sin(0) + C_2cos(0)$

$ C_2=0,3 $ $ y'(0)=0 $
$ 0= C_1cos(0) -C_2sin(0) $
$ C_1=0 $

Funksjonen blir da: $y(t) = 0,3 cos(t)$

DIGITALT:

[[Bilde:diff-eks2-digi.png]]
</div>

===Frie svingninger med dempning===

:[[Bilde:kloss2.png]]

En kloss ligger på et underlag med friksjon. Klossen er festet til en fjær som er fastspent i veggen slik figuren viser. Likevektspunktet er <math>x_0</math>. Utslaget fra likevektspunktet kalles x(t).
Man antar at friksjonen R er proporsjonal med farten v og virker mot bevegelsen. v er x' og R = rx'<p></p>
<math>m\frac{d^2x}{dt^2} = -rv - kx \Leftrightarrow m\frac{d^2x}{dt^2}+ r \frac{dx}{dt} + kx =0</math>
<p></p>

$ mx' ' + rx' + kx = 0 $ eller

$ x' ' + \frac rm x' + \frac km x =0 $

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">

'''Eksempel 2:'''

En kloss med masse 2,5 kg. ligger på en overflate og er festet til en forankret fjær. Fjærstivheten er 1,25 N/m.

Klossen trekkes ut 0,3 meter mot høyre, fra likevektspunktet, der den slippes. Friksjonstallet er 0,03.
Beskriv bevegelsen.

'''Løsning:'''

Vi har friksjonen og får dempede svingninger (bevegelsen vil ta slutt).

$ x' ' + \frac rm x' + \frac km x =0 $

'''DIGITALT'''

:[[Bilde:diff-eks3-1.PNG]]

:[[Bilde:diff-eks3-2.PNG]]
</div>

== Naturlig vekst ==
Dersom en størrelse x vokser med tiden, kan det skrives som
<math>\frac{dx}{dt} = kx </math><p></p>
der k er en konstant og x = x(t).<p></p>
Man får<p></p>
<math>\frac{dx}{x} = kdt \\
\int{\frac{dx}{x}} = \int{kdt} \\
ln|x| = kt +C \\
x=e^{kt}e^C = Ae^{kt}</math>
A er konstanten e<sup>C</sup> og man observerer at vet tiden t = 0 er A = x, dvs. A =x<sub>0</sub><p></p>
Altså:<p></p>
<math>x= x_0e^{kt}</math><p></p>

Dersom en størrelse avtar, for eksempel aktiviteten i et radioaktivt materiale, har man:
<math>\frac{dN}{dt} = -kN</math><p></p>
<math>N(t) = C e^{-kt}</math><p></p>
k er isotopavhengig ( dersom modellen representerer aktivitet i radioaktivt materiale).
<p></p>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel 3:'''

Et radioaktivt stoff har masse 5 kg. ved tiden t = 0 og minker med 2% per år.

*finn m(t)

Her har vi flere muligheter:

* Differensiallikning $m' = -km \\ m' + km = 0 \\ m \cdot e^{kt} = c \\ m = ce^{-kt} \\ initialbetingelser: \\ m= 5e^{-kt}$

* Med opplysningen om 2% reduksjon kunne man funnet funksjonen uten å gå veien om differensiallikningen:

$M = 5 \cdot 0,98^t = 5 \cdot (e^{\ln0,98})^t \\ M(t) = 5 \cdot e^{-0,0202t}$

k i den første løsningen er altså tilnærmet 0,0202.

Dersom vi ønsker en funksjon som inneholder halveringstiden eksplisitt:

$\frac 12 = ( \frac 12)^{\frac tT}$

Likningen stemmer når t og T er like store. t er tiden og T halveringstiden. Vi finner halveringstiden:

$ \frac 12 = e^{-0,0202t} \\t= \frac{ln 0,5}{-0,0202} = 34,3$

$m(t) = m_0 \cdot ( \frac12)^{\frac{t}{34,3}}$

:[[Bilde:radioaktiv-diff.png]]

Alle tre funksjonsuttrykkene gir den samme utviklingen, altså den samme grafen.

</div>

Dersom man har en populasjon kan modellen over være egnet til å beskrive veksten i startfasen, men ingen populasjoner vokser i det uendelige. En mer egnet modell kan da være den logistiske.

== Logistisk vekst ==
Man tenker at populasjonsveksten vil stagnere når antall individer nærmer seg det et område kan tåle. Det antall kalles bæreevnen og vil variere ut fra økosystemets forutsetninger. Man kaller bæreevnen for B
<p></p> Den relative vekstraten<p></p>

<math> \frac1N \frac{dN}{dt}</math> skal være lik en positiv konstant, multiplisert med forskjellen mellom bæreevne og antall. Man får:<p></p>

<math> \frac1N \frac{dN}{dt} = a(B-N) \Leftrightarrow \frac{dN}{dt} = aN(B-N)\\ \quad </math>

Delbrøkoppspalting gir:

$\frac{1}{N(B-N)} = \frac{a}{N} + \frac{b}{B - N} \Rightarrow \quad 1 = a(B - N) + bN \Rightarrow a = b = \frac 1B$

$N \neq 0 \wedge N \neq B$

$\int \frac{1}{N(B-N)} dN= \int a dt \Leftrightarrow \frac1B \int(\frac1N + \frac{1}{B-N})dN = \int a dt $

$\frac1B (ln|N|- ln|B-N|)= at + C_1 \Leftrightarrow ln|N| - ln|B-N| = aBt + C, \quad C = C_1B $

$ln|\frac{N}{B-N}|= aBt + C $

$\frac{N}{B-N} = Ke^{aBt}, \quad \quad K = \pm e^C
$

Ved tiden t = 0 er <math> N = N_0 </math><p></p>

Da er <math>K = \frac{N_0}{B- N_0} </math><p></p>
som gir<p></p>
<math>\frac{N}{B-N}= \frac{N_0e^{aBt}}{B-N_0} </math><p></p>

Ved noe regning får man<p></p>

<math>N(t) = \frac{BN_0}{N_0 +(B-N_0)e^{-aBt}} </math><p></p>

( Utregning: $ \quad \frac{N}{B-N}= \frac{N_0e^{aBt}}{B-N_0} \quad \Rightarrow \quad N = \frac{N_0e^{aBt}}{B-N_0} (B-N) \quad \Rightarrow \quad N = \frac{BN_0e^{aBt}}{B-N_0} - \frac{N \cdot N_0e^{aBt}}{B-N_0}$

$N (1+ \frac{N_0e^{aBt}}{B-N_0})= \frac{BN_0e^{aBt}}{B-N_0} \quad \Rightarrow \quad N = \frac{BN_0e^{aBt}}{(B-N_0) (1+ \frac{N_0e^{aBt}}{B-N_0} )}$

$N = \frac{BN_0e^{aBt}}{B+ \frac{BN_0e^{aBt}}{B-N_0} - N_0 - \frac{N_0 \cdot N_0e^{aBt}}{B-N_0} } \quad \Rightarrow \quad N = \frac{BN_0e^{aBt}(B- N_0)}{B(B-N_0)+ BN_0e^{aBt} - N_0 (B-N_0) - N_0 \cdot N_0e^{aBt}}$

$N = \frac{BN_0e^{aBt}(B- N_0)}{B(B-N_0) - N_0 (B-N_0)+ BN_0e^{aBt} - N_0 \cdot N_0e^{aBt}} \quad \Rightarrow \quad N = \frac{BN_0e^{aBt}(B- N_0)}{(B - N_0 )(B-N_0)+ (B - N_0) N_0e^{aBt}} $

$N = \frac{BN_0e^{aBt}}{(B-N_0)+ N_0e^{aBt}} \quad \Rightarrow \quad N = \frac{BN_0}{(B-N_0)e^{-aBt}+ N_0} $

og vi er i mål.)

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel 4:'''

</div>

== Newtons avkjølingslov ( og oppvarming) ==
Hvordan går det egentlig med et legeme med romtemperatur, når den slippes i kokende vann?<p></p>

T(t) - er objektets temperatur ved tiden t.<p></p>

T<sub>omg</sub> - er omgivelsenes temperatur.<p></p>
T(0) - er objektets temperatur ved tiden t = 0.<p></p>
Newtons avkjølingslov sier at temperaturendringen <math>\frac{dT}{dt} </math>
er proporsjonal med differansen mellom T(t) og T<sub>omg</sub>, dvs:<p></p>

<math>\frac{dT}{dt} = k(T(t) - T_{omg})</math><p></p>
k er en konstant som blant annet har med legemets varmeledningsevne og geometri å gjøre.<p></p>
Her har man to muligheter:<p></p>

=== Avkjøling ===

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">

Dersom objektet er varmere enn omgivelsene ved tiden t = 0 har man en <b>avkjølingssituasjon.</b> Da er
<math>\frac{dT}{dt} </math> negativ. Det gir:

$ T(t) - T_{omg} > 0 $ <p></p>
</div>

=== Oppvarming ===

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">

Dersom objektet er kaldere enn omgivelsene ved tiden t = 0 har man en <b>oppvarmingssituasjon.</b> Da er
<math>\frac{dT}{dt} </math> positiv. Det gir:

<math>T(t) - T_{omg} < 0 </math><p></p></div>

===Det gir Newtons lov for avkjøling:===

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">

<math>\frac{dT}{dt} = -k(T(t) - T_{omg})</math> <p></p>

</div>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">

'''Eksempel 5:''' <p></p>
En smed skal bearbeide et stykke metall. Når det tas ut av ovnen er det 500°C.
Metallet lar seg bearbeide til det er 150°C.
Under denne temperatur er det vanskelig å forme. Smeden har fra tidligere erfaringer
funnet ut at metallet avkjøles med 200 grader de første 10 minuttene.
I rommet der arbeidet foregår er det 30°C.
Hvor lang tid har smeden på bearbeidingsprosessen?<p></p>
<b>Løsning:</b><p></p>
Newtons lov for avkjøling sier:<p></p>
$ \frac{dT}{dt} = -k(T(t) - T_{omg}) $ <p></p>
I dette tilfellet gir det:

$\frac{dT}{dt} = -k(T(t) - 30)\\ \frac{dT}{dt} = k(30 - T(t))\\ \int ( \frac {1}{30 - T(t)})dT = \int(k)dt\\ - ln |30 - T(t)| = kt + C \\
30 - T(t) = e^{-(kt + C)}$

<p></p>
$ 30 - T(t) = C_2e^{-kt } \\ \hspace{50 mm} der \hspace{5 mm}C_2 \hspace{5 mm}er\hspace{5 mm} e^C \\
T(t) = 30 - C_2e^{-kt } \hspace{50 mm} $

<p></p>

Man har oppgitt:<p></p>

$
T(0) = 500C \\
30 - 500 = C_2 \\
C_2 = -470 \\
T(t) = 30 + 470 e^{-kt} \\ $
Hva er k?<p></p>
k er en konstant som bestemmes av objektets form og materialegenskaper,
samt omgivelsenes tetthet / varmeledningsegenskaper mm.<p></p>
For å finne k må man benytte seg av smedens erfaringer og kunnskaper:
<p></p>

<math>T(10) = 300C \\
300 = 30 +470 e^{-10k} \\
ln( \frac {270}{470}) = -10k \\
k = 0,0554 </math>
Det gir funksjonen for avkjøling:<p></p>
<math>
T(t) = 30 +470 e^{-0,0554t}</math><p></p>
Hvor lang tid har så smeden før arbeidsstykket hans går under 150?<p></p>
<math>150 = 30 + 470 e^{-0,0554t}</math><p></p>

$t \approx 24, 6 min $<p></p>
Temperaturforløpet ser slik ut:<p></p>
:[[Bilde:diff-log-temp.PNG]]
</div>

== Konsentrasjon i væsker ==

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">

'''Eksempel 6:'''

En tank inneholder 1000 liter saltvann, med 15 kg oppløst salt. Rent vann fylles på tanken med en fart på 10 liter / minutt. Blandingen røres hele tiden godt. Samtidig tappes tanken med 10 liter / minutt. Hvor mye salt er det i tanken etter t minutter?

Vi har følgende:

A(t) = saltmengde ved tiden t

Endring av saltmengde $ \frac{dA}{dt}$ = salt inn – salt ut

$\frac{dA}{dt}$ = (konsentrasjon inn $ \frac {g}{L}) \cdot $ (væskestrøm inn $\frac{L}{min}$) - (konsentrasjon ut $ \frac {g}{L}) \cdot $ (væskestrøm ut $\frac {L}{min}$)

$\frac {dA}{dt} = 0 - \frac {A}{1000} \cdot 10 = - \frac{A}{100}$

$\frac {dA}{dt} = - \frac{A}{100} \\ \int \frac 1A dA = \int - \frac{1}{100} dt \\ ln |A| = - \frac {1}{100} t + C \\ e^{ ln |A|} = e^{- \frac {1}{100} t + C} \\ |A| = e^C \cdot e^{- \frac {1}{100} t }$

Initialbetingelser: A(0) = 15 gir:

$A(t) = 15 e^{- \frac {1}{100} t }$

:[[Bilde:kunnskap-diff-blandin_1.PNG]]
</div>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">

'''Eksempel 7:'''

I en vanntank som rommer 1000 liter er det 500 liter ferskvann. Det tilsettes 3 liter per minutt av en vannløsning som inneholder 4 gram salt per liter. Samtidig som det blandes godt, tappes det ut 2 liter per minutt i bunnen av tanken. Finn saltmengden i tanket x(t) ved tiden t.

Vi har:

Saltmengden i tank ved tiden t: x(t)

Salt inn: 4 g / L $\cdot $ 3 L / min = 12 g/ min

Salt ut: $\frac{x(t)}{V(t)} \cdot $ (- 2) L / min

Endring i væskevolum: $\frac{dV}{dt} = 3 - 2 = 1 \\ \int dV = \int 1 dt \\ V(t) = t+C$.

Ved tiden t = 0 var det 500 liter i tanken, så:

V(t) = t + 500.

Det betyr at det tar 500 minutter før tanken er full.

Endring i saltmengde: $\frac{dx}{dt} = 12- 2 \cdot \frac{x(t)}{V(t)} \\ \frac{dx}{dt} = 12- 2 \cdot \frac{x(t)}{t+500} \\ $

Så løser vi likningen:

$x' + \frac{2x}{t+500} = 12 $

Finner integrerende faktor:

$e^{\int \frac {2}{t+ 500}} = e^{2 ln|t + 500|} =e^{ln(t + 500)^2} = (t + 500)^2 $

Multipliserer så alle ledd med integrerende faktor:

$x' \cdot (t + 500)^2 + \frac{2x}{t+500} \cdot (t + 500)^2 = 12 \cdot (t + 500)^2 \\ \int (x \cdot(t +500)^2)' dt = \int12 \cdot (t + 500)^2 dt$

Setter u = t + 500 på høyreside og får du = dt og integrerer.

$x( t+ 500)^2 = \frac {12}{3} (t+ 500)^3 + C \\ x = 4 (t + 500) + \frac {C}{(t + 500)^2}$

For å finne C bruker vi opplysningen om at ved tiden t = 0 var x(0) =0, altså bare ferskvann.

$ x(0)=0 \\ 0= 2000 + \frac {C}{500^2} \\ c= - 2000 \cdot 250000 \\ C = - 500000000$

Det gir oss likningen for vårt spesielle tilfelle:

$x(t)= 4t+ 2000 - \frac {500000000}{(t+500)^2}$
:[[Bilde:diff-blanding-tank2.PNG]]

</div>

<p></p>

[[R2 Hovedside|Tilbake til R2 Hovedside]]

[[Kategori:Algebra]]
[[Kategori:R2]]
[[Kategori:Ped]]

[[Kategori:Algebra]]
[[Kategori:R2]]
[[Kategori:Ped]]