Matematikk.net - Brukerbidrag [nb]

Regnskap

2013-04-20T14:59:05Z

Emomilol:

Regnskapet er "fasit" på budsjettet. Det forteller om noe som har skjedd og ineholder derfor ingen usikkerhet som budsjettet. Alle tall i budsjettet skal ha et bilag, et "bevis" på beløpet, en kvitering.

<table border="1" cellpadding="5">

<tr>
<td> FORMÅL </td><td> BUDSJETT </td><td> FAKTISK BRUKKT</td><td>Kommentar</td>
</tr>
<tr>
<td> Oppgradering båt før avreise </td>
<td> 15.500 kr.</td><td> 14.800 kr.</td>

</tr>
<tr>
<td> Mat overfart </td>
<td> 1500 kr. </td><td> 1270 kr </td>

</tr>
<tr>
<td> Mat Skagen </td>
<td> 4000 kr. </td><td> 5230 kr</td>

</tr>
<tr>
<td> Drivsoff båt </td>
<td> 300 kr.</td><td> 120 kr</td>

</tr>
<tr>
<td> Aktiviteter Skagen </td>
<td> 3600 kr. </td><td> 3450 kr</td>

</tr>
<tr>
<td> Lommepenger </td>
<td> 3600 kr. </td><td> 4500 kr</td>

</tr>
<tr>
<td> Havneavgift Skagen </td>
<td> 1540 kr. </td><td> 1540 kr</td>

</tr>
<tr>
<td> '''SUM''' </td>
<td> 30.040 kr. </td><td> '''30.910 kr.''' </td>

</tr>

</table>

Vi observer at det vare store overskridelser på "Mat skagen" og på "lommepenger". Desto bedre ting er undersøkt og definert på forhånd, desto mindre er sjansen for at budsjettet sprekker. Det kan godt være at tallene i budsjettet burde vært høyere, poenget er at det må man finne ut før man sitter med regnskapet for da er pengene brukt.

La oss håpe de hadde en fin tur.

----

[[Ungdomstrinn Hovedside | Tilbake til Ungdomstrinn Hovedside]]
[[Hovedside| Tilbake til hovedside]]

Introduksjon til differensiallikninger

2013-04-10T13:57:49Z

Emomilol:

== Innledning ==
En differensialligning vil typisk beskrive en forandring av en variabel i tid og/eller rom. Den skiller seg fra "vanlige" ligninger ved at løsningene er funksjoner, ikke bestemte verdier. Teorien for differensialligninger er fundamental for forståelsen av dynamikken i naturen og danner grunnlaget for blant annet klassisk mekanikk og kvantemekanikk. Vi deler diff.ligningene inn i partielle og ordinære ligninger, der matematikken i videregående skole kun fokuserer på ordinære ligninger, ofte kalt ODE (Ordinary Differential Equations). Dvs. at løsningsfunksjonen kun har én variabel, som oftest kalt t (for tid) eller x (for rom). Det er vilkårlig hvilken notasjon vi bruker så lenge vi er bevisst på hva som er den ukjente funksjonen og hva som er variabelen.

På ungdomstrinnet og på videregående grunnkurs arbeidet man med ligninger der den ukjente var et tall, ofte kalt x.


I differensialligninger er den ukjente en funksjon y. En differensialligning gir sammenhengen mellom en ukjent funksjon og noen av dens deriverte.


I avsnittet skriver vi <math>y^\prime</math> og <math> \frac{dy}{dx}</math> om hverandre.


Man bør være fortrolig med ligninger, funksjonslære, integrasjon og derivasjon før man gir seg i kast med differensialligninger.


Ligningene er viktige i fysikk og andre fag, der de kan brukes til å modellere forskjellige situasjoner.



Formelt vil en ordinær diff.ligning være på formen <math>g(x,f,f^\prime ,f^{\prime \prime},\ldots , f^{(n)})=0</math> der <math>g</math> er en gitt funksjon. <math>n</math> kalles ligningens ''orden'' og <math>f^{(n)}</math> er den n-te deriverte. <math>f</math> er her den ukjente funksjonen som vi ønsker å finne, og <math>x</math> er variabelen som vi deriverer med hensyn på, dvs. <math>f^\prime \equiv \frac{df}{dx}</math>, <math>f^{\prime \prime} \equiv \frac{d^2f}{dx^2}</math>, etc.

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

'''Eksempel'''

:En enkel ordinær differensialligning av første orden er <math>f^{\prime}(x)=0</math>. Løsningen finnes direkte ved integrasjon; vi får at <math>f(x)=c</math> for en konstant <math>c</math>.
</blockquote>

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

'''Eksempel'''

:En enkel andreordens ordinær differensialligning er <math>m\ddot{x}(t)=10</math>. Dette er Newtons andre lov med konstant kraft (10 Newton) der <math>x(t)</math> er posisionen ved tida <math>t</math>. De to prikkene over <math>x</math> betyr at vi dobbeltderiverer <math>x</math> med hensyn på tiden.
</blockquote>

== Førsteordens lineære ligninger ==

Lineære differensialligninger av første orden:

(1) y’ + ay = b

At en likning er av første orden betyr at den inneholder den førstederiverte, <math>y^\prime</math>, men ikke deriverte av høyere orden.

Dersom ligningen er homogen er b = 0:

(2) y’ + ay = 0

For å løse ligninger av denne type benytter man produktregelen for derivasjon ”baklengs”. I den sammen heng er multiplikasjon med <math>e^{ax}</math> en del av løsningsalgoritmen (a den samme som i (1) eller (2). <math>e^{ax}</math> kalles en integrerende faktor.

Derivasjon: u’v + v’u = (uv)’

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

'''Eks. 1''' 
Homogen første ordens lineære ligning:
 y’ +2y = 0 (multipliserer begge sider med e 2x) 

 y’e2x + 2ye2x = 0 

 y’e2x + y(2e2x) = 0 

 (ye2x)’ = 0 

 ye2x = C 

 y = Ce-2x 
For å finne ut hva C er trenger man en opplysning til, i tillegg til ligningen. Det behandles i avsnittet om Initialverdiproblemer.

</blockquote>

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

'''Eks. 2''' 
Innhomogen førsteordens lineær ligning: 

Ligninger av typen 
y' + ay = b Eksempelvis:
y' + 4y = 6 
<math>y'e^{4x} + 4e^{4x}y = 6e^{4x}\\
(ye^{4x})' = 6e^{4x} \\
ye^{4x} = \int{6e^{4x}dx} \\
ye^{4x} = \frac32e^{4x} + C \\
y = \frac32 + Ce^{-4x}</math>

</blockquote>

== Separable ligninger ==
Separable ligner er ligninger på formen:
<math>\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)</math>
Ligningen løses ved å multiplisere med dx på begge sider av likhetstegnet, for så i integrere:
<math>\frac{dy}{h(y)} = g(x)dx \\
Setter \frac{1}{h(y)} = f(x)</math>
og får:

<math>\int f(y)dy = \int g(x)dx \\
F(y) = G(x) + C </math>
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eksempel 4''' 

Løs ligningen: 
<math> \frac{dy}{dx} =-4xy \\
\frac{dy}{y} =-4xdx \\
\int{\frac{dy}{y}} =\int{-4xdx} \\
ln|y| = -2x^2 + C \\
y = e^{-2x^2 + C} \\
y = e^C \cdot e^{-2x^2} </math>

</blockquote>

== Homogene lineære andreordens differensialligninger med konstante koeffisienter. ==

Vi har likningen

<math>A(x)y^{''} + B(x)y' + C(x)y = D(x)</math>

En ligning er homogen når D(x) = 0. Det gir oss

<math>A(x)y^{''} + B(x)y' + C(x)y = 0</math>

Konstante koeffisienter betyr at A(x), B(x) og C(x) ikke er variabler men konstanter. Vi skriver ligningen på formen:

<math>y^{''} + by' + cy = 0</math>

En eventuell konstant foran den dobbelderiverte fjernes med divisjon.

Andreordens betyr at den dobbelderiverte opptrer i ligningen. I en tredjeorden ligning vil den tredjederiverte opptre.

Lineær betyr at produkter eller potenser av y og dens deriverte ikke eksisterer i ligningen.
( y'' = yy' er således et eksempel på en ikkelineær ligning.)




(1) y'' + by' + cy = 0

Ligningen

r2 + br + c = 0 

kalles den karakteristiske ligningen til differensialligningen i (1).</div>

Dette gir tre mulige løsninger:

<ul class="style1">
<li> To reelle røtter </li>
<li> En reel rot </li>
<li> To komplekse røtter </li>
</ul>

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">

Dersom ligningen har to reelle røtter gir det generell løsning
<math>y(x) = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}</math>
</blockquote>
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

'''Eks. 5:''' 
<math> y^{,,} + y^{,} = 2y \\
y^{,,} + y^{,} - 2y = 0 \\
r^2 + r - 2 = 0 \\
r = 1 \wedge r = 2 \\
y(x) = C_1e^x + C_2e^{2x}</math>

</blockquote>

[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=A1D%2BA1E%2BA1F%2BA20%2BA21%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">

Dersom ligningen har en reel rot blir løsningen på formen
<math>y(x) = C_1e^{rx} + C_2xe^{rx}</math></blockquote>
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

'''Eks. 6:'''<math>4y^{,,} + 8y^{,} + 4y =0 \\r^2 + 2r + 1 = 0 \\r = -1\\y(x) = C_1e^{-x} + C_2xe^{-x}</math>
</blockquote>

[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=A22%2BA23%2BA24%2BA25%2BA26%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">

Dersom ligningen har to koplekse røtter,<math>r_1 = a + ib og r_2 = a - ib</math> blir løsningen
<math>y(x) = e^{ax}(C_1 cos(bx) + C_2 sin (bx))</math></blockquote>

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eks. 7:''' 

<math>y^{,,}-y^, + y = 0 \\
r^2 - r + 1= 0 \\
r_1 = \frac12 + \frac32i
r_2 = \frac12 - \frac32i')\\
y(x) = e^{\frac12x}(C_1 cos(\frac32x) + C_2 sin (\frac32x))</math>
</blockquote>

[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=A2A%2BA2B%2BA2C%2BA2D%2BA2E%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]

== Initialverdiproblemer ==

I eksemplene over (og senere) ser man at den generelle løsningen inneholder en eller to
konstanter C1 og C2. Disse kan i utgangspunktet være et hvilket som helst reelt tall.
For å finne den spesielle løsningen til en ligning trenger man en eller flere tileggsopplysninger.


Når en differensialligning er gitt med initialbetingelser kalles det for et initialverdiproblem.


Initialbetingelsen(e) kan være knyttet til situasjonen ved tiden t = 0, altså når en prosess starter,
eller den kan gis i form av en funksjonsverdi for en annen argumentverdi.

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

'''Eks 8:'''

Finn den spesielle løsningen til initialverdiproblemet:
<math>\frac{dy}{dx} = 3x + 2 \hspace{50 mm} y (1)= 3 \\
dy = (3x + 2)dx \\
y(x) = \int (3x + 2)dx \\
y(x) = \frac 32x^2 + 2x + c </math>

Dette er den generelle løsningen.
For å finne den spesielle løsningen benytter vi opplysningen
y(1) = 3.
<math>y(1) = \frac 32 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 + c = 3 \\
C = - \frac 12 </math>

Den spesielle løsningen blir:

<math>y(x) = \frac 32 \cdot x^2 + 2 x - \frac 12 </math>
</blockquote>

== Retningsdiagram ==
Førsteorden ligninger kan skrives som y'(x) = F(x,y) der x er den variable og y er den ukjente
funksjonen. Dette gir stigningstallet til tangen i punktet (x,y). Dette gir et bilde av hvordan grafene til løsningsfunksjonene ser ut og kalles et retningsdiagram for differensialligningen. 
På engelske er betegnelsen "slope field".
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eks 9:'''

Gitt er ligningen y' = 2

Man observerer at stigningstallet til y(x) er 2 for alle x. Løsningen på ligningen er en eller
annen rett linje med stigningstall 2. Et retningsdiagram illustrerer dette:
[[Bilde:Rettning1.png]]


Dersom man løser ligningen y' = 2

Får man y = 2x + C, når man integrerer på begge sider.

Man ser nå at retningsdiagrammet stemmer, C skyver grafen opp eller ned i koordinatsystemet. Verken x eller y har noen betydning for grafens form. Diagrammet indikerer en løsning for
y = 2x + 1


</blockquote>
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eks 10'''

Gitt er ligningen y' = x + 1

Man observerer at stigningstallet til y(x) varierer med varierende x verdi, og er null
for x = -1. Det gir følgende retningsdiagram:

[[Bilde:Rettning2.png]]

Dersom man løser ligningen y' = x + 1

Får man
<math> y = \frac 12x^2 + x + c </math>
når man integrerer på begge sider.
Retningsdiagrammet indikerer at løsningen er en parabel med minimum i x = -1

</blockquote>

----
[[R2 Hovedside|Tilbake til R2 Hovedside]]

[[Kategori:Algebra]]
[[Kategori:R2]]
[[Kategori:Ped]]

Andregradslikninger

2013-04-10T13:47:44Z

Emomilol: /* Ufullstendig likning */

== Innledning ==
Fra siden om [[potenser]] vet vi at <math> x \cdot x = x^2</math>. Sagt med ord sier vi at "x multiplisert med seg selv er lik x i andre". Andregradsligninger inneholder alltid et ledd hvor <math> x^2</math> er en faktor.
 

En annengradslikning er en likning på formen <math>ax^2 + bx + c = 0</math>, der a, b og c er konstanter og <math>a \neq 0</math>. Konstantene til en annengradslikning kalles koeffisienter.
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">

En fullstendig andregradslikning skrives på formen
<math> ax^2 + bx + c = 0</math> 
* <math> ax^2 </math> kalles andregradsleddet 
* <math> bx </math> kalles førstegradsleddet 
* <math> c </math> kalles konstantleddet
</blockquote>

== Ufullstendig likning ==

Dersom a = 0 har vi en vanlig ligning som løses med metoden beskrevet i likninger med [[en ukjent]].

 

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">

 
Dersom b = 0 ser likningen slik ut: 

<math> ax^2 + c = 0 </math> Denne løses med "bytt og flytt", for så å ta kvadratrot. 
<math> x = \pm \sqrt {- \frac {c}{a}} </math> 
Legg merke til at <math>a</math> eller <math>c</math> (men ikke begge!) må være negativ for at denne likningen skal ha en løsning. Ellers tar vi kvadratroten av et negativt tall.
</blockquote>
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

 '''Eksempel''' 
<math> 4x^2 - 8 = 0 </math> 
<math> x = \pm \sqrt { \frac {8}{4}} </math> 
<math> x = \sqrt {2}\qquad \vee \qquad x = - \sqrt {2} </math>
</blockquote>

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">

 
Dersom c = 0 har vi følgende formel: 

<math> ax^2 + bx = 0 </math> 
<math> x (ax + b) = 0 </math> 
<math> x = 0 \qquad \vee \qquad ax + b = 0 </math> 
<math> x = 0 \qquad \vee \qquad x = - \frac ba </math>
</blockquote>

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

 
'''Eksempel:''' 

<math> -3x^2 + 6x = 0 </math> 
<math> x (-3x + 6) = 0 </math> 
<math> x = 0 \qquad \vee \qquad -3x + 6 = 0 </math> 
<math> x = 0 \qquad \vee \qquad x = 2</math>
</blockquote>

Dette er spesialtilfeller av andregradslikninger fordi én av koeffisientene er lik null, slik at de mangler et ledd.

== ABC formelen ==
En andregradslikning på formen <math> ax^2 + bx + c =0 </math> kan alltid løses ved hjelp av ABC - formelen, som ser slik ut:
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
<math> x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> 
Dersom <math> \sqrt{b^2-4ac} </math> er positiv vil likningen alltid ha to løsninger.
</blockquote>
a, b og c er koefisienten i andregradsuttrykket. Legg merke til at dersom <math>b^2 - 4ac </math> er mindre enn null får man et negativt tall under rottegnet. Man sier da at ligningen ikke har noen løsning. (I høyere kurs har den det, [[komplekse løsninger]]). 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> 
'''Eksempel 1''' 
Vi har likningen: 
<math> 3x^2 + 2x - 1 =0</math>
 a = 3 , b = 2 og c = -1 
Ved å bruke abc-formelen får man: 
<math> x= \frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3}</math> 
<math> x= \frac{-2 \pm \sqrt{4+12}}{6}</math> 
<math> x= \frac{-2 \pm 4}{6} </math> 

<math> x= \frac{-2 + 4}{6} \qquad \vee \qquad x= \frac{-2 - 4}{6} </math> 
<math> x= - \frac{1}{3} \qquad \vee \qquad x = - 1 </math>
</blockquote>

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> 
'''Eksempel 2''' 
Vi har likningen: 
<math> -x^2 + 4x - 4 =0</math>
 a = -1 , b = 4 og c = -4 
Ved å bruke abc-formelen får man: 
<math> x= \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4 \cdot (-1) \cdot (-4)}}{2 \cdot (-1)}</math> 
<math> x= \frac{-4 \pm \sqrt{16-16}}{-2}</math> 
<math> x = 2 </math>
 
Med null under rottegnet får man kun en løsning.
</blockquote>

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> 
'''Eksempel 3''' 
Vi har likningen: 
<math> 3x^2 + 2x + 2 =0</math>
 a = 1 , b = -2 og c = 2 
Ved å bruke abc-formelen får man: 
<math> x= \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}</math> 
<math> x= \frac{2 \pm \sqrt{4-8}}{2}</math> 
<math> x= \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2}</math> 

Her ser man et man får et negativt tall under rottegnet. Da er det på tide å stoppe opp og konkludere med at ligningen ikke har løsning (enda).
</blockquote>
Hvorfor har noen likninger to løsninger, noen en og andre ingen? 

[[Bilde:2likn.PNG]] 
Dersom grafen til andregradspolynomet krysser x aksen har likningen to løsninger, g(x).Dersom grafen tangerer x-aksen har likningen en løsning, h(x). Dersom grafen til polynomet ikke krysser eller tangerer x-aksen, f(x), har likningen ingen løsning. 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> 
'''Eksempel 4''' 
Vi har likningen: 
<math> 4x^2 - 1 =0</math>
 a = 4 , b = 0 og c = -1 
Ved å bruke abc-formelen får man: 
<math> x= \frac{ \pm \sqrt{-4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4}</math> 
<math> x= \frac{ \pm \sqrt{16}}{8}</math> 
<math> x=\pm \frac{ 4}{8} </math> 

<math> x= \frac{1}{2} \qquad \vee \qquad x= - \frac{1}{2} </math> 
Her mangler b leddet og det er ikke nødvendig å bruke abc formelen slik vi har gjort her, men den virker. Det enkleste i dette eksempelet er å bruke "bytt og flytt" og så ta kvadratroten, som vist over.
</blockquote>
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> 
'''Eksempel 5''' 
Vi har likningen: 
<math> -3x^2 + 6x = 0 =0</math>
 a = -3 , b = 6 og c = 0 
Ved å bruke abc-formelen får man: 
<math> x= \frac{-6 \pm \sqrt{6^2}}{-6}</math> 
<math> x= \frac{-6 \pm 6}{-6}</math> 
<math> x= 2 \qquad \vee \qquad x= 0 </math> 
Man ser at abc-formelen virker her også, men siden c leddet mangler ville det være mer fornuftig å faktorisere ut x og løse likningene som vist over.
</blockquote>

For de som lurer på hvor abc-formelen kommer fra har man følgende bevis: 

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Bevis for ABC formelen:''' 

<math>ax^2 + bx + c = 0 </math> 
<math> x^2 + \frac bax + \frac ca = 0</math> 
<math> x^2 + \frac bax = - \frac ca</math> 
<math> x^2 + 2\frac {b}{2a}x = - \frac ca</math> 

<math> x^2 + 2\frac {b}{2a}x + (\frac {b}{2a})^2 = - \frac ca + (\frac {b}{2a})^2 </math> 
<math> (x +\frac {b}{2a})^2 = - \frac ca + \frac {b^2}{4a^2} </math> 
<math> (x +\frac {b}{2a})^2 = - \frac {4ac}{4a a} + \frac {b^2}{4a^2} </math> 
<math> (x +\frac {b}{2a})^2 = \frac {-4ac+b^2}{4a^2} </math> 
<math> (x +\frac {b}{2a}) = \sqrt{\frac {b^2 -4ac}{4a^2}} \qquad \vee \qquad (x +\frac {b}{2a}) = - \sqrt{\frac {b^2 -4ac}{4a^2}}</math> 
<math> x = -\frac {b}{2a} + {\frac {\sqrt {b^2 -4ac}}{2a}} \qquad \vee \qquad x = - \frac {b}{2a} -{\frac {\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}}</math> 
<math> x = \frac {-b + \sqrt {b^2 -4ac}{2a}} \qquad \qquad \vee \qquad x = \frac {-b - \sqrt {b^2 -4ac}}{2a}</math> 
<math> x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>

</blockquote>

== Fullstendig kvadrat ==

Man kan bygge opp et fullstendig kvadrat ved å ''halvere, kvadrere, addere.....''
 
For å kunne bruke teknikken må du kunne [[kvadratsetningene]] godt. 
Her er hvordan det gjøres:

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> 
'''Eksempel ''' 
Vi har likningen: 
<math> 2x^2 - 3x +1 =0</math> 

<math> x^2 - \frac 32 x + \frac 12 =0</math> 
<math> x^2 - \frac 32 x = - \frac 12</math> 
<math> x^2 - \frac 32 x = - \frac 12</math> 
<math> x^2 - \frac 32 x + ( \frac 34)^2 = - \frac 12 + ( \frac 34)^2</math> 
<math> (x - \frac 34)^2 = \frac {1}{16}</math> 

<math> x - \frac 34 = \sqrt{ \frac {1}{16}}\qquad \vee \qquad x - \frac 34 = -\sqrt{ \frac {1}{16}}</math> 
<math> x = 1\qquad \vee \qquad x = \frac {1}{2}</math> 
Dersom du sliter med algebra bør du kanskje holde deg til abc-formelen, men dersom du har oversikt og har ambisjoner om femmere og seksere er metoden med fullstendig kvadrat noe du bør beherske.

</blockquote>

== Andregradsligninger på produktform ==

Man kan ha andregradsligninger på formen:

$(x + 1)(x – 2) = 0$

Du ser at dette er en andregradsligning om du multiplisere ut parentesene:

$(x + 1)(x – 2) = x2 -2x +x – 2 = x2 – x – 2 $

Man kan multiplisere ut faktorene som vist over og bruke abc – formelen, men det finnes en mye enklere måte å løse ligningen på:

Dersom produktet av to faktorer skal bli null, må en av faktorene være null.

$mn = 0$ medfører at $m$ eller $n$ må være lik null, om utsagnet skal være riktig.

I eksemplet

$(x + 1)(x – 2) = 0$

betyr det at $x+1 = 0$ , eller at $x – 2 = 0$

Det gir løsningene $x = -1$ V $x = 2$

Problemet er redusert til løsninger av to enkle førstegradsligninger.

== Faktorisering av andregradsuttrykk ==

<math>ax^2 + bx + c</math> er et generelt andregradsuttrykk. Ofte har man behov for å faktorisere uttrykket for å kunne forkorte og forenkle.

Man har følgende formel for faktorisering av andregradsuttrykk:

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
<math> ax^2 + bx + c = a( x-x_1)(x-x_2) </math> 
Der <math> x_1 </math> og <math> x_2 </math> er løsninger av <math>ax^2 + bx + c = 0</math>
</blockquote>

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

'''Eksempel :''' 
Faktoriser <math> 6x^2-4x-2</math> 

Løser først <math> 6x^2-4x-2=0</math> og får (abc – formelen) 
<math> x_1 = 1 \qquad \vee \qquad x_2 = - \frac13</math> 

Bruker så formelen over og får: 
<math> 6x^2-4x-2= a( x-x_1)(x-x_2) = 6(x-1)(x + \frac 13) </math> 

Dette er spesielt nyttig (helt nødvendig) når man skal forkorte brøker som inneholder andregradspolynomer.
</blockquote>

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

'''Eksempel :''' 

Sriv enklest mulig: 

<math> \frac{6x^2-4x-2}{x + \frac13}</math> 
Faktorisere og får: 
<math> \frac{6(x-1)(x + \frac 13)}{x + \frac13} = 6(x-1)</math> 

</blockquote>

== Sum og produkt av røtter ==

Man har følgende sammenhenger mellom sum og produkt av røtter (løsninger):

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">

En fullstendig andregradslikning skrives på formen
<math> ax^2 + bx + c = 0</math> 
<math> x_1 +x_2 =- \frac ba </math> og <math> x_1 \cdot x_2 = \frac ca </math> 
der <math>x_1</math> og <math>x_2</math> er røtter (løsninger) i ligningen.
</blockquote> 

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

'''Eksempel''' 
Vi ønsker å finne et andregradsutryk som har røttene x = -2 og x = 1.Utover det har vi ingen andre krav.

 
Vi får: 
<math> x_1 +x_2 =- \frac ba </math> 
<math> -2 + 1 =- \frac ba </math> 
<math> a = b </math> 
Siden vi ikke har krav til koefisientene kan vi jo velge a = 1. Da får vi: 
<math> a = 1 </math> 
<math> b = 1 </math> 

og <math> -2 \cdot 1 = \frac ca </math> 
<math> c = - 2 </math> 
Vi får da likningen 
<math> x^2 + x - 2 = 0</math> 
Ved å bruke abc-formelen ser man at dette er en (av mange) likninger som har løsning for x =1 og for x = -2. 
Dersom man anvender disse formlene og finner en ligning må man sjekke at den virkelig har løsninger.

</blockquote>

----

[[1T Hovedside|Tilbake til 1T Hovedside]]
[[Hovedside]]
[[Category:Algebra]][[Category:Ped]][[Category:1T]]

Andregradslikninger

2013-04-10T13:37:38Z

Emomilol:

== Innledning ==
Fra siden om [[potenser]] vet vi at <math> x \cdot x = x^2</math>. Sagt med ord sier vi at "x multiplisert med seg selv er lik x i andre". Andregradsligninger inneholder alltid et ledd hvor <math> x^2</math> er en faktor.
 

En annengradslikning er en likning på formen <math>ax^2 + bx + c = 0</math>, der a, b og c er konstanter og <math>a \neq 0</math>. Konstantene til en annengradslikning kalles koeffisienter.
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">

En fullstendig andregradslikning skrives på formen
<math> ax^2 + bx + c = 0</math> 
* <math> ax^2 </math> kalles andregradsleddet 
* <math> bx </math> kalles førstegradsleddet 
* <math> c </math> kalles konstantleddet
</blockquote>

== Ufullstendig likning ==

Dersom a = 0 har vi en vanlig ligning som løses med metoden beskrevet i likninger med [[en ukjent]].

 

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">

 
Dersom b = 0 ser likningen slik ut: 

<math> ax^2 + c = 0 </math> Denne løses med "bytt og flytt", for så å ta kvadratrot. 
<math> x = \pm \ sqrt {- \frac {c}{a}} </math>
</blockquote>
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

 '''Eksempel''' 
<math> 4x^2 - 8 = 0 </math> 
<math> x = \pm \ sqrt { \frac {8}{4}} </math> 
<math> x = \ sqrt {2}\qquad \vee \qquad x = - \ sqrt {2} </math>
</blockquote>

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">

 
Dersom c = 0 har vi følgende formel: 

<math> ax^2 + bx = 0 </math> 
<math> x (ax + b) = 0 </math> 
<math> x = 0 \qquad \vee \qquad ax + b = 0 </math> 
<math> x = 0 \qquad \vee \qquad x = - \frac ba </math>
</blockquote>

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

 
'''Eksempel:''' 

<math> -3x^2 + 6x = 0 </math> 
<math> x (-3x + 6) = 0 </math> 
<math> x = 0 \qquad \vee \qquad -3x + 6 = 0 </math> 
<math> x = 0 \qquad \vee \qquad x = 2</math>
</blockquote>

Dette er spesialtillfeller av andregradslikninger fordi de mangler et ledd.

== ABC formelen ==
En andregradslikning på formen <math> ax^2 + bx + c =0 </math> kan alltid løses ved hjelp av ABC - formelen, som ser slik ut:
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
<math> x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> 
Dersom <math> \sqrt{b^2-4ac} </math> er positiv vil likningen alltid ha to løsninger.
</blockquote>
a, b og c er koefisienten i andregradsuttrykket. Legg merke til at dersom <math>b^2 - 4ac </math> er mindre enn null får man et negativt tall under rottegnet. Man sier da at ligningen ikke har noen løsning. (I høyere kurs har den det, [[komplekse løsninger]]). 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> 
'''Eksempel 1''' 
Vi har likningen: 
<math> 3x^2 + 2x - 1 =0</math>
 a = 3 , b = 2 og c = -1 
Ved å bruke abc-formelen får man: 
<math> x= \frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3}</math> 
<math> x= \frac{-2 \pm \sqrt{4+12}}{6}</math> 
<math> x= \frac{-2 \pm 4}{6} </math> 

<math> x= \frac{-2 + 4}{6} \qquad \vee \qquad x= \frac{-2 - 4}{6} </math> 
<math> x= - \frac{1}{3} \qquad \vee \qquad x = - 1 </math>
</blockquote>

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> 
'''Eksempel 2''' 
Vi har likningen: 
<math> -x^2 + 4x - 4 =0</math>
 a = -1 , b = 4 og c = -4 
Ved å bruke abc-formelen får man: 
<math> x= \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4 \cdot (-1) \cdot (-4)}}{2 \cdot (-1)}</math> 
<math> x= \frac{-4 \pm \sqrt{16-16}}{-2}</math> 
<math> x = 2 </math>
 
Med null under rottegnet får man kun en løsning.
</blockquote>

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> 
'''Eksempel 3''' 
Vi har likningen: 
<math> 3x^2 + 2x + 2 =0</math>
 a = 1 , b = -2 og c = 2 
Ved å bruke abc-formelen får man: 
<math> x= \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}</math> 
<math> x= \frac{2 \pm \sqrt{4-8}}{2}</math> 
<math> x= \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2}</math> 

Her ser man et man får et negativt tall under rottegnet. Da er det på tide å stoppe opp og konkludere med at ligningen ikke har løsning (enda).
</blockquote>
Hvorfor har noen likninger to løsninger, noen en og andre ingen? 

[[Bilde:2likn.PNG]] 
Dersom grafen til andregradspolynomet krysser x aksen har likningen to løsninger, g(x).Dersom grafen tangerer x-aksen har likningen en løsning, h(x). Dersom grafen til polynomet ikke krysser eller tangerer x-aksen, f(x), har likningen ingen løsning. 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> 
'''Eksempel 4''' 
Vi har likningen: 
<math> 4x^2 - 1 =0</math>
 a = 4 , b = 0 og c = -1 
Ved å bruke abc-formelen får man: 
<math> x= \frac{ \pm \sqrt{-4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4}</math> 
<math> x= \frac{ \pm \sqrt{16}}{8}</math> 
<math> x=\pm \frac{ 4}{8} </math> 

<math> x= \frac{1}{2} \qquad \vee \qquad x= - \frac{1}{2} </math> 
Her mangler b leddet og det er ikke nødvendig å bruke abc formelen slik vi har gjort her, men den virker. Det enkleste i dette eksempelet er å bruke "bytt og flytt" og så ta kvadratroten, som vist over.
</blockquote>
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> 
'''Eksempel 5''' 
Vi har likningen: 
<math> -3x^2 + 6x = 0 =0</math>
 a = -3 , b = 6 og c = 0 
Ved å bruke abc-formelen får man: 
<math> x= \frac{-6 \pm \sqrt{6^2}}{-6}</math> 
<math> x= \frac{-6 \pm 6}{-6}</math> 
<math> x= 2 \qquad \vee \qquad x= 0 </math> 
Man ser at abc-formelen virker her også, men siden c leddet mangler ville det være mer fornuftig å faktorisere ut x og løse likningene som vist over.
</blockquote>

For de som lurer på hvor abc-formelen kommer fra har man følgende bevis: 

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Bevis for ABC formelen:''' 

<math>ax^2 + bx + c = 0 </math> 
<math> x^2 + \frac bax + \frac ca = 0</math> 
<math> x^2 + \frac bax = - \frac ca</math> 
<math> x^2 + 2\frac {b}{2a}x = - \frac ca</math> 

<math> x^2 + 2\frac {b}{2a}x + (\frac {b}{2a})^2 = - \frac ca + (\frac {b}{2a})^2 </math> 
<math> (x +\frac {b}{2a})^2 = - \frac ca + \frac {b^2}{4a^2} </math> 
<math> (x +\frac {b}{2a})^2 = - \frac {4ac}{4a a} + \frac {b^2}{4a^2} </math> 
<math> (x +\frac {b}{2a})^2 = \frac {-4ac+b^2}{4a^2} </math> 
<math> (x +\frac {b}{2a}) = \sqrt{\frac {b^2 -4ac}{4a^2}} \qquad \vee \qquad (x +\frac {b}{2a}) = - \sqrt{\frac {b^2 -4ac}{4a^2}}</math> 
<math> x = -\frac {b}{2a} + {\frac {\sqrt {b^2 -4ac}}{2a}} \qquad \vee \qquad x = - \frac {b}{2a} -{\frac {\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}}</math> 
<math> x = \frac {-b + \sqrt {b^2 -4ac}{2a}} \qquad \qquad \vee \qquad x = \frac {-b - \sqrt {b^2 -4ac}}{2a}</math> 
<math> x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>

</blockquote>

== Fullstendig kvadrat ==

Man kan bygge opp et fullstendig kvadrat ved å ''halvere, kvadrere, addere.....''
 
For å kunne bruke teknikken må du kunne [[kvadratsetningene]] godt. 
Her er hvordan det gjøres:

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"> 
'''Eksempel ''' 
Vi har likningen: 
<math> 2x^2 - 3x +1 =0</math> 

<math> x^2 - \frac 32 x + \frac 12 =0</math> 
<math> x^2 - \frac 32 x = - \frac 12</math> 
<math> x^2 - \frac 32 x = - \frac 12</math> 
<math> x^2 - \frac 32 x + ( \frac 34)^2 = - \frac 12 + ( \frac 34)^2</math> 
<math> (x - \frac 34)^2 = \frac {1}{16}</math> 

<math> x - \frac 34 = \sqrt{ \frac {1}{16}}\qquad \vee \qquad x - \frac 34 = -\sqrt{ \frac {1}{16}}</math> 
<math> x = 1\qquad \vee \qquad x = \frac {1}{2}</math> 
Dersom du sliter med algebra bør du kanskje holde deg til abc-formelen, men dersom du har oversikt og har ambisjoner om femmere og seksere er metoden med fullstendig kvadrat noe du bør beherske.

</blockquote>

== Andregradsligninger på produktform ==

Man kan ha andregradsligninger på formen:

$(x + 1)(x – 2) = 0$

Du ser at dette er en andregradsligning om du multiplisere ut parentesene:

$(x + 1)(x – 2) = x2 -2x +x – 2 = x2 – x – 2 $

Man kan multiplisere ut faktorene som vist over og bruke abc – formelen, men det finnes en mye enklere måte å løse ligningen på:

Dersom produktet av to faktorer skal bli null, må en av faktorene være null.

$mn = 0$ medfører at $m$ eller $n$ må være lik null, om utsagnet skal være riktig.

I eksemplet

$(x + 1)(x – 2) = 0$

betyr det at $x+1 = 0$ , eller at $x – 2 = 0$

Det gir løsningene $x = -1$ V $x = 2$

Problemet er redusert til løsninger av to enkle førstegradsligninger.

== Faktorisering av andregradsuttrykk ==

<math>ax^2 + bx + c</math> er et generelt andregradsuttrykk. Ofte har man behov for å faktorisere uttrykket for å kunne forkorte og forenkle.

Man har følgende formel for faktorisering av andregradsuttrykk:

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
<math> ax^2 + bx + c = a( x-x_1)(x-x_2) </math> 
Der <math> x_1 </math> og <math> x_2 </math> er løsninger av <math>ax^2 + bx + c = 0</math>
</blockquote>

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

'''Eksempel :''' 
Faktoriser <math> 6x^2-4x-2</math> 

Løser først <math> 6x^2-4x-2=0</math> og får (abc – formelen) 
<math> x_1 = 1 \qquad \vee \qquad x_2 = - \frac13</math> 

Bruker så formelen over og får: 
<math> 6x^2-4x-2= a( x-x_1)(x-x_2) = 6(x-1)(x + \frac 13) </math> 

Dette er spesielt nyttig (helt nødvendig) når man skal forkorte brøker som inneholder andregradspolynomer.
</blockquote>

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

'''Eksempel :''' 

Sriv enklest mulig: 

<math> \frac{6x^2-4x-2}{x + \frac13}</math> 
Faktorisere og får: 
<math> \frac{6(x-1)(x + \frac 13)}{x + \frac13} = 6(x-1)</math> 

</blockquote>

== Sum og produkt av røtter ==

Man har følgende sammenhenger mellom sum og produkt av røtter (løsninger):

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">

En fullstendig andregradslikning skrives på formen
<math> ax^2 + bx + c = 0</math> 
<math> x_1 +x_2 =- \frac ba </math> og <math> x_1 \cdot x_2 = \frac ca </math> 
der <math>x_1</math> og <math>x_2</math> er røtter (løsninger) i ligningen.
</blockquote> 

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

'''Eksempel''' 
Vi ønsker å finne et andregradsutryk som har røttene x = -2 og x = 1.Utover det har vi ingen andre krav.

 
Vi får: 
<math> x_1 +x_2 =- \frac ba </math> 
<math> -2 + 1 =- \frac ba </math> 
<math> a = b </math> 
Siden vi ikke har krav til koefisientene kan vi jo velge a = 1. Da får vi: 
<math> a = 1 </math> 
<math> b = 1 </math> 

og <math> -2 \cdot 1 = \frac ca </math> 
<math> c = - 2 </math> 
Vi får da likningen 
<math> x^2 + x - 2 = 0</math> 
Ved å bruke abc-formelen ser man at dette er en (av mange) likninger som har løsning for x =1 og for x = -2. 
Dersom man anvender disse formlene og finner en ligning må man sjekke at den virkelig har løsninger.

</blockquote>

----

[[1T Hovedside|Tilbake til 1T Hovedside]]
[[Hovedside]]
[[Category:Algebra]][[Category:Ped]][[Category:1T]]

Brøkregning

2013-04-10T13:19:16Z

Emomilol: Rettet stavefeil.

== Innledning ==
En brøk består av tre elementer, teller, brøkstrek og nevner.
[[Bilde:brok2.PNG]]

Brøkstrek betyr det samme som deletegn. En brøk er en del av noe. Hvor stor del kommer an på teller og nevner. Nevneren forteller hvor mange deler helheten er delt opp i. Deler du en pizza i fire like store biter blir nevneren fire. Spiser du en av bitene har du spist 1/4 av pizzaen. Telleren sier altså noe om hvor mange av delene i nevneren som "er med på leken".
[[Bilde:brok1.PNG]] 
''gult er teller, rød + gul er nevner'' 

Deler du samme pizza opp i åtte like stykker blir stykkene havparten så store som når du deler den i fire. Om du spiser to stykker når pizzaen er delt i åtte, er det likeverdig med å spise et stykke når pizzaen er delt i fire. Slik kan vi fortsett. Det kalles å utvide brøken.

== Å utvide brøken ==
Om vi holder oss til eksempelet over kan vi skrive det slik:

<math> \frac{1}{4} = \frac{2}{8} = \frac{4}{16}</math>

Det vi egentlig gjør er å multiplisere teller og nevner med samme tall, i dette tilfellet 2.
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eksempel:'''
<math> \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{2}{8} = \frac{2 \cdot 2}{8 \cdot 2}=
\frac{4}{16}</math>

</blockquote>

Vi kan utvide en brøk med både tall og bokstaver, men '''det er viktig at vi gjør det samme i både teller og nevner'''. Gjør vi ikke det, vil brøkens verdi endre seg.

== Å forkorte brøken ==
Å forkorte en brøk er det motsatte av å utvide den. Først må vi faktorisere teller og nevner. Se siden om faktorisering dersom du ikke kan det.
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eksempel:'''

Brøken tolv sekstendeler kan skrives som:

<math> \frac{12}{16} = \frac {2 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{3}{4}</math>
</blockquote>

Når vi forkorter 2- tallene i teller og nevner må vi huske på at de erstattes med tallet 1. De går ikke an å få null i teller eller nevner når vi forkorter på denne måten. Også her er det viktig at vi gjør det samme i både teller og nevner.

== Blandet tall ==
Et blandet tall består av et heletall og en brøk

Eks: $ 1\frac14 $

[[Bilde:brok3.PNG]]

Dette blandede tallet består av en hel og en fjerdedel. Det kan illustreres med figuren over.

== Addisjon og subtraksjon ==

=== Når nevner er den samme ===
Når nevneren i to eller flere brøker skal trekkes sammen legger vi sammen tellerene (eller trekker fra), og beholder nevneren slik den er.

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eksempel:'''

<math> \frac 27 + \frac 37 = \frac{2+3}{7}= \frac 57 </math>
</blockquote>
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eksempel:'''

<math> \frac 35 - \frac 25 = \frac{3-2}{5}= \frac 15 </math>
</blockquote>

[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=AFD%2BAFE%2BAFF%2BB00%2BB01%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]

=== Når nevner er forskjellig ===
Når man skal legge sammen eller trekke fra to eller flere brøker med forskjellig nevner, må man først finne fellesnevner.

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eksempel:'''

<math>\frac 13 + \frac 12 = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2}+ \frac {1 \cdot 3}{2 \cdot 3 } = \frac 26 + \frac {3}{6} = \frac 56 </math></blockquote>
Vi finner nevnerens minste felles multiplum (mfm), det minste tallet som begge nevnerene går opp i. Det minste tallet både to og tre går opp i er seks. Dette er et eksempel på nødvendigheten av å kunne utvide brøker.

[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=B02%2BB03%2BB04%2BB05%2BB06%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]

== Multiplikasjon ==

=== Brøk med brøk ===

Når to brøker skal multipliseres (ganges) med hverandre, multipliserer vi teller med teller og nevner med nevner.
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eksempel:'''

<math> \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac {2 \cdot 3}{5 \cdot 4} = \frac{6}{20} = \frac {3}{10}</math>
</blockquote>

[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=B07%2BB08%2BB09%2BB0A%2BB0B%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]

=== Heltall med brøk ===

Vi multipliserer heltallet i teller og beholder nevner.
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eksempel:'''

<math>3 \cdot \frac{2}{7} = \frac {3 \cdot 2}{7}= \frac 67 </math>
</blockquote>

[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=88E%2B88F%2B890%2B891%2B892%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]

== Divisjon ==

Når to brøker skal divideres (deles) med hverandre, snur vi den siste brøken (divisor) og multipliserer utrykket. Med snu menes at vi bytter om teller og nevner. Eks:

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eksempel:'''

<math>\frac{3}{4}:\frac{1}{2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 1}= \frac 64 = \frac 32</math>
</blockquote>

Hvorfor er det slik? La oss se på et eksempel til:

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eksempel:'''

<math>\frac{2}{3}:\frac{4}{7} = \frac{ \frac{2}{3}}{ \frac{4}{7}} = \frac{ \frac{2}{3} \cdot 7}{ \frac{4}{7} \cdot 7} = \frac{ \frac{2 \cdot 7}{3}}{4} = \frac{ \frac{14}{3} \cdot 3}{4 \cdot 3}= \frac{14}{12} = \frac {7}{6} </math>
Man obserever at metoden i eksempelet over er mye enklere. Dette eksemplet er bare ment som en forklaring på hvorfor man kan "snu" den siste brøken og gange.
</blockquote>

[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=B11%2BB12%2BB13%2BB14%2BB15%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]

'''Divisjon med brøk og heltall'''

Man løser problemet ved å gjøre heltallet om til brøk, og bruker regelen over.

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
'''Eksempel:'''
<math>\frac{2}{3}: 2 = \frac 23:\frac 21 = \frac 23 \cdot \frac 12 = \frac 26 = \frac 13 </math>
<math> 3: \frac 17 = \frac 31:\frac 17 = \frac 23 \cdot \frac 71 = \frac {14}3 </math>

</blockquote>

== Null i teller ==
Dersom telleren er null er brøkens verdi lik null.

<math> \frac 01 = \frac 02 = \frac 03 = ..... = \frac 0n = 0</math>

Der n er forskjellig fra null.

== Null i nevner ==
Det er ikke mulig å få null i nevneren til en brøk. Dersom du har fått det har du regnet feil.

== Teller og nevner like store ==

Når teller og nevner er like store er brøkens verdi lik en.

<math> \frac 11 = \frac 22 = \frac 33 = ..... = \frac nn = 1</math>

Der n er forskjellig fra null.

== Fra heltall til brøk ==

Et hvilket som helst keltall kan gjøres om til en brøk med en hvilken som helst nevner.

Et heltall gjøres om til brøk slik:
<math>1= \frac 11 = \frac22 = \frac33 = ...... </math>


Eller slik:

<math>4= \frac 41 = \frac82 = \frac{12}{3} = ...... </math>

----
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/broekmaskinen/index.php PRØV DEG SELV I BRØKREGNING]

[[Ungdomstrinn Hovedside | Tilbake til Ungdomstrinn Hovedside]]
[[Hovedside| Tilbake til hovedside]]

[[Category:Algebra]]
[[Category:U - trinn]] [[Category:Ped]]
[[Kategori:lex]]