Matematikk.net - Brukerbidrag [nb]

https://matematikk.net/w/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=Espen180 Matematikk.net - Brukerbidrag [nb] 2026-04-15T22:14:35Z Brukerbidrag MediaWiki 1.42.3 https://matematikk.net/w/index.php?title=Integrasjon&diff=6479 Integrasjon 2011-10-27T09:08:29Z

<p>Espen180: /* Delvis integrasjon */ Passiv er dårlig form. Endret til aktiv.</p> <hr /> <div>I læren om integraler tas det i bruk noe mer avanserte konsepter enn man ellers finner i matematikken på videregående. Dette spesielt i forbindelse med definisjonene rundt integrasjon. Det er derfor viktig å beherske både funksjonslære, derivasjon og algebra før man gir seg i kast med integrasjonsdelen av R2-pensumet.<br /> <br /> ----<br /> <br /> Integrasjon er en operasjon som tar en funksjon og gir en ny funksjon som beskriver arealet under den første funksjonen.<br /> <br /> ==Det bestemte integralet==<br /> <br /> Med det bestemte integalet av en funksjon vil vi finne arealet under funksjonen avgrenset av <tex>x</tex>-aksen og linjene <tex>x=a</tex> og <tex>x=b</tex>. "Det bestemte integralet av <tex>f(x)</tex> fra <tex>a</tex> til <tex>b</tex>" skriver vi som<br /> <br /> <tex>\int_a^b f(x)\rm{d}x</tex><br /> <br /> <br /> <br /> ===Bestemt integral som grenseverdi===<br /> <br /> Vi kan se for oss arealet under en graf som en sum av rektangler, der antallet rektangler angir nøyaktigheten av integralet.<br /> <br /> Dersom vi vil integrere <tex>f(x)</tex> fra <tex>x=a</tex> til <tex>x=b</tex> med <tex>n</tex> rektangler, må hvert rektangel ha bredde <tex>\Delta x=\frac{b-a}{n}</tex> (vi deler avstanden mellom endepunktene, <tex>b-a</tex> på antallet rektangler <tex>n</tex>.) Vi får da at <br /> <br /> <tex>A=\sum_{i=0}^n f(a+i\Delta x)\cdot \Delta x=\sum_{i=0}^n f\left( a+i\frac{b-a}{n}\right)\frac{b-a}{n}</tex><br /> <br /> Når vi lar <tex>\Delta x</tex> gå mot null, dvs at vi lar antallet rektangler <tex>n</tex> gå mot uendelig, får vi det nøyaktige arealet under kurven:<br /> <br /> <tex>\int_a^b f(x)\rm{d}x=\lim_{n\to\infty} \sum_{i=0}^n f\left( a+i\frac{b-a}{n}\right)\frac{b-a}{n}</tex><br /> <br /> ==Ubestemt integrasjon==<br /> <br /> I analysen (engelsk: Calculus) finnes et fundamentalteorem som relaterer operasjonene integrasjon og derivasjon med hverandre. Dette gjør det mulig å finne integralet av funksjoner uten å regne ut kompliserte summer som ovenfor. Teoremet er delt inn i to deler, som ofte kalles analysens første og andre fundamentalteorem. <br /> <br /> Analysens første fundamentalteorem sier at hvis en reell funksjon <tex>F(x)</tex> er definert på intervallet <tex>[a,b]</tex> ved <br /> <br /> <tex>F(x)=\int_a^x f(t)\rm{d}t</tex><br /> <br /> der <tex>f(t)</tex> er en reell funksjon som er kontinuerlig på intervallet <tex>[a,b]</tex>, da er <tex>F(x)</tex> kontinuerlig på <tex>[a,b]</tex> og deriverbar på <tex>(a,b)</tex>, og man kan vise at <tex>\frac{d}{dx}F(x)=f(x)</tex>, og vi skriver at<br /> <br /> <tex>\int f(x)\rm{d}x=F(x)</tex><br /> <br /> Analysens andre fundamentalteorem sier at<br /> <br /> <tex>\int_a^b f(x)\rm{d}x=F(b)-F(a)</tex><br /> <br /> <tex>F(a)-F(b)</tex> er lik arealet mellom <tex>x</tex>-aksen og funksjonen <tex>f(x)</tex> mellom <tex>x=a</tex> og <tex>x=b</tex>.<br /> <br /> Her skal vi vise geometrisk at <tex>\frac{d}{dx}F(x)=f(x)</tex>:<br /> <br /> <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"><br /> <br /> :'''Bevis:''' Den deriverte av den integrerte er funksjonen selv<br /> <br /> :La <tex>f(x)</tex> være en reell funksjon <tex>(f(x)\in\mathbb{R}</tex>, for alle <tex>x\in \mathbb{R})</tex>, og la funksjonen <tex>A(x)</tex> beskrive arealet mellom <tex>x</tex>-aksen og <tex>f(x)</tex> ved at <tex>A(b)-A(a)</tex> er lik arealet mellom <tex>x</tex>-aksen og <tex>f(x)</tex> mellom <tex>x=a</tex> og <tex>x=b</tex>. Mellom <tex>x</tex> og <tex>x+\Delta x</tex> vil aralet altså være <tex>A(x+\Delta x)-A(x)</tex>, se figur:<br /> <br /> :[[Bilde:Int1.png]]<br /> <br /> :I grenseverdien når <tex>\Delta x\to 0</tex> vil dette arealet bli tilnærmet et rektangel. Arealet av et rektangel er gitt ved<br /> <br /> ::<tex>A=l\cdot b</tex><br /> <br /> :og arealet at dette rektangelet ser vi ut ifra figuren blir <tex>f(x)\cdot \Delta x</tex>. Dermed kan vi konkludere at<br /> <br /> ::<tex>f(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</tex><br /> <br /> :Men dette kjenner vi som definisjonen av den deriverte. Altså kan vi skrive at<br /> <br /> ::<tex>f(x)=\frac{d}{dx}A(x)</tex><br /> <br /> :Vi har dermed bevist at derivasjon og integrasjon er inverse operasjoner av hverandre, det vil si at<br /> <br /> ::<tex>\frac{d}{dx}\int f(x)\rm{d}x=f(x)</tex><br /> <br /> </blockquote><br /> <br /> Dette kan også vises analytisk ved å ta i bruk noe mer avansert funksjonslære.<br /> <br /> Når vi antideriverer en funksjon, dvs at vi tar det ubestemte integralet av funksjonen, får vi altså funksjonen <tex>F(x)</tex> som inngår i fundamentalteoremet.<br /> <br /> ===Formler for integrasjon===<br /> <br /> Her er noen nyttige formler for integrasjonen av sentrale funksjoner. Med metodene i de neste seksjonene vil vi også kunne integrere funksjoner sammensatt av disse. Denne tabellen må læres utenat.<br /> <br /> <tex>\begin{tabular}{c|c c} f(x) & \int f(x)\rm{d}x & \, \\ x^n & \frac{x^{n+1}}{n+1} & x\neq -1 \\ \frac1x & \ln\,x & \, \\ a^x & \frac{1}{\ln\,a}a^x & a\neq 1 \\ e^{kx} & \frac1k e^{kx} & k\neq 0 \\ \sin\,x & -\cos\,x & \, \\ \cos\,x & \sin\,x & \, \end{tabular}</tex><br /> <br /> ===Integrasjonskonstanten===<br /> <br /> Ettersom den deriverte av en konstant funksjon er lik null, må vi legge til en vilkårlig konstant til den integrerte av en funksjon.<br /> <br /> <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"><br /> <br /> :'''Eksempel:''' Integrasjonskonstant<br /> <br /> :Vi tar for oss integralet<br /> <br /> ::<tex>I=\int x\rm{d}x</tex><br /> <br /> :Vi vet at <tex>\frac{d}{dx}\frac12x^2=x</tex>, men siden <tex>\frac{d}{dx}C=0</tex>, der <tex>C</tex> er en konstant, må vi legge denne til. Svaret blir altså<br /> <br /> ::<tex>I=\int x\rm{d}x=\frac12x^2+C</tex><br /> <br /> </blockquote><br /> <br /> Merk at integrasjonskonstanten blir kansellert når <tex>F(x)</tex> brukes i sammenheng med det bestemte integralet. Det viser at verdien til <tex>C</tex> er vilkårlig.<br /> <br /> ==Integrasjon ved variabelskifte==<br /> <br /> I derivasjon sier kjerneregelen at<br /> <br /> <tex>\frac{d}{dx}f(u)=\frac{du}{dx}\frac{d}{du}f(u)</tex><br /> <br /> Dermed følger det at<br /> <br /> <tex>\int \frac{du}{dx}f(u(x))\rm{d}x=\int f(u)\rm{d}u</tex><br /> <br /> Når vi substituerer variabler i integranden, manipulerer vi også differensialene <tex>\rm{d}x</tex> og <tex>\rm{d}u</tex>. Derfor skal vi nå vise hvordan man finner relasjonen mellom disse differensialene for en generell substitusjon. Deretter kan denne metoden anvendes på forskjellige integraler når de ikke kan løses direkte.<br /> <br /> <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"><br /> <br /> :'''Relasjoner mellom differensialer'''<br /> <br /> <br /> :En generell substitusjon er<br /> <br /> ::<tex>f(x)=g(u)</tex><br /> <br /> :Vi vil finne relasjonen mellom differensialene <tex>\rm{d}x</tex> og <tex>\rm{d}u</tex> slik at vi kan foreta et variabelskifte.<br /> <br /> :Dersom vi deriverer begge funksjonene mhp. x, får vi, ifølge kjerneregelen,<br /> <br /> ::<tex>\frac{df(x)}{dx}=\frac{dg(u)}{du}\frac{du}{dx}</tex><br /> <br /> :Vi ser dermed at relasjonen mellom differensialene er<br /> <br /> ::<tex>\rm{d}x\frac{df(x)}{dx}=\rm{d}u\frac{dg(u)}{du}</tex><br /> <br /> :eller<br /> <br /> ::<tex>f^\prime (x)\rm{d}x=g^\prime (u) \rm{d}u</tex><br /> <br /> </blockquote><br /> <br /> Nå som vi kan manipulere differensialene, viser vi et eksempel der vi får bruk for dette:<br /> <br /> <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"><br /> <br /> :'''Eksempel 1:''' Variabelskifte<br /> <br /> :Vi har integralet<br /> <br /> ::<tex>I=\int \frac{\ln\,x}{2x}\rm{d}x</tex><br /> <br /> :Vi observerer at <tex>\frac{d}{dx}\ln\,x=\frac{1}{x}</tex> og at begge disse er med i integranden. En god substitusjon her er derfor <tex>\ln\,x=u</tex>. Vi finner relasjonen mellom differensialene slik at vi kan gjennomføre variabelskiftet fra <tex>x</tex> til <tex>u</tex>.<br /> <br /> ::<tex>\frac{d}{dx}\ln\,x=\frac{du}{dx}\,\Leftrightarrow\,\frac{1}{x}\rm{d}x=\rm{d}u\,\Leftrightarrow\,\rm{d}x=x\rm{d}u</tex><br /> <br /> :Vi erstatter <tex>\ln\,x</tex> med <tex>u</tex> og <tex>\rm{d}x</tex> med <tex>x\rm{d}u</tex> i integranden. Da får vi<br /> <br /> ::<tex>I=\int \frac{u}{2x}x\rm{d}u=\int\frac{1}{2}u\rm{d}u=\frac12\int u\rm{d}u=\frac14u^2+C</tex><br /> <br /> : Vi substituerer tilbake fra <tex>u</tex> til <tex>x</tex> for å få svaret. <tex>u=\ln\,x</tex>, så<br /> <br /> ::<tex>I=\frac14(\ln\, x)^2+C</tex><br /> <br /> </blockquote><br /> <br /> <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"><br /> <br /> :'''Eksempel 2:''' Variabelskifte<br /> <br /> :Vi har integralet<br /> <br /> ::<tex>I=\int \tan\,x\rm{d}x</tex><br /> <br /> :Vi vet at <tex>\tan\,x=\frac{sin\,x}{\cos\,x}</tex> og at <tex>\frac{d}{dx}\sin\,x=\cos\,x</tex>, si vi setter <tex>u=\cos\,x</tex>:<br /> <br /> ::<tex>u=\cos\,x\,\Rightarrow\,\rm{d}u=-\sin\,x\rm{d}x</tex><br /> <br /> :Vi setter inn i integralet og får<br /> <br /> ::<tex>I=\int -\frac{1}{u}\rm{d}u=-\ln|u|+C</tex><br /> <br /> :Vi kan nå erstatte u med x igjen får å få svaret vårt:<br /> <br /> ::<tex>I=-\ln|cos\,x|+C</tex><br /> <br /> </blockquote><br /> <br /> <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"><br /> <br /> :'''Eksempel 3:''' Variabelskifte<p></p><br /> <tex> \int 4e^{2x+1}dx \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad setter \qquad u = 2x + 1 \\<br /> \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad du = 2dx \\<br /> \int 4e^{u}dx = \int 2e^{u}du = 2e^{u} + C = 2e^{2x+1} + C<br /> </tex></blockquote><br /> <br /> <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"><br /> <br /> :'''Eksempel 4:''' Variabelskifte<p></p><br /> <br /> <tex> \int \frac{1}{1+ \sqrt{x}}dx \qquad \qquad setter \qquad u = 1 + \sqrt{x}\\<br /> \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \frac{du}{dx}= \frac12x^{- \frac12} \\<br /> \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad du= \frac{1}{2 \sqrt{x}}dx \\<br /> \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad dx= 2 \sqrt{x}du \\<br /> \int \frac{1}{u}dx = \int \frac{1}{u}2 \sqrt{x}du<br /> </tex><p></p><br /> Man bruker at <tex>u = 1 + \sqrt{x} </tex> og får:<p></p><br /> <tex><br /> \int \frac{1}{u}2 \sqrt{x}du = \int \frac{1}{u}2 (u-1)du = \int (2- \frac 2u)du = 2 \int du - 2\int \frac1u du = 2u -2ln|u| + k</tex><br /> <p></p> Substituerer tilbake til x og får:<p></p><br /> <tex> 2(1+ \sqrt x) -2ln(1 + \sqrt x) + k = 2 + 2\sqrt x - 2ln(1 + \sqrt x) + k = 2\sqrt x - 2ln(1 + \sqrt x)+ c </tex><br /> </blockquote><br /> <br /> [http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=928%2B922%2B926%2B921%2B920%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ===Grenser ved variabelskifte===<br /> <br /> Når vi bruker variabelskifte og vi har et bestemt integral, vil grensene for integralet endres slik at integralet ennå gjelder for samme intervall. Dette vises best gjennom et eksempel:<br /> <br /> <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"><br /> <br /> :'''Eksempel:''' Endring av grenser ved variabelskifte<br /> <br /> :La oss si at vi har integralet<br /> <br /> ::<tex>I=\int_{0}^{\pi} \cos^2x\,\sin\,x\rm{d}x</tex><br /> <br /> :Vi ser at <tex>\frac{d}{dx}\cos\,x=-\sin{x}</tex> og velger substitusjonen <tex>u=\cos\,x</tex>. Da får vi<br /> <br /> ::<tex>\rm{d}u=-\sin\,x\rm{d}x\,\Rightarrow\,\frac{1}{-\sin\,x}\rm{du}</tex><br /> <br /> :Grensene på integralet må vi endre slik at vi ennå integrerer over samme intervall. Vi gjør dette ved å sette inn grensene for x og løse med hensyn på u. Den nedre grensen blir<br /> <br /> ::<tex>\cos\,0=u\,\Rightarrow\,u=1</tex><br /> <br /> :Den øvre grensen blir<br /> <br /> ::<tex>\cos\,\pi=u\,\Rightarrow\,u=-1</tex><br /> <br /> :Vi setter alt inn i integralet og får<br /> <br /> ::<tex>I=\int_1^{-1}u^2\frac{sin\,x}{-\sin\,x}\rm{u}\int_1^{-1}-u^2\rm{d}u=\left[-\frac13u^3\right]_1^{-1}=-\frac13(-1)^3-\left(-\frac13\cdot1^3\right)=2\cdot\frac13\cdot1^3=\frac23</tex><br /> <br /> </blockquote><br /> <br /> ==Delvis integrasjon==<br /> <br /> Vi kjenner allerede produktregelen fra dervasjon:<br /> <br /> <tex>\frac{d}{dx}uv=u\frac{d}{dx}v+v\frac{d}{dx}u</tex><br /> <br /> Delvis integrasjon er produktregelen på integralform. Her skal vi utlede formelen for delvis integrasjon fra produktregelen:<br /> <br /> <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"><br /> <br /> :'''Utleding av delvis integrasjon fra produktregelen'''<br /> <br /> :Vi starter med produktregelen<br /> <br /> ::<tex>(uv)^\prime=u^\prime v+uv^\prime</tex><br /> <br /> :og trekker fra <tex>u\prime v</tex> på hver side av likhetstegnet:<br /> <br /> ::<tex>uv^\prime=(uv)^\prime-u^\prime v</tex><br /> <br /> :Så integrerer vi:<br /> <br /> ::<tex>\int uv^\prime \rm{d}x=\int (uv)^\prime-u^\prime v \rm{d}x=\int (uv)^\prime \rm{d}x-\int u^\prime v \rm{d}x=uv-\int u^\prime v \rm{d}x</tex><br /> <br /> ::<tex>\int uv^\prime \rm{d}x=uv-\int u^\prime v \rm{d}x</tex><br /> <br /> :Delvis integrasjon kan også skrives slik:<br /> <br /> ::<tex>\int u\rm{d}v=uv-\int v\rm{d}u</tex><br /> <br /> :ved at <tex>\frac{dv}{dx}\rm{d}x=\rm{d}v</tex> og <tex>\frac{du}{dx}\rm{d}x=\rm{d}u</tex>.<br /> <br /> </blockquote><br /> Dersom integralet består av forskjellige typer funksjoner (for eksempel en polynomfunksjon multiplisert med en trigonometrisk funksjon) kan delvis integrasjon være et godt førstevalg. Man bør velge u til en funksjon som blir "enklere" etter derivasjonen. Av og til må man utføre delvis integrasjon to ganger før man kommer til et resultat.<br /> <br /> <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"><br /> <br /> :'''Eksempel 1:''' integralet av naturlig logaritme<br /> <br /> :Vi vil integrere funskjonen <tex>f(x)=\ln\,x</tex>. Til det kan vi bruke et lite triks og delvis integrasjon.<br /> <br /> :Vi skriver <tex>\ln\,x=1\cdot\ln\,x</tex> og lar <tex>u=\ln\,x</tex> og <tex>v=x</tex>. Da får vi<br /> <br /> :<tex>\frac{du}{dx}=1</tex> og <tex>\frac{dv}{dx}=\frac1x</tex>. Integralet blir<br /> <br /> ::<tex>\int 1\cdot\ln\,x\rm{d}x=x\ln\,x-\int x\cdot\frac1x\rm{d}x=x\ln\,x-\int\rm{d}x=x\ln\,x-x+C</tex><br /> <br /> :Resultatet er altså at<br /> <br /> ::<tex>\int\ln\,x\rm{d}x=x\ln\,x-x+C</tex><br /> <br /> :Svaret kan kontrolleres ved derivasjon.<br /> <br /> </blockquote><br /> <br /> <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"><br /> :'''Eksempel 2:'''<p></p><br /> <tex><br /> \int(3x+2)sinx dx</tex><p></p><br /> Setter u = 3x + 2 og v' = sin x<p></p><br /> u' = 3 og v = - cos x<p></p><br /> og får da: <p></p><br /> <tex><br /> \int(3x+2)sinx dx = (3x+2)\cdot (-cosx) - \int 3 \cdot (-cosx)dx = -(3x+2)cosx + 3 \int cosx dx \\ =-(3x+2)cosx + 3sinx + C </tex><p></p><br /> <br /> </blockquote><br /> <br /> <br /> <br /> <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"><br /> :'''Eksempel 3:'''<p></p><br /> Her kommer en litt spesiell variant.<p></p><br /> <br /> <tex> \int sin^2x dx = \int (sinx \cdot sinx) dx \\ = sinx \cdot (-cosx) - \int cosx \cdot (-cosx)dx \\ <br /> = - sinx cosx + \int (1-sin^2x) dx \\ = - sinx cosx + x - \int sin^2x dx</tex><p></p><br /> Da har man:<p></p><br /> <tex> \int sin^2x dx = - sinx cosx + x - \int sin^2x dx \\<br /> 2\int sin^2x dx = - sinx cosx + x \\<br /> \int sin^2x dx = - \frac12 (sinx cosx - x) + C<br /> </tex><p></p> </blockquote><br /> <br /> <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"><br /> :'''Eksempel 4:'''<p></p><br /> Av og til må man integrere to ganger.<p></p><br /> <tex><br /> \int x^2e^xdx </tex><br /> setter <tex>x^2 = u</tex> og <tex>e^x = v'</tex><p></p> da bli <tex>u' = 2x</tex> og <tex> v=e^x</tex> <p></p>da får man:<p></p><br /> <tex>\int x^2e^xdx = x^2 \cdot e^x - \int 2xe^xdx<br /> </tex><br /> <p></p>Så integrerer man en gang til og får:<p></p><br /> <tex>\int x^2e^xdx = x^2 \cdot e^x - (2xe^x -2\int e^xdx)= x^2 \cdot e^x - 2xe^x +2 e^x +C=(x^2-2x+2)e^x + C </tex><br /> <br /> </blockquote><br /> <br /> [http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=A1C%2B917%2B916%2B929%2B915%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ----<br /> [[R2 Hovedside|Tilbake til R2 Hovedside]]<br /> <br /> <br /> [[Kategori:R2]]<br /> [[Kategori:Analyse]]<br /> [[Kategori:Ped]]<br /> [[Kategori:Lex]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Integrasjon&diff=6478 Integrasjon 2011-10-27T09:04:51Z

<p>Espen180: Feil terminologi. Integranden er funksjonen som integreres, ikke resultatet.</p> <hr /> <div>I læren om integraler tas det i bruk noe mer avanserte konsepter enn man ellers finner i matematikken på videregående. Dette spesielt i forbindelse med definisjonene rundt integrasjon. Det er derfor viktig å beherske både funksjonslære, derivasjon og algebra før man gir seg i kast med integrasjonsdelen av R2-pensumet.<br /> <br /> ----<br /> <br /> Integrasjon er en operasjon som tar en funksjon og gir en ny funksjon som beskriver arealet under den første funksjonen.<br /> <br /> ==Det bestemte integralet==<br /> <br /> Med det bestemte integalet av en funksjon vil vi finne arealet under funksjonen avgrenset av <tex>x</tex>-aksen og linjene <tex>x=a</tex> og <tex>x=b</tex>. "Det bestemte integralet av <tex>f(x)</tex> fra <tex>a</tex> til <tex>b</tex>" skriver vi som<br /> <br /> <tex>\int_a^b f(x)\rm{d}x</tex><br /> <br /> <br /> <br /> ===Bestemt integral som grenseverdi===<br /> <br /> Vi kan se for oss arealet under en graf som en sum av rektangler, der antallet rektangler angir nøyaktigheten av integralet.<br /> <br /> Dersom vi vil integrere <tex>f(x)</tex> fra <tex>x=a</tex> til <tex>x=b</tex> med <tex>n</tex> rektangler, må hvert rektangel ha bredde <tex>\Delta x=\frac{b-a}{n}</tex> (vi deler avstanden mellom endepunktene, <tex>b-a</tex> på antallet rektangler <tex>n</tex>.) Vi får da at <br /> <br /> <tex>A=\sum_{i=0}^n f(a+i\Delta x)\cdot \Delta x=\sum_{i=0}^n f\left( a+i\frac{b-a}{n}\right)\frac{b-a}{n}</tex><br /> <br /> Når vi lar <tex>\Delta x</tex> gå mot null, dvs at vi lar antallet rektangler <tex>n</tex> gå mot uendelig, får vi det nøyaktige arealet under kurven:<br /> <br /> <tex>\int_a^b f(x)\rm{d}x=\lim_{n\to\infty} \sum_{i=0}^n f\left( a+i\frac{b-a}{n}\right)\frac{b-a}{n}</tex><br /> <br /> ==Ubestemt integrasjon==<br /> <br /> I analysen (engelsk: Calculus) finnes et fundamentalteorem som relaterer operasjonene integrasjon og derivasjon med hverandre. Dette gjør det mulig å finne integralet av funksjoner uten å regne ut kompliserte summer som ovenfor. Teoremet er delt inn i to deler, som ofte kalles analysens første og andre fundamentalteorem. <br /> <br /> Analysens første fundamentalteorem sier at hvis en reell funksjon <tex>F(x)</tex> er definert på intervallet <tex>[a,b]</tex> ved <br /> <br /> <tex>F(x)=\int_a^x f(t)\rm{d}t</tex><br /> <br /> der <tex>f(t)</tex> er en reell funksjon som er kontinuerlig på intervallet <tex>[a,b]</tex>, da er <tex>F(x)</tex> kontinuerlig på <tex>[a,b]</tex> og deriverbar på <tex>(a,b)</tex>, og man kan vise at <tex>\frac{d}{dx}F(x)=f(x)</tex>, og vi skriver at<br /> <br /> <tex>\int f(x)\rm{d}x=F(x)</tex><br /> <br /> Analysens andre fundamentalteorem sier at<br /> <br /> <tex>\int_a^b f(x)\rm{d}x=F(b)-F(a)</tex><br /> <br /> <tex>F(a)-F(b)</tex> er lik arealet mellom <tex>x</tex>-aksen og funksjonen <tex>f(x)</tex> mellom <tex>x=a</tex> og <tex>x=b</tex>.<br /> <br /> Her skal vi vise geometrisk at <tex>\frac{d}{dx}F(x)=f(x)</tex>:<br /> <br /> <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"><br /> <br /> :'''Bevis:''' Den deriverte av den integrerte er funksjonen selv<br /> <br /> :La <tex>f(x)</tex> være en reell funksjon <tex>(f(x)\in\mathbb{R}</tex>, for alle <tex>x\in \mathbb{R})</tex>, og la funksjonen <tex>A(x)</tex> beskrive arealet mellom <tex>x</tex>-aksen og <tex>f(x)</tex> ved at <tex>A(b)-A(a)</tex> er lik arealet mellom <tex>x</tex>-aksen og <tex>f(x)</tex> mellom <tex>x=a</tex> og <tex>x=b</tex>. Mellom <tex>x</tex> og <tex>x+\Delta x</tex> vil aralet altså være <tex>A(x+\Delta x)-A(x)</tex>, se figur:<br /> <br /> :[[Bilde:Int1.png]]<br /> <br /> :I grenseverdien når <tex>\Delta x\to 0</tex> vil dette arealet bli tilnærmet et rektangel. Arealet av et rektangel er gitt ved<br /> <br /> ::<tex>A=l\cdot b</tex><br /> <br /> :og arealet at dette rektangelet ser vi ut ifra figuren blir <tex>f(x)\cdot \Delta x</tex>. Dermed kan vi konkludere at<br /> <br /> ::<tex>f(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{A(x+\Delta x)-A(x)}{\Delta x}</tex><br /> <br /> :Men dette kjenner vi som definisjonen av den deriverte. Altså kan vi skrive at<br /> <br /> ::<tex>f(x)=\frac{d}{dx}A(x)</tex><br /> <br /> :Vi har dermed bevist at derivasjon og integrasjon er inverse operasjoner av hverandre, det vil si at<br /> <br /> ::<tex>\frac{d}{dx}\int f(x)\rm{d}x=f(x)</tex><br /> <br /> </blockquote><br /> <br /> Dette kan også vises analytisk ved å ta i bruk noe mer avansert funksjonslære.<br /> <br /> Når vi antideriverer en funksjon, dvs at vi tar det ubestemte integralet av funksjonen, får vi altså funksjonen <tex>F(x)</tex> som inngår i fundamentalteoremet.<br /> <br /> ===Formler for integrasjon===<br /> <br /> Her er noen nyttige formler for integrasjonen av sentrale funksjoner. Med metodene i de neste seksjonene vil vi også kunne integrere funksjoner sammensatt av disse. Denne tabellen må læres utenat.<br /> <br /> <tex>\begin{tabular}{c|c c} f(x) & \int f(x)\rm{d}x & \, \\ x^n & \frac{x^{n+1}}{n+1} & x\neq -1 \\ \frac1x & \ln\,x & \, \\ a^x & \frac{1}{\ln\,a}a^x & a\neq 1 \\ e^{kx} & \frac1k e^{kx} & k\neq 0 \\ \sin\,x & -\cos\,x & \, \\ \cos\,x & \sin\,x & \, \end{tabular}</tex><br /> <br /> ===Integrasjonskonstanten===<br /> <br /> Ettersom den deriverte av en konstant funksjon er lik null, må vi legge til en vilkårlig konstant til den integrerte av en funksjon.<br /> <br /> <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"><br /> <br /> :'''Eksempel:''' Integrasjonskonstant<br /> <br /> :Vi tar for oss integralet<br /> <br /> ::<tex>I=\int x\rm{d}x</tex><br /> <br /> :Vi vet at <tex>\frac{d}{dx}\frac12x^2=x</tex>, men siden <tex>\frac{d}{dx}C=0</tex>, der <tex>C</tex> er en konstant, må vi legge denne til. Svaret blir altså<br /> <br /> ::<tex>I=\int x\rm{d}x=\frac12x^2+C</tex><br /> <br /> </blockquote><br /> <br /> Merk at integrasjonskonstanten blir kansellert når <tex>F(x)</tex> brukes i sammenheng med det bestemte integralet. Det viser at verdien til <tex>C</tex> er vilkårlig.<br /> <br /> ==Integrasjon ved variabelskifte==<br /> <br /> I derivasjon sier kjerneregelen at<br /> <br /> <tex>\frac{d}{dx}f(u)=\frac{du}{dx}\frac{d}{du}f(u)</tex><br /> <br /> Dermed følger det at<br /> <br /> <tex>\int \frac{du}{dx}f(u(x))\rm{d}x=\int f(u)\rm{d}u</tex><br /> <br /> Når vi substituerer variabler i integranden, manipulerer vi også differensialene <tex>\rm{d}x</tex> og <tex>\rm{d}u</tex>. Derfor skal vi nå vise hvordan man finner relasjonen mellom disse differensialene for en generell substitusjon. Deretter kan denne metoden anvendes på forskjellige integraler når de ikke kan løses direkte.<br /> <br /> <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"><br /> <br /> :'''Relasjoner mellom differensialer'''<br /> <br /> <br /> :En generell substitusjon er<br /> <br /> ::<tex>f(x)=g(u)</tex><br /> <br /> :Vi vil finne relasjonen mellom differensialene <tex>\rm{d}x</tex> og <tex>\rm{d}u</tex> slik at vi kan foreta et variabelskifte.<br /> <br /> :Dersom vi deriverer begge funksjonene mhp. x, får vi, ifølge kjerneregelen,<br /> <br /> ::<tex>\frac{df(x)}{dx}=\frac{dg(u)}{du}\frac{du}{dx}</tex><br /> <br /> :Vi ser dermed at relasjonen mellom differensialene er<br /> <br /> ::<tex>\rm{d}x\frac{df(x)}{dx}=\rm{d}u\frac{dg(u)}{du}</tex><br /> <br /> :eller<br /> <br /> ::<tex>f^\prime (x)\rm{d}x=g^\prime (u) \rm{d}u</tex><br /> <br /> </blockquote><br /> <br /> Nå som vi kan manipulere differensialene, viser vi et eksempel der vi får bruk for dette:<br /> <br /> <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"><br /> <br /> :'''Eksempel 1:''' Variabelskifte<br /> <br /> :Vi har integralet<br /> <br /> ::<tex>I=\int \frac{\ln\,x}{2x}\rm{d}x</tex><br /> <br /> :Vi observerer at <tex>\frac{d}{dx}\ln\,x=\frac{1}{x}</tex> og at begge disse er med i integranden. En god substitusjon her er derfor <tex>\ln\,x=u</tex>. Vi finner relasjonen mellom differensialene slik at vi kan gjennomføre variabelskiftet fra <tex>x</tex> til <tex>u</tex>.<br /> <br /> ::<tex>\frac{d}{dx}\ln\,x=\frac{du}{dx}\,\Leftrightarrow\,\frac{1}{x}\rm{d}x=\rm{d}u\,\Leftrightarrow\,\rm{d}x=x\rm{d}u</tex><br /> <br /> :Vi erstatter <tex>\ln\,x</tex> med <tex>u</tex> og <tex>\rm{d}x</tex> med <tex>x\rm{d}u</tex> i integranden. Da får vi<br /> <br /> ::<tex>I=\int \frac{u}{2x}x\rm{d}u=\int\frac{1}{2}u\rm{d}u=\frac12\int u\rm{d}u=\frac14u^2+C</tex><br /> <br /> : Vi substituerer tilbake fra <tex>u</tex> til <tex>x</tex> for å få svaret. <tex>u=\ln\,x</tex>, så<br /> <br /> ::<tex>I=\frac14(\ln\, x)^2+C</tex><br /> <br /> </blockquote><br /> <br /> <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"><br /> <br /> :'''Eksempel 2:''' Variabelskifte<br /> <br /> :Vi har integralet<br /> <br /> ::<tex>I=\int \tan\,x\rm{d}x</tex><br /> <br /> :Vi vet at <tex>\tan\,x=\frac{sin\,x}{\cos\,x}</tex> og at <tex>\frac{d}{dx}\sin\,x=\cos\,x</tex>, si vi setter <tex>u=\cos\,x</tex>:<br /> <br /> ::<tex>u=\cos\,x\,\Rightarrow\,\rm{d}u=-\sin\,x\rm{d}x</tex><br /> <br /> :Vi setter inn i integralet og får<br /> <br /> ::<tex>I=\int -\frac{1}{u}\rm{d}u=-\ln|u|+C</tex><br /> <br /> :Vi kan nå erstatte u med x igjen får å få svaret vårt:<br /> <br /> ::<tex>I=-\ln|cos\,x|+C</tex><br /> <br /> </blockquote><br /> <br /> <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"><br /> <br /> :'''Eksempel 3:''' Variabelskifte<p></p><br /> <tex> \int 4e^{2x+1}dx \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad setter \qquad u = 2x + 1 \\<br /> \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad du = 2dx \\<br /> \int 4e^{u}dx = \int 2e^{u}du = 2e^{u} + C = 2e^{2x+1} + C<br /> </tex></blockquote><br /> <br /> <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"><br /> <br /> :'''Eksempel 4:''' Variabelskifte<p></p><br /> <br /> <tex> \int \frac{1}{1+ \sqrt{x}}dx \qquad \qquad setter \qquad u = 1 + \sqrt{x}\\<br /> \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \frac{du}{dx}= \frac12x^{- \frac12} \\<br /> \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad du= \frac{1}{2 \sqrt{x}}dx \\<br /> \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad dx= 2 \sqrt{x}du \\<br /> \int \frac{1}{u}dx = \int \frac{1}{u}2 \sqrt{x}du<br /> </tex><p></p><br /> Man bruker at <tex>u = 1 + \sqrt{x} </tex> og får:<p></p><br /> <tex><br /> \int \frac{1}{u}2 \sqrt{x}du = \int \frac{1}{u}2 (u-1)du = \int (2- \frac 2u)du = 2 \int du - 2\int \frac1u du = 2u -2ln|u| + k</tex><br /> <p></p> Substituerer tilbake til x og får:<p></p><br /> <tex> 2(1+ \sqrt x) -2ln(1 + \sqrt x) + k = 2 + 2\sqrt x - 2ln(1 + \sqrt x) + k = 2\sqrt x - 2ln(1 + \sqrt x)+ c </tex><br /> </blockquote><br /> <br /> [http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=928%2B922%2B926%2B921%2B920%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ===Grenser ved variabelskifte===<br /> <br /> Når vi bruker variabelskifte og vi har et bestemt integral, vil grensene for integralet endres slik at integralet ennå gjelder for samme intervall. Dette vises best gjennom et eksempel:<br /> <br /> <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"><br /> <br /> :'''Eksempel:''' Endring av grenser ved variabelskifte<br /> <br /> :La oss si at vi har integralet<br /> <br /> ::<tex>I=\int_{0}^{\pi} \cos^2x\,\sin\,x\rm{d}x</tex><br /> <br /> :Vi ser at <tex>\frac{d}{dx}\cos\,x=-\sin{x}</tex> og velger substitusjonen <tex>u=\cos\,x</tex>. Da får vi<br /> <br /> ::<tex>\rm{d}u=-\sin\,x\rm{d}x\,\Rightarrow\,\frac{1}{-\sin\,x}\rm{du}</tex><br /> <br /> :Grensene på integralet må vi endre slik at vi ennå integrerer over samme intervall. Vi gjør dette ved å sette inn grensene for x og løse med hensyn på u. Den nedre grensen blir<br /> <br /> ::<tex>\cos\,0=u\,\Rightarrow\,u=1</tex><br /> <br /> :Den øvre grensen blir<br /> <br /> ::<tex>\cos\,\pi=u\,\Rightarrow\,u=-1</tex><br /> <br /> :Vi setter alt inn i integralet og får<br /> <br /> ::<tex>I=\int_1^{-1}u^2\frac{sin\,x}{-\sin\,x}\rm{u}\int_1^{-1}-u^2\rm{d}u=\left[-\frac13u^3\right]_1^{-1}=-\frac13(-1)^3-\left(-\frac13\cdot1^3\right)=2\cdot\frac13\cdot1^3=\frac23</tex><br /> <br /> </blockquote><br /> <br /> ==Delvis integrasjon==<br /> <br /> Vi kjenner allerede produktregelen fra dervasjon:<br /> <br /> <tex>\frac{d}{dx}uv=u\frac{d}{dx}v+v\frac{d}{dx}u</tex><br /> <br /> Delvis integrasjon er produktregelen på integralform. Her skal vi utlede formelen for delvis integrasjon fra produktregelen:<br /> <br /> <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;"><br /> <br /> :'''Utleding av delvis integrasjon fra produktregelen'''<br /> <br /> :Vi starter med produktregelen<br /> <br /> ::<tex>(uv)^\prime=u^\prime v+uv^\prime</tex><br /> <br /> :og trekker fra <tex>u\prime v</tex> på hver side av likhetstegnet:<br /> <br /> ::<tex>uv^\prime=(uv)^\prime-u^\prime v</tex><br /> <br /> :Så integrerer vi:<br /> <br /> ::<tex>\int uv^\prime \rm{d}x=\int (uv)^\prime-u^\prime v \rm{d}x=\int (uv)^\prime \rm{d}x-\int u^\prime v \rm{d}x=uv-\int u^\prime v \rm{d}x</tex><br /> <br /> ::<tex>\int uv^\prime \rm{d}x=uv-\int u^\prime v \rm{d}x</tex><br /> <br /> :Delvis integrasjon kan også skrives slik:<br /> <br /> ::<tex>\int u\rm{d}v=uv-\int v\rm{d}u</tex><br /> <br /> :ved at <tex>\frac{dv}{dx}\rm{d}x=\rm{d}v</tex> og <tex>\frac{du}{dx}\rm{d}x=\rm{d}u</tex>.<br /> <br /> </blockquote><br /> Dersom integralet består av forskjellige typer funksjoner (for eksempel en polynomfunksjon multiplisert med en trigonometrisk funksjon) kan delvis integrasjon være et godt førstevalg. Den funksjonen som blir enklere etter derivasjonen bør velges til u. Av og til må man utføre delvis integrasjon to ganger før man kommer til et resultat.<br /> <br /> <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"><br /> <br /> :'''Eksempel 1:''' integralet av naturlig logaritme<br /> <br /> :Vi vil integrere funskjonen <tex>f(x)=\ln\,x</tex>. Til det kan vi bruke et lite triks og delvis integrasjon.<br /> <br /> :Vi skriver <tex>\ln\,x=1\cdot\ln\,x</tex> og lar <tex>u=\ln\,x</tex> og <tex>v=x</tex>. Da får vi<br /> <br /> :<tex>\frac{du}{dx}=1</tex> og <tex>\frac{dv}{dx}=\frac1x</tex>. Integralet blir<br /> <br /> ::<tex>\int 1\cdot\ln\,x\rm{d}x=x\ln\,x-\int x\cdot\frac1x\rm{d}x=x\ln\,x-\int\rm{d}x=x\ln\,x-x+C</tex><br /> <br /> :Resultatet er altså at<br /> <br /> ::<tex>\int\ln\,x\rm{d}x=x\ln\,x-x+C</tex><br /> <br /> :Svaret kan kontrolleres ved derivasjon.<br /> <br /> </blockquote><br /> <br /> <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"><br /> :'''Eksempel 2:'''<p></p><br /> <tex><br /> \int(3x+2)sinx dx</tex><p></p><br /> Setter u = 3x + 2 og v' = sin x<p></p><br /> u' = 3 og v = - cos x<p></p><br /> og får da: <p></p><br /> <tex><br /> \int(3x+2)sinx dx = (3x+2)\cdot (-cosx) - \int 3 \cdot (-cosx)dx = -(3x+2)cosx + 3 \int cosx dx \\ =-(3x+2)cosx + 3sinx + C </tex><p></p><br /> <br /> </blockquote><br /> <br /> <br /> <br /> <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"><br /> :'''Eksempel 3:'''<p></p><br /> Her kommer en litt spesiell variant.<p></p><br /> <br /> <tex> \int sin^2x dx = \int (sinx \cdot sinx) dx \\ = sinx \cdot (-cosx) - \int cosx \cdot (-cosx)dx \\ <br /> = - sinx cosx + \int (1-sin^2x) dx \\ = - sinx cosx + x - \int sin^2x dx</tex><p></p><br /> Da har man:<p></p><br /> <tex> \int sin^2x dx = - sinx cosx + x - \int sin^2x dx \\<br /> 2\int sin^2x dx = - sinx cosx + x \\<br /> \int sin^2x dx = - \frac12 (sinx cosx - x) + C<br /> </tex><p></p> </blockquote><br /> <br /> <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"><br /> :'''Eksempel 4:'''<p></p><br /> Av og til må man integrere to ganger.<p></p><br /> <tex><br /> \int x^2e^xdx </tex><br /> setter <tex>x^2 = u</tex> og <tex>e^x = v'</tex><p></p> da bli <tex>u' = 2x</tex> og <tex> v=e^x</tex> <p></p>da får man:<p></p><br /> <tex>\int x^2e^xdx = x^2 \cdot e^x - \int 2xe^xdx<br /> </tex><br /> <p></p>Så integrerer man en gang til og får:<p></p><br /> <tex>\int x^2e^xdx = x^2 \cdot e^x - (2xe^x -2\int e^xdx)= x^2 \cdot e^x - 2xe^x +2 e^x +C=(x^2-2x+2)e^x + C </tex><br /> <br /> </blockquote><br /> <br /> [http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=A1C%2B917%2B916%2B929%2B915%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ----<br /> [[R2 Hovedside|Tilbake til R2 Hovedside]]<br /> <br /> <br /> [[Kategori:R2]]<br /> [[Kategori:Analyse]]<br /> [[Kategori:Ped]]<br /> [[Kategori:Lex]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Gruppeteori&diff=6397 Gruppeteori 2011-10-04T15:35:11Z

<p>Espen180: /* Gruppen (Z,+) */</p> <hr /> <div>Gruppeteori er en gren av [[Algebra]] og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.<br /> <br /> ==Definisjon==<br /> <br /> La <tex>G</tex> være en ikketom mengde med <tex>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <tex>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:<br /> <br /> <br /> 1. <tex>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon)<br /> <br /> 2. <tex>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)<br /> <br /> 3. <tex>\exists e \in G</tex> slik at <tex>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)<br /> <br /> 4. <tex>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <tex>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)<br /> <br /> 5. <tex>a*b=b*a</tex><br /> <br /> <br /> En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive <tex>G</tex>, og la operasjonen være implisert.<br /> <br /> For en <tex>a\in G</tex> kan vi innføre forkortelsen <tex>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n \text{ elementer}}</tex>. Tilsvarende innfører vi <tex>a^{-n}=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\, ... \, * a^{-1}}_{n \text{ elementer}}</tex>. Dermed oppnår vi sammenhengene<br /> <br /> 1. <tex>a^n*a^m=a^{n+m}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\left(a^n\right)^m=a^{nm}</tex><br /> <br /> 3. <tex>a^0 = e</tex><br /> <br /> ===Eksempel 1===<br /> <br /> Heltallene <tex>\mathbb{Z}</tex> med vanlig addisjon av heltall er et viktig eksempel på en abelsk gruppe. Identiteten er gitt ved <tex>e=0</tex> og inverser ved <tex>a^{-1}=-a</tex>.<br /> <br /> Lignende eksempler er de rasjonale tallene <tex>\mathbb{Q}</tex>, de reelle tallene <tex>\mathbb{R}</tex> og de komplekse tallene <tex>\mathbb{C}</tex>.<br /> <br /> ''Er <tex>\mathbb{R}</tex> en gruppe under vanlig multiplikasjon av tall? Hvis ikke, hva er den største undermengden av <tex>\mathbb{R}</tex> som er en gruppe under multiplikasjon? Besvar samme spørsmål for <tex>\mathbb{Q}</tex>, <tex>\mathbb{C}</tex> og <tex>\mathbb{Z}</tex>.''<br /> <br /> ===Eksempel 2===<br /> <br /> La <tex>X</tex> være en mengde, og la <tex>B(X)</tex> være en ikketom samling av undermengder av <tex>X</tex>. For <tex>U,V\in B(X)</tex>, definer<br /> <br /> <tex>U-V=\{x\in U \,\wedge \, x\not\in V\}</tex><br /> <br /> definer så<br /> <br /> <tex>U*V=(U-V)\cup (V-U)</tex><br /> <br /> kalt den symmetriske differansen av <tex>U</tex> og <tex>V</tex>.<br /> <br /> Da er <tex>(B(X),*)</tex> en abelsk gruppe og kalles den Boolske gruppen. Identiteten er <tex>e=\emptyset</tex> og <tex>U^{-1}=U</tex> for alle <tex>U\in B(X)</tex>.<br /> <br /> Vi overlater til leseren å vise assosiativitet.<br /> <br /> ==Elementære resultater==<br /> <br /> ===Forkortningslov===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=a*c</tex> eller <tex>b*a=c*a</tex>. Da er <tex>b=c</tex><br /> <br /> <br /> Bevis: <tex>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex>. Beviset for venstre forkortning er tilsvarende.<br /> <br /> ===Identitetselementet er unikt===<br /> <br /> Anta at <tex>e_1</tex> og <tex>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <tex>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .<br /> <br /> <br /> Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <tex>b</tex> slik at <tex>a*b=a</tex> for en <tex>a</tex>, så er <tex>b=e</tex>.<br /> <br /> ===Inverser er unike===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=e</tex>. Da er <tex>b=a^{-1}</tex>. Anta at <tex>c*a=e</tex>. Da er <tex>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.<br /> <br /> ===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte===<br /> <br /> For elementer <tex>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <tex>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <tex>n</tex>.<br /> <br /> ==Undergrupper==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> være en gruppe, og la <tex>H</tex> være en ikketom undermengde av <tex>G</tex>, notert <tex>H\subset G</tex>. Da kalles <tex>(H,*)</tex> en undergruppe av <tex>(G,*)</tex> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <tex>G</tex>, notert ved <tex>H\leq G</tex>.<br /> <br /> To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis <tex>H</tex> er en ikketriviell undergruppe av <tex>G</tex> skriver vi <tex>H<G</tex>.<br /> <br /> ===Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper===<br /> <br /> De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, <tex>e</tex> må være et medlem i <tex>H</tex>, og for hvert element i <tex>H</tex>, må inversen også være et medlem.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: <tex>H</tex> er en under gruppe hvis og bare hvis for hver <tex>a,b \in H</tex>, så er <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Ettersom <tex>H</tex> ikke er tom, må det finnes et element <tex>a\in H</tex>. Dermed har vi at <tex>a*a^{-1}=e\in H</tex>, <tex>e*a^{-1}=a^{-1}\in H</tex>, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom <tex>b\in H</tex>, har vi <tex>b^{-1}\in H</tex>, så <tex>a*b \in H</tex> og <tex>H</tex> er dermed lukket.<br /> <br /> ==Orden==<br /> <br /> Ordenen til en gruppe <tex>G</tex> defineres som kardinaliteten til mengden <tex>G</tex>, notert <tex>o(G)</tex>. Hvis vi antar at <tex>a \in G</tex> og lar <tex>H=\{a^i | i\in \mathbb{Z}\}</tex>, vil <tex>H</tex> være en abelsk undergruppe av <tex>G</tex>, og vi kaller da <tex>H</tex> undergruppen av <tex>G</tex> generert av <tex>a</tex> og skriver <tex>H=\<a\></tex>. Vi kan da definere ordenen til et element <tex>a\in G</tex> som ordenen av undergruppen generert av <tex>a</tex>, det vil si <tex>o(a)\equiv o(H)</tex>. Merk at <tex>a</tex> har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en <tex>n\in \mathbb{N}</tex> slik at <tex>a^n=e</tex>, og <tex>o(a)</tex> er da den minste slike <tex>n</tex>.<br /> <br /> ===Sykliske grupper===<br /> <br /> En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex> generert av <tex>1</tex>.<br /> <br /> Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at <tex>G</tex> er generert av <tex>a</tex>, at <tex>H<G</tex> og at <tex>m</tex> er det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>. Anta så at det finnes et annet element <tex>a^n\in H</tex> med <tex>m<n</tex>. Hvis <tex>m</tex> ikke deler <tex>n</tex>, kan ikke <tex>m</tex> være det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>, ettersom <tex>a^{n-m}\in H</tex> og <tex>0<n-m<m</tex>. Altså må <tex>m</tex> dele <tex>n</tex>. Dermed er <tex>H</tex> generert av <tex>a^m</tex> og er dermed syklisk.<br /> <br /> ==Sideklasser==<br /> <br /> La <tex>H<G</tex>, og se på relasjonen <tex>a\sim b \, \Leftrightarrow \, a*b^{-1}\in H</tex>. Dette er en [[relasjoner|ekvivalensrelasjon]] på mengden <tex>G</tex>. Ekvivalensklassene er gitt ved<br /> <br /> <tex>[a]=\{b\in G \,|\, a\sim b\} = \{h*a \,|\, h\in H\} </tex><br /> <br /> For å se dette, merk at <tex>(h_1*a)*(h_2*a)^{-1}=h_1*a*a^{-1}*h_2^{-1}=h_1*h_2^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Mengden <tex>\{h*a \,|\, h\in H\}</tex> noteres <tex>Ha</tex> og kalles en høyre sideklasse til <tex>H</tex><br /> <br /> <br /> Alternativt kan vi la <tex>a\sim b \,\Leftrightarrow \, a^{-1}b\in H</tex>. Ekvivalensklassene blir da<br /> <br /> <tex>[a]=\{a*h \,|\, h\in H\} = aH</tex><br /> <br /> som kalles en venste sideklasse til <tex>H</tex>.<br /> <br /> <br /> Ettersom <tex>\sim</tex> er en ekvivalensrelasjon her, oppnår vi øyeblikkelig følgende resultater for høyre sideklasser. De tilsvarende utsagnene gjelder også for venstre sideklasser:<br /> <br /> 1. <tex>a\in H \, \Leftrightarrow \, Ha=H</tex><br /> <br /> 2. <tex>b\in Ha \,\Rightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 3. <tex>h\in H \, \Rightarrow H(h*a)=Ha</tex><br /> <br /> 4. <tex>Ha\cap Hb \neq \emptyset \, \Leftrightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 5. Mengden av høyre sideklasser av <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>.<br /> <br /> 6. <tex>a</tex> og <tex>b</tex> tilhører samme sideklasse kun hvis <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> ===Lagranges Teorem===<br /> <br /> La <tex>a\in G</tex>. Da er funksjonen <tex>f:H\rightarrow Ha</tex> gitt ved <tex>f(h)=a*h</tex> en bijeksjon. Dette kan sees ved å anvende forkortningsloven. Følgen av dette er at alle høyre sideklasser har samme orden. Samme argument kan benyttes på venstre sideklasser, og ettersom <tex>H</tex> er både en venste og høyre sideklasse, har alle sideklasser samme orden.<br /> <br /> <br /> Lagranges teorem sier at dersom <tex>H\leq G</tex> og <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>o(H)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> Beviset er elementært når vi vet at <tex>o(H)=o(Ha)=o(aH)</tex> for alle <tex>a\in G</tex>. Vi vet at sideklassene til <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>. Anta derfor at<br /> <br /> <tex>G=H\cup (Ha_1) \cup (Ha_2) \cup \, ... \, \cup (Ha_{t-1})</tex><br /> <br /> da følger det at<br /> <br /> <tex>o(G)=o(H)+|Ha_1|+|Ha_2| + ... + |Ha_{t-1}|=t\cdot o(H)</tex><br /> <br /> som beviser teoremet.<br /> <br /> <br /> Indeksen til en undergruppe <tex>H\leq G</tex> defineres som antallet venstre (eller høyre) sideklasser til <tex>H</tex> i <tex>G</tex> og noteres som <tex>[G:H]</tex>.<br /> <br /> For å se at <tex>H</tex> har like mange høyre sideklaser som venstre sideklasser, se på funksjonen <tex>f(H*a)=a^{-1}*H</tex>, som er en bijeksjon fra samlingen av høyre sideklasser til samlingen av venstre sideklasser.<br /> <br /> Verdien til <tex>[G:H]</tex> er lik tallet <tex>t</tex> i beviset av Lagranges teorem over, slik at<br /> <br /> <tex>o(G)=[G:H]\cdot o(H)</tex><br /> <br /> eller<br /> <br /> <tex>[G:H]=\frac{o(G)}{o(H)}</tex><br /> <br /> <br /> Lagranges teorem har flere øyeblikkelige konsekvenser:<br /> <br /> 1. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex> og <tex>a\in G</tex>, så er <tex>o(a)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> 2. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>a^{o(G)}=e</tex> for alle <tex>a\in G</tex>.<br /> <br /> 3. La <tex>p</tex> være et primtall. Da er alle grupper med orden <tex>p</tex> sykliske.<br /> <br /> ==Normale undergrupper og kvotientgrupper==<br /> <br /> La <tex>H\leq G</tex>. Da er følgende utsagn ekvivalente.<br /> <br /> 1. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}=H</tex><br /> <br /> 2. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}\subset H</tex><br /> <br /> 3. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aH=Ha</tex><br /> <br /> 4. Hver venstre sideklasse er en høyre sideklasse og omvendt.<br /> <br /> En undergruppe <tex>H</tex> som oppfyller disse kravene kalles en normal undergruppe til <tex>G</tex>.<br /> <br /> For enhver gruppe <tex>G</tex> er <tex>G</tex> selv og <tex>\{e\}</tex> normale undergrupper. Hvis <tex>G</tex> i tillegg er en abelsk gruppe, er alle undergrupper normale.<br /> <br /> ===Kvotientgrupper===<br /> <br /> Hvis <tex>N\leq G</tex> er en normal undegruppe, kan vi definere en gruppestruktur på sideklassene til <tex>N</tex> på følgende måte.<br /> <br /> La <tex>G/N</tex> være mengden av alle sideklasser til <tex>N</tex>. Dersom <tex>S_1=Na</tex> og <tex>S_2=Nb</tex>, definer produktet <tex>S_1*S_2 = (Na)*(Nb)=N(a*b)</tex>. Denne operasjonen en veldefinert. Identiteten er <tex>N</tex> og inverser er gitt ved <tex>(Na)^{-1}=Na^{-1}</tex>. Dersom <tex>o(G)<\infty</tex>, har vi i tillegg at <tex>o(G/N)=\frac{o(G)}{o(N)}</tex>.<br /> <br /> ==Homomorfier==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> og <tex>(H,\cdot )</tex> være grupper. En gruppehomomorfi (kort: homomorfi) fra <tex>G</tex> til <tex>H</tex> er en transformasjon<br /> <br /> <tex>\phi \,:\, G \rightarrow H</tex><br /> <br /> som bevarer gruppestrukturen, dvs.<br /> <br /> <tex>\phi (a*b) = \phi(a)\cdot \phi(b)</tex><br /> <br /> <br /> La <tex>G</tex> og <tex>H</tex> ha identitetselementer <tex>e</tex> og <tex>\bar{e}</tex>. Definer kjernen til en homomorfi som<br /> <br /> <tex>\tex{ker}(\phi)=\{a\in G \,:\, \phi(a)=\bar{e}\}=\phi^{-1}(\bar{e})</tex><br /> <br /> De følgende utsagnene følger direkte fra definisjonen av homomorfier.<br /> <br /> 1. <tex>\phi(e)=\bar{e}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\phi(a^{-1})=\phi(a)^{-1}</tex><br /> <br /> 3. Dersom <tex>A</tex> er en undergruppe av <tex>G</tex>, er <tex>\phi(A)</tex> en undergruppe av <tex>H</tex>. Det følger at <tex>R(\phi)=\{\phi(a)\,:\,a\in G\}</tex> er en undergruppe av <tex>H</tex>.<br /> <br /> 4. Dersom <tex>B</tex> er en undergruppe av B, er <tex>\phi^{-1}(B)</tex> en undergruppe av <tex>G</tex><br /> <br /> 5. Dersom <tex>\phi</tex> er injektiv, er <tex>\text{ker}(\phi)=\{e\}</tex><br /> <br /> 6. <tex>\text{ker}(\phi)</tex> er en normal undergruppe til <tex>G</tex><br /> <br /> 7. Dersom <tex>h\in H</tex>, er <tex>\phi^{-1}(h)</tex> en sideklasse av <tex>\text{ker}(\phi)</tex><br /> <br /> 8. Komposisjonen av to homomorfier <tex>\phi_1 \,:\, G\rightarrow H</tex> og <tex>\phi_2\,:\, H\rightarrow K</tex> er en ny homomorfi <tex>\phi_2\circ\phi_1 \,:\, G\rightarrow K</tex><br /> <br /> 9. Dersom <tex>\phi</tex> er en bijeksjon, er <tex>\phi^{-1}\,:\, H\to G</tex> en homomorfi, og <tex>\phi</tex> kalles da en isomorfi og vi skriver <tex>G\simeq H</tex>. Hvis <tex>G=H</tex> kalles <tex>\phi</tex> en automorfi.<br /> <br /> 10. La <tex>\phi</tex> være en isomorfi. Da er:<br /> : i) <tex>A\leq G</tex> hvis og bare hvis <tex>\phi(A)\leq H</tex><br /> : ii) <tex>A\leq G</tex> er en normal undergruppe hvis og bare hvis <tex>f(A)\leq H</tex> er en normal undergruppe.<br /> : iii) <tex>G</tex> er syklisk hvis og bare hvis <tex>H</tex> er syklisk.<br /> <br /> ===Det første isomorfiteoremet===<br /> <br /> Anta at <tex>N\leq G</tex> er en normal undergruppe. Da er<br /> <br /> <tex>\pi\,:\, G \rightarrow G/N</tex><br /> <br /> definert ved <tex>\pi(a)=Ha</tex> en surjektiv homomorfi med kjerne <tex>\text{ker}(\pi)=N</tex>.<br /> <br /> Hvis i tillegg <tex>\phi\,:\, G\rightarrow H</tex> er en surjektiv homomorfi med kjerne <tex>N</tex>, har vi <tex>G\simeq H</tex>.<br /> <br /> : ''Bevis:''<br /> <br /> : Ettersom <tex>\phi</tex> har kjerne <tex>N</tex> vil førbildet av enhver <tex>h\in H</tex> være et sideklasse av <tex>N</tex>:<br /> <br /> : <tex>\phi^{-1}(h)=Ng</tex> for en <tex>g\in G</tex>.<br /> <br /> : Anta at <tex>h_1,h_2\in H</tex> og <tex>\phi^{-1}(h_1)=\phi^{-1}(h_2)=Ng</tex>. Da har vi at <tex>h_1=\phi\left(\phi^{-1}(h_1)\right)=\phi\left(\phi^{-1}(h_2)\right)=h_2</tex>, så <tex>\pi\circ \phi^{-1}</tex> er en injektiv homomorfi fra <tex>H</tex> til <tex>G/N</tex>.<br /> <br /> : Anta videre at <tex>Ng\in G/N</tex>. Ettersom <tex>\phi</tex> er en surjektiv homomorfi, vil det finnes en <tex>h\in H</tex> slik at <tex>\phi(g)=h</tex>, og dermed er <tex>\pi\circ \phi^{-1}(h)=Ng</tex>, altså er <tex>\pi\circ \phi^{-1}</tex> en surjektiv homomorfi.<br /> <br /> : Ettersom <tex>\pi\circ\phi^{-1}:H\rightarrow G/N</tex> er både injektiv og surjektiv, er den en isomorfi, og dermed har vi at <tex>H\simeq G/N</tex> som skulle bevises.<br /> <br /> <br /> Generellt gjelder det at dersom <tex>\phi:G\rightarrow H</tex> er en homomorfi, så er <tex>G/\ker(\phi)\simeq R(\phi)</tex><br /> <br /> ===Senteret til en gruppe===<br /> <br /> Se på funksjonen <tex>\phi(a)=\varphi_a\,:\,G\rightarrow G</tex> slik at <tex>\varphi_a(g)=aga^{-1}</tex> for alle <tex>a,g\in G</tex><br /> <br /> Da er <tex>\varphi_a</tex> en isomorfi fra <tex>G</tex> til seg selv, kalt en automorfi. En automorfi av typen <tex>\varphi_a</tex> kalles en indre automorfi, og gruppen av alle indre automorfier på <tex>G</tex> (Vis at denne faktisk er en gruppe) noteres <tex>\text{Inn}(G)</tex>.<br /> <br /> Dermed er <tex>\phi</tex> en homomorfi fra <tex>G</tex> til <tex>\text{Inn}(G)</tex>.<br /> <br /> Kjernen til <tex>\phi</tex> er gitt ved <tex>Z_G=\{a\in G \,:\, ag=ga \,\forall\,g\in G\} </tex>, altså de elementer som kommuterer med alle andre elementer i <tex>G</tex>. Dette er en normal undergruppe til <tex>G</tex> og kalles senteret til <tex>G</tex>.<br /> <br /> Ved det første isomorfiteoremet har vi dermed at <tex>G/Z(G) \simeq \text{Inn}(G)</tex>.<br /> <br /> <br /> Dersom <tex>G/Z(G)</tex> er syklisk, er <tex>G</tex> en abelsk gruppe, og dermed er <tex>G=Z(G)</tex> og <tex>G/Z(G)</tex> er triviell.<br /> <br /> ==Ytre produkter av grupper==<br /> <br /> La <tex>G</tex> og <tex>G</tex> være grupper. Da kan vi definere produktet av gruppene som mengden med ordnede par <tex>G\times H=\{(g,h)\,:\, g\in G\, \wedge \, h\in H\}</tex><br /> <br /> Med operasjonen <tex>*</tex> definert slik at <tex>(g_1,h_1)*(g_2,h_2)=(g_1*g_2,h_1*h_2)</tex>, der <tex>g</tex>. ene multipliseres i <tex>G</tex> osv, blir dette en gruppe.<br /> <br /> ===Undergrupper===<br /> <br /> Hvis <tex>G\times H</tex> er et produkt av grupper, så er <tex>A\times B</tex>, der <tex>A\leq G</tex> og <tex>B\leq H</tex> en undergruppe. Alle undergruppene til <tex>G\times H</tex> kan skrives på denne formen.<br /> <br /> Spesiellt har vi de normale undergruppene <tex>G\times \{\bar{e}\}</tex> og <tex>\{e\}\times H</tex>, som er isomorfe til henholdsvis <tex>G</tex> og <tex>H</tex>. Dermed er både <tex>G</tex> og <tex>H</tex> normale undergrupper til <tex>G\times H</tex>.<br /> <br /> Definer projeksjonshomomorfien <tex>\pi_G ((g,h))=(g,\bar{e})</tex> for alle <tex>g\in G\,,\, h\in H</tex>. Da har <tex>\pi_G</tex> kjerne <tex>\{e\}\times H\simeq H</tex> og verdimengde <tex>G\times \{\bar{e}\} \simeq G</tex>, så ved det første isomorfiteoremet har vi at <tex>\frac{G\times H}{H}\simeq G</tex>, og på samme måte at <tex>\frac{G\times H}{G}\simeq H</tex>, noe man skulle forvente.<br /> <br /> ==Gruppen (Z,+)==<br /> <br /> I denne seksjonen vil vi studere spesiellt nøye gruppen av heltall under addisjon, og ta i bruk alt fra tidligere seksjoner.<br /> <br /> Vi vil studere <tex>(Z,+)</tex>, som heretter noteres som <tex>Z</tex>.<br /> <br /> Akkurat som vi for generelle grupper noterte <tex>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n\text{ elementer}}</tex> vil vi her notere <tex>na=\underbrace{a+a+\,...\,+a}_{n\text{ elementer}}</tex><br /> <br /> ===Undergrupper og kvotienter=== <br /> <br /> For det første er denne gruppen abelsk, så enhver undergruppe er normal.<br /> <br /> Vi kan notere ved <tex>nZ</tex> undergruppen av <tex>Z</tex> bestående av tall som er delelige på <tex>n</tex>. Homomorfien som definerer den er<br /> <br /> <tex>m_n(a)=na</tex> der <tex>a,n\in Z</tex>.<br /> <br /> Et teorem i tallteori sier at enhver undergruppe av <tex>Z</tex> er på denne formen.<br /> <br /> For å se dette, anta at <tex>a</tex> er det minste positive elementet i <tex>G < Z</tex>, og at det finnes et element <tex>b\in G</tex> slik at <tex>b>a</tex>. Da kan <tex>b</tex> skrives unikt på formen <tex>b=as+r</tex>, der <tex>r,s\in Z</tex> og <tex>0\leq r < |a|</tex>. Antagelsken er at <tex>r\neq 0</tex>, men ettersom <tex>G</tex> er lukket under addisjon, betyr dette at <tex>b-as=r\in G</tex>, som er en motsigelse fordi <tex>a</tex> er det minste positive elementet i <tex>Z</tex>. Altså må <tex>r=0</tex> og <tex>G=aZ</tex>.<br /> <br /> <br /> Sideklassene til <tex>nZ</tex> blir altså på formen <tex>b+nZ</tex> der <tex>b\in [0,n-1]\subset Z</tex>.<br /> <br /> ==Symmetrigruppen på n elementer==<br /> <br /> [[Kategori:Algebra]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Kongruensregning&diff=6396 Kongruensregning 2011-10-02T17:52:00Z

<p>Espen180: Ny side: ==Introduksjon til kongruenser== Anta at alle størrelser er heltall med mindre annet er spesifisert. Gitt <tex>a</tex> og <tex>b</tex> vet vi at det finnes unike <tex>s,r</tex> slik at ...</p> <hr /> <div>==Introduksjon til kongruenser==<br /> <br /> Anta at alle størrelser er heltall med mindre annet er spesifisert.<br /> <br /> Gitt <tex>a</tex> og <tex>b</tex> vet vi at det finnes unike <tex>s,r</tex> slik at<br /> <br /> <tex>a=bs+r</tex><br /> <br /> Vi kan gi dette notasjonen<br /> <br /> <tex>a\equiv r \,(\text{mod}\,b)</tex><br /> <br /> (les: <tex>a</tex> er kongruent med <tex>r</tex> modulo <tex>b</tex>) eller ganske enkelt<br /> <br /> <tex>a\equiv r</tex><br /> <br /> dersom <tex>\,(\text{mod}\,b)</tex> er inneforstått.<br /> <br /> ===Elementære egenskaper===<br /> <br /> For det første er det åpenbart at hvis <tex>a=c+bd</tex>, så er <tex>a\equiv c \,(\text{mod}\,b)</tex>. Følgelig har vi at<br /> <br /> : i) <tex>a\equiv a</tex><br /> <br /> : ii) <tex>a\equiv c</tex> hvis og bare hvis <tex>c\equiv a</tex><br /> <br /> : iii) Hvis <tex>a\equiv c</tex> og <tex>c\equiv e</tex>, så må <tex>a\equiv e</tex><br /> <br /> Følgelig er kongruens en [[relasjoner#Ekvivalensrelasjoner|ekvivalensrelasjon]]<br /> <br /> ==Regning med kongruenser==</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Introduksjon_til_komplekse_tall&diff=6388 Introduksjon til komplekse tall 2011-09-30T19:06:54Z

<p>Espen180: /* Sammenheng med komplekse tall */</p> <hr /> <div>Denne artikkelen introduserer komplekse tall som en måte å multiplisere punkter i det euklidske planet. Den tar sikte på å gi konseptet om komplekse tall et konkret rammeverk, heller enn å utvikle avledede konsepter.<br /> <br /> ==Introduksjon==<br /> <br /> Se på punkter i det euklidske planet. Fra elementær vektorregning vet vi at hvis vi har to punkter <tex>P(a,b)</tex> og <tex>Q(c,d)</tex> kan vi definere en måte å addere dem på. Dette er vanlig vektoraddisjon, og resultatet er<br /> <br /> <tex>P+Q=(a+c,b+d)</tex><br /> <br /> Det vi vil gjøre nå er å lage en måte å multiplisere to punkter på. For å gjøre dette må vi bestemme oss for hvordan vi vil at operasjonen vår skal oppføre seg. For eksempel vil vi at deling skal være mulig med alle punkter untatt <tex>(0,0)</tex>. Merk at på grunn av dette kan vi ikke definere multiplikasjonen som <tex>PQ=(ac,bd)</tex>, fordi da kan vi ikke dele på noen punkter på formen <tex>(a,0)</tex> eller <tex>(0,b)</tex>.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det blir lettere å definere multiplikasjon dersom vi går over til å bruke polare kooordinater. La oss innføre notasjonen <tex>(a,b)=\< r,\theta \></tex> for punkter skrevet på polar form. Som en påminnelse følger nå formlene for å gå fra kartesisk til polar form og tilbake.<br /> <br /> Gitt <tex>(x,y)=\<r,\theta\></tex>, har vi at<br /> <br /> <tex>r=\sqrt{x^2+y^2}</tex> og <tex>\tan\, \theta = \frac{y}{x}</tex>, med <tex>\theta</tex> i samme kvadrant som <tex>(x,y)</tex>.<br /> <br /> Motsatt vei har vi<br /> <br /> <tex>x=r\cos \, \theta</tex> og <tex>y=r\sin\,\theta</tex><br /> <br /> <br /> Et forslag til en mulig multiplikasjon blir da<br /> <br /> <tex>\< r_1,\theta _1\>\< r_2 , \theta_2 \> = \< r_1r_2 , \theta_1+\theta_2\></tex><br /> <br /> På polar form er det eneste punktet med <tex>r=0</tex> punktet <tex>(0,0)</tex>, så vi har oppfylt krevat til inverser. La oss se nermere på noen av egenskapene til denne typen multiplikasjon.<br /> <br /> ==Elementære egenskaper==<br /> <br /> Ettersom det er rimelig opplagt at for alle punkter <tex>P,Q</tex> har vi <tex>PQ=QP</tex>, la oss se på uttrykket <tex>P(Q+R)</tex>. Vi vil gjerne at dette skal være lik <tex>PQ+PR</tex> som med vanlige tall. Dette viser seg å være sant, men er noe rotete å vise.<br /> <br /> Ettersom å addere punkter i det polare planet er rimelig kronglete, la oss heller se på hvordan vi kan utrykke multiplikasjonen vi definerte i kartesiske koordinater.<br /> <br /> <br /> Vi vet altså at <tex>r_1=\sqrt{a^2+b^2}</tex>, <tex>\tan\,\theta_1 = \frac{b}{a}</tex>, <tex>r_2=\sqrt{c^2+d^2}</tex> og <tex>\tan\,\theta_2=\frac{d}{c}</tex>. Da får vi at produket av <tex>(a,b)</tex> og <tex>(c,d)</tex> på polar form er gitt ved<br /> <br /> <tex>r=\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</tex> og <tex>\theta=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\arctan\left(\frac{d}{c}\right)=\arctan\left(\frac{\frac{b}{a}+\frac{d}{c}}{1-\frac{bd}{ac}}\right)=\arctan\left(\frac{ad+bc}{ac-bd}\right)</tex><br /> <br /> Fra kjente trigonometriske identiteter får vi da uttrykk for sin og cos:<br /> <br /> <tex>\cos^2\theta=\frac{1}{1+\tan^2\theta}=\frac{(ac-bd)^2}{(ac-bd)^2+(ad+bc)^2}=\frac{(ac-bd)^2}{a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2}=\frac{(ac-bd)^2}{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</tex><br /> <br /> og<br /> <br /> <tex>\sin^2\theta=\tan^2\theta \cos^2\theta=\frac{(ad+bc)^2}{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</tex><br /> <br /> Så vi får som resultat at<br /> <br /> <tex>x=r\cos\,\theta=ac-bd</tex><br /> <br /> og<br /> <br /> <tex>y=r\sin\,\theta=ad+bc</tex><br /> <br /> Så vi har statfestet at dersom <tex>P=(a,b)</tex> og <tex>Q=(c,d)</tex>, så er<br /> <br /> <tex>PQ=(ac-bd,ad+bc)</tex><br /> <br /> ==Sammenheng med komplekse tall==<br /> <br /> <br /> Det følger smertefritt fra diskusjonen ovenfor at<br /> :1) <tex>(1,0)\cdot (1,0)=(1,0)</tex><br /> :2) <tex>(0,1)\cdot (0,1)=(-1,0)</tex><br /> :3) <tex>(0,1)\cdot (1,0)=(0,1)</tex><br /> <br /> <br /> Ettersom vi har at <tex>AB=BA</tex> og <tex>A(B+C)=AB+AC</tex> for alle punkter <tex>A,B,C</tex>, kan vi bestemme alle produkter fra disse 3 reglene.<br /> <br /> Ettersom det er mye arbeid å skrive ut paranteser med koordinater hver gang vi vil bruke denne operasjonen, er det derimot fristende å lage en kortnotasjon for punktene. La oss derfor kalle <tex>(1,0)</tex> for <tex>1</tex> og <tex>(0,1)</tex> for <tex>i</tex>. Da kan alle punkter i planet uttrykkes som en sum <tex>a+bi</tex> for tall <tex>a</tex> og <tex>b</tex>, og vi har<br /> <br /> <tex>(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i</tex><br /> <br /> og<br /> <br /> <tex>(a+bi)\cdot(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</tex><br /> <br /> <br /> Disse er de vanlige regnereglene for komplekse tall, og vi har dermed vist at regning med komplekse tall ikke er noe mer enn regning med punkter i planet, med en bestemt type multiplikasjon.<br /> <br /> Herfra følger dermed alle resultater som gjelder for komplekse tall.</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Introduksjon_til_komplekse_tall&diff=6387 Introduksjon til komplekse tall 2011-09-30T19:06:42Z

<p>Espen180: /* Sammenheng med komplekse tall */</p> <hr /> <div>Denne artikkelen introduserer komplekse tall som en måte å multiplisere punkter i det euklidske planet. Den tar sikte på å gi konseptet om komplekse tall et konkret rammeverk, heller enn å utvikle avledede konsepter.<br /> <br /> ==Introduksjon==<br /> <br /> Se på punkter i det euklidske planet. Fra elementær vektorregning vet vi at hvis vi har to punkter <tex>P(a,b)</tex> og <tex>Q(c,d)</tex> kan vi definere en måte å addere dem på. Dette er vanlig vektoraddisjon, og resultatet er<br /> <br /> <tex>P+Q=(a+c,b+d)</tex><br /> <br /> Det vi vil gjøre nå er å lage en måte å multiplisere to punkter på. For å gjøre dette må vi bestemme oss for hvordan vi vil at operasjonen vår skal oppføre seg. For eksempel vil vi at deling skal være mulig med alle punkter untatt <tex>(0,0)</tex>. Merk at på grunn av dette kan vi ikke definere multiplikasjonen som <tex>PQ=(ac,bd)</tex>, fordi da kan vi ikke dele på noen punkter på formen <tex>(a,0)</tex> eller <tex>(0,b)</tex>.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det blir lettere å definere multiplikasjon dersom vi går over til å bruke polare kooordinater. La oss innføre notasjonen <tex>(a,b)=\< r,\theta \></tex> for punkter skrevet på polar form. Som en påminnelse følger nå formlene for å gå fra kartesisk til polar form og tilbake.<br /> <br /> Gitt <tex>(x,y)=\<r,\theta\></tex>, har vi at<br /> <br /> <tex>r=\sqrt{x^2+y^2}</tex> og <tex>\tan\, \theta = \frac{y}{x}</tex>, med <tex>\theta</tex> i samme kvadrant som <tex>(x,y)</tex>.<br /> <br /> Motsatt vei har vi<br /> <br /> <tex>x=r\cos \, \theta</tex> og <tex>y=r\sin\,\theta</tex><br /> <br /> <br /> Et forslag til en mulig multiplikasjon blir da<br /> <br /> <tex>\< r_1,\theta _1\>\< r_2 , \theta_2 \> = \< r_1r_2 , \theta_1+\theta_2\></tex><br /> <br /> På polar form er det eneste punktet med <tex>r=0</tex> punktet <tex>(0,0)</tex>, så vi har oppfylt krevat til inverser. La oss se nermere på noen av egenskapene til denne typen multiplikasjon.<br /> <br /> ==Elementære egenskaper==<br /> <br /> Ettersom det er rimelig opplagt at for alle punkter <tex>P,Q</tex> har vi <tex>PQ=QP</tex>, la oss se på uttrykket <tex>P(Q+R)</tex>. Vi vil gjerne at dette skal være lik <tex>PQ+PR</tex> som med vanlige tall. Dette viser seg å være sant, men er noe rotete å vise.<br /> <br /> Ettersom å addere punkter i det polare planet er rimelig kronglete, la oss heller se på hvordan vi kan utrykke multiplikasjonen vi definerte i kartesiske koordinater.<br /> <br /> <br /> Vi vet altså at <tex>r_1=\sqrt{a^2+b^2}</tex>, <tex>\tan\,\theta_1 = \frac{b}{a}</tex>, <tex>r_2=\sqrt{c^2+d^2}</tex> og <tex>\tan\,\theta_2=\frac{d}{c}</tex>. Da får vi at produket av <tex>(a,b)</tex> og <tex>(c,d)</tex> på polar form er gitt ved<br /> <br /> <tex>r=\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</tex> og <tex>\theta=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\arctan\left(\frac{d}{c}\right)=\arctan\left(\frac{\frac{b}{a}+\frac{d}{c}}{1-\frac{bd}{ac}}\right)=\arctan\left(\frac{ad+bc}{ac-bd}\right)</tex><br /> <br /> Fra kjente trigonometriske identiteter får vi da uttrykk for sin og cos:<br /> <br /> <tex>\cos^2\theta=\frac{1}{1+\tan^2\theta}=\frac{(ac-bd)^2}{(ac-bd)^2+(ad+bc)^2}=\frac{(ac-bd)^2}{a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2}=\frac{(ac-bd)^2}{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</tex><br /> <br /> og<br /> <br /> <tex>\sin^2\theta=\tan^2\theta \cos^2\theta=\frac{(ad+bc)^2}{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</tex><br /> <br /> Så vi får som resultat at<br /> <br /> <tex>x=r\cos\,\theta=ac-bd</tex><br /> <br /> og<br /> <br /> <tex>y=r\sin\,\theta=ad+bc</tex><br /> <br /> Så vi har statfestet at dersom <tex>P=(a,b)</tex> og <tex>Q=(c,d)</tex>, så er<br /> <br /> <tex>PQ=(ac-bd,ad+bc)</tex><br /> <br /> ==Sammenheng med komplekse tall==<br /> <br /> <br /> Det følger ganske smertefritt fra diskusjonen ovenfor at<br /> :1) <tex>(1,0)\cdot (1,0)=(1,0)</tex><br /> :2) <tex>(0,1)\cdot (0,1)=(-1,0)</tex><br /> :3) <tex>(0,1)\cdot (1,0)=(0,1)</tex><br /> <br /> <br /> Ettersom vi har at <tex>AB=BA</tex> og <tex>A(B+C)=AB+AC</tex> for alle punkter <tex>A,B,C</tex>, kan vi bestemme alle produkter fra disse 3 reglene.<br /> <br /> Ettersom det er mye arbeid å skrive ut paranteser med koordinater hver gang vi vil bruke denne operasjonen, er det derimot fristende å lage en kortnotasjon for punktene. La oss derfor kalle <tex>(1,0)</tex> for <tex>1</tex> og <tex>(0,1)</tex> for <tex>i</tex>. Da kan alle punkter i planet uttrykkes som en sum <tex>a+bi</tex> for tall <tex>a</tex> og <tex>b</tex>, og vi har<br /> <br /> <tex>(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i</tex><br /> <br /> og<br /> <br /> <tex>(a+bi)\cdot(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i</tex><br /> <br /> <br /> Disse er de vanlige regnereglene for komplekse tall, og vi har dermed vist at regning med komplekse tall ikke er noe mer enn regning med punkter i planet, med en bestemt type multiplikasjon.<br /> <br /> Herfra følger dermed alle resultater som gjelder for komplekse tall.</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Gruppeteori&diff=6386 Gruppeteori 2011-09-29T19:29:22Z

<p>Espen180: /* Senteret til en gruppe */</p> <hr /> <div>Gruppeteori er en gren av [[Algebra]] og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.<br /> <br /> ==Definisjon==<br /> <br /> La <tex>G</tex> være en ikketom mengde med <tex>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <tex>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:<br /> <br /> <br /> 1. <tex>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon)<br /> <br /> 2. <tex>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)<br /> <br /> 3. <tex>\exists e \in G</tex> slik at <tex>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)<br /> <br /> 4. <tex>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <tex>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)<br /> <br /> 5. <tex>a*b=b*a</tex><br /> <br /> <br /> En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive <tex>G</tex>, og la operasjonen være implisert.<br /> <br /> For en <tex>a\in G</tex> kan vi innføre forkortelsen <tex>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n \text{ elementer}}</tex>. Tilsvarende innfører vi <tex>a^{-n}=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\, ... \, * a^{-1}}_{n \text{ elementer}}</tex>. Dermed oppnår vi sammenhengene<br /> <br /> 1. <tex>a^n*a^m=a^{n+m}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\left(a^n\right)^m=a^{nm}</tex><br /> <br /> 3. <tex>a^0 = e</tex><br /> <br /> ===Eksempel 1===<br /> <br /> Heltallene <tex>\mathbb{Z}</tex> med vanlig addisjon av heltall er et viktig eksempel på en abelsk gruppe. Identiteten er gitt ved <tex>e=0</tex> og inverser ved <tex>a^{-1}=-a</tex>.<br /> <br /> Lignende eksempler er de rasjonale tallene <tex>\mathbb{Q}</tex>, de reelle tallene <tex>\mathbb{R}</tex> og de komplekse tallene <tex>\mathbb{C}</tex>.<br /> <br /> ''Er <tex>\mathbb{R}</tex> en gruppe under vanlig multiplikasjon av tall? Hvis ikke, hva er den største undermengden av <tex>\mathbb{R}</tex> som er en gruppe under multiplikasjon? Besvar samme spørsmål for <tex>\mathbb{Q}</tex>, <tex>\mathbb{C}</tex> og <tex>\mathbb{Z}</tex>.''<br /> <br /> ===Eksempel 2===<br /> <br /> La <tex>X</tex> være en mengde, og la <tex>B(X)</tex> være en ikketom samling av undermengder av <tex>X</tex>. For <tex>U,V\in B(X)</tex>, definer<br /> <br /> <tex>U-V=\{x\in U \,\wedge \, x\not\in V\}</tex><br /> <br /> definer så<br /> <br /> <tex>U*V=(U-V)\cup (V-U)</tex><br /> <br /> kalt den symmetriske differansen av <tex>U</tex> og <tex>V</tex>.<br /> <br /> Da er <tex>(B(X),*)</tex> en abelsk gruppe og kalles den Boolske gruppen. Identiteten er <tex>e=\emptyset</tex> og <tex>U^{-1}=U</tex> for alle <tex>U\in B(X)</tex>.<br /> <br /> Vi overlater til leseren å vise assosiativitet.<br /> <br /> ==Elementære resultater==<br /> <br /> ===Forkortningslov===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=a*c</tex> eller <tex>b*a=c*a</tex>. Da er <tex>b=c</tex><br /> <br /> <br /> Bevis: <tex>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex>. Beviset for venstre forkortning er tilsvarende.<br /> <br /> ===Identitetselementet er unikt===<br /> <br /> Anta at <tex>e_1</tex> og <tex>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <tex>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .<br /> <br /> <br /> Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <tex>b</tex> slik at <tex>a*b=a</tex> for en <tex>a</tex>, så er <tex>b=e</tex>.<br /> <br /> ===Inverser er unike===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=e</tex>. Da er <tex>b=a^{-1}</tex>. Anta at <tex>c*a=e</tex>. Da er <tex>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.<br /> <br /> ===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte===<br /> <br /> For elementer <tex>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <tex>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <tex>n</tex>.<br /> <br /> ==Undergrupper==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> være en gruppe, og la <tex>H</tex> være en ikketom undermengde av <tex>G</tex>, notert <tex>H\subset G</tex>. Da kalles <tex>(H,*)</tex> en undergruppe av <tex>(G,*)</tex> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <tex>G</tex>, notert ved <tex>H\leq G</tex>.<br /> <br /> To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis <tex>H</tex> er en ikketriviell undergruppe av <tex>G</tex> skriver vi <tex>H<G</tex>.<br /> <br /> ===Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper===<br /> <br /> De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, <tex>e</tex> må være et medlem i <tex>H</tex>, og for hvert element i <tex>H</tex>, må inversen også være et medlem.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: <tex>H</tex> er en under gruppe hvis og bare hvis for hver <tex>a,b \in H</tex>, så er <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Ettersom <tex>H</tex> ikke er tom, må det finnes et element <tex>a\in H</tex>. Dermed har vi at <tex>a*a^{-1}=e\in H</tex>, <tex>e*a^{-1}=a^{-1}\in H</tex>, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom <tex>b\in H</tex>, har vi <tex>b^{-1}\in H</tex>, så <tex>a*b \in H</tex> og <tex>H</tex> er dermed lukket.<br /> <br /> ==Orden==<br /> <br /> Ordenen til en gruppe <tex>G</tex> defineres som kardinaliteten til mengden <tex>G</tex>, notert <tex>o(G)</tex>. Hvis vi antar at <tex>a \in G</tex> og lar <tex>H=\{a^i | i\in \mathbb{Z}\}</tex>, vil <tex>H</tex> være en abelsk undergruppe av <tex>G</tex>, og vi kaller da <tex>H</tex> undergruppen av <tex>G</tex> generert av <tex>a</tex> og skriver <tex>H=\<a\></tex>. Vi kan da definere ordenen til et element <tex>a\in G</tex> som ordenen av undergruppen generert av <tex>a</tex>, det vil si <tex>o(a)\equiv o(H)</tex>. Merk at <tex>a</tex> har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en <tex>n\in \mathbb{N}</tex> slik at <tex>a^n=e</tex>, og <tex>o(a)</tex> er da den minste slike <tex>n</tex>.<br /> <br /> ===Sykliske grupper===<br /> <br /> En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex> generert av <tex>1</tex>.<br /> <br /> Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at <tex>G</tex> er generert av <tex>a</tex>, at <tex>H<G</tex> og at <tex>m</tex> er det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>. Anta så at det finnes et annet element <tex>a^n\in H</tex> med <tex>m<n</tex>. Hvis <tex>m</tex> ikke deler <tex>n</tex>, kan ikke <tex>m</tex> være det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>, ettersom <tex>a^{n-m}\in H</tex> og <tex>0<n-m<m</tex>. Altså må <tex>m</tex> dele <tex>n</tex>. Dermed er <tex>H</tex> generert av <tex>a^m</tex> og er dermed syklisk.<br /> <br /> ==Sideklasser==<br /> <br /> La <tex>H<G</tex>, og se på relasjonen <tex>a\sim b \, \Leftrightarrow \, a*b^{-1}\in H</tex>. Dette er en [[relasjoner|ekvivalensrelasjon]] på mengden <tex>G</tex>. Ekvivalensklassene er gitt ved<br /> <br /> <tex>[a]=\{b\in G \,|\, a\sim b\} = \{h*a \,|\, h\in H\} </tex><br /> <br /> For å se dette, merk at <tex>(h_1*a)*(h_2*a)^{-1}=h_1*a*a^{-1}*h_2^{-1}=h_1*h_2^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Mengden <tex>\{h*a \,|\, h\in H\}</tex> noteres <tex>Ha</tex> og kalles en høyre sideklasse til <tex>H</tex><br /> <br /> <br /> Alternativt kan vi la <tex>a\sim b \,\Leftrightarrow \, a^{-1}b\in H</tex>. Ekvivalensklassene blir da<br /> <br /> <tex>[a]=\{a*h \,|\, h\in H\} = aH</tex><br /> <br /> som kalles en venste sideklasse til <tex>H</tex>.<br /> <br /> <br /> Ettersom <tex>\sim</tex> er en ekvivalensrelasjon her, oppnår vi øyeblikkelig følgende resultater for høyre sideklasser. De tilsvarende utsagnene gjelder også for venstre sideklasser:<br /> <br /> 1. <tex>a\in H \, \Leftrightarrow \, Ha=H</tex><br /> <br /> 2. <tex>b\in Ha \,\Rightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 3. <tex>h\in H \, \Rightarrow H(h*a)=Ha</tex><br /> <br /> 4. <tex>Ha\cap Hb \neq \emptyset \, \Leftrightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 5. Mengden av høyre sideklasser av <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>.<br /> <br /> 6. <tex>a</tex> og <tex>b</tex> tilhører samme sideklasse kun hvis <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> ===Lagranges Teorem===<br /> <br /> La <tex>a\in G</tex>. Da er funksjonen <tex>f:H\rightarrow Ha</tex> gitt ved <tex>f(h)=a*h</tex> en bijeksjon. Dette kan sees ved å anvende forkortningsloven. Følgen av dette er at alle høyre sideklasser har samme orden. Samme argument kan benyttes på venstre sideklasser, og ettersom <tex>H</tex> er både en venste og høyre sideklasse, har alle sideklasser samme orden.<br /> <br /> <br /> Lagranges teorem sier at dersom <tex>H\leq G</tex> og <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>o(H)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> Beviset er elementært når vi vet at <tex>o(H)=o(Ha)=o(aH)</tex> for alle <tex>a\in G</tex>. Vi vet at sideklassene til <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>. Anta derfor at<br /> <br /> <tex>G=H\cup (Ha_1) \cup (Ha_2) \cup \, ... \, \cup (Ha_{t-1})</tex><br /> <br /> da følger det at<br /> <br /> <tex>o(G)=o(H)+|Ha_1|+|Ha_2| + ... + |Ha_{t-1}|=t\cdot o(H)</tex><br /> <br /> som beviser teoremet.<br /> <br /> <br /> Indeksen til en undergruppe <tex>H\leq G</tex> defineres som antallet venstre (eller høyre) sideklasser til <tex>H</tex> i <tex>G</tex> og noteres som <tex>[G:H]</tex>.<br /> <br /> For å se at <tex>H</tex> har like mange høyre sideklaser som venstre sideklasser, se på funksjonen <tex>f(H*a)=a^{-1}*H</tex>, som er en bijeksjon fra samlingen av høyre sideklasser til samlingen av venstre sideklasser.<br /> <br /> Verdien til <tex>[G:H]</tex> er lik tallet <tex>t</tex> i beviset av Lagranges teorem over, slik at<br /> <br /> <tex>o(G)=[G:H]\cdot o(H)</tex><br /> <br /> eller<br /> <br /> <tex>[G:H]=\frac{o(G)}{o(H)}</tex><br /> <br /> <br /> Lagranges teorem har flere øyeblikkelige konsekvenser:<br /> <br /> 1. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex> og <tex>a\in G</tex>, så er <tex>o(a)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> 2. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>a^{o(G)}=e</tex> for alle <tex>a\in G</tex>.<br /> <br /> 3. La <tex>p</tex> være et primtall. Da er alle grupper med orden <tex>p</tex> sykliske.<br /> <br /> ==Normale undergrupper og kvotientgrupper==<br /> <br /> La <tex>H\leq G</tex>. Da er følgende utsagn ekvivalente.<br /> <br /> 1. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}=H</tex><br /> <br /> 2. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}\subset H</tex><br /> <br /> 3. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aH=Ha</tex><br /> <br /> 4. Hver venstre sideklasse er en høyre sideklasse og omvendt.<br /> <br /> En undergruppe <tex>H</tex> som oppfyller disse kravene kalles en normal undergruppe til <tex>G</tex>.<br /> <br /> For enhver gruppe <tex>G</tex> er <tex>G</tex> selv og <tex>\{e\}</tex> normale undergrupper. Hvis <tex>G</tex> i tillegg er en abelsk gruppe, er alle undergrupper normale.<br /> <br /> ===Kvotientgrupper===<br /> <br /> Hvis <tex>N\leq G</tex> er en normal undegruppe, kan vi definere en gruppestruktur på sideklassene til <tex>N</tex> på følgende måte.<br /> <br /> La <tex>G/N</tex> være mengden av alle sideklasser til <tex>N</tex>. Dersom <tex>S_1=Na</tex> og <tex>S_2=Nb</tex>, definer produktet <tex>S_1*S_2 = (Na)*(Nb)=N(a*b)</tex>. Denne operasjonen en veldefinert. Identiteten er <tex>N</tex> og inverser er gitt ved <tex>(Na)^{-1}=Na^{-1}</tex>. Dersom <tex>o(G)<\infty</tex>, har vi i tillegg at <tex>o(G/N)=\frac{o(G)}{o(N)}</tex>.<br /> <br /> ==Homomorfier==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> og <tex>(H,\cdot )</tex> være grupper. En gruppehomomorfi (kort: homomorfi) fra <tex>G</tex> til <tex>H</tex> er en transformasjon<br /> <br /> <tex>\phi \,:\, G \rightarrow H</tex><br /> <br /> som bevarer gruppestrukturen, dvs.<br /> <br /> <tex>\phi (a*b) = \phi(a)\cdot \phi(b)</tex><br /> <br /> <br /> La <tex>G</tex> og <tex>H</tex> ha identitetselementer <tex>e</tex> og <tex>\bar{e}</tex>. Definer kjernen til en homomorfi som<br /> <br /> <tex>\tex{ker}(\phi)=\{a\in G \,:\, \phi(a)=\bar{e}\}=\phi^{-1}(\bar{e})</tex><br /> <br /> De følgende utsagnene følger direkte fra definisjonen av homomorfier.<br /> <br /> 1. <tex>\phi(e)=\bar{e}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\phi(a^{-1})=\phi(a)^{-1}</tex><br /> <br /> 3. Dersom <tex>A</tex> er en undergruppe av <tex>G</tex>, er <tex>\phi(A)</tex> en undergruppe av <tex>H</tex>. Det følger at <tex>R(\phi)=\{\phi(a)\,:\,a\in G\}</tex> er en undergruppe av <tex>H</tex>.<br /> <br /> 4. Dersom <tex>B</tex> er en undergruppe av B, er <tex>\phi^{-1}(B)</tex> en undergruppe av <tex>G</tex><br /> <br /> 5. Dersom <tex>\phi</tex> er injektiv, er <tex>\text{ker}(\phi)=\{e\}</tex><br /> <br /> 6. <tex>\text{ker}(\phi)</tex> er en normal undergruppe til <tex>G</tex><br /> <br /> 7. Dersom <tex>h\in H</tex>, er <tex>\phi^{-1}(h)</tex> en sideklasse av <tex>\text{ker}(\phi)</tex><br /> <br /> 8. Komposisjonen av to homomorfier <tex>\phi_1 \,:\, G\rightarrow H</tex> og <tex>\phi_2\,:\, H\rightarrow K</tex> er en ny homomorfi <tex>\phi_2\circ\phi_1 \,:\, G\rightarrow K</tex><br /> <br /> 9. Dersom <tex>\phi</tex> er en bijeksjon, er <tex>\phi^{-1}\,:\, H\to G</tex> en homomorfi, og <tex>\phi</tex> kalles da en isomorfi og vi skriver <tex>G\simeq H</tex>. Hvis <tex>G=H</tex> kalles <tex>\phi</tex> en automorfi.<br /> <br /> 10. La <tex>\phi</tex> være en isomorfi. Da er:<br /> : i) <tex>A\leq G</tex> hvis og bare hvis <tex>\phi(A)\leq H</tex><br /> : ii) <tex>A\leq G</tex> er en normal undergruppe hvis og bare hvis <tex>f(A)\leq H</tex> er en normal undergruppe.<br /> : iii) <tex>G</tex> er syklisk hvis og bare hvis <tex>H</tex> er syklisk.<br /> <br /> ===Det første isomorfiteoremet===<br /> <br /> Anta at <tex>N\leq G</tex> er en normal undergruppe. Da er<br /> <br /> <tex>\pi\,:\, G \rightarrow G/N</tex><br /> <br /> definert ved <tex>\pi(a)=Ha</tex> en surjektiv homomorfi med kjerne <tex>\text{ker}(\pi)=N</tex>.<br /> <br /> Hvis i tillegg <tex>\phi\,:\, G\rightarrow H</tex> er en surjektiv homomorfi med kjerne <tex>N</tex>, har vi <tex>G\simeq H</tex>.<br /> <br /> : ''Bevis:''<br /> <br /> : Ettersom <tex>\phi</tex> har kjerne <tex>N</tex> vil førbildet av enhver <tex>h\in H</tex> være et sideklasse av <tex>N</tex>:<br /> <br /> : <tex>\phi^{-1}(h)=Ng</tex> for en <tex>g\in G</tex>.<br /> <br /> : Anta at <tex>h_1,h_2\in H</tex> og <tex>\phi^{-1}(h_1)=\phi^{-1}(h_2)=Ng</tex>. Da har vi at <tex>h_1=\phi\left(\phi^{-1}(h_1)\right)=\phi\left(\phi^{-1}(h_2)\right)=h_2</tex>, så <tex>\pi\circ \phi^{-1}</tex> er en injektiv homomorfi fra <tex>H</tex> til <tex>G/N</tex>.<br /> <br /> : Anta videre at <tex>Ng\in G/N</tex>. Ettersom <tex>\phi</tex> er en surjektiv homomorfi, vil det finnes en <tex>h\in H</tex> slik at <tex>\phi(g)=h</tex>, og dermed er <tex>\pi\circ \phi^{-1}(h)=Ng</tex>, altså er <tex>\pi\circ \phi^{-1}</tex> en surjektiv homomorfi.<br /> <br /> : Ettersom <tex>\pi\circ\phi^{-1}:H\rightarrow G/N</tex> er både injektiv og surjektiv, er den en isomorfi, og dermed har vi at <tex>H\simeq G/N</tex> som skulle bevises.<br /> <br /> <br /> Generellt gjelder det at dersom <tex>\phi:G\rightarrow H</tex> er en homomorfi, så er <tex>G/\ker(\phi)\simeq R(\phi)</tex><br /> <br /> ===Senteret til en gruppe===<br /> <br /> Se på funksjonen <tex>\phi(a)=\varphi_a\,:\,G\rightarrow G</tex> slik at <tex>\varphi_a(g)=aga^{-1}</tex> for alle <tex>a,g\in G</tex><br /> <br /> Da er <tex>\varphi_a</tex> en isomorfi fra <tex>G</tex> til seg selv, kalt en automorfi. En automorfi av typen <tex>\varphi_a</tex> kalles en indre automorfi, og gruppen av alle indre automorfier på <tex>G</tex> (Vis at denne faktisk er en gruppe) noteres <tex>\text{Inn}(G)</tex>.<br /> <br /> Dermed er <tex>\phi</tex> en homomorfi fra <tex>G</tex> til <tex>\text{Inn}(G)</tex>.<br /> <br /> Kjernen til <tex>\phi</tex> er gitt ved <tex>Z_G=\{a\in G \,:\, ag=ga \,\forall\,g\in G\} </tex>, altså de elementer som kommuterer med alle andre elementer i <tex>G</tex>. Dette er en normal undergruppe til <tex>G</tex> og kalles senteret til <tex>G</tex>.<br /> <br /> Ved det første isomorfiteoremet har vi dermed at <tex>G/Z(G) \simeq \text{Inn}(G)</tex>.<br /> <br /> <br /> Dersom <tex>G/Z(G)</tex> er syklisk, er <tex>G</tex> en abelsk gruppe, og dermed er <tex>G=Z(G)</tex> og <tex>G/Z(G)</tex> er triviell.<br /> <br /> ==Ytre produkter av grupper==<br /> <br /> La <tex>G</tex> og <tex>G</tex> være grupper. Da kan vi definere produktet av gruppene som mengden med ordnede par <tex>G\times H=\{(g,h)\,:\, g\in G\, \wedge \, h\in H\}</tex><br /> <br /> Med operasjonen <tex>*</tex> definert slik at <tex>(g_1,h_1)*(g_2,h_2)=(g_1*g_2,h_1*h_2)</tex>, der <tex>g</tex>. ene multipliseres i <tex>G</tex> osv, blir dette en gruppe.<br /> <br /> ===Undergrupper===<br /> <br /> Hvis <tex>G\times H</tex> er et produkt av grupper, så er <tex>A\times B</tex>, der <tex>A\leq G</tex> og <tex>B\leq H</tex> en undergruppe. Alle undergruppene til <tex>G\times H</tex> kan skrives på denne formen.<br /> <br /> Spesiellt har vi de normale undergruppene <tex>G\times \{\bar{e}\}</tex> og <tex>\{e\}\times H</tex>, som er isomorfe til henholdsvis <tex>G</tex> og <tex>H</tex>. Dermed er både <tex>G</tex> og <tex>H</tex> normale undergrupper til <tex>G\times H</tex>.<br /> <br /> Definer projeksjonshomomorfien <tex>\pi_G ((g,h))=(g,\bar{e})</tex> for alle <tex>g\in G\,,\, h\in H</tex>. Da har <tex>\pi_G</tex> kjerne <tex>\{e\}\times H\simeq H</tex> og verdimengde <tex>G\times \{\bar{e}\} \simeq G</tex>, så ved det første isomorfiteoremet har vi at <tex>\frac{G\times H}{H}\simeq G</tex>, og på samme måte at <tex>\frac{G\times H}{G}\simeq H</tex>, noe man skulle forvente.<br /> <br /> ==Gruppen (Z,+)==<br /> <br /> ==Symmetrigruppen på n elementer==<br /> <br /> [[Kategori:Algebra]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Gruppeteori&diff=6385 Gruppeteori 2011-09-29T18:56:48Z

<p>Espen180: /* Senteret til en gruppe */</p> <hr /> <div>Gruppeteori er en gren av [[Algebra]] og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.<br /> <br /> ==Definisjon==<br /> <br /> La <tex>G</tex> være en ikketom mengde med <tex>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <tex>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:<br /> <br /> <br /> 1. <tex>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon)<br /> <br /> 2. <tex>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)<br /> <br /> 3. <tex>\exists e \in G</tex> slik at <tex>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)<br /> <br /> 4. <tex>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <tex>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)<br /> <br /> 5. <tex>a*b=b*a</tex><br /> <br /> <br /> En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive <tex>G</tex>, og la operasjonen være implisert.<br /> <br /> For en <tex>a\in G</tex> kan vi innføre forkortelsen <tex>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n \text{ elementer}}</tex>. Tilsvarende innfører vi <tex>a^{-n}=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\, ... \, * a^{-1}}_{n \text{ elementer}}</tex>. Dermed oppnår vi sammenhengene<br /> <br /> 1. <tex>a^n*a^m=a^{n+m}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\left(a^n\right)^m=a^{nm}</tex><br /> <br /> 3. <tex>a^0 = e</tex><br /> <br /> ===Eksempel 1===<br /> <br /> Heltallene <tex>\mathbb{Z}</tex> med vanlig addisjon av heltall er et viktig eksempel på en abelsk gruppe. Identiteten er gitt ved <tex>e=0</tex> og inverser ved <tex>a^{-1}=-a</tex>.<br /> <br /> Lignende eksempler er de rasjonale tallene <tex>\mathbb{Q}</tex>, de reelle tallene <tex>\mathbb{R}</tex> og de komplekse tallene <tex>\mathbb{C}</tex>.<br /> <br /> ''Er <tex>\mathbb{R}</tex> en gruppe under vanlig multiplikasjon av tall? Hvis ikke, hva er den største undermengden av <tex>\mathbb{R}</tex> som er en gruppe under multiplikasjon? Besvar samme spørsmål for <tex>\mathbb{Q}</tex>, <tex>\mathbb{C}</tex> og <tex>\mathbb{Z}</tex>.''<br /> <br /> ===Eksempel 2===<br /> <br /> La <tex>X</tex> være en mengde, og la <tex>B(X)</tex> være en ikketom samling av undermengder av <tex>X</tex>. For <tex>U,V\in B(X)</tex>, definer<br /> <br /> <tex>U-V=\{x\in U \,\wedge \, x\not\in V\}</tex><br /> <br /> definer så<br /> <br /> <tex>U*V=(U-V)\cup (V-U)</tex><br /> <br /> kalt den symmetriske differansen av <tex>U</tex> og <tex>V</tex>.<br /> <br /> Da er <tex>(B(X),*)</tex> en abelsk gruppe og kalles den Boolske gruppen. Identiteten er <tex>e=\emptyset</tex> og <tex>U^{-1}=U</tex> for alle <tex>U\in B(X)</tex>.<br /> <br /> Vi overlater til leseren å vise assosiativitet.<br /> <br /> ==Elementære resultater==<br /> <br /> ===Forkortningslov===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=a*c</tex> eller <tex>b*a=c*a</tex>. Da er <tex>b=c</tex><br /> <br /> <br /> Bevis: <tex>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex>. Beviset for venstre forkortning er tilsvarende.<br /> <br /> ===Identitetselementet er unikt===<br /> <br /> Anta at <tex>e_1</tex> og <tex>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <tex>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .<br /> <br /> <br /> Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <tex>b</tex> slik at <tex>a*b=a</tex> for en <tex>a</tex>, så er <tex>b=e</tex>.<br /> <br /> ===Inverser er unike===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=e</tex>. Da er <tex>b=a^{-1}</tex>. Anta at <tex>c*a=e</tex>. Da er <tex>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.<br /> <br /> ===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte===<br /> <br /> For elementer <tex>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <tex>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <tex>n</tex>.<br /> <br /> ==Undergrupper==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> være en gruppe, og la <tex>H</tex> være en ikketom undermengde av <tex>G</tex>, notert <tex>H\subset G</tex>. Da kalles <tex>(H,*)</tex> en undergruppe av <tex>(G,*)</tex> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <tex>G</tex>, notert ved <tex>H\leq G</tex>.<br /> <br /> To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis <tex>H</tex> er en ikketriviell undergruppe av <tex>G</tex> skriver vi <tex>H<G</tex>.<br /> <br /> ===Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper===<br /> <br /> De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, <tex>e</tex> må være et medlem i <tex>H</tex>, og for hvert element i <tex>H</tex>, må inversen også være et medlem.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: <tex>H</tex> er en under gruppe hvis og bare hvis for hver <tex>a,b \in H</tex>, så er <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Ettersom <tex>H</tex> ikke er tom, må det finnes et element <tex>a\in H</tex>. Dermed har vi at <tex>a*a^{-1}=e\in H</tex>, <tex>e*a^{-1}=a^{-1}\in H</tex>, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom <tex>b\in H</tex>, har vi <tex>b^{-1}\in H</tex>, så <tex>a*b \in H</tex> og <tex>H</tex> er dermed lukket.<br /> <br /> ==Orden==<br /> <br /> Ordenen til en gruppe <tex>G</tex> defineres som kardinaliteten til mengden <tex>G</tex>, notert <tex>o(G)</tex>. Hvis vi antar at <tex>a \in G</tex> og lar <tex>H=\{a^i | i\in \mathbb{Z}\}</tex>, vil <tex>H</tex> være en abelsk undergruppe av <tex>G</tex>, og vi kaller da <tex>H</tex> undergruppen av <tex>G</tex> generert av <tex>a</tex> og skriver <tex>H=\<a\></tex>. Vi kan da definere ordenen til et element <tex>a\in G</tex> som ordenen av undergruppen generert av <tex>a</tex>, det vil si <tex>o(a)\equiv o(H)</tex>. Merk at <tex>a</tex> har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en <tex>n\in \mathbb{N}</tex> slik at <tex>a^n=e</tex>, og <tex>o(a)</tex> er da den minste slike <tex>n</tex>.<br /> <br /> ===Sykliske grupper===<br /> <br /> En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex> generert av <tex>1</tex>.<br /> <br /> Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at <tex>G</tex> er generert av <tex>a</tex>, at <tex>H<G</tex> og at <tex>m</tex> er det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>. Anta så at det finnes et annet element <tex>a^n\in H</tex> med <tex>m<n</tex>. Hvis <tex>m</tex> ikke deler <tex>n</tex>, kan ikke <tex>m</tex> være det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>, ettersom <tex>a^{n-m}\in H</tex> og <tex>0<n-m<m</tex>. Altså må <tex>m</tex> dele <tex>n</tex>. Dermed er <tex>H</tex> generert av <tex>a^m</tex> og er dermed syklisk.<br /> <br /> ==Sideklasser==<br /> <br /> La <tex>H<G</tex>, og se på relasjonen <tex>a\sim b \, \Leftrightarrow \, a*b^{-1}\in H</tex>. Dette er en [[relasjoner|ekvivalensrelasjon]] på mengden <tex>G</tex>. Ekvivalensklassene er gitt ved<br /> <br /> <tex>[a]=\{b\in G \,|\, a\sim b\} = \{h*a \,|\, h\in H\} </tex><br /> <br /> For å se dette, merk at <tex>(h_1*a)*(h_2*a)^{-1}=h_1*a*a^{-1}*h_2^{-1}=h_1*h_2^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Mengden <tex>\{h*a \,|\, h\in H\}</tex> noteres <tex>Ha</tex> og kalles en høyre sideklasse til <tex>H</tex><br /> <br /> <br /> Alternativt kan vi la <tex>a\sim b \,\Leftrightarrow \, a^{-1}b\in H</tex>. Ekvivalensklassene blir da<br /> <br /> <tex>[a]=\{a*h \,|\, h\in H\} = aH</tex><br /> <br /> som kalles en venste sideklasse til <tex>H</tex>.<br /> <br /> <br /> Ettersom <tex>\sim</tex> er en ekvivalensrelasjon her, oppnår vi øyeblikkelig følgende resultater for høyre sideklasser. De tilsvarende utsagnene gjelder også for venstre sideklasser:<br /> <br /> 1. <tex>a\in H \, \Leftrightarrow \, Ha=H</tex><br /> <br /> 2. <tex>b\in Ha \,\Rightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 3. <tex>h\in H \, \Rightarrow H(h*a)=Ha</tex><br /> <br /> 4. <tex>Ha\cap Hb \neq \emptyset \, \Leftrightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 5. Mengden av høyre sideklasser av <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>.<br /> <br /> 6. <tex>a</tex> og <tex>b</tex> tilhører samme sideklasse kun hvis <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> ===Lagranges Teorem===<br /> <br /> La <tex>a\in G</tex>. Da er funksjonen <tex>f:H\rightarrow Ha</tex> gitt ved <tex>f(h)=a*h</tex> en bijeksjon. Dette kan sees ved å anvende forkortningsloven. Følgen av dette er at alle høyre sideklasser har samme orden. Samme argument kan benyttes på venstre sideklasser, og ettersom <tex>H</tex> er både en venste og høyre sideklasse, har alle sideklasser samme orden.<br /> <br /> <br /> Lagranges teorem sier at dersom <tex>H\leq G</tex> og <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>o(H)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> Beviset er elementært når vi vet at <tex>o(H)=o(Ha)=o(aH)</tex> for alle <tex>a\in G</tex>. Vi vet at sideklassene til <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>. Anta derfor at<br /> <br /> <tex>G=H\cup (Ha_1) \cup (Ha_2) \cup \, ... \, \cup (Ha_{t-1})</tex><br /> <br /> da følger det at<br /> <br /> <tex>o(G)=o(H)+|Ha_1|+|Ha_2| + ... + |Ha_{t-1}|=t\cdot o(H)</tex><br /> <br /> som beviser teoremet.<br /> <br /> <br /> Indeksen til en undergruppe <tex>H\leq G</tex> defineres som antallet venstre (eller høyre) sideklasser til <tex>H</tex> i <tex>G</tex> og noteres som <tex>[G:H]</tex>.<br /> <br /> For å se at <tex>H</tex> har like mange høyre sideklaser som venstre sideklasser, se på funksjonen <tex>f(H*a)=a^{-1}*H</tex>, som er en bijeksjon fra samlingen av høyre sideklasser til samlingen av venstre sideklasser.<br /> <br /> Verdien til <tex>[G:H]</tex> er lik tallet <tex>t</tex> i beviset av Lagranges teorem over, slik at<br /> <br /> <tex>o(G)=[G:H]\cdot o(H)</tex><br /> <br /> eller<br /> <br /> <tex>[G:H]=\frac{o(G)}{o(H)}</tex><br /> <br /> <br /> Lagranges teorem har flere øyeblikkelige konsekvenser:<br /> <br /> 1. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex> og <tex>a\in G</tex>, så er <tex>o(a)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> 2. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>a^{o(G)}=e</tex> for alle <tex>a\in G</tex>.<br /> <br /> 3. La <tex>p</tex> være et primtall. Da er alle grupper med orden <tex>p</tex> sykliske.<br /> <br /> ==Normale undergrupper og kvotientgrupper==<br /> <br /> La <tex>H\leq G</tex>. Da er følgende utsagn ekvivalente.<br /> <br /> 1. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}=H</tex><br /> <br /> 2. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}\subset H</tex><br /> <br /> 3. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aH=Ha</tex><br /> <br /> 4. Hver venstre sideklasse er en høyre sideklasse og omvendt.<br /> <br /> En undergruppe <tex>H</tex> som oppfyller disse kravene kalles en normal undergruppe til <tex>G</tex>.<br /> <br /> For enhver gruppe <tex>G</tex> er <tex>G</tex> selv og <tex>\{e\}</tex> normale undergrupper. Hvis <tex>G</tex> i tillegg er en abelsk gruppe, er alle undergrupper normale.<br /> <br /> ===Kvotientgrupper===<br /> <br /> Hvis <tex>N\leq G</tex> er en normal undegruppe, kan vi definere en gruppestruktur på sideklassene til <tex>N</tex> på følgende måte.<br /> <br /> La <tex>G/N</tex> være mengden av alle sideklasser til <tex>N</tex>. Dersom <tex>S_1=Na</tex> og <tex>S_2=Nb</tex>, definer produktet <tex>S_1*S_2 = (Na)*(Nb)=N(a*b)</tex>. Denne operasjonen en veldefinert. Identiteten er <tex>N</tex> og inverser er gitt ved <tex>(Na)^{-1}=Na^{-1}</tex>. Dersom <tex>o(G)<\infty</tex>, har vi i tillegg at <tex>o(G/N)=\frac{o(G)}{o(N)}</tex>.<br /> <br /> ==Homomorfier==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> og <tex>(H,\cdot )</tex> være grupper. En gruppehomomorfi (kort: homomorfi) fra <tex>G</tex> til <tex>H</tex> er en transformasjon<br /> <br /> <tex>\phi \,:\, G \rightarrow H</tex><br /> <br /> som bevarer gruppestrukturen, dvs.<br /> <br /> <tex>\phi (a*b) = \phi(a)\cdot \phi(b)</tex><br /> <br /> <br /> La <tex>G</tex> og <tex>H</tex> ha identitetselementer <tex>e</tex> og <tex>\bar{e}</tex>. Definer kjernen til en homomorfi som<br /> <br /> <tex>\tex{ker}(\phi)=\{a\in G \,:\, \phi(a)=\bar{e}\}=\phi^{-1}(\bar{e})</tex><br /> <br /> De følgende utsagnene følger direkte fra definisjonen av homomorfier.<br /> <br /> 1. <tex>\phi(e)=\bar{e}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\phi(a^{-1})=\phi(a)^{-1}</tex><br /> <br /> 3. Dersom <tex>A</tex> er en undergruppe av <tex>G</tex>, er <tex>\phi(A)</tex> en undergruppe av <tex>H</tex>. Det følger at <tex>R(\phi)=\{\phi(a)\,:\,a\in G\}</tex> er en undergruppe av <tex>H</tex>.<br /> <br /> 4. Dersom <tex>B</tex> er en undergruppe av B, er <tex>\phi^{-1}(B)</tex> en undergruppe av <tex>G</tex><br /> <br /> 5. Dersom <tex>\phi</tex> er injektiv, er <tex>\text{ker}(\phi)=\{e\}</tex><br /> <br /> 6. <tex>\text{ker}(\phi)</tex> er en normal undergruppe til <tex>G</tex><br /> <br /> 7. Dersom <tex>h\in H</tex>, er <tex>\phi^{-1}(h)</tex> en sideklasse av <tex>\text{ker}(\phi)</tex><br /> <br /> 8. Komposisjonen av to homomorfier <tex>\phi_1 \,:\, G\rightarrow H</tex> og <tex>\phi_2\,:\, H\rightarrow K</tex> er en ny homomorfi <tex>\phi_2\circ\phi_1 \,:\, G\rightarrow K</tex><br /> <br /> 9. Dersom <tex>\phi</tex> er en bijeksjon, er <tex>\phi^{-1}\,:\, H\to G</tex> en homomorfi, og <tex>\phi</tex> kalles da en isomorfi og vi skriver <tex>G\simeq H</tex>. Hvis <tex>G=H</tex> kalles <tex>\phi</tex> en automorfi.<br /> <br /> 10. La <tex>\phi</tex> være en isomorfi. Da er:<br /> : i) <tex>A\leq G</tex> hvis og bare hvis <tex>\phi(A)\leq H</tex><br /> : ii) <tex>A\leq G</tex> er en normal undergruppe hvis og bare hvis <tex>f(A)\leq H</tex> er en normal undergruppe.<br /> : iii) <tex>G</tex> er syklisk hvis og bare hvis <tex>H</tex> er syklisk.<br /> <br /> ===Det første isomorfiteoremet===<br /> <br /> Anta at <tex>N\leq G</tex> er en normal undergruppe. Da er<br /> <br /> <tex>\pi\,:\, G \rightarrow G/N</tex><br /> <br /> definert ved <tex>\pi(a)=Ha</tex> en surjektiv homomorfi med kjerne <tex>\text{ker}(\pi)=N</tex>.<br /> <br /> Hvis i tillegg <tex>\phi\,:\, G\rightarrow H</tex> er en surjektiv homomorfi med kjerne <tex>N</tex>, har vi <tex>G\simeq H</tex>.<br /> <br /> : ''Bevis:''<br /> <br /> : Ettersom <tex>\phi</tex> har kjerne <tex>N</tex> vil førbildet av enhver <tex>h\in H</tex> være et sideklasse av <tex>N</tex>:<br /> <br /> : <tex>\phi^{-1}(h)=Ng</tex> for en <tex>g\in G</tex>.<br /> <br /> : Anta at <tex>h_1,h_2\in H</tex> og <tex>\phi^{-1}(h_1)=\phi^{-1}(h_2)=Ng</tex>. Da har vi at <tex>h_1=\phi\left(\phi^{-1}(h_1)\right)=\phi\left(\phi^{-1}(h_2)\right)=h_2</tex>, så <tex>\pi\circ \phi^{-1}</tex> er en injektiv homomorfi fra <tex>H</tex> til <tex>G/N</tex>.<br /> <br /> : Anta videre at <tex>Ng\in G/N</tex>. Ettersom <tex>\phi</tex> er en surjektiv homomorfi, vil det finnes en <tex>h\in H</tex> slik at <tex>\phi(g)=h</tex>, og dermed er <tex>\pi\circ \phi^{-1}(h)=Ng</tex>, altså er <tex>\pi\circ \phi^{-1}</tex> en surjektiv homomorfi.<br /> <br /> : Ettersom <tex>\pi\circ\phi^{-1}:H\rightarrow G/N</tex> er både injektiv og surjektiv, er den en isomorfi, og dermed har vi at <tex>H\simeq G/N</tex> som skulle bevises.<br /> <br /> <br /> Generellt gjelder det at dersom <tex>\phi:G\rightarrow H</tex> er en homomorfi, så er <tex>G/\ker(\phi)\simeq R(\phi)</tex><br /> <br /> ===Senteret til en gruppe===<br /> <br /> Se på funksjonen <tex>\phi(a)=\varphi_a\,:\,G\rightarrow G</tex> slik at <tex>\varphi_a(g)=aga^{-1}</tex> for alle <tex>a,g\in G</tex><br /> <br /> Da er <tex>\varphi_a</tex> en isomorfi fra <tex>G</tex> til seg selv, kalt en automorfi. En automorfi av typen <tex>\varphi_a</tex> kalles en indre automorfi, og gruppen av alle indre automorfier på <tex>G</tex> (Vis at denne faktisk er en gruppe) noteres <tex>\text{Inn}(G)</tex>.<br /> <br /> Dermed er <tex>\phi</tex> en homomorfi fra <tex>G</tex> til <tex>\text{Inn}(G)</tex>.<br /> <br /> Kjernen til <tex>\phi</tex> er gitt ved <tex>Z_G=\{a\in G \,:\, ag=ga \,\forall\,g\in G\} </tex>, altså de elementer som kommuterer med alle andre elementer i <tex>G</tex>. Dette er en normal undergruppe til <tex>G</tex> og kalles senteret til <tex>G</tex>.<br /> <br /> Ved det første isomorfiteoremet har vi dermed at <tex>G/Z(G) \simeq \text{Inn}(G)</tex>.<br /> <br /> ==Ytre produkter av grupper==<br /> <br /> La <tex>G</tex> og <tex>G</tex> være grupper. Da kan vi definere produktet av gruppene som mengden med ordnede par <tex>G\times H=\{(g,h)\,:\, g\in G\, \wedge \, h\in H\}</tex><br /> <br /> Med operasjonen <tex>*</tex> definert slik at <tex>(g_1,h_1)*(g_2,h_2)=(g_1*g_2,h_1*h_2)</tex>, der <tex>g</tex>. ene multipliseres i <tex>G</tex> osv, blir dette en gruppe.<br /> <br /> ===Undergrupper===<br /> <br /> Hvis <tex>G\times H</tex> er et produkt av grupper, så er <tex>A\times B</tex>, der <tex>A\leq G</tex> og <tex>B\leq H</tex> en undergruppe. Alle undergruppene til <tex>G\times H</tex> kan skrives på denne formen.<br /> <br /> Spesiellt har vi de normale undergruppene <tex>G\times \{\bar{e}\}</tex> og <tex>\{e\}\times H</tex>, som er isomorfe til henholdsvis <tex>G</tex> og <tex>H</tex>. Dermed er både <tex>G</tex> og <tex>H</tex> normale undergrupper til <tex>G\times H</tex>.<br /> <br /> Definer projeksjonshomomorfien <tex>\pi_G ((g,h))=(g,\bar{e})</tex> for alle <tex>g\in G\,,\, h\in H</tex>. Da har <tex>\pi_G</tex> kjerne <tex>\{e\}\times H\simeq H</tex> og verdimengde <tex>G\times \{\bar{e}\} \simeq G</tex>, så ved det første isomorfiteoremet har vi at <tex>\frac{G\times H}{H}\simeq G</tex>, og på samme måte at <tex>\frac{G\times H}{G}\simeq H</tex>, noe man skulle forvente.<br /> <br /> ==Gruppen (Z,+)==<br /> <br /> ==Symmetrigruppen på n elementer==<br /> <br /> [[Kategori:Algebra]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Gruppeteori&diff=6384 Gruppeteori 2011-09-29T18:54:22Z

<p>Espen180: /* Senteret til en gruppe */</p> <hr /> <div>Gruppeteori er en gren av [[Algebra]] og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.<br /> <br /> ==Definisjon==<br /> <br /> La <tex>G</tex> være en ikketom mengde med <tex>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <tex>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:<br /> <br /> <br /> 1. <tex>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon)<br /> <br /> 2. <tex>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)<br /> <br /> 3. <tex>\exists e \in G</tex> slik at <tex>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)<br /> <br /> 4. <tex>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <tex>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)<br /> <br /> 5. <tex>a*b=b*a</tex><br /> <br /> <br /> En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive <tex>G</tex>, og la operasjonen være implisert.<br /> <br /> For en <tex>a\in G</tex> kan vi innføre forkortelsen <tex>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n \text{ elementer}}</tex>. Tilsvarende innfører vi <tex>a^{-n}=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\, ... \, * a^{-1}}_{n \text{ elementer}}</tex>. Dermed oppnår vi sammenhengene<br /> <br /> 1. <tex>a^n*a^m=a^{n+m}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\left(a^n\right)^m=a^{nm}</tex><br /> <br /> 3. <tex>a^0 = e</tex><br /> <br /> ===Eksempel 1===<br /> <br /> Heltallene <tex>\mathbb{Z}</tex> med vanlig addisjon av heltall er et viktig eksempel på en abelsk gruppe. Identiteten er gitt ved <tex>e=0</tex> og inverser ved <tex>a^{-1}=-a</tex>.<br /> <br /> Lignende eksempler er de rasjonale tallene <tex>\mathbb{Q}</tex>, de reelle tallene <tex>\mathbb{R}</tex> og de komplekse tallene <tex>\mathbb{C}</tex>.<br /> <br /> ''Er <tex>\mathbb{R}</tex> en gruppe under vanlig multiplikasjon av tall? Hvis ikke, hva er den største undermengden av <tex>\mathbb{R}</tex> som er en gruppe under multiplikasjon? Besvar samme spørsmål for <tex>\mathbb{Q}</tex>, <tex>\mathbb{C}</tex> og <tex>\mathbb{Z}</tex>.''<br /> <br /> ===Eksempel 2===<br /> <br /> La <tex>X</tex> være en mengde, og la <tex>B(X)</tex> være en ikketom samling av undermengder av <tex>X</tex>. For <tex>U,V\in B(X)</tex>, definer<br /> <br /> <tex>U-V=\{x\in U \,\wedge \, x\not\in V\}</tex><br /> <br /> definer så<br /> <br /> <tex>U*V=(U-V)\cup (V-U)</tex><br /> <br /> kalt den symmetriske differansen av <tex>U</tex> og <tex>V</tex>.<br /> <br /> Da er <tex>(B(X),*)</tex> en abelsk gruppe og kalles den Boolske gruppen. Identiteten er <tex>e=\emptyset</tex> og <tex>U^{-1}=U</tex> for alle <tex>U\in B(X)</tex>.<br /> <br /> Vi overlater til leseren å vise assosiativitet.<br /> <br /> ==Elementære resultater==<br /> <br /> ===Forkortningslov===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=a*c</tex> eller <tex>b*a=c*a</tex>. Da er <tex>b=c</tex><br /> <br /> <br /> Bevis: <tex>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex>. Beviset for venstre forkortning er tilsvarende.<br /> <br /> ===Identitetselementet er unikt===<br /> <br /> Anta at <tex>e_1</tex> og <tex>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <tex>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .<br /> <br /> <br /> Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <tex>b</tex> slik at <tex>a*b=a</tex> for en <tex>a</tex>, så er <tex>b=e</tex>.<br /> <br /> ===Inverser er unike===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=e</tex>. Da er <tex>b=a^{-1}</tex>. Anta at <tex>c*a=e</tex>. Da er <tex>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.<br /> <br /> ===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte===<br /> <br /> For elementer <tex>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <tex>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <tex>n</tex>.<br /> <br /> ==Undergrupper==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> være en gruppe, og la <tex>H</tex> være en ikketom undermengde av <tex>G</tex>, notert <tex>H\subset G</tex>. Da kalles <tex>(H,*)</tex> en undergruppe av <tex>(G,*)</tex> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <tex>G</tex>, notert ved <tex>H\leq G</tex>.<br /> <br /> To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis <tex>H</tex> er en ikketriviell undergruppe av <tex>G</tex> skriver vi <tex>H<G</tex>.<br /> <br /> ===Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper===<br /> <br /> De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, <tex>e</tex> må være et medlem i <tex>H</tex>, og for hvert element i <tex>H</tex>, må inversen også være et medlem.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: <tex>H</tex> er en under gruppe hvis og bare hvis for hver <tex>a,b \in H</tex>, så er <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Ettersom <tex>H</tex> ikke er tom, må det finnes et element <tex>a\in H</tex>. Dermed har vi at <tex>a*a^{-1}=e\in H</tex>, <tex>e*a^{-1}=a^{-1}\in H</tex>, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom <tex>b\in H</tex>, har vi <tex>b^{-1}\in H</tex>, så <tex>a*b \in H</tex> og <tex>H</tex> er dermed lukket.<br /> <br /> ==Orden==<br /> <br /> Ordenen til en gruppe <tex>G</tex> defineres som kardinaliteten til mengden <tex>G</tex>, notert <tex>o(G)</tex>. Hvis vi antar at <tex>a \in G</tex> og lar <tex>H=\{a^i | i\in \mathbb{Z}\}</tex>, vil <tex>H</tex> være en abelsk undergruppe av <tex>G</tex>, og vi kaller da <tex>H</tex> undergruppen av <tex>G</tex> generert av <tex>a</tex> og skriver <tex>H=\<a\></tex>. Vi kan da definere ordenen til et element <tex>a\in G</tex> som ordenen av undergruppen generert av <tex>a</tex>, det vil si <tex>o(a)\equiv o(H)</tex>. Merk at <tex>a</tex> har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en <tex>n\in \mathbb{N}</tex> slik at <tex>a^n=e</tex>, og <tex>o(a)</tex> er da den minste slike <tex>n</tex>.<br /> <br /> ===Sykliske grupper===<br /> <br /> En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex> generert av <tex>1</tex>.<br /> <br /> Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at <tex>G</tex> er generert av <tex>a</tex>, at <tex>H<G</tex> og at <tex>m</tex> er det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>. Anta så at det finnes et annet element <tex>a^n\in H</tex> med <tex>m<n</tex>. Hvis <tex>m</tex> ikke deler <tex>n</tex>, kan ikke <tex>m</tex> være det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>, ettersom <tex>a^{n-m}\in H</tex> og <tex>0<n-m<m</tex>. Altså må <tex>m</tex> dele <tex>n</tex>. Dermed er <tex>H</tex> generert av <tex>a^m</tex> og er dermed syklisk.<br /> <br /> ==Sideklasser==<br /> <br /> La <tex>H<G</tex>, og se på relasjonen <tex>a\sim b \, \Leftrightarrow \, a*b^{-1}\in H</tex>. Dette er en [[relasjoner|ekvivalensrelasjon]] på mengden <tex>G</tex>. Ekvivalensklassene er gitt ved<br /> <br /> <tex>[a]=\{b\in G \,|\, a\sim b\} = \{h*a \,|\, h\in H\} </tex><br /> <br /> For å se dette, merk at <tex>(h_1*a)*(h_2*a)^{-1}=h_1*a*a^{-1}*h_2^{-1}=h_1*h_2^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Mengden <tex>\{h*a \,|\, h\in H\}</tex> noteres <tex>Ha</tex> og kalles en høyre sideklasse til <tex>H</tex><br /> <br /> <br /> Alternativt kan vi la <tex>a\sim b \,\Leftrightarrow \, a^{-1}b\in H</tex>. Ekvivalensklassene blir da<br /> <br /> <tex>[a]=\{a*h \,|\, h\in H\} = aH</tex><br /> <br /> som kalles en venste sideklasse til <tex>H</tex>.<br /> <br /> <br /> Ettersom <tex>\sim</tex> er en ekvivalensrelasjon her, oppnår vi øyeblikkelig følgende resultater for høyre sideklasser. De tilsvarende utsagnene gjelder også for venstre sideklasser:<br /> <br /> 1. <tex>a\in H \, \Leftrightarrow \, Ha=H</tex><br /> <br /> 2. <tex>b\in Ha \,\Rightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 3. <tex>h\in H \, \Rightarrow H(h*a)=Ha</tex><br /> <br /> 4. <tex>Ha\cap Hb \neq \emptyset \, \Leftrightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 5. Mengden av høyre sideklasser av <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>.<br /> <br /> 6. <tex>a</tex> og <tex>b</tex> tilhører samme sideklasse kun hvis <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> ===Lagranges Teorem===<br /> <br /> La <tex>a\in G</tex>. Da er funksjonen <tex>f:H\rightarrow Ha</tex> gitt ved <tex>f(h)=a*h</tex> en bijeksjon. Dette kan sees ved å anvende forkortningsloven. Følgen av dette er at alle høyre sideklasser har samme orden. Samme argument kan benyttes på venstre sideklasser, og ettersom <tex>H</tex> er både en venste og høyre sideklasse, har alle sideklasser samme orden.<br /> <br /> <br /> Lagranges teorem sier at dersom <tex>H\leq G</tex> og <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>o(H)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> Beviset er elementært når vi vet at <tex>o(H)=o(Ha)=o(aH)</tex> for alle <tex>a\in G</tex>. Vi vet at sideklassene til <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>. Anta derfor at<br /> <br /> <tex>G=H\cup (Ha_1) \cup (Ha_2) \cup \, ... \, \cup (Ha_{t-1})</tex><br /> <br /> da følger det at<br /> <br /> <tex>o(G)=o(H)+|Ha_1|+|Ha_2| + ... + |Ha_{t-1}|=t\cdot o(H)</tex><br /> <br /> som beviser teoremet.<br /> <br /> <br /> Indeksen til en undergruppe <tex>H\leq G</tex> defineres som antallet venstre (eller høyre) sideklasser til <tex>H</tex> i <tex>G</tex> og noteres som <tex>[G:H]</tex>.<br /> <br /> For å se at <tex>H</tex> har like mange høyre sideklaser som venstre sideklasser, se på funksjonen <tex>f(H*a)=a^{-1}*H</tex>, som er en bijeksjon fra samlingen av høyre sideklasser til samlingen av venstre sideklasser.<br /> <br /> Verdien til <tex>[G:H]</tex> er lik tallet <tex>t</tex> i beviset av Lagranges teorem over, slik at<br /> <br /> <tex>o(G)=[G:H]\cdot o(H)</tex><br /> <br /> eller<br /> <br /> <tex>[G:H]=\frac{o(G)}{o(H)}</tex><br /> <br /> <br /> Lagranges teorem har flere øyeblikkelige konsekvenser:<br /> <br /> 1. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex> og <tex>a\in G</tex>, så er <tex>o(a)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> 2. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>a^{o(G)}=e</tex> for alle <tex>a\in G</tex>.<br /> <br /> 3. La <tex>p</tex> være et primtall. Da er alle grupper med orden <tex>p</tex> sykliske.<br /> <br /> ==Normale undergrupper og kvotientgrupper==<br /> <br /> La <tex>H\leq G</tex>. Da er følgende utsagn ekvivalente.<br /> <br /> 1. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}=H</tex><br /> <br /> 2. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}\subset H</tex><br /> <br /> 3. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aH=Ha</tex><br /> <br /> 4. Hver venstre sideklasse er en høyre sideklasse og omvendt.<br /> <br /> En undergruppe <tex>H</tex> som oppfyller disse kravene kalles en normal undergruppe til <tex>G</tex>.<br /> <br /> For enhver gruppe <tex>G</tex> er <tex>G</tex> selv og <tex>\{e\}</tex> normale undergrupper. Hvis <tex>G</tex> i tillegg er en abelsk gruppe, er alle undergrupper normale.<br /> <br /> ===Kvotientgrupper===<br /> <br /> Hvis <tex>N\leq G</tex> er en normal undegruppe, kan vi definere en gruppestruktur på sideklassene til <tex>N</tex> på følgende måte.<br /> <br /> La <tex>G/N</tex> være mengden av alle sideklasser til <tex>N</tex>. Dersom <tex>S_1=Na</tex> og <tex>S_2=Nb</tex>, definer produktet <tex>S_1*S_2 = (Na)*(Nb)=N(a*b)</tex>. Denne operasjonen en veldefinert. Identiteten er <tex>N</tex> og inverser er gitt ved <tex>(Na)^{-1}=Na^{-1}</tex>. Dersom <tex>o(G)<\infty</tex>, har vi i tillegg at <tex>o(G/N)=\frac{o(G)}{o(N)}</tex>.<br /> <br /> ==Homomorfier==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> og <tex>(H,\cdot )</tex> være grupper. En gruppehomomorfi (kort: homomorfi) fra <tex>G</tex> til <tex>H</tex> er en transformasjon<br /> <br /> <tex>\phi \,:\, G \rightarrow H</tex><br /> <br /> som bevarer gruppestrukturen, dvs.<br /> <br /> <tex>\phi (a*b) = \phi(a)\cdot \phi(b)</tex><br /> <br /> <br /> La <tex>G</tex> og <tex>H</tex> ha identitetselementer <tex>e</tex> og <tex>\bar{e}</tex>. Definer kjernen til en homomorfi som<br /> <br /> <tex>\tex{ker}(\phi)=\{a\in G \,:\, \phi(a)=\bar{e}\}=\phi^{-1}(\bar{e})</tex><br /> <br /> De følgende utsagnene følger direkte fra definisjonen av homomorfier.<br /> <br /> 1. <tex>\phi(e)=\bar{e}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\phi(a^{-1})=\phi(a)^{-1}</tex><br /> <br /> 3. Dersom <tex>A</tex> er en undergruppe av <tex>G</tex>, er <tex>\phi(A)</tex> en undergruppe av <tex>H</tex>. Det følger at <tex>R(\phi)=\{\phi(a)\,:\,a\in G\}</tex> er en undergruppe av <tex>H</tex>.<br /> <br /> 4. Dersom <tex>B</tex> er en undergruppe av B, er <tex>\phi^{-1}(B)</tex> en undergruppe av <tex>G</tex><br /> <br /> 5. Dersom <tex>\phi</tex> er injektiv, er <tex>\text{ker}(\phi)=\{e\}</tex><br /> <br /> 6. <tex>\text{ker}(\phi)</tex> er en normal undergruppe til <tex>G</tex><br /> <br /> 7. Dersom <tex>h\in H</tex>, er <tex>\phi^{-1}(h)</tex> en sideklasse av <tex>\text{ker}(\phi)</tex><br /> <br /> 8. Komposisjonen av to homomorfier <tex>\phi_1 \,:\, G\rightarrow H</tex> og <tex>\phi_2\,:\, H\rightarrow K</tex> er en ny homomorfi <tex>\phi_2\circ\phi_1 \,:\, G\rightarrow K</tex><br /> <br /> 9. Dersom <tex>\phi</tex> er en bijeksjon, er <tex>\phi^{-1}\,:\, H\to G</tex> en homomorfi, og <tex>\phi</tex> kalles da en isomorfi og vi skriver <tex>G\simeq H</tex>. Hvis <tex>G=H</tex> kalles <tex>\phi</tex> en automorfi.<br /> <br /> 10. La <tex>\phi</tex> være en isomorfi. Da er:<br /> : i) <tex>A\leq G</tex> hvis og bare hvis <tex>\phi(A)\leq H</tex><br /> : ii) <tex>A\leq G</tex> er en normal undergruppe hvis og bare hvis <tex>f(A)\leq H</tex> er en normal undergruppe.<br /> : iii) <tex>G</tex> er syklisk hvis og bare hvis <tex>H</tex> er syklisk.<br /> <br /> ===Det første isomorfiteoremet===<br /> <br /> Anta at <tex>N\leq G</tex> er en normal undergruppe. Da er<br /> <br /> <tex>\pi\,:\, G \rightarrow G/N</tex><br /> <br /> definert ved <tex>\pi(a)=Ha</tex> en surjektiv homomorfi med kjerne <tex>\text{ker}(\pi)=N</tex>.<br /> <br /> Hvis i tillegg <tex>\phi\,:\, G\rightarrow H</tex> er en surjektiv homomorfi med kjerne <tex>N</tex>, har vi <tex>G\simeq H</tex>.<br /> <br /> : ''Bevis:''<br /> <br /> : Ettersom <tex>\phi</tex> har kjerne <tex>N</tex> vil førbildet av enhver <tex>h\in H</tex> være et sideklasse av <tex>N</tex>:<br /> <br /> : <tex>\phi^{-1}(h)=Ng</tex> for en <tex>g\in G</tex>.<br /> <br /> : Anta at <tex>h_1,h_2\in H</tex> og <tex>\phi^{-1}(h_1)=\phi^{-1}(h_2)=Ng</tex>. Da har vi at <tex>h_1=\phi\left(\phi^{-1}(h_1)\right)=\phi\left(\phi^{-1}(h_2)\right)=h_2</tex>, så <tex>\pi\circ \phi^{-1}</tex> er en injektiv homomorfi fra <tex>H</tex> til <tex>G/N</tex>.<br /> <br /> : Anta videre at <tex>Ng\in G/N</tex>. Ettersom <tex>\phi</tex> er en surjektiv homomorfi, vil det finnes en <tex>h\in H</tex> slik at <tex>\phi(g)=h</tex>, og dermed er <tex>\pi\circ \phi^{-1}(h)=Ng</tex>, altså er <tex>\pi\circ \phi^{-1}</tex> en surjektiv homomorfi.<br /> <br /> : Ettersom <tex>\pi\circ\phi^{-1}:H\rightarrow G/N</tex> er både injektiv og surjektiv, er den en isomorfi, og dermed har vi at <tex>H\simeq G/N</tex> som skulle bevises.<br /> <br /> <br /> Generellt gjelder det at dersom <tex>\phi:G\rightarrow H</tex> er en homomorfi, så er <tex>G/\ker(\phi)\simeq R(\phi)</tex><br /> <br /> ===Senteret til en gruppe===<br /> <br /> Se på funksjonen <tex>\phi(a)=\varphi_a\,:\,G\rightarrow G</tex> slik at <tex>\varphi_a(g)=aga^{-1}</tex> for alle <tex>a,g\in G</tex><br /> <br /> Da er <tex>\varphi_a</tex> en isomorfi fra <tex>G</tex> til seg selv, kalt en automorfi. En automorfi av typen <tex>\varphi_a</tex> kalles en indre automorfi, og gruppen av alle indre automorfier på <tex>G</tex> (Vis at denne faktisk er en gruppe) noteres <tex>\text{Inn}(G)</tex>.<br /> <br /> Dermed er <tex>\phi</tex> en homomorfi fra <tex>G</tex> til <tex>\text{Inn}(G)</tex>.<br /> <br /> Kjernen til <tex>\phi</tex> er gitt ved <tex>Z_G=\{a\in G \,:\, ag=ga \,\forall\,g\in G\} </tex>, altså de elementer som kommuterer med alle andre elementer i <tex>G</tex>. Dette er en normal undergruppe til <tex>G</tex> og kalles senteret til <tex>G</tex>.<br /> <br /> ==Ytre produkter av grupper==<br /> <br /> La <tex>G</tex> og <tex>G</tex> være grupper. Da kan vi definere produktet av gruppene som mengden med ordnede par <tex>G\times H=\{(g,h)\,:\, g\in G\, \wedge \, h\in H\}</tex><br /> <br /> Med operasjonen <tex>*</tex> definert slik at <tex>(g_1,h_1)*(g_2,h_2)=(g_1*g_2,h_1*h_2)</tex>, der <tex>g</tex>. ene multipliseres i <tex>G</tex> osv, blir dette en gruppe.<br /> <br /> ===Undergrupper===<br /> <br /> Hvis <tex>G\times H</tex> er et produkt av grupper, så er <tex>A\times B</tex>, der <tex>A\leq G</tex> og <tex>B\leq H</tex> en undergruppe. Alle undergruppene til <tex>G\times H</tex> kan skrives på denne formen.<br /> <br /> Spesiellt har vi de normale undergruppene <tex>G\times \{\bar{e}\}</tex> og <tex>\{e\}\times H</tex>, som er isomorfe til henholdsvis <tex>G</tex> og <tex>H</tex>. Dermed er både <tex>G</tex> og <tex>H</tex> normale undergrupper til <tex>G\times H</tex>.<br /> <br /> Definer projeksjonshomomorfien <tex>\pi_G ((g,h))=(g,\bar{e})</tex> for alle <tex>g\in G\,,\, h\in H</tex>. Da har <tex>\pi_G</tex> kjerne <tex>\{e\}\times H\simeq H</tex> og verdimengde <tex>G\times \{\bar{e}\} \simeq G</tex>, så ved det første isomorfiteoremet har vi at <tex>\frac{G\times H}{H}\simeq G</tex>, og på samme måte at <tex>\frac{G\times H}{G}\simeq H</tex>, noe man skulle forvente.<br /> <br /> ==Gruppen (Z,+)==<br /> <br /> ==Symmetrigruppen på n elementer==<br /> <br /> [[Kategori:Algebra]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Introduksjon_til_komplekse_tall&diff=6383 Introduksjon til komplekse tall 2011-09-29T18:47:46Z

<p>Espen180: </p> <hr /> <div>Denne artikkelen introduserer komplekse tall som en måte å multiplisere punkter i det euklidske planet. Den tar sikte på å gi konseptet om komplekse tall et konkret rammeverk, heller enn å utvikle avledede konsepter.<br /> <br /> ==Introduksjon==<br /> <br /> Se på punkter i det euklidske planet. Fra elementær vektorregning vet vi at hvis vi har to punkter <tex>P(a,b)</tex> og <tex>Q(c,d)</tex> kan vi definere en måte å addere dem på. Dette er vanlig vektoraddisjon, og resultatet er<br /> <br /> <tex>P+Q=(a+c,b+d)</tex><br /> <br /> Det vi vil gjøre nå er å lage en måte å multiplisere to punkter på. For å gjøre dette må vi bestemme oss for hvordan vi vil at operasjonen vår skal oppføre seg. For eksempel vil vi at deling skal være mulig med alle punkter untatt <tex>(0,0)</tex>. Merk at på grunn av dette kan vi ikke definere multiplikasjonen som <tex>PQ=(ac,bd)</tex>, fordi da kan vi ikke dele på noen punkter på formen <tex>(a,0)</tex> eller <tex>(0,b)</tex>.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det blir lettere å definere multiplikasjon dersom vi går over til å bruke polare kooordinater. La oss innføre notasjonen <tex>(a,b)=\< r,\theta \></tex> for punkter skrevet på polar form. Som en påminnelse følger nå formlene for å gå fra kartesisk til polar form og tilbake.<br /> <br /> Gitt <tex>(x,y)=\<r,\theta\></tex>, har vi at<br /> <br /> <tex>r=\sqrt{x^2+y^2}</tex> og <tex>\tan\, \theta = \frac{y}{x}</tex>, med <tex>\theta</tex> i samme kvadrant som <tex>(x,y)</tex>.<br /> <br /> Motsatt vei har vi<br /> <br /> <tex>x=r\cos \, \theta</tex> og <tex>y=r\sin\,\theta</tex><br /> <br /> <br /> Et forslag til en mulig multiplikasjon blir da<br /> <br /> <tex>\< r_1,\theta _1\>\< r_2 , \theta_2 \> = \< r_1r_2 , \theta_1+\theta_2\></tex><br /> <br /> På polar form er det eneste punktet med <tex>r=0</tex> punktet <tex>(0,0)</tex>, så vi har oppfylt krevat til inverser. La oss se nermere på noen av egenskapene til denne typen multiplikasjon.<br /> <br /> ==Elementære egenskaper==<br /> <br /> Ettersom det er rimelig opplagt at for alle punkter <tex>P,Q</tex> har vi <tex>PQ=QP</tex>, la oss se på uttrykket <tex>P(Q+R)</tex>. Vi vil gjerne at dette skal være lik <tex>PQ+PR</tex> som med vanlige tall. Dette viser seg å være sant, men er noe rotete å vise.<br /> <br /> Ettersom å addere punkter i det polare planet er rimelig kronglete, la oss heller se på hvordan vi kan utrykke multiplikasjonen vi definerte i kartesiske koordinater.<br /> <br /> <br /> Vi vet altså at <tex>r_1=\sqrt{a^2+b^2}</tex>, <tex>\tan\,\theta_1 = \frac{b}{a}</tex>, <tex>r_2=\sqrt{c^2+d^2}</tex> og <tex>\tan\,\theta_2=\frac{d}{c}</tex>. Da får vi at produket av <tex>(a,b)</tex> og <tex>(c,d)</tex> på polar form er gitt ved<br /> <br /> <tex>r=\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</tex> og <tex>\theta=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\arctan\left(\frac{d}{c}\right)=\arctan\left(\frac{\frac{b}{a}+\frac{d}{c}}{1-\frac{bd}{ac}}\right)=\arctan\left(\frac{ad+bc}{ac-bd}\right)</tex><br /> <br /> Fra kjente trigonometriske identiteter får vi da uttrykk for sin og cos:<br /> <br /> <tex>\cos^2\theta=\frac{1}{1+\tan^2\theta}=\frac{(ac-bd)^2}{(ac-bd)^2+(ad+bc)^2}=\frac{(ac-bd)^2}{a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2}=\frac{(ac-bd)^2}{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</tex><br /> <br /> og<br /> <br /> <tex>\sin^2\theta=\tan^2\theta \cos^2\theta=\frac{(ad+bc)^2}{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</tex><br /> <br /> Så vi får som resultat at<br /> <br /> <tex>x=r\cos\,\theta=ac-bd</tex><br /> <br /> og<br /> <br /> <tex>y=r\sin\,\theta=ad+bc</tex><br /> <br /> Så vi har statfestet at dersom <tex>P=(a,b)</tex> og <tex>Q=(c,d)</tex>, så er<br /> <br /> <tex>PQ=(ac-bd,ad+bc)</tex><br /> <br /> ==Sammenheng med komplekse tall==<br /> <br /> <br /> Vi har allerede sett at hvis <tex>r=0</tex> har vi <tex>\<r,\theta\>=(0,0)</tex> for alle valg av <tex>\theta</tex>. La oss derfor se på punkter med <tex>r=1</tex>.<br /> <br /> Først har vi <tex>A=\<1,0\> = (1,0)</tex>. Hvis vi ganger <tex>A</tex> med seg selv, får vi <tex>AA=\<1,0\>=(1,0)=A</tex>. <tex>A</tex> viser seg å ha egenskapen at for ethvert punkt <tex>P</tex> har vi <tex>AP=P</tex>.<br /> <br /> Se så på punktet <tex>B=\<1,\pi\>=(-1,0)</tex>. Da får vi <tex>BB=\<1,2\pi\>=\<1,0\>=(1,0)=A</tex>.<br /> <br /> Se nå på <tex>C=\<1,\frac{\pi}{2}\>=(0,1)</tex>. Dette punktet har egenskapen <tex>CC=\<1,\pi\>=(-1,0)=B</tex>.</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=X_Hovedside&diff=6382 X Hovedside 2011-09-29T18:46:32Z

<p>Espen180: </p> <hr /> <div>Her finner man relevant stoff for kurset Matematikk X.<br /> <br /> ----<br /> [[X Kompetansemål]]<br /> <br /> <br /> ----<br /> <br /> <br /> <br /> '''EMNER'''<br /> <br /> <br /> <br /> ==Tallteori==<br /> <br /> <br /> *[[Delbarhet og faktorisering]]<br /> *[[Primtall og Eratostenes' sil]]<br /> *[[Største felles divisor og Euklids algoritme]]<br /> *[[Diofantiske ligninger]]<br /> *[[Kongruensregning]]<br /> *[[Rester og siste siffer i store tall]]<br /> *[[Lineære kongruenser]]<br /> <br /> ==Komplekse tall==<br /> <br /> *[[Introduksjon til komplekse tall]]<br /> *[[Komplekse tall]]<br /> <br /> ==Statistikk==<br /> <br /> ----<br /> [[Kategori:Kurs i norsk skole]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Gruppeteori&diff=6381 Gruppeteori 2011-09-29T16:21:03Z

<p>Espen180: </p> <hr /> <div>Gruppeteori er en gren av [[Algebra]] og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.<br /> <br /> ==Definisjon==<br /> <br /> La <tex>G</tex> være en ikketom mengde med <tex>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <tex>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:<br /> <br /> <br /> 1. <tex>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon)<br /> <br /> 2. <tex>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)<br /> <br /> 3. <tex>\exists e \in G</tex> slik at <tex>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)<br /> <br /> 4. <tex>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <tex>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)<br /> <br /> 5. <tex>a*b=b*a</tex><br /> <br /> <br /> En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive <tex>G</tex>, og la operasjonen være implisert.<br /> <br /> For en <tex>a\in G</tex> kan vi innføre forkortelsen <tex>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n \text{ elementer}}</tex>. Tilsvarende innfører vi <tex>a^{-n}=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\, ... \, * a^{-1}}_{n \text{ elementer}}</tex>. Dermed oppnår vi sammenhengene<br /> <br /> 1. <tex>a^n*a^m=a^{n+m}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\left(a^n\right)^m=a^{nm}</tex><br /> <br /> 3. <tex>a^0 = e</tex><br /> <br /> ===Eksempel 1===<br /> <br /> Heltallene <tex>\mathbb{Z}</tex> med vanlig addisjon av heltall er et viktig eksempel på en abelsk gruppe. Identiteten er gitt ved <tex>e=0</tex> og inverser ved <tex>a^{-1}=-a</tex>.<br /> <br /> Lignende eksempler er de rasjonale tallene <tex>\mathbb{Q}</tex>, de reelle tallene <tex>\mathbb{R}</tex> og de komplekse tallene <tex>\mathbb{C}</tex>.<br /> <br /> ''Er <tex>\mathbb{R}</tex> en gruppe under vanlig multiplikasjon av tall? Hvis ikke, hva er den største undermengden av <tex>\mathbb{R}</tex> som er en gruppe under multiplikasjon? Besvar samme spørsmål for <tex>\mathbb{Q}</tex>, <tex>\mathbb{C}</tex> og <tex>\mathbb{Z}</tex>.''<br /> <br /> ===Eksempel 2===<br /> <br /> La <tex>X</tex> være en mengde, og la <tex>B(X)</tex> være en ikketom samling av undermengder av <tex>X</tex>. For <tex>U,V\in B(X)</tex>, definer<br /> <br /> <tex>U-V=\{x\in U \,\wedge \, x\not\in V\}</tex><br /> <br /> definer så<br /> <br /> <tex>U*V=(U-V)\cup (V-U)</tex><br /> <br /> kalt den symmetriske differansen av <tex>U</tex> og <tex>V</tex>.<br /> <br /> Da er <tex>(B(X),*)</tex> en abelsk gruppe og kalles den Boolske gruppen. Identiteten er <tex>e=\emptyset</tex> og <tex>U^{-1}=U</tex> for alle <tex>U\in B(X)</tex>.<br /> <br /> Vi overlater til leseren å vise assosiativitet.<br /> <br /> ==Elementære resultater==<br /> <br /> ===Forkortningslov===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=a*c</tex> eller <tex>b*a=c*a</tex>. Da er <tex>b=c</tex><br /> <br /> <br /> Bevis: <tex>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex>. Beviset for venstre forkortning er tilsvarende.<br /> <br /> ===Identitetselementet er unikt===<br /> <br /> Anta at <tex>e_1</tex> og <tex>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <tex>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .<br /> <br /> <br /> Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <tex>b</tex> slik at <tex>a*b=a</tex> for en <tex>a</tex>, så er <tex>b=e</tex>.<br /> <br /> ===Inverser er unike===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=e</tex>. Da er <tex>b=a^{-1}</tex>. Anta at <tex>c*a=e</tex>. Da er <tex>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.<br /> <br /> ===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte===<br /> <br /> For elementer <tex>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <tex>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <tex>n</tex>.<br /> <br /> ==Undergrupper==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> være en gruppe, og la <tex>H</tex> være en ikketom undermengde av <tex>G</tex>, notert <tex>H\subset G</tex>. Da kalles <tex>(H,*)</tex> en undergruppe av <tex>(G,*)</tex> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <tex>G</tex>, notert ved <tex>H\leq G</tex>.<br /> <br /> To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis <tex>H</tex> er en ikketriviell undergruppe av <tex>G</tex> skriver vi <tex>H<G</tex>.<br /> <br /> ===Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper===<br /> <br /> De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, <tex>e</tex> må være et medlem i <tex>H</tex>, og for hvert element i <tex>H</tex>, må inversen også være et medlem.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: <tex>H</tex> er en under gruppe hvis og bare hvis for hver <tex>a,b \in H</tex>, så er <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Ettersom <tex>H</tex> ikke er tom, må det finnes et element <tex>a\in H</tex>. Dermed har vi at <tex>a*a^{-1}=e\in H</tex>, <tex>e*a^{-1}=a^{-1}\in H</tex>, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom <tex>b\in H</tex>, har vi <tex>b^{-1}\in H</tex>, så <tex>a*b \in H</tex> og <tex>H</tex> er dermed lukket.<br /> <br /> ==Orden==<br /> <br /> Ordenen til en gruppe <tex>G</tex> defineres som kardinaliteten til mengden <tex>G</tex>, notert <tex>o(G)</tex>. Hvis vi antar at <tex>a \in G</tex> og lar <tex>H=\{a^i | i\in \mathbb{Z}\}</tex>, vil <tex>H</tex> være en abelsk undergruppe av <tex>G</tex>, og vi kaller da <tex>H</tex> undergruppen av <tex>G</tex> generert av <tex>a</tex> og skriver <tex>H=\<a\></tex>. Vi kan da definere ordenen til et element <tex>a\in G</tex> som ordenen av undergruppen generert av <tex>a</tex>, det vil si <tex>o(a)\equiv o(H)</tex>. Merk at <tex>a</tex> har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en <tex>n\in \mathbb{N}</tex> slik at <tex>a^n=e</tex>, og <tex>o(a)</tex> er da den minste slike <tex>n</tex>.<br /> <br /> ===Sykliske grupper===<br /> <br /> En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex> generert av <tex>1</tex>.<br /> <br /> Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at <tex>G</tex> er generert av <tex>a</tex>, at <tex>H<G</tex> og at <tex>m</tex> er det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>. Anta så at det finnes et annet element <tex>a^n\in H</tex> med <tex>m<n</tex>. Hvis <tex>m</tex> ikke deler <tex>n</tex>, kan ikke <tex>m</tex> være det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>, ettersom <tex>a^{n-m}\in H</tex> og <tex>0<n-m<m</tex>. Altså må <tex>m</tex> dele <tex>n</tex>. Dermed er <tex>H</tex> generert av <tex>a^m</tex> og er dermed syklisk.<br /> <br /> ==Sideklasser==<br /> <br /> La <tex>H<G</tex>, og se på relasjonen <tex>a\sim b \, \Leftrightarrow \, a*b^{-1}\in H</tex>. Dette er en [[relasjoner|ekvivalensrelasjon]] på mengden <tex>G</tex>. Ekvivalensklassene er gitt ved<br /> <br /> <tex>[a]=\{b\in G \,|\, a\sim b\} = \{h*a \,|\, h\in H\} </tex><br /> <br /> For å se dette, merk at <tex>(h_1*a)*(h_2*a)^{-1}=h_1*a*a^{-1}*h_2^{-1}=h_1*h_2^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Mengden <tex>\{h*a \,|\, h\in H\}</tex> noteres <tex>Ha</tex> og kalles en høyre sideklasse til <tex>H</tex><br /> <br /> <br /> Alternativt kan vi la <tex>a\sim b \,\Leftrightarrow \, a^{-1}b\in H</tex>. Ekvivalensklassene blir da<br /> <br /> <tex>[a]=\{a*h \,|\, h\in H\} = aH</tex><br /> <br /> som kalles en venste sideklasse til <tex>H</tex>.<br /> <br /> <br /> Ettersom <tex>\sim</tex> er en ekvivalensrelasjon her, oppnår vi øyeblikkelig følgende resultater for høyre sideklasser. De tilsvarende utsagnene gjelder også for venstre sideklasser:<br /> <br /> 1. <tex>a\in H \, \Leftrightarrow \, Ha=H</tex><br /> <br /> 2. <tex>b\in Ha \,\Rightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 3. <tex>h\in H \, \Rightarrow H(h*a)=Ha</tex><br /> <br /> 4. <tex>Ha\cap Hb \neq \emptyset \, \Leftrightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 5. Mengden av høyre sideklasser av <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>.<br /> <br /> 6. <tex>a</tex> og <tex>b</tex> tilhører samme sideklasse kun hvis <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> ===Lagranges Teorem===<br /> <br /> La <tex>a\in G</tex>. Da er funksjonen <tex>f:H\rightarrow Ha</tex> gitt ved <tex>f(h)=a*h</tex> en bijeksjon. Dette kan sees ved å anvende forkortningsloven. Følgen av dette er at alle høyre sideklasser har samme orden. Samme argument kan benyttes på venstre sideklasser, og ettersom <tex>H</tex> er både en venste og høyre sideklasse, har alle sideklasser samme orden.<br /> <br /> <br /> Lagranges teorem sier at dersom <tex>H\leq G</tex> og <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>o(H)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> Beviset er elementært når vi vet at <tex>o(H)=o(Ha)=o(aH)</tex> for alle <tex>a\in G</tex>. Vi vet at sideklassene til <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>. Anta derfor at<br /> <br /> <tex>G=H\cup (Ha_1) \cup (Ha_2) \cup \, ... \, \cup (Ha_{t-1})</tex><br /> <br /> da følger det at<br /> <br /> <tex>o(G)=o(H)+|Ha_1|+|Ha_2| + ... + |Ha_{t-1}|=t\cdot o(H)</tex><br /> <br /> som beviser teoremet.<br /> <br /> <br /> Indeksen til en undergruppe <tex>H\leq G</tex> defineres som antallet venstre (eller høyre) sideklasser til <tex>H</tex> i <tex>G</tex> og noteres som <tex>[G:H]</tex>.<br /> <br /> For å se at <tex>H</tex> har like mange høyre sideklaser som venstre sideklasser, se på funksjonen <tex>f(H*a)=a^{-1}*H</tex>, som er en bijeksjon fra samlingen av høyre sideklasser til samlingen av venstre sideklasser.<br /> <br /> Verdien til <tex>[G:H]</tex> er lik tallet <tex>t</tex> i beviset av Lagranges teorem over, slik at<br /> <br /> <tex>o(G)=[G:H]\cdot o(H)</tex><br /> <br /> eller<br /> <br /> <tex>[G:H]=\frac{o(G)}{o(H)}</tex><br /> <br /> <br /> Lagranges teorem har flere øyeblikkelige konsekvenser:<br /> <br /> 1. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex> og <tex>a\in G</tex>, så er <tex>o(a)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> 2. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>a^{o(G)}=e</tex> for alle <tex>a\in G</tex>.<br /> <br /> 3. La <tex>p</tex> være et primtall. Da er alle grupper med orden <tex>p</tex> sykliske.<br /> <br /> ==Normale undergrupper og kvotientgrupper==<br /> <br /> La <tex>H\leq G</tex>. Da er følgende utsagn ekvivalente.<br /> <br /> 1. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}=H</tex><br /> <br /> 2. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}\subset H</tex><br /> <br /> 3. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aH=Ha</tex><br /> <br /> 4. Hver venstre sideklasse er en høyre sideklasse og omvendt.<br /> <br /> En undergruppe <tex>H</tex> som oppfyller disse kravene kalles en normal undergruppe til <tex>G</tex>.<br /> <br /> For enhver gruppe <tex>G</tex> er <tex>G</tex> selv og <tex>\{e\}</tex> normale undergrupper. Hvis <tex>G</tex> i tillegg er en abelsk gruppe, er alle undergrupper normale.<br /> <br /> ===Kvotientgrupper===<br /> <br /> Hvis <tex>N\leq G</tex> er en normal undegruppe, kan vi definere en gruppestruktur på sideklassene til <tex>N</tex> på følgende måte.<br /> <br /> La <tex>G/N</tex> være mengden av alle sideklasser til <tex>N</tex>. Dersom <tex>S_1=Na</tex> og <tex>S_2=Nb</tex>, definer produktet <tex>S_1*S_2 = (Na)*(Nb)=N(a*b)</tex>. Denne operasjonen en veldefinert. Identiteten er <tex>N</tex> og inverser er gitt ved <tex>(Na)^{-1}=Na^{-1}</tex>. Dersom <tex>o(G)<\infty</tex>, har vi i tillegg at <tex>o(G/N)=\frac{o(G)}{o(N)}</tex>.<br /> <br /> ==Homomorfier==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> og <tex>(H,\cdot )</tex> være grupper. En gruppehomomorfi (kort: homomorfi) fra <tex>G</tex> til <tex>H</tex> er en transformasjon<br /> <br /> <tex>\phi \,:\, G \rightarrow H</tex><br /> <br /> som bevarer gruppestrukturen, dvs.<br /> <br /> <tex>\phi (a*b) = \phi(a)\cdot \phi(b)</tex><br /> <br /> <br /> La <tex>G</tex> og <tex>H</tex> ha identitetselementer <tex>e</tex> og <tex>\bar{e}</tex>. Definer kjernen til en homomorfi som<br /> <br /> <tex>\tex{ker}(\phi)=\{a\in G \,:\, \phi(a)=\bar{e}\}=\phi^{-1}(\bar{e})</tex><br /> <br /> De følgende utsagnene følger direkte fra definisjonen av homomorfier.<br /> <br /> 1. <tex>\phi(e)=\bar{e}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\phi(a^{-1})=\phi(a)^{-1}</tex><br /> <br /> 3. Dersom <tex>A</tex> er en undergruppe av <tex>G</tex>, er <tex>\phi(A)</tex> en undergruppe av <tex>H</tex>. Det følger at <tex>R(\phi)=\{\phi(a)\,:\,a\in G\}</tex> er en undergruppe av <tex>H</tex>.<br /> <br /> 4. Dersom <tex>B</tex> er en undergruppe av B, er <tex>\phi^{-1}(B)</tex> en undergruppe av <tex>G</tex><br /> <br /> 5. Dersom <tex>\phi</tex> er injektiv, er <tex>\text{ker}(\phi)=\{e\}</tex><br /> <br /> 6. <tex>\text{ker}(\phi)</tex> er en normal undergruppe til <tex>G</tex><br /> <br /> 7. Dersom <tex>h\in H</tex>, er <tex>\phi^{-1}(h)</tex> en sideklasse av <tex>\text{ker}(\phi)</tex><br /> <br /> 8. Komposisjonen av to homomorfier <tex>\phi_1 \,:\, G\rightarrow H</tex> og <tex>\phi_2\,:\, H\rightarrow K</tex> er en ny homomorfi <tex>\phi_2\circ\phi_1 \,:\, G\rightarrow K</tex><br /> <br /> 9. Dersom <tex>\phi</tex> er en bijeksjon, er <tex>\phi^{-1}\,:\, H\to G</tex> en homomorfi, og <tex>\phi</tex> kalles da en isomorfi og vi skriver <tex>G\simeq H</tex>. Hvis <tex>G=H</tex> kalles <tex>\phi</tex> en automorfi.<br /> <br /> 10. La <tex>\phi</tex> være en isomorfi. Da er:<br /> : i) <tex>A\leq G</tex> hvis og bare hvis <tex>\phi(A)\leq H</tex><br /> : ii) <tex>A\leq G</tex> er en normal undergruppe hvis og bare hvis <tex>f(A)\leq H</tex> er en normal undergruppe.<br /> : iii) <tex>G</tex> er syklisk hvis og bare hvis <tex>H</tex> er syklisk.<br /> <br /> ===Det første isomorfiteoremet===<br /> <br /> Anta at <tex>N\leq G</tex> er en normal undergruppe. Da er<br /> <br /> <tex>\pi\,:\, G \rightarrow G/N</tex><br /> <br /> definert ved <tex>\pi(a)=Ha</tex> en surjektiv homomorfi med kjerne <tex>\text{ker}(\pi)=N</tex>.<br /> <br /> Hvis i tillegg <tex>\phi\,:\, G\rightarrow H</tex> er en surjektiv homomorfi med kjerne <tex>N</tex>, har vi <tex>G\simeq H</tex>.<br /> <br /> : ''Bevis:''<br /> <br /> : Ettersom <tex>\phi</tex> har kjerne <tex>N</tex> vil førbildet av enhver <tex>h\in H</tex> være et sideklasse av <tex>N</tex>:<br /> <br /> : <tex>\phi^{-1}(h)=Ng</tex> for en <tex>g\in G</tex>.<br /> <br /> : Anta at <tex>h_1,h_2\in H</tex> og <tex>\phi^{-1}(h_1)=\phi^{-1}(h_2)=Ng</tex>. Da har vi at <tex>h_1=\phi\left(\phi^{-1}(h_1)\right)=\phi\left(\phi^{-1}(h_2)\right)=h_2</tex>, så <tex>\pi\circ \phi^{-1}</tex> er en injektiv homomorfi fra <tex>H</tex> til <tex>G/N</tex>.<br /> <br /> : Anta videre at <tex>Ng\in G/N</tex>. Ettersom <tex>\phi</tex> er en surjektiv homomorfi, vil det finnes en <tex>h\in H</tex> slik at <tex>\phi(g)=h</tex>, og dermed er <tex>\pi\circ \phi^{-1}(h)=Ng</tex>, altså er <tex>\pi\circ \phi^{-1}</tex> en surjektiv homomorfi.<br /> <br /> : Ettersom <tex>\pi\circ\phi^{-1}:H\rightarrow G/N</tex> er både injektiv og surjektiv, er den en isomorfi, og dermed har vi at <tex>H\simeq G/N</tex> som skulle bevises.<br /> <br /> <br /> Generellt gjelder det at dersom <tex>\phi:G\rightarrow H</tex> er en homomorfi, så er <tex>G/\ker(\phi)\simeq R(\phi)</tex><br /> <br /> ===Senteret til en gruppe===<br /> <br /> Se på funksjonen <tex>\phi(a)=\varphi_a\,:\,G\rightarrow G</tex> slik at <tex>\varphi_a(g)=aga^{-1}</tex> for alle <tex>a,g\in G</tex><br /> <br /> Da er <tex>\varphi_a</tex> en isomorfi fra <tex>G</tex> til seg selv, kalt en automorfi.<br /> <br /> Dermed er <tex>\phi</tex> en homomorfi fra <tex>G</tex> til gruppen av automorfier på <tex>G</tex>, også kalt den symmetriske gruppen på <tex>G</tex>.<br /> <br /> Kjernen til <tex>\phi</tex> er gitt ved <tex>Z_G=\{a\in G \,:\, ag=ga \,\forall\,g\in G\} </tex>, altså de elementer som kommuterer med alle andre elementer i <tex>G</tex>. Dette er en normal undergruppe til <tex>G</tex> og kalles senteret til <tex>G</tex>.<br /> <br /> ==Ytre produkter av grupper==<br /> <br /> La <tex>G</tex> og <tex>G</tex> være grupper. Da kan vi definere produktet av gruppene som mengden med ordnede par <tex>G\times H=\{(g,h)\,:\, g\in G\, \wedge \, h\in H\}</tex><br /> <br /> Med operasjonen <tex>*</tex> definert slik at <tex>(g_1,h_1)*(g_2,h_2)=(g_1*g_2,h_1*h_2)</tex>, der <tex>g</tex>. ene multipliseres i <tex>G</tex> osv, blir dette en gruppe.<br /> <br /> ===Undergrupper===<br /> <br /> Hvis <tex>G\times H</tex> er et produkt av grupper, så er <tex>A\times B</tex>, der <tex>A\leq G</tex> og <tex>B\leq H</tex> en undergruppe. Alle undergruppene til <tex>G\times H</tex> kan skrives på denne formen.<br /> <br /> Spesiellt har vi de normale undergruppene <tex>G\times \{\bar{e}\}</tex> og <tex>\{e\}\times H</tex>, som er isomorfe til henholdsvis <tex>G</tex> og <tex>H</tex>. Dermed er både <tex>G</tex> og <tex>H</tex> normale undergrupper til <tex>G\times H</tex>.<br /> <br /> Definer projeksjonshomomorfien <tex>\pi_G ((g,h))=(g,\bar{e})</tex> for alle <tex>g\in G\,,\, h\in H</tex>. Da har <tex>\pi_G</tex> kjerne <tex>\{e\}\times H\simeq H</tex> og verdimengde <tex>G\times \{\bar{e}\} \simeq G</tex>, så ved det første isomorfiteoremet har vi at <tex>\frac{G\times H}{H}\simeq G</tex>, og på samme måte at <tex>\frac{G\times H}{G}\simeq H</tex>, noe man skulle forvente.<br /> <br /> ==Gruppen (Z,+)==<br /> <br /> ==Symmetrigruppen på n elementer==<br /> <br /> [[Kategori:Algebra]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Gruppeteori&diff=6380 Gruppeteori 2011-09-29T16:20:27Z

<p>Espen180: /* Homomorfier */</p> <hr /> <div>Gruppeteori er en gren av [[Algebra]] og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.<br /> <br /> ==Definisjon==<br /> <br /> La <tex>G</tex> være en ikketom mengde med <tex>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <tex>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:<br /> <br /> <br /> 1. <tex>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon)<br /> <br /> 2. <tex>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)<br /> <br /> 3. <tex>\exists e \in G</tex> slik at <tex>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)<br /> <br /> 4. <tex>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <tex>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)<br /> <br /> 5. <tex>a*b=b*a</tex><br /> <br /> <br /> En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive <tex>G</tex>, og la operasjonen være implisert.<br /> <br /> For en <tex>a\in G</tex> kan vi innføre forkortelsen <tex>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n \text{ elementer}}</tex>. Tilsvarende innfører vi <tex>a^{-n}=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\, ... \, * a^{-1}}_{n \text{ elementer}}</tex>. Dermed oppnår vi sammenhengene<br /> <br /> 1. <tex>a^n*a^m=a^{n+m}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\left(a^n\right)^m=a^{nm}</tex><br /> <br /> 3. <tex>a^0 = e</tex><br /> <br /> ===Eksempel 1===<br /> <br /> Heltallene <tex>\mathbb{Z}</tex> med vanlig addisjon av heltall er et viktig eksempel på en abelsk gruppe. Identiteten er gitt ved <tex>e=0</tex> og inverser ved <tex>a^{-1}=-a</tex>.<br /> <br /> Lignende eksempler er de rasjonale tallene <tex>\mathbb{Q}</tex>, de reelle tallene <tex>\mathbb{R}</tex> og de komplekse tallene <tex>\mathbb{C}</tex>.<br /> <br /> ''Er <tex>\mathbb{R}</tex> en gruppe under vanlig multiplikasjon av tall? Hvis ikke, hva er den største undermengden av <tex>\mathbb{R}</tex> som er en gruppe under multiplikasjon? Besvar samme spørsmål for <tex>\mathbb{Q}</tex>, <tex>\mathbb{C}</tex> og <tex>\mathbb{Z}</tex>.''<br /> <br /> ===Eksempel 2===<br /> <br /> La <tex>X</tex> være en mengde, og la <tex>B(X)</tex> være en ikketom samling av undermengder av <tex>X</tex>. For <tex>U,V\in B(X)</tex>, definer<br /> <br /> <tex>U-V=\{x\in U \,\wedge \, x\not\in V\}</tex><br /> <br /> definer så<br /> <br /> <tex>U*V=(U-V)\cup (V-U)</tex><br /> <br /> kalt den symmetriske differansen av <tex>U</tex> og <tex>V</tex>.<br /> <br /> Da er <tex>(B(X),*)</tex> en abelsk gruppe og kalles den Boolske gruppen. Identiteten er <tex>e=\emptyset</tex> og <tex>U^{-1}=U</tex> for alle <tex>U\in B(X)</tex>.<br /> <br /> Vi overlater til leseren å vise assosiativitet.<br /> <br /> ==Elementære resultater==<br /> <br /> ===Forkortningslov===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=a*c</tex> eller <tex>b*a=c*a</tex>. Da er <tex>b=c</tex><br /> <br /> <br /> Bevis: <tex>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex>. Beviset for venstre forkortning er tilsvarende.<br /> <br /> ===Identitetselementet er unikt===<br /> <br /> Anta at <tex>e_1</tex> og <tex>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <tex>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .<br /> <br /> <br /> Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <tex>b</tex> slik at <tex>a*b=a</tex> for en <tex>a</tex>, så er <tex>b=e</tex>.<br /> <br /> ===Inverser er unike===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=e</tex>. Da er <tex>b=a^{-1}</tex>. Anta at <tex>c*a=e</tex>. Da er <tex>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.<br /> <br /> ===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte===<br /> <br /> For elementer <tex>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <tex>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <tex>n</tex>.<br /> <br /> ==Undergrupper==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> være en gruppe, og la <tex>H</tex> være en ikketom undermengde av <tex>G</tex>, notert <tex>H\subset G</tex>. Da kalles <tex>(H,*)</tex> en undergruppe av <tex>(G,*)</tex> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <tex>G</tex>, notert ved <tex>H\leq G</tex>.<br /> <br /> To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis <tex>H</tex> er en ikketriviell undergruppe av <tex>G</tex> skriver vi <tex>H<G</tex>.<br /> <br /> ===Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper===<br /> <br /> De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, <tex>e</tex> må være et medlem i <tex>H</tex>, og for hvert element i <tex>H</tex>, må inversen også være et medlem.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: <tex>H</tex> er en under gruppe hvis og bare hvis for hver <tex>a,b \in H</tex>, så er <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Ettersom <tex>H</tex> ikke er tom, må det finnes et element <tex>a\in H</tex>. Dermed har vi at <tex>a*a^{-1}=e\in H</tex>, <tex>e*a^{-1}=a^{-1}\in H</tex>, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom <tex>b\in H</tex>, har vi <tex>b^{-1}\in H</tex>, så <tex>a*b \in H</tex> og <tex>H</tex> er dermed lukket.<br /> <br /> ==Orden==<br /> <br /> Ordenen til en gruppe <tex>G</tex> defineres som kardinaliteten til mengden <tex>G</tex>, notert <tex>o(G)</tex>. Hvis vi antar at <tex>a \in G</tex> og lar <tex>H=\{a^i | i\in \mathbb{Z}\}</tex>, vil <tex>H</tex> være en abelsk undergruppe av <tex>G</tex>, og vi kaller da <tex>H</tex> undergruppen av <tex>G</tex> generert av <tex>a</tex> og skriver <tex>H=\<a\></tex>. Vi kan da definere ordenen til et element <tex>a\in G</tex> som ordenen av undergruppen generert av <tex>a</tex>, det vil si <tex>o(a)\equiv o(H)</tex>. Merk at <tex>a</tex> har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en <tex>n\in \mathbb{N}</tex> slik at <tex>a^n=e</tex>, og <tex>o(a)</tex> er da den minste slike <tex>n</tex>.<br /> <br /> ===Sykliske grupper===<br /> <br /> En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex> generert av <tex>1</tex>.<br /> <br /> Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at <tex>G</tex> er generert av <tex>a</tex>, at <tex>H<G</tex> og at <tex>m</tex> er det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>. Anta så at det finnes et annet element <tex>a^n\in H</tex> med <tex>m<n</tex>. Hvis <tex>m</tex> ikke deler <tex>n</tex>, kan ikke <tex>m</tex> være det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>, ettersom <tex>a^{n-m}\in H</tex> og <tex>0<n-m<m</tex>. Altså må <tex>m</tex> dele <tex>n</tex>. Dermed er <tex>H</tex> generert av <tex>a^m</tex> og er dermed syklisk.<br /> <br /> ==Sideklasser==<br /> <br /> La <tex>H<G</tex>, og se på relasjonen <tex>a\sim b \, \Leftrightarrow \, a*b^{-1}\in H</tex>. Dette er en [[relasjoner|ekvivalensrelasjon]] på mengden <tex>G</tex>. Ekvivalensklassene er gitt ved<br /> <br /> <tex>[a]=\{b\in G \,|\, a\sim b\} = \{h*a \,|\, h\in H\} </tex><br /> <br /> For å se dette, merk at <tex>(h_1*a)*(h_2*a)^{-1}=h_1*a*a^{-1}*h_2^{-1}=h_1*h_2^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Mengden <tex>\{h*a \,|\, h\in H\}</tex> noteres <tex>Ha</tex> og kalles en høyre sideklasse til <tex>H</tex><br /> <br /> <br /> Alternativt kan vi la <tex>a\sim b \,\Leftrightarrow \, a^{-1}b\in H</tex>. Ekvivalensklassene blir da<br /> <br /> <tex>[a]=\{a*h \,|\, h\in H\} = aH</tex><br /> <br /> som kalles en venste sideklasse til <tex>H</tex>.<br /> <br /> <br /> Ettersom <tex>\sim</tex> er en ekvivalensrelasjon her, oppnår vi øyeblikkelig følgende resultater for høyre sideklasser. De tilsvarende utsagnene gjelder også for venstre sideklasser:<br /> <br /> 1. <tex>a\in H \, \Leftrightarrow \, Ha=H</tex><br /> <br /> 2. <tex>b\in Ha \,\Rightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 3. <tex>h\in H \, \Rightarrow H(h*a)=Ha</tex><br /> <br /> 4. <tex>Ha\cap Hb \neq \emptyset \, \Leftrightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 5. Mengden av høyre sideklasser av <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>.<br /> <br /> 6. <tex>a</tex> og <tex>b</tex> tilhører samme sideklasse kun hvis <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> ===Lagranges Teorem===<br /> <br /> La <tex>a\in G</tex>. Da er funksjonen <tex>f:H\rightarrow Ha</tex> gitt ved <tex>f(h)=a*h</tex> en bijeksjon. Dette kan sees ved å anvende forkortningsloven. Følgen av dette er at alle høyre sideklasser har samme orden. Samme argument kan benyttes på venstre sideklasser, og ettersom <tex>H</tex> er både en venste og høyre sideklasse, har alle sideklasser samme orden.<br /> <br /> <br /> Lagranges teorem sier at dersom <tex>H\leq G</tex> og <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>o(H)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> Beviset er elementært når vi vet at <tex>o(H)=o(Ha)=o(aH)</tex> for alle <tex>a\in G</tex>. Vi vet at sideklassene til <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>. Anta derfor at<br /> <br /> <tex>G=H\cup (Ha_1) \cup (Ha_2) \cup \, ... \, \cup (Ha_{t-1})</tex><br /> <br /> da følger det at<br /> <br /> <tex>o(G)=o(H)+|Ha_1|+|Ha_2| + ... + |Ha_{t-1}|=t\cdot o(H)</tex><br /> <br /> som beviser teoremet.<br /> <br /> <br /> Indeksen til en undergruppe <tex>H\leq G</tex> defineres som antallet venstre (eller høyre) sideklasser til <tex>H</tex> i <tex>G</tex> og noteres som <tex>[G:H]</tex>.<br /> <br /> For å se at <tex>H</tex> har like mange høyre sideklaser som venstre sideklasser, se på funksjonen <tex>f(H*a)=a^{-1}*H</tex>, som er en bijeksjon fra samlingen av høyre sideklasser til samlingen av venstre sideklasser.<br /> <br /> Verdien til <tex>[G:H]</tex> er lik tallet <tex>t</tex> i beviset av Lagranges teorem over, slik at<br /> <br /> <tex>o(G)=[G:H]\cdot o(H)</tex><br /> <br /> eller<br /> <br /> <tex>[G:H]=\frac{o(G)}{o(H)}</tex><br /> <br /> <br /> Lagranges teorem har flere øyeblikkelige konsekvenser:<br /> <br /> 1. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex> og <tex>a\in G</tex>, så er <tex>o(a)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> 2. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>a^{o(G)}=e</tex> for alle <tex>a\in G</tex>.<br /> <br /> 3. La <tex>p</tex> være et primtall. Da er alle grupper med orden <tex>p</tex> sykliske.<br /> <br /> ==Normale undergrupper og kvotientgrupper==<br /> <br /> La <tex>H\leq G</tex>. Da er følgende utsagn ekvivalente.<br /> <br /> 1. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}=H</tex><br /> <br /> 2. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}\subset H</tex><br /> <br /> 3. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aH=Ha</tex><br /> <br /> 4. Hver venstre sideklasse er en høyre sideklasse og omvendt.<br /> <br /> En undergruppe <tex>H</tex> som oppfyller disse kravene kalles en normal undergruppe til <tex>G</tex>.<br /> <br /> For enhver gruppe <tex>G</tex> er <tex>G</tex> selv og <tex>\{e\}</tex> normale undergrupper. Hvis <tex>G</tex> i tillegg er en abelsk gruppe, er alle undergrupper normale.<br /> <br /> ===Kvotientgrupper===<br /> <br /> Hvis <tex>N\leq G</tex> er en normal undegruppe, kan vi definere en gruppestruktur på sideklassene til <tex>N</tex> på følgende måte.<br /> <br /> La <tex>G/N</tex> være mengden av alle sideklasser til <tex>N</tex>. Dersom <tex>S_1=Na</tex> og <tex>S_2=Nb</tex>, definer produktet <tex>S_1*S_2 = (Na)*(Nb)=N(a*b)</tex>. Denne operasjonen en veldefinert. Identiteten er <tex>N</tex> og inverser er gitt ved <tex>(Na)^{-1}=Na^{-1}</tex>. Dersom <tex>o(G)<\infty</tex>, har vi i tillegg at <tex>o(G/N)=\frac{o(G)}{o(N)}</tex>.<br /> <br /> ==Homomorfier==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> og <tex>(H,\cdot )</tex> være grupper. En gruppehomomorfi (kort: homomorfi) fra <tex>G</tex> til <tex>H</tex> er en transformasjon<br /> <br /> <tex>\phi \,:\, G \rightarrow H</tex><br /> <br /> som bevarer gruppestrukturen, dvs.<br /> <br /> <tex>\phi (a*b) = \phi(a)\cdot \phi(b)</tex><br /> <br /> <br /> La <tex>G</tex> og <tex>H</tex> ha identitetselementer <tex>e</tex> og <tex>\bar{e}</tex>. Definer kjernen til en homomorfi som<br /> <br /> <tex>\tex{ker}(\phi)=\{a\in G \,:\, \phi(a)=\bar{e}\}=\phi^{-1}(\bar{e})</tex><br /> <br /> De følgende utsagnene følger direkte fra definisjonen av homomorfier.<br /> <br /> 1. <tex>\phi(e)=\bar{e}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\phi(a^{-1})=\phi(a)^{-1}</tex><br /> <br /> 3. Dersom <tex>A</tex> er en undergruppe av <tex>G</tex>, er <tex>\phi(A)</tex> en undergruppe av <tex>H</tex>. Det følger at <tex>R(\phi)=\{\phi(a)\,:\,a\in G\}</tex> er en undergruppe av <tex>H</tex>.<br /> <br /> 4. Dersom <tex>B</tex> er en undergruppe av B, er <tex>\phi^{-1}(B)</tex> en undergruppe av <tex>G</tex><br /> <br /> 5. Dersom <tex>\phi</tex> er injektiv, er <tex>\text{ker}(\phi)=\{e\}</tex><br /> <br /> 6. <tex>\text{ker}(\phi)</tex> er en normal undergruppe til <tex>G</tex><br /> <br /> 7. Dersom <tex>h\in H</tex>, er <tex>\phi^{-1}(h)</tex> en sideklasse av <tex>\text{ker}(\phi)</tex><br /> <br /> 8. Komposisjonen av to homomorfier <tex>\phi_1 \,:\, G\rightarrow H</tex> og <tex>\phi_2\,:\, H\rightarrow K</tex> er en ny homomorfi <tex>\phi_2\circ\phi_1 \,:\, G\rightarrow K</tex><br /> <br /> 9. Dersom <tex>\phi</tex> er en bijeksjon, er <tex>\phi^{-1}\,:\, H\to G</tex> en homomorfi, og <tex>\phi</tex> kalles da en isomorfi og vi skriver <tex>G\simeq H</tex>. Hvis <tex>G=H</tex> kalles <tex>\phi</tex> en automorfi.<br /> <br /> 10. La <tex>\phi</tex> være en isomorfi. Da er:<br /> : i) <tex>A\leq G</tex> hvis og bare hvis <tex>\phi(A)\leq H</tex><br /> : ii) <tex>A\leq G</tex> er en normal undergruppe hvis og bare hvis <tex>f(A)\leq H</tex> er en normal undergruppe.<br /> : iii) <tex>G</tex> er syklisk hvis og bare hvis <tex>H</tex> er syklisk.<br /> <br /> ===Det første isomorfiteoremet===<br /> <br /> Anta at <tex>N\leq G</tex> er en normal undergruppe. Da er<br /> <br /> <tex>\pi\,:\, G \rightarrow G/N</tex><br /> <br /> definert ved <tex>\pi(a)=Ha</tex> en surjektiv homomorfi med kjerne <tex>\text{ker}(\pi)=N</tex>.<br /> <br /> Hvis i tillegg <tex>\phi\,:\, G\rightarrow H</tex> er en surjektiv homomorfi med kjerne <tex>N</tex>, har vi <tex>G\simeq H</tex>.<br /> <br /> : ''Bevis:''<br /> <br /> : Ettersom <tex>\phi</tex> har kjerne <tex>N</tex> vil førbildet av enhver <tex>h\in H</tex> være et sideklasse av <tex>N</tex>:<br /> <br /> : <tex>\phi^{-1}(h)=Ng</tex> for en <tex>g\in G</tex>.<br /> <br /> : Anta at <tex>h_1,h_2\in H</tex> og <tex>\phi^{-1}(h_1)=\phi^{-1}(h_2)=Ng</tex>. Da har vi at <tex>h_1=\phi\left(\phi^{-1}(h_1)\right)=\phi\left(\phi^{-1}(h_2)\right)=h_2</tex>, så <tex>\pi\circ \phi^{-1}</tex> er en injektiv homomorfi fra <tex>H</tex> til <tex>G/N</tex>.<br /> <br /> : Anta videre at <tex>Ng\in G/N</tex>. Ettersom <tex>\phi</tex> er en surjektiv homomorfi, vil det finnes en <tex>h\in H</tex> slik at <tex>\phi(g)=h</tex>, og dermed er <tex>\pi\circ \phi^{-1}(h)=Ng</tex>, altså er <tex>\pi\circ \phi^{-1}</tex> en surjektiv homomorfi.<br /> <br /> : Ettersom <tex>\pi\circ\phi^{-1}:H\rightarrow G/N</tex> er både injektiv og surjektiv, er den en isomorfi, og dermed har vi at <tex>H\simeq G/N</tex> som skulle bevises.<br /> <br /> <br /> Generellt gjelder det at dersom <tex>\phi:G\rightarrow H</tex> er en homomorfi, så er <tex>G/\ker(\phi)\simeq R(\phi)</tex><br /> <br /> ==Senteret til en gruppe==<br /> <br /> Se på funksjonen <tex>\phi(a)=\varphi_a\,:\,G\rightarrow G</tex> slik at <tex>\varphi_a(g)=aga^{-1}</tex> for alle <tex>a,g\in G</tex><br /> <br /> Da er <tex>\varphi_a</tex> en isomorfi fra <tex>G</tex> til seg selv, kalt en automorfi.<br /> <br /> Dermed er <tex>\phi</tex> en homomorfi fra <tex>G</tex> til gruppen av automorfier på <tex>G</tex>, også kalt den symmetriske gruppen på <tex>G</tex>.<br /> <br /> Kjernen til <tex>\phi</tex> er gitt ved <tex>Z_G=\{a\in G \,:\, ag=ga \,\forall\,g\in G\} </tex>, altså de elementer som kommuterer med alle andre elementer i <tex>G</tex>. Dette er en normal undergruppe til <tex>G</tex> og kalles senteret til <tex>G</tex>.<br /> <br /> ==Ytre produkter av grupper==<br /> <br /> La <tex>G</tex> og <tex>G</tex> være grupper. Da kan vi definere produktet av gruppene som mengden med ordnede par <tex>G\times H=\{(g,h)\,:\, g\in G\, \wedge \, h\in H\}</tex><br /> <br /> Med operasjonen <tex>*</tex> definert slik at <tex>(g_1,h_1)*(g_2,h_2)=(g_1*g_2,h_1*h_2)</tex>, der <tex>g</tex>. ene multipliseres i <tex>G</tex> osv, blir dette en gruppe.<br /> <br /> ===Undergrupper===<br /> <br /> Hvis <tex>G\times H</tex> er et produkt av grupper, så er <tex>A\times B</tex>, der <tex>A\leq G</tex> og <tex>B\leq H</tex> en undergruppe. Alle undergruppene til <tex>G\times H</tex> kan skrives på denne formen.<br /> <br /> Spesiellt har vi de normale undergruppene <tex>G\times \{\bar{e}\}</tex> og <tex>\{e\}\times H</tex>, som er isomorfe til henholdsvis <tex>G</tex> og <tex>H</tex>. Dermed er både <tex>G</tex> og <tex>H</tex> normale undergrupper til <tex>G\times H</tex>.<br /> <br /> Definer projeksjonshomomorfien <tex>\pi_G ((g,h))=(g,\bar{e})</tex> for alle <tex>g\in G\,,\, h\in H</tex>. Da har <tex>\pi_G</tex> kjerne <tex>\{e\}\times H\simeq H</tex> og verdimengde <tex>G\times \{\bar{e}\} \simeq G</tex>, så ved det første isomorfiteoremet har vi at <tex>\frac{G\times H}{H}\simeq G</tex>, og på samme måte at <tex>\frac{G\times H}{G}\simeq H</tex>, noe man skulle forvente.<br /> <br /> ==Gruppen (Z,+)==<br /> <br /> ==Symmetrigruppen på n elementer==<br /> <br /> [[Kategori:Algebra]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Gruppeteori&diff=6379 Gruppeteori 2011-09-29T16:10:21Z

<p>Espen180: /* Undergrupper */</p> <hr /> <div>Gruppeteori er en gren av [[Algebra]] og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.<br /> <br /> ==Definisjon==<br /> <br /> La <tex>G</tex> være en ikketom mengde med <tex>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <tex>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:<br /> <br /> <br /> 1. <tex>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon)<br /> <br /> 2. <tex>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)<br /> <br /> 3. <tex>\exists e \in G</tex> slik at <tex>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)<br /> <br /> 4. <tex>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <tex>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)<br /> <br /> 5. <tex>a*b=b*a</tex><br /> <br /> <br /> En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive <tex>G</tex>, og la operasjonen være implisert.<br /> <br /> For en <tex>a\in G</tex> kan vi innføre forkortelsen <tex>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n \text{ elementer}}</tex>. Tilsvarende innfører vi <tex>a^{-n}=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\, ... \, * a^{-1}}_{n \text{ elementer}}</tex>. Dermed oppnår vi sammenhengene<br /> <br /> 1. <tex>a^n*a^m=a^{n+m}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\left(a^n\right)^m=a^{nm}</tex><br /> <br /> 3. <tex>a^0 = e</tex><br /> <br /> ===Eksempel 1===<br /> <br /> Heltallene <tex>\mathbb{Z}</tex> med vanlig addisjon av heltall er et viktig eksempel på en abelsk gruppe. Identiteten er gitt ved <tex>e=0</tex> og inverser ved <tex>a^{-1}=-a</tex>.<br /> <br /> Lignende eksempler er de rasjonale tallene <tex>\mathbb{Q}</tex>, de reelle tallene <tex>\mathbb{R}</tex> og de komplekse tallene <tex>\mathbb{C}</tex>.<br /> <br /> ''Er <tex>\mathbb{R}</tex> en gruppe under vanlig multiplikasjon av tall? Hvis ikke, hva er den største undermengden av <tex>\mathbb{R}</tex> som er en gruppe under multiplikasjon? Besvar samme spørsmål for <tex>\mathbb{Q}</tex>, <tex>\mathbb{C}</tex> og <tex>\mathbb{Z}</tex>.''<br /> <br /> ===Eksempel 2===<br /> <br /> La <tex>X</tex> være en mengde, og la <tex>B(X)</tex> være en ikketom samling av undermengder av <tex>X</tex>. For <tex>U,V\in B(X)</tex>, definer<br /> <br /> <tex>U-V=\{x\in U \,\wedge \, x\not\in V\}</tex><br /> <br /> definer så<br /> <br /> <tex>U*V=(U-V)\cup (V-U)</tex><br /> <br /> kalt den symmetriske differansen av <tex>U</tex> og <tex>V</tex>.<br /> <br /> Da er <tex>(B(X),*)</tex> en abelsk gruppe og kalles den Boolske gruppen. Identiteten er <tex>e=\emptyset</tex> og <tex>U^{-1}=U</tex> for alle <tex>U\in B(X)</tex>.<br /> <br /> Vi overlater til leseren å vise assosiativitet.<br /> <br /> ==Elementære resultater==<br /> <br /> ===Forkortningslov===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=a*c</tex> eller <tex>b*a=c*a</tex>. Da er <tex>b=c</tex><br /> <br /> <br /> Bevis: <tex>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex>. Beviset for venstre forkortning er tilsvarende.<br /> <br /> ===Identitetselementet er unikt===<br /> <br /> Anta at <tex>e_1</tex> og <tex>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <tex>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .<br /> <br /> <br /> Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <tex>b</tex> slik at <tex>a*b=a</tex> for en <tex>a</tex>, så er <tex>b=e</tex>.<br /> <br /> ===Inverser er unike===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=e</tex>. Da er <tex>b=a^{-1}</tex>. Anta at <tex>c*a=e</tex>. Da er <tex>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.<br /> <br /> ===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte===<br /> <br /> For elementer <tex>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <tex>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <tex>n</tex>.<br /> <br /> ==Undergrupper==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> være en gruppe, og la <tex>H</tex> være en ikketom undermengde av <tex>G</tex>, notert <tex>H\subset G</tex>. Da kalles <tex>(H,*)</tex> en undergruppe av <tex>(G,*)</tex> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <tex>G</tex>, notert ved <tex>H\leq G</tex>.<br /> <br /> To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis <tex>H</tex> er en ikketriviell undergruppe av <tex>G</tex> skriver vi <tex>H<G</tex>.<br /> <br /> ===Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper===<br /> <br /> De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, <tex>e</tex> må være et medlem i <tex>H</tex>, og for hvert element i <tex>H</tex>, må inversen også være et medlem.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: <tex>H</tex> er en under gruppe hvis og bare hvis for hver <tex>a,b \in H</tex>, så er <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Ettersom <tex>H</tex> ikke er tom, må det finnes et element <tex>a\in H</tex>. Dermed har vi at <tex>a*a^{-1}=e\in H</tex>, <tex>e*a^{-1}=a^{-1}\in H</tex>, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom <tex>b\in H</tex>, har vi <tex>b^{-1}\in H</tex>, så <tex>a*b \in H</tex> og <tex>H</tex> er dermed lukket.<br /> <br /> ==Orden==<br /> <br /> Ordenen til en gruppe <tex>G</tex> defineres som kardinaliteten til mengden <tex>G</tex>, notert <tex>o(G)</tex>. Hvis vi antar at <tex>a \in G</tex> og lar <tex>H=\{a^i | i\in \mathbb{Z}\}</tex>, vil <tex>H</tex> være en abelsk undergruppe av <tex>G</tex>, og vi kaller da <tex>H</tex> undergruppen av <tex>G</tex> generert av <tex>a</tex> og skriver <tex>H=\<a\></tex>. Vi kan da definere ordenen til et element <tex>a\in G</tex> som ordenen av undergruppen generert av <tex>a</tex>, det vil si <tex>o(a)\equiv o(H)</tex>. Merk at <tex>a</tex> har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en <tex>n\in \mathbb{N}</tex> slik at <tex>a^n=e</tex>, og <tex>o(a)</tex> er da den minste slike <tex>n</tex>.<br /> <br /> ===Sykliske grupper===<br /> <br /> En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex> generert av <tex>1</tex>.<br /> <br /> Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at <tex>G</tex> er generert av <tex>a</tex>, at <tex>H<G</tex> og at <tex>m</tex> er det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>. Anta så at det finnes et annet element <tex>a^n\in H</tex> med <tex>m<n</tex>. Hvis <tex>m</tex> ikke deler <tex>n</tex>, kan ikke <tex>m</tex> være det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>, ettersom <tex>a^{n-m}\in H</tex> og <tex>0<n-m<m</tex>. Altså må <tex>m</tex> dele <tex>n</tex>. Dermed er <tex>H</tex> generert av <tex>a^m</tex> og er dermed syklisk.<br /> <br /> ==Sideklasser==<br /> <br /> La <tex>H<G</tex>, og se på relasjonen <tex>a\sim b \, \Leftrightarrow \, a*b^{-1}\in H</tex>. Dette er en [[relasjoner|ekvivalensrelasjon]] på mengden <tex>G</tex>. Ekvivalensklassene er gitt ved<br /> <br /> <tex>[a]=\{b\in G \,|\, a\sim b\} = \{h*a \,|\, h\in H\} </tex><br /> <br /> For å se dette, merk at <tex>(h_1*a)*(h_2*a)^{-1}=h_1*a*a^{-1}*h_2^{-1}=h_1*h_2^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Mengden <tex>\{h*a \,|\, h\in H\}</tex> noteres <tex>Ha</tex> og kalles en høyre sideklasse til <tex>H</tex><br /> <br /> <br /> Alternativt kan vi la <tex>a\sim b \,\Leftrightarrow \, a^{-1}b\in H</tex>. Ekvivalensklassene blir da<br /> <br /> <tex>[a]=\{a*h \,|\, h\in H\} = aH</tex><br /> <br /> som kalles en venste sideklasse til <tex>H</tex>.<br /> <br /> <br /> Ettersom <tex>\sim</tex> er en ekvivalensrelasjon her, oppnår vi øyeblikkelig følgende resultater for høyre sideklasser. De tilsvarende utsagnene gjelder også for venstre sideklasser:<br /> <br /> 1. <tex>a\in H \, \Leftrightarrow \, Ha=H</tex><br /> <br /> 2. <tex>b\in Ha \,\Rightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 3. <tex>h\in H \, \Rightarrow H(h*a)=Ha</tex><br /> <br /> 4. <tex>Ha\cap Hb \neq \emptyset \, \Leftrightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 5. Mengden av høyre sideklasser av <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>.<br /> <br /> 6. <tex>a</tex> og <tex>b</tex> tilhører samme sideklasse kun hvis <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> ===Lagranges Teorem===<br /> <br /> La <tex>a\in G</tex>. Da er funksjonen <tex>f:H\rightarrow Ha</tex> gitt ved <tex>f(h)=a*h</tex> en bijeksjon. Dette kan sees ved å anvende forkortningsloven. Følgen av dette er at alle høyre sideklasser har samme orden. Samme argument kan benyttes på venstre sideklasser, og ettersom <tex>H</tex> er både en venste og høyre sideklasse, har alle sideklasser samme orden.<br /> <br /> <br /> Lagranges teorem sier at dersom <tex>H\leq G</tex> og <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>o(H)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> Beviset er elementært når vi vet at <tex>o(H)=o(Ha)=o(aH)</tex> for alle <tex>a\in G</tex>. Vi vet at sideklassene til <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>. Anta derfor at<br /> <br /> <tex>G=H\cup (Ha_1) \cup (Ha_2) \cup \, ... \, \cup (Ha_{t-1})</tex><br /> <br /> da følger det at<br /> <br /> <tex>o(G)=o(H)+|Ha_1|+|Ha_2| + ... + |Ha_{t-1}|=t\cdot o(H)</tex><br /> <br /> som beviser teoremet.<br /> <br /> <br /> Indeksen til en undergruppe <tex>H\leq G</tex> defineres som antallet venstre (eller høyre) sideklasser til <tex>H</tex> i <tex>G</tex> og noteres som <tex>[G:H]</tex>.<br /> <br /> For å se at <tex>H</tex> har like mange høyre sideklaser som venstre sideklasser, se på funksjonen <tex>f(H*a)=a^{-1}*H</tex>, som er en bijeksjon fra samlingen av høyre sideklasser til samlingen av venstre sideklasser.<br /> <br /> Verdien til <tex>[G:H]</tex> er lik tallet <tex>t</tex> i beviset av Lagranges teorem over, slik at<br /> <br /> <tex>o(G)=[G:H]\cdot o(H)</tex><br /> <br /> eller<br /> <br /> <tex>[G:H]=\frac{o(G)}{o(H)}</tex><br /> <br /> <br /> Lagranges teorem har flere øyeblikkelige konsekvenser:<br /> <br /> 1. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex> og <tex>a\in G</tex>, så er <tex>o(a)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> 2. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>a^{o(G)}=e</tex> for alle <tex>a\in G</tex>.<br /> <br /> 3. La <tex>p</tex> være et primtall. Da er alle grupper med orden <tex>p</tex> sykliske.<br /> <br /> ==Normale undergrupper og kvotientgrupper==<br /> <br /> La <tex>H\leq G</tex>. Da er følgende utsagn ekvivalente.<br /> <br /> 1. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}=H</tex><br /> <br /> 2. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}\subset H</tex><br /> <br /> 3. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aH=Ha</tex><br /> <br /> 4. Hver venstre sideklasse er en høyre sideklasse og omvendt.<br /> <br /> En undergruppe <tex>H</tex> som oppfyller disse kravene kalles en normal undergruppe til <tex>G</tex>.<br /> <br /> For enhver gruppe <tex>G</tex> er <tex>G</tex> selv og <tex>\{e\}</tex> normale undergrupper. Hvis <tex>G</tex> i tillegg er en abelsk gruppe, er alle undergrupper normale.<br /> <br /> ===Kvotientgrupper===<br /> <br /> Hvis <tex>N\leq G</tex> er en normal undegruppe, kan vi definere en gruppestruktur på sideklassene til <tex>N</tex> på følgende måte.<br /> <br /> La <tex>G/N</tex> være mengden av alle sideklasser til <tex>N</tex>. Dersom <tex>S_1=Na</tex> og <tex>S_2=Nb</tex>, definer produktet <tex>S_1*S_2 = (Na)*(Nb)=N(a*b)</tex>. Denne operasjonen en veldefinert. Identiteten er <tex>N</tex> og inverser er gitt ved <tex>(Na)^{-1}=Na^{-1}</tex>. Dersom <tex>o(G)<\infty</tex>, har vi i tillegg at <tex>o(G/N)=\frac{o(G)}{o(N)}</tex>.<br /> <br /> ==Homomorfier==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> og <tex>(H,\cdot )</tex> være grupper. En gruppehomomorfi (kort: homomorfi) fra <tex>G</tex> til <tex>H</tex> er en transformasjon<br /> <br /> <tex>\phi \,:\, G \rightarrow H</tex><br /> <br /> som bevarer gruppestrukturen, dvs.<br /> <br /> <tex>\phi (a*b) = \phi(a)\cdot \phi(b)</tex><br /> <br /> <br /> La <tex>G</tex> og <tex>H</tex> ha identitetselementer <tex>e</tex> og <tex>\bar{e}</tex>. Definer kjernen til en homomorfi som<br /> <br /> <tex>\tex{ker}(\phi)=\{a\in G \,:\, \phi(a)=\bar{e}\}=\phi^{-1}(\bar{e})</tex><br /> <br /> De følgende utsagnene følger direkte fra definisjonen av homomorfier.<br /> <br /> 1. <tex>\phi(e)=\bar{e}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\phi(a^{-1})=\phi(a)^{-1}</tex><br /> <br /> 3. Dersom <tex>A</tex> er en undergruppe av <tex>G</tex>, er <tex>\phi(A)</tex> en undergruppe av <tex>H</tex>. Det følger at <tex>R(\phi)=\{\phi(a)\,:\,a\in G\}</tex> er en undergruppe av <tex>H</tex>.<br /> <br /> 4. Dersom <tex>B</tex> er en undergruppe av B, er <tex>\phi^{-1}(B)</tex> en undergruppe av <tex>G</tex><br /> <br /> 5. Dersom <tex>\phi</tex> er injektiv, er <tex>\text{ker}(\phi)=\{e\}</tex><br /> <br /> 6. <tex>\text{ker}(\phi)</tex> er en normal undergruppe til <tex>G</tex><br /> <br /> 7. Dersom <tex>h\in H</tex>, er <tex>\phi^{-1}(h)</tex> en sideklasse av <tex>\text{ker}(\phi)</tex><br /> <br /> 8. Komposisjonen av to homomorfier <tex>\phi_1 \,:\, G\rightarrow H</tex> og <tex>\phi_2\,:\, H\rightarrow K</tex> er en ny homomorfi <tex>\phi_2\circ\phi_1 \,:\, G\rightarrow K</tex><br /> <br /> 9. Dersom <tex>\phi</tex> er en bijeksjon, er <tex>\phi^{-1}\,:\, H\to G</tex> en homomorfi, og <tex>\phi</tex> kalles da en isomorfi og vi skriver <tex>G\simeq H</tex>. Hvis <tex>G=H</tex> kalles <tex>\phi</tex> en automorfi.<br /> <br /> 10. La <tex>\phi</tex> være en isomorfi. Da er:<br /> : i) <tex>A\leq G</tex> hvis og bare hvis <tex>\phi(A)\leq H</tex><br /> : ii) <tex>A\leq G</tex> er en normal undergruppe hvis og bare hvis <tex>f(A)\leq H</tex> er en normal undergruppe.<br /> : iii) <tex>G</tex> er syklisk hvis og bare hvis <tex>H</tex> er syklisk.<br /> <br /> ===Det første isomorfiteoremet===<br /> <br /> Anta at <tex>N\leq G</tex> er en normal undergruppe. Da er<br /> <br /> <tex>\pi\,:\, G \rightarrow G/N</tex><br /> <br /> definert ved <tex>\pi(a)=Ha</tex> en surjektiv homomorfi med kjerne <tex>\text{ker}(\pi)=N</tex>.<br /> <br /> Hvis i tillegg <tex>\phi\,:\, G\rightarrow H</tex> er en surjektiv homomorfi med kjerne <tex>N</tex>, har vi <tex>G\simeq H</tex>.<br /> <br /> : ''Bevis:''<br /> <br /> : Ettersom <tex>\phi</tex> har kjerne <tex>N</tex> vil førbildet av enhver <tex>h\in H</tex> være et sideklasse av <tex>N</tex>:<br /> <br /> : <tex>\phi^{-1}(h)=Ng</tex> for en <tex>g\in G</tex>.<br /> <br /> : Anta at <tex>h_1,h_2\in H</tex> og <tex>\phi^{-1}(h_1)=\phi^{-1}(h_2)=Ng</tex>. Da har vi at <tex>h_1=\phi\left(\phi^{-1}(h_1)\right)=\phi\left(\phi^{-1}(h_2)\right)=h_2</tex>, så <tex>\pi\circ \phi^{-1}</tex> er en injektiv homomorfi fra <tex>H</tex> til <tex>G/N</tex>.<br /> <br /> : Anta videre at <tex>Ng\in G/N</tex>. Ettersom <tex>\phi</tex> er en surjektiv homomorfi, vil det finnes en <tex>h\in H</tex> slik at <tex>\phi(g)=h</tex>, og dermed er <tex>\pi\circ \phi^{-1}(h)=Ng</tex>, altså er <tex>\pi\circ \phi^{-1}</tex> en surjektiv homomorfi.<br /> <br /> : Ettersom <tex>\pi\circ\phi^{-1}:H\rightarrow G/N</tex> er både injektiv og surjektiv, er den en isomorfi, og dermed har vi at <tex>H\simeq G/N</tex> som skulle bevises.<br /> <br /> <br /> Generellt gjelder det at dersom <tex>\phi:G\rightarrow H</tex> er en homomorfi, så er <tex>G/\ker(\phi)\simeq R(\phi)</tex><br /> <br /> ==Ytre produkter av grupper==<br /> <br /> La <tex>G</tex> og <tex>G</tex> være grupper. Da kan vi definere produktet av gruppene som mengden med ordnede par <tex>G\times H=\{(g,h)\,:\, g\in G\, \wedge \, h\in H\}</tex><br /> <br /> Med operasjonen <tex>*</tex> definert slik at <tex>(g_1,h_1)*(g_2,h_2)=(g_1*g_2,h_1*h_2)</tex>, der <tex>g</tex>. ene multipliseres i <tex>G</tex> osv, blir dette en gruppe.<br /> <br /> ===Undergrupper===<br /> <br /> Hvis <tex>G\times H</tex> er et produkt av grupper, så er <tex>A\times B</tex>, der <tex>A\leq G</tex> og <tex>B\leq H</tex> en undergruppe. Alle undergruppene til <tex>G\times H</tex> kan skrives på denne formen.<br /> <br /> Spesiellt har vi de normale undergruppene <tex>G\times \{\bar{e}\}</tex> og <tex>\{e\}\times H</tex>, som er isomorfe til henholdsvis <tex>G</tex> og <tex>H</tex>. Dermed er både <tex>G</tex> og <tex>H</tex> normale undergrupper til <tex>G\times H</tex>.<br /> <br /> Definer projeksjonshomomorfien <tex>\pi_G ((g,h))=(g,\bar{e})</tex> for alle <tex>g\in G\,,\, h\in H</tex>. Da har <tex>\pi_G</tex> kjerne <tex>\{e\}\times H\simeq H</tex> og verdimengde <tex>G\times \{\bar{e}\} \simeq G</tex>, så ved det første isomorfiteoremet har vi at <tex>\frac{G\times H}{H}\simeq G</tex>, og på samme måte at <tex>\frac{G\times H}{G}\simeq H</tex>, noe man skulle forvente.<br /> <br /> ==Gruppen (Z,+)==<br /> <br /> ==Symmetrigruppen på n elementer==<br /> <br /> [[Kategori:Algebra]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Gruppeteori&diff=6378 Gruppeteori 2011-09-29T16:09:55Z

<p>Espen180: /* Ytre produkter av grupper */</p> <hr /> <div>Gruppeteori er en gren av [[Algebra]] og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.<br /> <br /> ==Definisjon==<br /> <br /> La <tex>G</tex> være en ikketom mengde med <tex>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <tex>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:<br /> <br /> <br /> 1. <tex>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon)<br /> <br /> 2. <tex>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)<br /> <br /> 3. <tex>\exists e \in G</tex> slik at <tex>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)<br /> <br /> 4. <tex>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <tex>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)<br /> <br /> 5. <tex>a*b=b*a</tex><br /> <br /> <br /> En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive <tex>G</tex>, og la operasjonen være implisert.<br /> <br /> For en <tex>a\in G</tex> kan vi innføre forkortelsen <tex>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n \text{ elementer}}</tex>. Tilsvarende innfører vi <tex>a^{-n}=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\, ... \, * a^{-1}}_{n \text{ elementer}}</tex>. Dermed oppnår vi sammenhengene<br /> <br /> 1. <tex>a^n*a^m=a^{n+m}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\left(a^n\right)^m=a^{nm}</tex><br /> <br /> 3. <tex>a^0 = e</tex><br /> <br /> ===Eksempel 1===<br /> <br /> Heltallene <tex>\mathbb{Z}</tex> med vanlig addisjon av heltall er et viktig eksempel på en abelsk gruppe. Identiteten er gitt ved <tex>e=0</tex> og inverser ved <tex>a^{-1}=-a</tex>.<br /> <br /> Lignende eksempler er de rasjonale tallene <tex>\mathbb{Q}</tex>, de reelle tallene <tex>\mathbb{R}</tex> og de komplekse tallene <tex>\mathbb{C}</tex>.<br /> <br /> ''Er <tex>\mathbb{R}</tex> en gruppe under vanlig multiplikasjon av tall? Hvis ikke, hva er den største undermengden av <tex>\mathbb{R}</tex> som er en gruppe under multiplikasjon? Besvar samme spørsmål for <tex>\mathbb{Q}</tex>, <tex>\mathbb{C}</tex> og <tex>\mathbb{Z}</tex>.''<br /> <br /> ===Eksempel 2===<br /> <br /> La <tex>X</tex> være en mengde, og la <tex>B(X)</tex> være en ikketom samling av undermengder av <tex>X</tex>. For <tex>U,V\in B(X)</tex>, definer<br /> <br /> <tex>U-V=\{x\in U \,\wedge \, x\not\in V\}</tex><br /> <br /> definer så<br /> <br /> <tex>U*V=(U-V)\cup (V-U)</tex><br /> <br /> kalt den symmetriske differansen av <tex>U</tex> og <tex>V</tex>.<br /> <br /> Da er <tex>(B(X),*)</tex> en abelsk gruppe og kalles den Boolske gruppen. Identiteten er <tex>e=\emptyset</tex> og <tex>U^{-1}=U</tex> for alle <tex>U\in B(X)</tex>.<br /> <br /> Vi overlater til leseren å vise assosiativitet.<br /> <br /> ==Elementære resultater==<br /> <br /> ===Forkortningslov===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=a*c</tex> eller <tex>b*a=c*a</tex>. Da er <tex>b=c</tex><br /> <br /> <br /> Bevis: <tex>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex>. Beviset for venstre forkortning er tilsvarende.<br /> <br /> ===Identitetselementet er unikt===<br /> <br /> Anta at <tex>e_1</tex> og <tex>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <tex>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .<br /> <br /> <br /> Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <tex>b</tex> slik at <tex>a*b=a</tex> for en <tex>a</tex>, så er <tex>b=e</tex>.<br /> <br /> ===Inverser er unike===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=e</tex>. Da er <tex>b=a^{-1}</tex>. Anta at <tex>c*a=e</tex>. Da er <tex>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.<br /> <br /> ===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte===<br /> <br /> For elementer <tex>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <tex>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <tex>n</tex>.<br /> <br /> ==Undergrupper==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> være en gruppe, og la <tex>H</tex> være en ikketom undermengde av <tex>G</tex>, notert <tex>H\subset G</tex>. Da kalles <tex>(H,*)</tex> en undergruppe av <tex>(G,*)</tex> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <tex>G</tex>, notert ved <tex>H\leq G</tex>.<br /> <br /> To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis <tex>H</tex> er en ikketriviell undergruppe av <tex>G</tex> skriver vi <tex>H<G</tex>.<br /> <br /> ===Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper===<br /> <br /> De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, <tex>e</tex> må være et medlem i <tex>H</tex>, og for hvert element i <tex>H</tex>, må inversen også være et medlem.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: <tex>H</tex> er en under gruppe hvis og bare hvis for hver <tex>a,b \in H</tex>, så er <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Ettersom <tex>H</tex> ikke er tom, må det finnes et element <tex>a\in H</tex>. Dermed har vi at <tex>a*a^{-1}=e\in H</tex>, <tex>e*a^{-1}=a^{-1}\in H</tex>, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom <tex>b\in H</tex>, har vi <tex>b^{-1}\in H</tex>, så <tex>a*b \in H</tex> og <tex>H</tex> er dermed lukket.<br /> <br /> ==Orden==<br /> <br /> Ordenen til en gruppe <tex>G</tex> defineres som kardinaliteten til mengden <tex>G</tex>, notert <tex>o(G)</tex>. Hvis vi antar at <tex>a \in G</tex> og lar <tex>H=\{a^i | i\in \mathbb{Z}\}</tex>, vil <tex>H</tex> være en abelsk undergruppe av <tex>G</tex>, og vi kaller da <tex>H</tex> undergruppen av <tex>G</tex> generert av <tex>a</tex> og skriver <tex>H=\<a\></tex>. Vi kan da definere ordenen til et element <tex>a\in G</tex> som ordenen av undergruppen generert av <tex>a</tex>, det vil si <tex>o(a)\equiv o(H)</tex>. Merk at <tex>a</tex> har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en <tex>n\in \mathbb{N}</tex> slik at <tex>a^n=e</tex>, og <tex>o(a)</tex> er da den minste slike <tex>n</tex>.<br /> <br /> ===Sykliske grupper===<br /> <br /> En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex> generert av <tex>1</tex>.<br /> <br /> Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at <tex>G</tex> er generert av <tex>a</tex>, at <tex>H<G</tex> og at <tex>m</tex> er det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>. Anta så at det finnes et annet element <tex>a^n\in H</tex> med <tex>m<n</tex>. Hvis <tex>m</tex> ikke deler <tex>n</tex>, kan ikke <tex>m</tex> være det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>, ettersom <tex>a^{n-m}\in H</tex> og <tex>0<n-m<m</tex>. Altså må <tex>m</tex> dele <tex>n</tex>. Dermed er <tex>H</tex> generert av <tex>a^m</tex> og er dermed syklisk.<br /> <br /> ==Sideklasser==<br /> <br /> La <tex>H<G</tex>, og se på relasjonen <tex>a\sim b \, \Leftrightarrow \, a*b^{-1}\in H</tex>. Dette er en [[relasjoner|ekvivalensrelasjon]] på mengden <tex>G</tex>. Ekvivalensklassene er gitt ved<br /> <br /> <tex>[a]=\{b\in G \,|\, a\sim b\} = \{h*a \,|\, h\in H\} </tex><br /> <br /> For å se dette, merk at <tex>(h_1*a)*(h_2*a)^{-1}=h_1*a*a^{-1}*h_2^{-1}=h_1*h_2^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Mengden <tex>\{h*a \,|\, h\in H\}</tex> noteres <tex>Ha</tex> og kalles en høyre sideklasse til <tex>H</tex><br /> <br /> <br /> Alternativt kan vi la <tex>a\sim b \,\Leftrightarrow \, a^{-1}b\in H</tex>. Ekvivalensklassene blir da<br /> <br /> <tex>[a]=\{a*h \,|\, h\in H\} = aH</tex><br /> <br /> som kalles en venste sideklasse til <tex>H</tex>.<br /> <br /> <br /> Ettersom <tex>\sim</tex> er en ekvivalensrelasjon her, oppnår vi øyeblikkelig følgende resultater for høyre sideklasser. De tilsvarende utsagnene gjelder også for venstre sideklasser:<br /> <br /> 1. <tex>a\in H \, \Leftrightarrow \, Ha=H</tex><br /> <br /> 2. <tex>b\in Ha \,\Rightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 3. <tex>h\in H \, \Rightarrow H(h*a)=Ha</tex><br /> <br /> 4. <tex>Ha\cap Hb \neq \emptyset \, \Leftrightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 5. Mengden av høyre sideklasser av <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>.<br /> <br /> 6. <tex>a</tex> og <tex>b</tex> tilhører samme sideklasse kun hvis <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> ===Lagranges Teorem===<br /> <br /> La <tex>a\in G</tex>. Da er funksjonen <tex>f:H\rightarrow Ha</tex> gitt ved <tex>f(h)=a*h</tex> en bijeksjon. Dette kan sees ved å anvende forkortningsloven. Følgen av dette er at alle høyre sideklasser har samme orden. Samme argument kan benyttes på venstre sideklasser, og ettersom <tex>H</tex> er både en venste og høyre sideklasse, har alle sideklasser samme orden.<br /> <br /> <br /> Lagranges teorem sier at dersom <tex>H\leq G</tex> og <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>o(H)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> Beviset er elementært når vi vet at <tex>o(H)=o(Ha)=o(aH)</tex> for alle <tex>a\in G</tex>. Vi vet at sideklassene til <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>. Anta derfor at<br /> <br /> <tex>G=H\cup (Ha_1) \cup (Ha_2) \cup \, ... \, \cup (Ha_{t-1})</tex><br /> <br /> da følger det at<br /> <br /> <tex>o(G)=o(H)+|Ha_1|+|Ha_2| + ... + |Ha_{t-1}|=t\cdot o(H)</tex><br /> <br /> som beviser teoremet.<br /> <br /> <br /> Indeksen til en undergruppe <tex>H\leq G</tex> defineres som antallet venstre (eller høyre) sideklasser til <tex>H</tex> i <tex>G</tex> og noteres som <tex>[G:H]</tex>.<br /> <br /> For å se at <tex>H</tex> har like mange høyre sideklaser som venstre sideklasser, se på funksjonen <tex>f(H*a)=a^{-1}*H</tex>, som er en bijeksjon fra samlingen av høyre sideklasser til samlingen av venstre sideklasser.<br /> <br /> Verdien til <tex>[G:H]</tex> er lik tallet <tex>t</tex> i beviset av Lagranges teorem over, slik at<br /> <br /> <tex>o(G)=[G:H]\cdot o(H)</tex><br /> <br /> eller<br /> <br /> <tex>[G:H]=\frac{o(G)}{o(H)}</tex><br /> <br /> <br /> Lagranges teorem har flere øyeblikkelige konsekvenser:<br /> <br /> 1. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex> og <tex>a\in G</tex>, så er <tex>o(a)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> 2. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>a^{o(G)}=e</tex> for alle <tex>a\in G</tex>.<br /> <br /> 3. La <tex>p</tex> være et primtall. Da er alle grupper med orden <tex>p</tex> sykliske.<br /> <br /> ==Normale undergrupper og kvotientgrupper==<br /> <br /> La <tex>H\leq G</tex>. Da er følgende utsagn ekvivalente.<br /> <br /> 1. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}=H</tex><br /> <br /> 2. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}\subset H</tex><br /> <br /> 3. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aH=Ha</tex><br /> <br /> 4. Hver venstre sideklasse er en høyre sideklasse og omvendt.<br /> <br /> En undergruppe <tex>H</tex> som oppfyller disse kravene kalles en normal undergruppe til <tex>G</tex>.<br /> <br /> For enhver gruppe <tex>G</tex> er <tex>G</tex> selv og <tex>\{e\}</tex> normale undergrupper. Hvis <tex>G</tex> i tillegg er en abelsk gruppe, er alle undergrupper normale.<br /> <br /> ===Kvotientgrupper===<br /> <br /> Hvis <tex>N\leq G</tex> er en normal undegruppe, kan vi definere en gruppestruktur på sideklassene til <tex>N</tex> på følgende måte.<br /> <br /> La <tex>G/N</tex> være mengden av alle sideklasser til <tex>N</tex>. Dersom <tex>S_1=Na</tex> og <tex>S_2=Nb</tex>, definer produktet <tex>S_1*S_2 = (Na)*(Nb)=N(a*b)</tex>. Denne operasjonen en veldefinert. Identiteten er <tex>N</tex> og inverser er gitt ved <tex>(Na)^{-1}=Na^{-1}</tex>. Dersom <tex>o(G)<\infty</tex>, har vi i tillegg at <tex>o(G/N)=\frac{o(G)}{o(N)}</tex>.<br /> <br /> ==Homomorfier==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> og <tex>(H,\cdot )</tex> være grupper. En gruppehomomorfi (kort: homomorfi) fra <tex>G</tex> til <tex>H</tex> er en transformasjon<br /> <br /> <tex>\phi \,:\, G \rightarrow H</tex><br /> <br /> som bevarer gruppestrukturen, dvs.<br /> <br /> <tex>\phi (a*b) = \phi(a)\cdot \phi(b)</tex><br /> <br /> <br /> La <tex>G</tex> og <tex>H</tex> ha identitetselementer <tex>e</tex> og <tex>\bar{e}</tex>. Definer kjernen til en homomorfi som<br /> <br /> <tex>\tex{ker}(\phi)=\{a\in G \,:\, \phi(a)=\bar{e}\}=\phi^{-1}(\bar{e})</tex><br /> <br /> De følgende utsagnene følger direkte fra definisjonen av homomorfier.<br /> <br /> 1. <tex>\phi(e)=\bar{e}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\phi(a^{-1})=\phi(a)^{-1}</tex><br /> <br /> 3. Dersom <tex>A</tex> er en undergruppe av <tex>G</tex>, er <tex>\phi(A)</tex> en undergruppe av <tex>H</tex>. Det følger at <tex>R(\phi)=\{\phi(a)\,:\,a\in G\}</tex> er en undergruppe av <tex>H</tex>.<br /> <br /> 4. Dersom <tex>B</tex> er en undergruppe av B, er <tex>\phi^{-1}(B)</tex> en undergruppe av <tex>G</tex><br /> <br /> 5. Dersom <tex>\phi</tex> er injektiv, er <tex>\text{ker}(\phi)=\{e\}</tex><br /> <br /> 6. <tex>\text{ker}(\phi)</tex> er en normal undergruppe til <tex>G</tex><br /> <br /> 7. Dersom <tex>h\in H</tex>, er <tex>\phi^{-1}(h)</tex> en sideklasse av <tex>\text{ker}(\phi)</tex><br /> <br /> 8. Komposisjonen av to homomorfier <tex>\phi_1 \,:\, G\rightarrow H</tex> og <tex>\phi_2\,:\, H\rightarrow K</tex> er en ny homomorfi <tex>\phi_2\circ\phi_1 \,:\, G\rightarrow K</tex><br /> <br /> 9. Dersom <tex>\phi</tex> er en bijeksjon, er <tex>\phi^{-1}\,:\, H\to G</tex> en homomorfi, og <tex>\phi</tex> kalles da en isomorfi og vi skriver <tex>G\simeq H</tex>. Hvis <tex>G=H</tex> kalles <tex>\phi</tex> en automorfi.<br /> <br /> 10. La <tex>\phi</tex> være en isomorfi. Da er:<br /> : i) <tex>A\leq G</tex> hvis og bare hvis <tex>\phi(A)\leq H</tex><br /> : ii) <tex>A\leq G</tex> er en normal undergruppe hvis og bare hvis <tex>f(A)\leq H</tex> er en normal undergruppe.<br /> : iii) <tex>G</tex> er syklisk hvis og bare hvis <tex>H</tex> er syklisk.<br /> <br /> ===Det første isomorfiteoremet===<br /> <br /> Anta at <tex>N\leq G</tex> er en normal undergruppe. Da er<br /> <br /> <tex>\pi\,:\, G \rightarrow G/N</tex><br /> <br /> definert ved <tex>\pi(a)=Ha</tex> en surjektiv homomorfi med kjerne <tex>\text{ker}(\pi)=N</tex>.<br /> <br /> Hvis i tillegg <tex>\phi\,:\, G\rightarrow H</tex> er en surjektiv homomorfi med kjerne <tex>N</tex>, har vi <tex>G\simeq H</tex>.<br /> <br /> : ''Bevis:''<br /> <br /> : Ettersom <tex>\phi</tex> har kjerne <tex>N</tex> vil førbildet av enhver <tex>h\in H</tex> være et sideklasse av <tex>N</tex>:<br /> <br /> : <tex>\phi^{-1}(h)=Ng</tex> for en <tex>g\in G</tex>.<br /> <br /> : Anta at <tex>h_1,h_2\in H</tex> og <tex>\phi^{-1}(h_1)=\phi^{-1}(h_2)=Ng</tex>. Da har vi at <tex>h_1=\phi\left(\phi^{-1}(h_1)\right)=\phi\left(\phi^{-1}(h_2)\right)=h_2</tex>, så <tex>\pi\circ \phi^{-1}</tex> er en injektiv homomorfi fra <tex>H</tex> til <tex>G/N</tex>.<br /> <br /> : Anta videre at <tex>Ng\in G/N</tex>. Ettersom <tex>\phi</tex> er en surjektiv homomorfi, vil det finnes en <tex>h\in H</tex> slik at <tex>\phi(g)=h</tex>, og dermed er <tex>\pi\circ \phi^{-1}(h)=Ng</tex>, altså er <tex>\pi\circ \phi^{-1}</tex> en surjektiv homomorfi.<br /> <br /> : Ettersom <tex>\pi\circ\phi^{-1}:H\rightarrow G/N</tex> er både injektiv og surjektiv, er den en isomorfi, og dermed har vi at <tex>H\simeq G/N</tex> som skulle bevises.<br /> <br /> <br /> Generellt gjelder det at dersom <tex>\phi:G\rightarrow H</tex> er en homomorfi, så er <tex>G/\ker(\phi)\simeq R(\phi)</tex><br /> <br /> ==Ytre produkter av grupper==<br /> <br /> La <tex>G</tex> og <tex>G</tex> være grupper. Da kan vi definere produktet av gruppene som mengden med ordnede par <tex>G\times H=\{(g,h)\,:\, g\in G\, \wedge \, h\in H\}</tex><br /> <br /> Med operasjonen <tex>*</tex> definert slik at <tex>(g_1,h_1)*(g_2,h_2)=(g_1*g_2,h_1*h_2)</tex>, der <tex>g</tex>. ene multipliseres i <tex>G</tex> osv, blir dette en gruppe.<br /> <br /> ===Undergrupper===<br /> <br /> Hvis <tex>G\times H</tex> er et produkt av grupper, så er <tex>A\times B</tex>, der <tex>A\leq G</tex> og <tex>B\leq H</tex> en undergruppe. Alle undergruppene til <tex>G\times H</tex> kan skrives på denne formen.<br /> <br /> Spesiellt har vi de normale undergruppene <tex>G\times \{\bar{e}\}</tex> og <tex>\{e\}\times H</tex>, som er isomorfe til henholdsvis <tex>G</tex> og <tex>H</tex>. Dermed er både <tex>G</tex> og <tex>H</tex> normale undergrupper til <tex>G\times H</tex>. Vi kan derfor se på kvotientgruppen<br /> <br /> Definer projeksjonshomomorfien <tex>\pi_G ((g,h))=(g,\bar{e})</tex> for alle <tex>g\in G\,,\, h\in H</tex>. Da har <tex>\pi_G</tex> kjerne <tex>\{e\}\times H\simeq H</tex> og verdimengde <tex>G\times \{\bar{e}\} \simeq G</tex>, så ved det første isomorfiteoremet har vi at <tex>\frac{G\times H}{H}\simeq G</tex>, og på samme måte at <tex>\frac{G\times H}{G}\simeq H</tex>, noe man skulle forvente.<br /> <br /> ==Gruppen (Z,+)==<br /> <br /> ==Symmetrigruppen på n elementer==<br /> <br /> [[Kategori:Algebra]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Gruppeteori&diff=6377 Gruppeteori 2011-09-28T20:25:00Z

<p>Espen180: /* Definisjon */</p> <hr /> <div>Gruppeteori er en gren av [[Algebra]] og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.<br /> <br /> ==Definisjon==<br /> <br /> La <tex>G</tex> være en ikketom mengde med <tex>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <tex>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:<br /> <br /> <br /> 1. <tex>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon)<br /> <br /> 2. <tex>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)<br /> <br /> 3. <tex>\exists e \in G</tex> slik at <tex>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)<br /> <br /> 4. <tex>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <tex>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)<br /> <br /> 5. <tex>a*b=b*a</tex><br /> <br /> <br /> En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive <tex>G</tex>, og la operasjonen være implisert.<br /> <br /> For en <tex>a\in G</tex> kan vi innføre forkortelsen <tex>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n \text{ elementer}}</tex>. Tilsvarende innfører vi <tex>a^{-n}=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\, ... \, * a^{-1}}_{n \text{ elementer}}</tex>. Dermed oppnår vi sammenhengene<br /> <br /> 1. <tex>a^n*a^m=a^{n+m}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\left(a^n\right)^m=a^{nm}</tex><br /> <br /> 3. <tex>a^0 = e</tex><br /> <br /> ===Eksempel 1===<br /> <br /> Heltallene <tex>\mathbb{Z}</tex> med vanlig addisjon av heltall er et viktig eksempel på en abelsk gruppe. Identiteten er gitt ved <tex>e=0</tex> og inverser ved <tex>a^{-1}=-a</tex>.<br /> <br /> Lignende eksempler er de rasjonale tallene <tex>\mathbb{Q}</tex>, de reelle tallene <tex>\mathbb{R}</tex> og de komplekse tallene <tex>\mathbb{C}</tex>.<br /> <br /> ''Er <tex>\mathbb{R}</tex> en gruppe under vanlig multiplikasjon av tall? Hvis ikke, hva er den største undermengden av <tex>\mathbb{R}</tex> som er en gruppe under multiplikasjon? Besvar samme spørsmål for <tex>\mathbb{Q}</tex>, <tex>\mathbb{C}</tex> og <tex>\mathbb{Z}</tex>.''<br /> <br /> ===Eksempel 2===<br /> <br /> La <tex>X</tex> være en mengde, og la <tex>B(X)</tex> være en ikketom samling av undermengder av <tex>X</tex>. For <tex>U,V\in B(X)</tex>, definer<br /> <br /> <tex>U-V=\{x\in U \,\wedge \, x\not\in V\}</tex><br /> <br /> definer så<br /> <br /> <tex>U*V=(U-V)\cup (V-U)</tex><br /> <br /> kalt den symmetriske differansen av <tex>U</tex> og <tex>V</tex>.<br /> <br /> Da er <tex>(B(X),*)</tex> en abelsk gruppe og kalles den Boolske gruppen. Identiteten er <tex>e=\emptyset</tex> og <tex>U^{-1}=U</tex> for alle <tex>U\in B(X)</tex>.<br /> <br /> Vi overlater til leseren å vise assosiativitet.<br /> <br /> ==Elementære resultater==<br /> <br /> ===Forkortningslov===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=a*c</tex> eller <tex>b*a=c*a</tex>. Da er <tex>b=c</tex><br /> <br /> <br /> Bevis: <tex>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex>. Beviset for venstre forkortning er tilsvarende.<br /> <br /> ===Identitetselementet er unikt===<br /> <br /> Anta at <tex>e_1</tex> og <tex>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <tex>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .<br /> <br /> <br /> Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <tex>b</tex> slik at <tex>a*b=a</tex> for en <tex>a</tex>, så er <tex>b=e</tex>.<br /> <br /> ===Inverser er unike===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=e</tex>. Da er <tex>b=a^{-1}</tex>. Anta at <tex>c*a=e</tex>. Da er <tex>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.<br /> <br /> ===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte===<br /> <br /> For elementer <tex>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <tex>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <tex>n</tex>.<br /> <br /> ==Undergrupper==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> være en gruppe, og la <tex>H</tex> være en ikketom undermengde av <tex>G</tex>, notert <tex>H\subset G</tex>. Da kalles <tex>(H,*)</tex> en undergruppe av <tex>(G,*)</tex> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <tex>G</tex>, notert ved <tex>H\leq G</tex>.<br /> <br /> To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis <tex>H</tex> er en ikketriviell undergruppe av <tex>G</tex> skriver vi <tex>H<G</tex>.<br /> <br /> ===Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper===<br /> <br /> De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, <tex>e</tex> må være et medlem i <tex>H</tex>, og for hvert element i <tex>H</tex>, må inversen også være et medlem.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: <tex>H</tex> er en under gruppe hvis og bare hvis for hver <tex>a,b \in H</tex>, så er <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Ettersom <tex>H</tex> ikke er tom, må det finnes et element <tex>a\in H</tex>. Dermed har vi at <tex>a*a^{-1}=e\in H</tex>, <tex>e*a^{-1}=a^{-1}\in H</tex>, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom <tex>b\in H</tex>, har vi <tex>b^{-1}\in H</tex>, så <tex>a*b \in H</tex> og <tex>H</tex> er dermed lukket.<br /> <br /> ==Orden==<br /> <br /> Ordenen til en gruppe <tex>G</tex> defineres som kardinaliteten til mengden <tex>G</tex>, notert <tex>o(G)</tex>. Hvis vi antar at <tex>a \in G</tex> og lar <tex>H=\{a^i | i\in \mathbb{Z}\}</tex>, vil <tex>H</tex> være en abelsk undergruppe av <tex>G</tex>, og vi kaller da <tex>H</tex> undergruppen av <tex>G</tex> generert av <tex>a</tex> og skriver <tex>H=\<a\></tex>. Vi kan da definere ordenen til et element <tex>a\in G</tex> som ordenen av undergruppen generert av <tex>a</tex>, det vil si <tex>o(a)\equiv o(H)</tex>. Merk at <tex>a</tex> har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en <tex>n\in \mathbb{N}</tex> slik at <tex>a^n=e</tex>, og <tex>o(a)</tex> er da den minste slike <tex>n</tex>.<br /> <br /> ===Sykliske grupper===<br /> <br /> En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex> generert av <tex>1</tex>.<br /> <br /> Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at <tex>G</tex> er generert av <tex>a</tex>, at <tex>H<G</tex> og at <tex>m</tex> er det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>. Anta så at det finnes et annet element <tex>a^n\in H</tex> med <tex>m<n</tex>. Hvis <tex>m</tex> ikke deler <tex>n</tex>, kan ikke <tex>m</tex> være det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>, ettersom <tex>a^{n-m}\in H</tex> og <tex>0<n-m<m</tex>. Altså må <tex>m</tex> dele <tex>n</tex>. Dermed er <tex>H</tex> generert av <tex>a^m</tex> og er dermed syklisk.<br /> <br /> ==Sideklasser==<br /> <br /> La <tex>H<G</tex>, og se på relasjonen <tex>a\sim b \, \Leftrightarrow \, a*b^{-1}\in H</tex>. Dette er en [[relasjoner|ekvivalensrelasjon]] på mengden <tex>G</tex>. Ekvivalensklassene er gitt ved<br /> <br /> <tex>[a]=\{b\in G \,|\, a\sim b\} = \{h*a \,|\, h\in H\} </tex><br /> <br /> For å se dette, merk at <tex>(h_1*a)*(h_2*a)^{-1}=h_1*a*a^{-1}*h_2^{-1}=h_1*h_2^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Mengden <tex>\{h*a \,|\, h\in H\}</tex> noteres <tex>Ha</tex> og kalles en høyre sideklasse til <tex>H</tex><br /> <br /> <br /> Alternativt kan vi la <tex>a\sim b \,\Leftrightarrow \, a^{-1}b\in H</tex>. Ekvivalensklassene blir da<br /> <br /> <tex>[a]=\{a*h \,|\, h\in H\} = aH</tex><br /> <br /> som kalles en venste sideklasse til <tex>H</tex>.<br /> <br /> <br /> Ettersom <tex>\sim</tex> er en ekvivalensrelasjon her, oppnår vi øyeblikkelig følgende resultater for høyre sideklasser. De tilsvarende utsagnene gjelder også for venstre sideklasser:<br /> <br /> 1. <tex>a\in H \, \Leftrightarrow \, Ha=H</tex><br /> <br /> 2. <tex>b\in Ha \,\Rightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 3. <tex>h\in H \, \Rightarrow H(h*a)=Ha</tex><br /> <br /> 4. <tex>Ha\cap Hb \neq \emptyset \, \Leftrightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 5. Mengden av høyre sideklasser av <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>.<br /> <br /> 6. <tex>a</tex> og <tex>b</tex> tilhører samme sideklasse kun hvis <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> ===Lagranges Teorem===<br /> <br /> La <tex>a\in G</tex>. Da er funksjonen <tex>f:H\rightarrow Ha</tex> gitt ved <tex>f(h)=a*h</tex> en bijeksjon. Dette kan sees ved å anvende forkortningsloven. Følgen av dette er at alle høyre sideklasser har samme orden. Samme argument kan benyttes på venstre sideklasser, og ettersom <tex>H</tex> er både en venste og høyre sideklasse, har alle sideklasser samme orden.<br /> <br /> <br /> Lagranges teorem sier at dersom <tex>H\leq G</tex> og <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>o(H)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> Beviset er elementært når vi vet at <tex>o(H)=o(Ha)=o(aH)</tex> for alle <tex>a\in G</tex>. Vi vet at sideklassene til <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>. Anta derfor at<br /> <br /> <tex>G=H\cup (Ha_1) \cup (Ha_2) \cup \, ... \, \cup (Ha_{t-1})</tex><br /> <br /> da følger det at<br /> <br /> <tex>o(G)=o(H)+|Ha_1|+|Ha_2| + ... + |Ha_{t-1}|=t\cdot o(H)</tex><br /> <br /> som beviser teoremet.<br /> <br /> <br /> Indeksen til en undergruppe <tex>H\leq G</tex> defineres som antallet venstre (eller høyre) sideklasser til <tex>H</tex> i <tex>G</tex> og noteres som <tex>[G:H]</tex>.<br /> <br /> For å se at <tex>H</tex> har like mange høyre sideklaser som venstre sideklasser, se på funksjonen <tex>f(H*a)=a^{-1}*H</tex>, som er en bijeksjon fra samlingen av høyre sideklasser til samlingen av venstre sideklasser.<br /> <br /> Verdien til <tex>[G:H]</tex> er lik tallet <tex>t</tex> i beviset av Lagranges teorem over, slik at<br /> <br /> <tex>o(G)=[G:H]\cdot o(H)</tex><br /> <br /> eller<br /> <br /> <tex>[G:H]=\frac{o(G)}{o(H)}</tex><br /> <br /> <br /> Lagranges teorem har flere øyeblikkelige konsekvenser:<br /> <br /> 1. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex> og <tex>a\in G</tex>, så er <tex>o(a)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> 2. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>a^{o(G)}=e</tex> for alle <tex>a\in G</tex>.<br /> <br /> 3. La <tex>p</tex> være et primtall. Da er alle grupper med orden <tex>p</tex> sykliske.<br /> <br /> ==Normale undergrupper og kvotientgrupper==<br /> <br /> La <tex>H\leq G</tex>. Da er følgende utsagn ekvivalente.<br /> <br /> 1. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}=H</tex><br /> <br /> 2. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}\subset H</tex><br /> <br /> 3. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aH=Ha</tex><br /> <br /> 4. Hver venstre sideklasse er en høyre sideklasse og omvendt.<br /> <br /> En undergruppe <tex>H</tex> som oppfyller disse kravene kalles en normal undergruppe til <tex>G</tex>.<br /> <br /> For enhver gruppe <tex>G</tex> er <tex>G</tex> selv og <tex>\{e\}</tex> normale undergrupper. Hvis <tex>G</tex> i tillegg er en abelsk gruppe, er alle undergrupper normale.<br /> <br /> ===Kvotientgrupper===<br /> <br /> Hvis <tex>N\leq G</tex> er en normal undegruppe, kan vi definere en gruppestruktur på sideklassene til <tex>N</tex> på følgende måte.<br /> <br /> La <tex>G/N</tex> være mengden av alle sideklasser til <tex>N</tex>. Dersom <tex>S_1=Na</tex> og <tex>S_2=Nb</tex>, definer produktet <tex>S_1*S_2 = (Na)*(Nb)=N(a*b)</tex>. Denne operasjonen en veldefinert. Identiteten er <tex>N</tex> og inverser er gitt ved <tex>(Na)^{-1}=Na^{-1}</tex>. Dersom <tex>o(G)<\infty</tex>, har vi i tillegg at <tex>o(G/N)=\frac{o(G)}{o(N)}</tex>.<br /> <br /> ==Homomorfier==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> og <tex>(H,\cdot )</tex> være grupper. En gruppehomomorfi (kort: homomorfi) fra <tex>G</tex> til <tex>H</tex> er en transformasjon<br /> <br /> <tex>\phi \,:\, G \rightarrow H</tex><br /> <br /> som bevarer gruppestrukturen, dvs.<br /> <br /> <tex>\phi (a*b) = \phi(a)\cdot \phi(b)</tex><br /> <br /> <br /> La <tex>G</tex> og <tex>H</tex> ha identitetselementer <tex>e</tex> og <tex>\bar{e}</tex>. Definer kjernen til en homomorfi som<br /> <br /> <tex>\tex{ker}(\phi)=\{a\in G \,:\, \phi(a)=\bar{e}\}=\phi^{-1}(\bar{e})</tex><br /> <br /> De følgende utsagnene følger direkte fra definisjonen av homomorfier.<br /> <br /> 1. <tex>\phi(e)=\bar{e}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\phi(a^{-1})=\phi(a)^{-1}</tex><br /> <br /> 3. Dersom <tex>A</tex> er en undergruppe av <tex>G</tex>, er <tex>\phi(A)</tex> en undergruppe av <tex>H</tex>. Det følger at <tex>R(\phi)=\{\phi(a)\,:\,a\in G\}</tex> er en undergruppe av <tex>H</tex>.<br /> <br /> 4. Dersom <tex>B</tex> er en undergruppe av B, er <tex>\phi^{-1}(B)</tex> en undergruppe av <tex>G</tex><br /> <br /> 5. Dersom <tex>\phi</tex> er injektiv, er <tex>\text{ker}(\phi)=\{e\}</tex><br /> <br /> 6. <tex>\text{ker}(\phi)</tex> er en normal undergruppe til <tex>G</tex><br /> <br /> 7. Dersom <tex>h\in H</tex>, er <tex>\phi^{-1}(h)</tex> en sideklasse av <tex>\text{ker}(\phi)</tex><br /> <br /> 8. Komposisjonen av to homomorfier <tex>\phi_1 \,:\, G\rightarrow H</tex> og <tex>\phi_2\,:\, H\rightarrow K</tex> er en ny homomorfi <tex>\phi_2\circ\phi_1 \,:\, G\rightarrow K</tex><br /> <br /> 9. Dersom <tex>\phi</tex> er en bijeksjon, er <tex>\phi^{-1}\,:\, H\to G</tex> en homomorfi, og <tex>\phi</tex> kalles da en isomorfi og vi skriver <tex>G\simeq H</tex>. Hvis <tex>G=H</tex> kalles <tex>\phi</tex> en automorfi.<br /> <br /> 10. La <tex>\phi</tex> være en isomorfi. Da er:<br /> : i) <tex>A\leq G</tex> hvis og bare hvis <tex>\phi(A)\leq H</tex><br /> : ii) <tex>A\leq G</tex> er en normal undergruppe hvis og bare hvis <tex>f(A)\leq H</tex> er en normal undergruppe.<br /> : iii) <tex>G</tex> er syklisk hvis og bare hvis <tex>H</tex> er syklisk.<br /> <br /> ===Det første isomorfiteoremet===<br /> <br /> Anta at <tex>N\leq G</tex> er en normal undergruppe. Da er<br /> <br /> <tex>\pi\,:\, G \rightarrow G/N</tex><br /> <br /> definert ved <tex>\pi(a)=Ha</tex> en surjektiv homomorfi med kjerne <tex>\text{ker}(\pi)=N</tex>.<br /> <br /> Hvis i tillegg <tex>\phi\,:\, G\rightarrow H</tex> er en surjektiv homomorfi med kjerne <tex>N</tex>, har vi <tex>G\simeq H</tex>.<br /> <br /> : ''Bevis:''<br /> <br /> : Ettersom <tex>\phi</tex> har kjerne <tex>N</tex> vil førbildet av enhver <tex>h\in H</tex> være et sideklasse av <tex>N</tex>:<br /> <br /> : <tex>\phi^{-1}(h)=Ng</tex> for en <tex>g\in G</tex>.<br /> <br /> : Anta at <tex>h_1,h_2\in H</tex> og <tex>\phi^{-1}(h_1)=\phi^{-1}(h_2)=Ng</tex>. Da har vi at <tex>h_1=\phi\left(\phi^{-1}(h_1)\right)=\phi\left(\phi^{-1}(h_2)\right)=h_2</tex>, så <tex>\pi\circ \phi^{-1}</tex> er en injektiv homomorfi fra <tex>H</tex> til <tex>G/N</tex>.<br /> <br /> : Anta videre at <tex>Ng\in G/N</tex>. Ettersom <tex>\phi</tex> er en surjektiv homomorfi, vil det finnes en <tex>h\in H</tex> slik at <tex>\phi(g)=h</tex>, og dermed er <tex>\pi\circ \phi^{-1}(h)=Ng</tex>, altså er <tex>\pi\circ \phi^{-1}</tex> en surjektiv homomorfi.<br /> <br /> : Ettersom <tex>\pi\circ\phi^{-1}:H\rightarrow G/N</tex> er både injektiv og surjektiv, er den en isomorfi, og dermed har vi at <tex>H\simeq G/N</tex> som skulle bevises.<br /> <br /> <br /> Generellt gjelder det at dersom <tex>\phi:G\rightarrow H</tex> er en homomorfi, så er <tex>G/\ker(\phi)\simeq R(\phi)</tex><br /> <br /> ==Ytre produkter av grupper==<br /> <br /> ==Gruppen (Z,+)==<br /> <br /> ==Symmetrigruppen på n elementer==<br /> <br /> [[Kategori:Algebra]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Gruppeteori&diff=6376 Gruppeteori 2011-09-28T20:24:10Z

<p>Espen180: /* Det første isomorfiteoremet */</p> <hr /> <div>Gruppeteori er en gren av [[Algebra]] og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.<br /> <br /> ==Definisjon==<br /> <br /> La <tex>G</tex> være en ikketom mengde med <tex>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <tex>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:<br /> <br /> <br /> 1. <tex>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon=<br /> <br /> 2. <tex>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)<br /> <br /> 3. <tex>\exists e \in G</tex> slik at <tex>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)<br /> <br /> 4. <tex>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <tex>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)<br /> <br /> 5. <tex>a*b=b*a</tex><br /> <br /> <br /> En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive <tex>G</tex>, og la operasjonen være implisert.<br /> <br /> For en <tex>a\in G</tex> kan vi innføre forkortelsen <tex>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n \text{ elementer}}</tex>. Tilsvarende innfører vi <tex>a^{-n}=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\, ... \, * a^{-1}}_{n \text{ elementer}}</tex>. Dermed oppnår vi sammenhengene<br /> <br /> 1. <tex>a^n*a^m=a^{n+m}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\left(a^n\right)^m=a^{nm}</tex><br /> <br /> 3. <tex>a^0 = e</tex><br /> <br /> ===Eksempel 1===<br /> <br /> Heltallene <tex>\mathbb{Z}</tex> med vanlig addisjon av heltall er et viktig eksempel på en abelsk gruppe. Identiteten er gitt ved <tex>e=0</tex> og inverser ved <tex>a^{-1}=-a</tex>.<br /> <br /> Lignende eksempler er de rasjonale tallene <tex>\mathbb{Q}</tex>, de reelle tallene <tex>\mathbb{R}</tex> og de komplekse tallene <tex>\mathbb{C}</tex>.<br /> <br /> ''Er <tex>\mathbb{R}</tex> en gruppe under vanlig multiplikasjon av tall? Hvis ikke, hva er den største undermengden av <tex>\mathbb{R}</tex> som er en gruppe under multiplikasjon? Besvar samme spørsmål for <tex>\mathbb{Q}</tex>, <tex>\mathbb{C}</tex> og <tex>\mathbb{Z}</tex>.''<br /> <br /> ===Eksempel 2===<br /> <br /> La <tex>X</tex> være en mengde, og la <tex>B(X)</tex> være en ikketom samling av undermengder av <tex>X</tex>. For <tex>U,V\in B(X)</tex>, definer<br /> <br /> <tex>U-V=\{x\in U \,\wedge \, x\not\in V\}</tex><br /> <br /> definer så<br /> <br /> <tex>U*V=(U-V)\cup (V-U)</tex><br /> <br /> kalt den symmetriske differansen av <tex>U</tex> og <tex>V</tex>.<br /> <br /> Da er <tex>(B(X),*)</tex> en abelsk gruppe og kalles den Boolske gruppen. Identiteten er <tex>e=\emptyset</tex> og <tex>U^{-1}=U</tex> for alle <tex>U\in B(X)</tex>.<br /> <br /> Vi overlater til leseren å vise assosiativitet.<br /> <br /> ==Elementære resultater==<br /> <br /> ===Forkortningslov===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=a*c</tex> eller <tex>b*a=c*a</tex>. Da er <tex>b=c</tex><br /> <br /> <br /> Bevis: <tex>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex>. Beviset for venstre forkortning er tilsvarende.<br /> <br /> ===Identitetselementet er unikt===<br /> <br /> Anta at <tex>e_1</tex> og <tex>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <tex>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .<br /> <br /> <br /> Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <tex>b</tex> slik at <tex>a*b=a</tex> for en <tex>a</tex>, så er <tex>b=e</tex>.<br /> <br /> ===Inverser er unike===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=e</tex>. Da er <tex>b=a^{-1}</tex>. Anta at <tex>c*a=e</tex>. Da er <tex>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.<br /> <br /> ===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte===<br /> <br /> For elementer <tex>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <tex>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <tex>n</tex>.<br /> <br /> ==Undergrupper==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> være en gruppe, og la <tex>H</tex> være en ikketom undermengde av <tex>G</tex>, notert <tex>H\subset G</tex>. Da kalles <tex>(H,*)</tex> en undergruppe av <tex>(G,*)</tex> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <tex>G</tex>, notert ved <tex>H\leq G</tex>.<br /> <br /> To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis <tex>H</tex> er en ikketriviell undergruppe av <tex>G</tex> skriver vi <tex>H<G</tex>.<br /> <br /> ===Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper===<br /> <br /> De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, <tex>e</tex> må være et medlem i <tex>H</tex>, og for hvert element i <tex>H</tex>, må inversen også være et medlem.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: <tex>H</tex> er en under gruppe hvis og bare hvis for hver <tex>a,b \in H</tex>, så er <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Ettersom <tex>H</tex> ikke er tom, må det finnes et element <tex>a\in H</tex>. Dermed har vi at <tex>a*a^{-1}=e\in H</tex>, <tex>e*a^{-1}=a^{-1}\in H</tex>, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom <tex>b\in H</tex>, har vi <tex>b^{-1}\in H</tex>, så <tex>a*b \in H</tex> og <tex>H</tex> er dermed lukket.<br /> <br /> ==Orden==<br /> <br /> Ordenen til en gruppe <tex>G</tex> defineres som kardinaliteten til mengden <tex>G</tex>, notert <tex>o(G)</tex>. Hvis vi antar at <tex>a \in G</tex> og lar <tex>H=\{a^i | i\in \mathbb{Z}\}</tex>, vil <tex>H</tex> være en abelsk undergruppe av <tex>G</tex>, og vi kaller da <tex>H</tex> undergruppen av <tex>G</tex> generert av <tex>a</tex> og skriver <tex>H=\<a\></tex>. Vi kan da definere ordenen til et element <tex>a\in G</tex> som ordenen av undergruppen generert av <tex>a</tex>, det vil si <tex>o(a)\equiv o(H)</tex>. Merk at <tex>a</tex> har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en <tex>n\in \mathbb{N}</tex> slik at <tex>a^n=e</tex>, og <tex>o(a)</tex> er da den minste slike <tex>n</tex>.<br /> <br /> ===Sykliske grupper===<br /> <br /> En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex> generert av <tex>1</tex>.<br /> <br /> Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at <tex>G</tex> er generert av <tex>a</tex>, at <tex>H<G</tex> og at <tex>m</tex> er det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>. Anta så at det finnes et annet element <tex>a^n\in H</tex> med <tex>m<n</tex>. Hvis <tex>m</tex> ikke deler <tex>n</tex>, kan ikke <tex>m</tex> være det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>, ettersom <tex>a^{n-m}\in H</tex> og <tex>0<n-m<m</tex>. Altså må <tex>m</tex> dele <tex>n</tex>. Dermed er <tex>H</tex> generert av <tex>a^m</tex> og er dermed syklisk.<br /> <br /> ==Sideklasser==<br /> <br /> La <tex>H<G</tex>, og se på relasjonen <tex>a\sim b \, \Leftrightarrow \, a*b^{-1}\in H</tex>. Dette er en [[relasjoner|ekvivalensrelasjon]] på mengden <tex>G</tex>. Ekvivalensklassene er gitt ved<br /> <br /> <tex>[a]=\{b\in G \,|\, a\sim b\} = \{h*a \,|\, h\in H\} </tex><br /> <br /> For å se dette, merk at <tex>(h_1*a)*(h_2*a)^{-1}=h_1*a*a^{-1}*h_2^{-1}=h_1*h_2^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Mengden <tex>\{h*a \,|\, h\in H\}</tex> noteres <tex>Ha</tex> og kalles en høyre sideklasse til <tex>H</tex><br /> <br /> <br /> Alternativt kan vi la <tex>a\sim b \,\Leftrightarrow \, a^{-1}b\in H</tex>. Ekvivalensklassene blir da<br /> <br /> <tex>[a]=\{a*h \,|\, h\in H\} = aH</tex><br /> <br /> som kalles en venste sideklasse til <tex>H</tex>.<br /> <br /> <br /> Ettersom <tex>\sim</tex> er en ekvivalensrelasjon her, oppnår vi øyeblikkelig følgende resultater for høyre sideklasser. De tilsvarende utsagnene gjelder også for venstre sideklasser:<br /> <br /> 1. <tex>a\in H \, \Leftrightarrow \, Ha=H</tex><br /> <br /> 2. <tex>b\in Ha \,\Rightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 3. <tex>h\in H \, \Rightarrow H(h*a)=Ha</tex><br /> <br /> 4. <tex>Ha\cap Hb \neq \emptyset \, \Leftrightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 5. Mengden av høyre sideklasser av <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>.<br /> <br /> 6. <tex>a</tex> og <tex>b</tex> tilhører samme sideklasse kun hvis <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> ===Lagranges Teorem===<br /> <br /> La <tex>a\in G</tex>. Da er funksjonen <tex>f:H\rightarrow Ha</tex> gitt ved <tex>f(h)=a*h</tex> en bijeksjon. Dette kan sees ved å anvende forkortningsloven. Følgen av dette er at alle høyre sideklasser har samme orden. Samme argument kan benyttes på venstre sideklasser, og ettersom <tex>H</tex> er både en venste og høyre sideklasse, har alle sideklasser samme orden.<br /> <br /> <br /> Lagranges teorem sier at dersom <tex>H\leq G</tex> og <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>o(H)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> Beviset er elementært når vi vet at <tex>o(H)=o(Ha)=o(aH)</tex> for alle <tex>a\in G</tex>. Vi vet at sideklassene til <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>. Anta derfor at<br /> <br /> <tex>G=H\cup (Ha_1) \cup (Ha_2) \cup \, ... \, \cup (Ha_{t-1})</tex><br /> <br /> da følger det at<br /> <br /> <tex>o(G)=o(H)+|Ha_1|+|Ha_2| + ... + |Ha_{t-1}|=t\cdot o(H)</tex><br /> <br /> som beviser teoremet.<br /> <br /> <br /> Indeksen til en undergruppe <tex>H\leq G</tex> defineres som antallet venstre (eller høyre) sideklasser til <tex>H</tex> i <tex>G</tex> og noteres som <tex>[G:H]</tex>.<br /> <br /> For å se at <tex>H</tex> har like mange høyre sideklaser som venstre sideklasser, se på funksjonen <tex>f(H*a)=a^{-1}*H</tex>, som er en bijeksjon fra samlingen av høyre sideklasser til samlingen av venstre sideklasser.<br /> <br /> Verdien til <tex>[G:H]</tex> er lik tallet <tex>t</tex> i beviset av Lagranges teorem over, slik at<br /> <br /> <tex>o(G)=[G:H]\cdot o(H)</tex><br /> <br /> eller<br /> <br /> <tex>[G:H]=\frac{o(G)}{o(H)}</tex><br /> <br /> <br /> Lagranges teorem har flere øyeblikkelige konsekvenser:<br /> <br /> 1. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex> og <tex>a\in G</tex>, så er <tex>o(a)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> 2. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>a^{o(G)}=e</tex> for alle <tex>a\in G</tex>.<br /> <br /> 3. La <tex>p</tex> være et primtall. Da er alle grupper med orden <tex>p</tex> sykliske.<br /> <br /> ==Normale undergrupper og kvotientgrupper==<br /> <br /> La <tex>H\leq G</tex>. Da er følgende utsagn ekvivalente.<br /> <br /> 1. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}=H</tex><br /> <br /> 2. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}\subset H</tex><br /> <br /> 3. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aH=Ha</tex><br /> <br /> 4. Hver venstre sideklasse er en høyre sideklasse og omvendt.<br /> <br /> En undergruppe <tex>H</tex> som oppfyller disse kravene kalles en normal undergruppe til <tex>G</tex>.<br /> <br /> For enhver gruppe <tex>G</tex> er <tex>G</tex> selv og <tex>\{e\}</tex> normale undergrupper. Hvis <tex>G</tex> i tillegg er en abelsk gruppe, er alle undergrupper normale.<br /> <br /> ===Kvotientgrupper===<br /> <br /> Hvis <tex>N\leq G</tex> er en normal undegruppe, kan vi definere en gruppestruktur på sideklassene til <tex>N</tex> på følgende måte.<br /> <br /> La <tex>G/N</tex> være mengden av alle sideklasser til <tex>N</tex>. Dersom <tex>S_1=Na</tex> og <tex>S_2=Nb</tex>, definer produktet <tex>S_1*S_2 = (Na)*(Nb)=N(a*b)</tex>. Denne operasjonen en veldefinert. Identiteten er <tex>N</tex> og inverser er gitt ved <tex>(Na)^{-1}=Na^{-1}</tex>. Dersom <tex>o(G)<\infty</tex>, har vi i tillegg at <tex>o(G/N)=\frac{o(G)}{o(N)}</tex>.<br /> <br /> ==Homomorfier==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> og <tex>(H,\cdot )</tex> være grupper. En gruppehomomorfi (kort: homomorfi) fra <tex>G</tex> til <tex>H</tex> er en transformasjon<br /> <br /> <tex>\phi \,:\, G \rightarrow H</tex><br /> <br /> som bevarer gruppestrukturen, dvs.<br /> <br /> <tex>\phi (a*b) = \phi(a)\cdot \phi(b)</tex><br /> <br /> <br /> La <tex>G</tex> og <tex>H</tex> ha identitetselementer <tex>e</tex> og <tex>\bar{e}</tex>. Definer kjernen til en homomorfi som<br /> <br /> <tex>\tex{ker}(\phi)=\{a\in G \,:\, \phi(a)=\bar{e}\}=\phi^{-1}(\bar{e})</tex><br /> <br /> De følgende utsagnene følger direkte fra definisjonen av homomorfier.<br /> <br /> 1. <tex>\phi(e)=\bar{e}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\phi(a^{-1})=\phi(a)^{-1}</tex><br /> <br /> 3. Dersom <tex>A</tex> er en undergruppe av <tex>G</tex>, er <tex>\phi(A)</tex> en undergruppe av <tex>H</tex>. Det følger at <tex>R(\phi)=\{\phi(a)\,:\,a\in G\}</tex> er en undergruppe av <tex>H</tex>.<br /> <br /> 4. Dersom <tex>B</tex> er en undergruppe av B, er <tex>\phi^{-1}(B)</tex> en undergruppe av <tex>G</tex><br /> <br /> 5. Dersom <tex>\phi</tex> er injektiv, er <tex>\text{ker}(\phi)=\{e\}</tex><br /> <br /> 6. <tex>\text{ker}(\phi)</tex> er en normal undergruppe til <tex>G</tex><br /> <br /> 7. Dersom <tex>h\in H</tex>, er <tex>\phi^{-1}(h)</tex> en sideklasse av <tex>\text{ker}(\phi)</tex><br /> <br /> 8. Komposisjonen av to homomorfier <tex>\phi_1 \,:\, G\rightarrow H</tex> og <tex>\phi_2\,:\, H\rightarrow K</tex> er en ny homomorfi <tex>\phi_2\circ\phi_1 \,:\, G\rightarrow K</tex><br /> <br /> 9. Dersom <tex>\phi</tex> er en bijeksjon, er <tex>\phi^{-1}\,:\, H\to G</tex> en homomorfi, og <tex>\phi</tex> kalles da en isomorfi og vi skriver <tex>G\simeq H</tex>. Hvis <tex>G=H</tex> kalles <tex>\phi</tex> en automorfi.<br /> <br /> 10. La <tex>\phi</tex> være en isomorfi. Da er:<br /> : i) <tex>A\leq G</tex> hvis og bare hvis <tex>\phi(A)\leq H</tex><br /> : ii) <tex>A\leq G</tex> er en normal undergruppe hvis og bare hvis <tex>f(A)\leq H</tex> er en normal undergruppe.<br /> : iii) <tex>G</tex> er syklisk hvis og bare hvis <tex>H</tex> er syklisk.<br /> <br /> ===Det første isomorfiteoremet===<br /> <br /> Anta at <tex>N\leq G</tex> er en normal undergruppe. Da er<br /> <br /> <tex>\pi\,:\, G \rightarrow G/N</tex><br /> <br /> definert ved <tex>\pi(a)=Ha</tex> en surjektiv homomorfi med kjerne <tex>\text{ker}(\pi)=N</tex>.<br /> <br /> Hvis i tillegg <tex>\phi\,:\, G\rightarrow H</tex> er en surjektiv homomorfi med kjerne <tex>N</tex>, har vi <tex>G\simeq H</tex>.<br /> <br /> : ''Bevis:''<br /> <br /> : Ettersom <tex>\phi</tex> har kjerne <tex>N</tex> vil førbildet av enhver <tex>h\in H</tex> være et sideklasse av <tex>N</tex>:<br /> <br /> : <tex>\phi^{-1}(h)=Ng</tex> for en <tex>g\in G</tex>.<br /> <br /> : Anta at <tex>h_1,h_2\in H</tex> og <tex>\phi^{-1}(h_1)=\phi^{-1}(h_2)=Ng</tex>. Da har vi at <tex>h_1=\phi\left(\phi^{-1}(h_1)\right)=\phi\left(\phi^{-1}(h_2)\right)=h_2</tex>, så <tex>\pi\circ \phi^{-1}</tex> er en injektiv homomorfi fra <tex>H</tex> til <tex>G/N</tex>.<br /> <br /> : Anta videre at <tex>Ng\in G/N</tex>. Ettersom <tex>\phi</tex> er en surjektiv homomorfi, vil det finnes en <tex>h\in H</tex> slik at <tex>\phi(g)=h</tex>, og dermed er <tex>\pi\circ \phi^{-1}(h)=Ng</tex>, altså er <tex>\pi\circ \phi^{-1}</tex> en surjektiv homomorfi.<br /> <br /> : Ettersom <tex>\pi\circ\phi^{-1}:H\rightarrow G/N</tex> er både injektiv og surjektiv, er den en isomorfi, og dermed har vi at <tex>H\simeq G/N</tex> som skulle bevises.<br /> <br /> <br /> Generellt gjelder det at dersom <tex>\phi:G\rightarrow H</tex> er en homomorfi, så er <tex>G/\ker(\phi)\simeq R(\phi)</tex><br /> <br /> ==Ytre produkter av grupper==<br /> <br /> ==Gruppen (Z,+)==<br /> <br /> ==Symmetrigruppen på n elementer==<br /> <br /> [[Kategori:Algebra]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=X_Hovedside&diff=6374 X Hovedside 2011-09-28T15:24:05Z

<p>Espen180: </p> <hr /> <div>Her finner man relevant stoff for kurset Matematikk X.<br /> <br /> ----<br /> [[X Kompetansemål]]<br /> <br /> <br /> ----<br /> <br /> <br /> <br /> '''EMNER'''<br /> <br /> <br /> <br /> ==Tallteori==<br /> <br /> <br /> *[[Delbarhet og faktorisering]]<br /> *[[Primtall og Eratostenes' sil]]<br /> *[[Største felles divisor og Euklids algoritme]]<br /> *[[Diofantiske ligninger]]<br /> *[[Kongruensregning]]<br /> *[[Rester og siste siffer i store tall]]<br /> *[[Lineære kongruenser]]<br /> <br /> ==Komplekse tall==<br /> <br /> *[[Komplekse tall]]<br /> <br /> ==Statistikk==<br /> <br /> ----<br /> [[Kategori:Kurs i norsk skole]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Introduksjon_til_komplekse_tall&diff=6372 Introduksjon til komplekse tall 2011-09-28T09:29:14Z

<p>Espen180: /* Elementære egenskaper */</p> <hr /> <div>Denne artikkelen introduserer komplekse tall som en måte å multiplisere punkter i det euklidske planet.<br /> <br /> ==Introduksjon==<br /> <br /> Se på punkter i det euklidske planet. Fra elementær vektorregning vet vi at hvis vi har to punkter <tex>P(a,b)</tex> og <tex>Q(c,d)</tex> kan vi definere en måte å addere dem på. Dette er vanlig vektoraddisjon, og resultatet er<br /> <br /> <tex>P+Q=(a+c,b+d)</tex><br /> <br /> Det vi vil gjøre nå er å lage en måte å multiplisere to punkter på. For å gjøre dette må vi bestemme oss for hvordan vi vil at operasjonen vår skal oppføre seg. For eksempel vil vi at deling skal være mulig med alle punkter untatt <tex>(0,0)</tex>. Merk at på grunn av dette kan vi ikke definere multiplikasjonen som <tex>PQ=(ac,bd)</tex>, fordi da kan vi ikke dele på noen punkter på formen <tex>(a,0)</tex> eller <tex>(0,b)</tex>.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det blir lettere å definere multiplikasjon dersom vi går over til å bruke polare kooordinater. La oss innføre notasjonen <tex>(a,b)=\< r,\theta \></tex> for punkter skrevet på polar form. Som en påminnelse følger nå formlene for å gå fra kartesisk til polar form og tilbake.<br /> <br /> Gitt <tex>(x,y)=\<r,\theta\></tex>, har vi at<br /> <br /> <tex>r=\sqrt{x^2+y^2}</tex> og <tex>\tan\, \theta = \frac{y}{x}</tex>, med <tex>\theta</tex> i samme kvadrant som <tex>(x,y)</tex>.<br /> <br /> Motsatt vei har vi<br /> <br /> <tex>x=r\cos \, \theta</tex> og <tex>y=r\sin\,\theta</tex><br /> <br /> <br /> Et forslag til en mulig multiplikasjon blir da<br /> <br /> <tex>\< r_1,\theta _1\>\< r_2 , \theta_2 \> = \< r_1r_2 , \theta_1+\theta_2\></tex><br /> <br /> På polar form er det eneste punktet med <tex>r=0</tex> punktet <tex>(0,0)</tex>, så vi har oppfylt krevat til inverser. La oss se nermere på noen av egenskapene til denne typen multiplikasjon.<br /> <br /> ==Elementære egenskaper==<br /> <br /> Ettersom det er rimelig opplagt at for alle punkter <tex>P,Q</tex> har vi <tex>PQ=QP</tex>, la oss se på uttrykket <tex>P(Q+R)</tex>. Vi vil gjerne at dette skal være lik <tex>PQ+PR</tex> som med vanlige tall. Dette viser seg å være sant, men er noe rotete å vise.<br /> <br /> Ettersom å addere punkter i det polare planet er rimelig kronglete, la oss heller se på hvordan vi kan utrykke multiplikasjonen vi definerte i kartesiske koordinater.<br /> <br /> <br /> Vi vet altså at <tex>r_1=\sqrt{a^2+b^2}</tex>, <tex>\tan\,\theta_1 = \frac{b}{a}</tex>, <tex>r_2=\sqrt{c^2+d^2}</tex> og <tex>\tan\,\theta_2=\frac{d}{c}</tex>. Da får vi at produket av <tex>(a,b)</tex> og <tex>(c,d)</tex> på polar form er gitt ved<br /> <br /> <tex>r=\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</tex> og <tex>\theta=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\arctan\left(\frac{d}{c}\right)=\arctan\left(\frac{\frac{b}{a}+\frac{d}{c}}{1-\frac{bd}{ac}}\right)=\arctan\left(\frac{ad+bc}{ac-bd}\right)</tex><br /> <br /> Fra kjente trigonometriske identiteter får vi da uttrykk for sin og cos:<br /> <br /> <tex>\cos^2\theta=\frac{1}{1+\tan^2\theta}=\frac{(ac-bd)^2}{(ac-bd)^2+(ad+bc)^2}=\frac{(ac-bd)^2}{a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2}=\frac{(ac-bd)^2}{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</tex><br /> <br /> og<br /> <br /> <tex>\sin^2\theta=\tan^2\theta \cos^2\theta=\frac{(ad+bc)^2}{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</tex><br /> <br /> Så vi får som resultat at<br /> <br /> <tex>x=r\cos\,\theta=ac-bd</tex><br /> <br /> og<br /> <br /> <tex>y=r\sin\,\theta=ad+bc</tex><br /> <br /> Så vi har statfestet at dersom <tex>P=(a,b)</tex> og <tex>Q=(c,d)</tex>, så er<br /> <br /> <tex>PQ=(ac-bd,ad+bc)</tex><br /> <br /> ==Sammenheng med komplekse tall==<br /> <br /> <br /> Vi har allerede sett at hvis <tex>r=0</tex> har vi <tex>\<r,\theta\>=(0,0)</tex> for alle valg av <tex>\theta</tex>. La oss derfor se på punkter med <tex>r=1</tex>.<br /> <br /> Først har vi <tex>A=\<1,0\> = (1,0)</tex>. Hvis vi ganger <tex>A</tex> med seg selv, får vi <tex>AA=\<1,0\>=(1,0)=A</tex>. <tex>A</tex> viser seg å ha egenskapen at for ethvert punkt <tex>P</tex> har vi <tex>AP=P</tex>.<br /> <br /> Se så på punktet <tex>B=\<1,\pi\>=(-1,0)</tex>. Da får vi <tex>BB=\<1,2\pi\>=\<1,0\>=(1,0)=A</tex>.<br /> <br /> Se nå på <tex>C=\<1,\frac{\pi}{2}\>=(0,1)</tex>. Dette punktet har egenskapen <tex>CC=\<1,\pi\>=(-1,0)=B</tex>.</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Introduksjon_til_komplekse_tall&diff=6371 Introduksjon til komplekse tall 2011-09-28T09:27:43Z

<p>Espen180: /* Spesielle punkter */</p> <hr /> <div>Denne artikkelen introduserer komplekse tall som en måte å multiplisere punkter i det euklidske planet.<br /> <br /> ==Introduksjon==<br /> <br /> Se på punkter i det euklidske planet. Fra elementær vektorregning vet vi at hvis vi har to punkter <tex>P(a,b)</tex> og <tex>Q(c,d)</tex> kan vi definere en måte å addere dem på. Dette er vanlig vektoraddisjon, og resultatet er<br /> <br /> <tex>P+Q=(a+c,b+d)</tex><br /> <br /> Det vi vil gjøre nå er å lage en måte å multiplisere to punkter på. For å gjøre dette må vi bestemme oss for hvordan vi vil at operasjonen vår skal oppføre seg. For eksempel vil vi at deling skal være mulig med alle punkter untatt <tex>(0,0)</tex>. Merk at på grunn av dette kan vi ikke definere multiplikasjonen som <tex>PQ=(ac,bd)</tex>, fordi da kan vi ikke dele på noen punkter på formen <tex>(a,0)</tex> eller <tex>(0,b)</tex>.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det blir lettere å definere multiplikasjon dersom vi går over til å bruke polare kooordinater. La oss innføre notasjonen <tex>(a,b)=\< r,\theta \></tex> for punkter skrevet på polar form. Som en påminnelse følger nå formlene for å gå fra kartesisk til polar form og tilbake.<br /> <br /> Gitt <tex>(x,y)=\<r,\theta\></tex>, har vi at<br /> <br /> <tex>r=\sqrt{x^2+y^2}</tex> og <tex>\tan\, \theta = \frac{y}{x}</tex>, med <tex>\theta</tex> i samme kvadrant som <tex>(x,y)</tex>.<br /> <br /> Motsatt vei har vi<br /> <br /> <tex>x=r\cos \, \theta</tex> og <tex>y=r\sin\,\theta</tex><br /> <br /> <br /> Et forslag til en mulig multiplikasjon blir da<br /> <br /> <tex>\< r_1,\theta _1\>\< r_2 , \theta_2 \> = \< r_1r_2 , \theta_1+\theta_2\></tex><br /> <br /> På polar form er det eneste punktet med <tex>r=0</tex> punktet <tex>(0,0)</tex>, så vi har oppfylt krevat til inverser. La oss se nermere på noen av egenskapene til denne typen multiplikasjon.<br /> <br /> ==Elementære egenskaper==<br /> <br /> Ettersom det er rimelig opplagt at for alle punkter <tex>P,Q</tex> har vi <tex>PQ=QP</tex>, la oss se på uttrykket <tex>P(Q+R)</tex>. Vi vil gjerne at dette skal være lik <tex>PQ+PR</tex> som med vanlige tall. Dette viser seg å være sant, men er noe rotete å vise.<br /> <br /> Ettersom å addere punkter i det polare planet er rimelig kronglete, la oss heller se på hvordan vi kan utrykke multiplikasjonen vi definerte i kartesiske koordinater.<br /> <br /> <br /> Vi vet altså at <tex>r_1=\sqrt{a^2+b^2}</tex>, <tex>\tan\,\theta_1 = \frac{b}{a}</tex>, <tex>r_2=\sqrt{c^2+d^2}</tex> og <tex>\tan\,\theta_2=\frac{d}{c}</tex>. Da får vi at produket av <tex>(a,b)</tex> og <tex>(c,d)</tex> på polar form er gitt ved<br /> <br /> <tex>r=\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</tex> og <tex>\theta=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\arctan\left(\frac{d}{c}\right)=\arctan\left(\frac{\frac{b}{a}+\frac{d}{c}}{1-\frac{bd}{ac}}\right)=\arctan\left(\frac{ad+bc}{ac-bd}\right)</tex><br /> <br /> Fra kjente trigonometriske identiteter får vi da uttrykk for sin og cos:<br /> <br /> <tex>\cos^2\theta=\frac{1}{1+\tan^2\theta}=\frac{(ac-bd)^2}{(ac-bd)^2+(ad+bc)^2}=\frac{(ac-bd)^2}{a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2}=\frac{(ac-bd)^2}{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</tex><br /> <br /> og<br /> <br /> <tex>\sin^2\theta=\frac{\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}=\frac{(ad+bc)^2}{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</tex><br /> <br /> Så vi får som resultat at<br /> <br /> <tex>x=r\cos\,\theta=ac-bd</tex><br /> <br /> og<br /> <br /> <tex>y=r\sin\,\theta=ad+bc</tex><br /> <br /> Så vi har statfestet at dersom <tex>P=(a,b)</tex> og <tex>Q=(c,d)</tex>, så er<br /> <br /> <tex>PQ=(ac-bd,ad+bc)</tex><br /> <br /> ==Sammenheng med komplekse tall==<br /> <br /> <br /> Vi har allerede sett at hvis <tex>r=0</tex> har vi <tex>\<r,\theta\>=(0,0)</tex> for alle valg av <tex>\theta</tex>. La oss derfor se på punkter med <tex>r=1</tex>.<br /> <br /> Først har vi <tex>A=\<1,0\> = (1,0)</tex>. Hvis vi ganger <tex>A</tex> med seg selv, får vi <tex>AA=\<1,0\>=(1,0)=A</tex>. <tex>A</tex> viser seg å ha egenskapen at for ethvert punkt <tex>P</tex> har vi <tex>AP=P</tex>.<br /> <br /> Se så på punktet <tex>B=\<1,\pi\>=(-1,0)</tex>. Da får vi <tex>BB=\<1,2\pi\>=\<1,0\>=(1,0)=A</tex>.<br /> <br /> Se nå på <tex>C=\<1,\frac{\pi}{2}\>=(0,1)</tex>. Dette punktet har egenskapen <tex>CC=\<1,\pi\>=(-1,0)=B</tex>.</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Introduksjon_til_komplekse_tall&diff=6370 Introduksjon til komplekse tall 2011-09-28T09:24:49Z

<p>Espen180: /* Elementære egenskaper */</p> <hr /> <div>Denne artikkelen introduserer komplekse tall som en måte å multiplisere punkter i det euklidske planet.<br /> <br /> ==Introduksjon==<br /> <br /> Se på punkter i det euklidske planet. Fra elementær vektorregning vet vi at hvis vi har to punkter <tex>P(a,b)</tex> og <tex>Q(c,d)</tex> kan vi definere en måte å addere dem på. Dette er vanlig vektoraddisjon, og resultatet er<br /> <br /> <tex>P+Q=(a+c,b+d)</tex><br /> <br /> Det vi vil gjøre nå er å lage en måte å multiplisere to punkter på. For å gjøre dette må vi bestemme oss for hvordan vi vil at operasjonen vår skal oppføre seg. For eksempel vil vi at deling skal være mulig med alle punkter untatt <tex>(0,0)</tex>. Merk at på grunn av dette kan vi ikke definere multiplikasjonen som <tex>PQ=(ac,bd)</tex>, fordi da kan vi ikke dele på noen punkter på formen <tex>(a,0)</tex> eller <tex>(0,b)</tex>.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det blir lettere å definere multiplikasjon dersom vi går over til å bruke polare kooordinater. La oss innføre notasjonen <tex>(a,b)=\< r,\theta \></tex> for punkter skrevet på polar form. Som en påminnelse følger nå formlene for å gå fra kartesisk til polar form og tilbake.<br /> <br /> Gitt <tex>(x,y)=\<r,\theta\></tex>, har vi at<br /> <br /> <tex>r=\sqrt{x^2+y^2}</tex> og <tex>\tan\, \theta = \frac{y}{x}</tex>, med <tex>\theta</tex> i samme kvadrant som <tex>(x,y)</tex>.<br /> <br /> Motsatt vei har vi<br /> <br /> <tex>x=r\cos \, \theta</tex> og <tex>y=r\sin\,\theta</tex><br /> <br /> <br /> Et forslag til en mulig multiplikasjon blir da<br /> <br /> <tex>\< r_1,\theta _1\>\< r_2 , \theta_2 \> = \< r_1r_2 , \theta_1+\theta_2\></tex><br /> <br /> På polar form er det eneste punktet med <tex>r=0</tex> punktet <tex>(0,0)</tex>, så vi har oppfylt krevat til inverser. La oss se nermere på noen av egenskapene til denne typen multiplikasjon.<br /> <br /> ==Elementære egenskaper==<br /> <br /> Ettersom det er rimelig opplagt at for alle punkter <tex>P,Q</tex> har vi <tex>PQ=QP</tex>, la oss se på uttrykket <tex>P(Q+R)</tex>. Vi vil gjerne at dette skal være lik <tex>PQ+PR</tex> som med vanlige tall. Dette viser seg å være sant, men er noe rotete å vise.<br /> <br /> Ettersom å addere punkter i det polare planet er rimelig kronglete, la oss heller se på hvordan vi kan utrykke multiplikasjonen vi definerte i kartesiske koordinater.<br /> <br /> <br /> Vi vet altså at <tex>r_1=\sqrt{a^2+b^2}</tex>, <tex>\tan\,\theta_1 = \frac{b}{a}</tex>, <tex>r_2=\sqrt{c^2+d^2}</tex> og <tex>\tan\,\theta_2=\frac{d}{c}</tex>. Da får vi at produket av <tex>(a,b)</tex> og <tex>(c,d)</tex> på polar form er gitt ved<br /> <br /> <tex>r=\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</tex> og <tex>\theta=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\arctan\left(\frac{d}{c}\right)=\arctan\left(\frac{\frac{b}{a}+\frac{d}{c}}{1-\frac{bd}{ac}}\right)=\arctan\left(\frac{ad+bc}{ac-bd}\right)</tex><br /> <br /> Fra kjente trigonometriske identiteter får vi da uttrykk for sin og cos:<br /> <br /> <tex>\cos^2\theta=\frac{1}{1+\tan^2\theta}=\frac{(ac-bd)^2}{(ac-bd)^2+(ad+bc)^2}=\frac{(ac-bd)^2}{a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2}=\frac{(ac-bd)^2}{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</tex><br /> <br /> og<br /> <br /> <tex>\sin^2\theta=\frac{\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}=\frac{(ad+bc)^2}{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</tex><br /> <br /> Så vi får som resultat at<br /> <br /> <tex>x=r\cos\,\theta=ac-bd</tex><br /> <br /> og<br /> <br /> <tex>y=r\sin\,\theta=ad+bc</tex><br /> <br /> Så vi har statfestet at dersom <tex>P=(a,b)</tex> og <tex>Q=(c,d)</tex>, så er<br /> <br /> <tex>PQ=(ac-bd,ad+bc)</tex><br /> <br /> ==Spesielle punkter==<br /> <br /> <br /> Vi har allerede sett at hvis <tex>r=0</tex> har vi <tex>\<r,\theta\>=(0,0)</tex> for alle valg av <tex>\theta</tex>. La oss derfor se på punkter med <tex>r=1</tex>.<br /> <br /> Først har vi <tex>A=\<1,0\> = (1,0)</tex>. Hvis vi ganger <tex>A</tex> med seg selv, får vi <tex>AA=\<1,0\>=(1,0)=A</tex>. <tex>A</tex> viser seg å ha egenskapen at for ethvert punkt <tex>P</tex> har vi <tex>AP=P</tex>.<br /> <br /> Se så på punktet <tex>B=\<1,\pi\>=(-1,0)</tex>. Da får vi <tex>BB=\<1,2\pi\>=\<1,0\>=(1,0)=A</tex>.</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Introduksjon_til_komplekse_tall&diff=6369 Introduksjon til komplekse tall 2011-09-28T09:23:22Z

<p>Espen180: /* Elementære egenskaper */</p> <hr /> <div>Denne artikkelen introduserer komplekse tall som en måte å multiplisere punkter i det euklidske planet.<br /> <br /> ==Introduksjon==<br /> <br /> Se på punkter i det euklidske planet. Fra elementær vektorregning vet vi at hvis vi har to punkter <tex>P(a,b)</tex> og <tex>Q(c,d)</tex> kan vi definere en måte å addere dem på. Dette er vanlig vektoraddisjon, og resultatet er<br /> <br /> <tex>P+Q=(a+c,b+d)</tex><br /> <br /> Det vi vil gjøre nå er å lage en måte å multiplisere to punkter på. For å gjøre dette må vi bestemme oss for hvordan vi vil at operasjonen vår skal oppføre seg. For eksempel vil vi at deling skal være mulig med alle punkter untatt <tex>(0,0)</tex>. Merk at på grunn av dette kan vi ikke definere multiplikasjonen som <tex>PQ=(ac,bd)</tex>, fordi da kan vi ikke dele på noen punkter på formen <tex>(a,0)</tex> eller <tex>(0,b)</tex>.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det blir lettere å definere multiplikasjon dersom vi går over til å bruke polare kooordinater. La oss innføre notasjonen <tex>(a,b)=\< r,\theta \></tex> for punkter skrevet på polar form. Som en påminnelse følger nå formlene for å gå fra kartesisk til polar form og tilbake.<br /> <br /> Gitt <tex>(x,y)=\<r,\theta\></tex>, har vi at<br /> <br /> <tex>r=\sqrt{x^2+y^2}</tex> og <tex>\tan\, \theta = \frac{y}{x}</tex>, med <tex>\theta</tex> i samme kvadrant som <tex>(x,y)</tex>.<br /> <br /> Motsatt vei har vi<br /> <br /> <tex>x=r\cos \, \theta</tex> og <tex>y=r\sin\,\theta</tex><br /> <br /> <br /> Et forslag til en mulig multiplikasjon blir da<br /> <br /> <tex>\< r_1,\theta _1\>\< r_2 , \theta_2 \> = \< r_1r_2 , \theta_1+\theta_2\></tex><br /> <br /> På polar form er det eneste punktet med <tex>r=0</tex> punktet <tex>(0,0)</tex>, så vi har oppfylt krevat til inverser. La oss se nermere på noen av egenskapene til denne typen multiplikasjon.<br /> <br /> ==Elementære egenskaper==<br /> <br /> Ettersom det er rimelig opplagt at for alle punkter <tex>P,Q</tex> har vi <tex>PQ=QP</tex>, la oss se på uttrykket <tex>P(Q+R)</tex>. Vi vil gjerne at dette skal være lik <tex>PQ+PR</tex> som med vanlige tall. Dette viser seg å være sant, men er noe rotete å vise.<br /> <br /> Ettersom å addere punkter i det polare planet er rimelig kronglete, la oss heller se på hvordan vi kan utrykke multiplikasjonen vi definerte i kartesiske koordinater.<br /> <br /> <br /> Vi vet altså at <tex>r_1=\sqrt{a^2+b^2}</tex>, <tex>\tan\,\theta_1 = \frac{b}{a}</tex>, <tex>r_2=\sqrt{c^2+d^2}</tex> og <tex>\tan\,\theta_2=\frac{d}{c}</tex>. Da får vi at produket av <tex>(a,b)</tex> og <tex>(c,d)</tex> på polar form er gitt ved<br /> <br /> <tex>r=\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</tex> og <tex>\theta=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\arctan\left(\frac{d}{c}\right)=\arctan\left(\frac{\frac{b}{a}+\frac{d}{c}}{1-\frac{bd}{ac}}\right)=\arctan\left(\frac{ad+bc}{ac-bd}\right)</tex><br /> <br /> Fra kjente trigonometriske identiteter får vi da uttrykk for sin og cos:<br /> <br /> <tex>\cos^2\theta=\frac{1}{1+\tan^2\theta}=\frac{(ac-bd)^2}{(ac-bd)^2+(ad+bc)^2}=\frac{(ac-bd)^2}{a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2}=\frac{(ac-bd)^2}{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</tex><br /> <br /> og<br /> <br /> <tex>\sin^2\theta=\frac{\tan^2\theta}{1+\tan^2\theta}=\frac{(ad+bc)^2}{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</tex><br /> <br /> Så vi får som resultat at<br /> <br /> <tex>x=r\cos\,\theta=ac-bd</tex><br /> <br /> og<br /> <br /> <tex>y=r\sin\,\theta=ad+bc</tex><br /> <br /> ==Spesielle punkter==<br /> <br /> <br /> Vi har allerede sett at hvis <tex>r=0</tex> har vi <tex>\<r,\theta\>=(0,0)</tex> for alle valg av <tex>\theta</tex>. La oss derfor se på punkter med <tex>r=1</tex>.<br /> <br /> Først har vi <tex>A=\<1,0\> = (1,0)</tex>. Hvis vi ganger <tex>A</tex> med seg selv, får vi <tex>AA=\<1,0\>=(1,0)=A</tex>. <tex>A</tex> viser seg å ha egenskapen at for ethvert punkt <tex>P</tex> har vi <tex>AP=P</tex>.<br /> <br /> Se så på punktet <tex>B=\<1,\pi\>=(-1,0)</tex>. Da får vi <tex>BB=\<1,2\pi\>=\<1,0\>=(1,0)=A</tex>.</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Introduksjon_til_komplekse_tall&diff=6368 Introduksjon til komplekse tall 2011-09-28T09:05:49Z

<p>Espen180: Ny side: Denne artikkelen introduserer komplekse tall som en måte å multiplisere punkter i det euklidske planet. ==Introduksjon== Se på punkter i det euklidske planet. Fra elementær vektorregn...</p> <hr /> <div>Denne artikkelen introduserer komplekse tall som en måte å multiplisere punkter i det euklidske planet.<br /> <br /> ==Introduksjon==<br /> <br /> Se på punkter i det euklidske planet. Fra elementær vektorregning vet vi at hvis vi har to punkter <tex>P(a,b)</tex> og <tex>Q(c,d)</tex> kan vi definere en måte å addere dem på. Dette er vanlig vektoraddisjon, og resultatet er<br /> <br /> <tex>P+Q=(a+c,b+d)</tex><br /> <br /> Det vi vil gjøre nå er å lage en måte å multiplisere to punkter på. For å gjøre dette må vi bestemme oss for hvordan vi vil at operasjonen vår skal oppføre seg. For eksempel vil vi at deling skal være mulig med alle punkter untatt <tex>(0,0)</tex>. Merk at på grunn av dette kan vi ikke definere multiplikasjonen som <tex>PQ=(ac,bd)</tex>, fordi da kan vi ikke dele på noen punkter på formen <tex>(a,0)</tex> eller <tex>(0,b)</tex>.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det blir lettere å definere multiplikasjon dersom vi går over til å bruke polare kooordinater. La oss innføre notasjonen <tex>(a,b)=\< r,\theta \></tex> for punkter skrevet på polar form. Som en påminnelse følger nå formlene for å gå fra kartesisk til polar form og tilbake.<br /> <br /> Gitt <tex>(x,y)=\<r,\theta\></tex>, har vi at<br /> <br /> <tex>r=\sqrt{x^2+y^2}</tex> og <tex>\tan\, \theta = \frac{y}{x}</tex>, med <tex>\theta</tex> i samme kvadrant som <tex>(x,y)</tex>.<br /> <br /> Motsatt vei har vi<br /> <br /> <tex>x=r\cos \, \theta</tex> og <tex>y=r\sin\,\theta</tex><br /> <br /> <br /> Et forslag til en mulig multiplikasjon blir da<br /> <br /> <tex>\< r_1,\theta _1\>\< r_2 , \theta_2 \> = \< r_1r_2 , \theta_1+\theta_2\></tex><br /> <br /> På polar form er det eneste punktet med <tex>r=0</tex> punktet <tex>(0,0)</tex>, så vi har oppfylt krevat til inverser. La oss se nermere på noen av egenskapene til denne typen multiplikasjon.<br /> <br /> ==Elementære egenskaper==<br /> <br /> Ettersom det er rimelig opplagt at for alle punkter <tex>P,Q</tex> har vi <tex>PQ=QP</tex>, la oss se på uttrykket <tex>P(Q+R)</tex>. Vi vil gjerne at dette skal være lik <tex>PQ+PR</tex> som med vanlige tall. Ettersom å addere punkter i det polare planet er rimelig kronglete, la oss heller se på hvordan vi kan utrykke multiplikasjonen vi definerte i kartesiske koordinater.<br /> <br /> <br /> Vi vet altså at <tex>r_1=\sqrt{a^2+b^2}</tex>, <tex>\tan\,\theta_1 = \frac{b}{a}</tex>, <tex>r_2=\sqrt{c^2+d^2}</tex> og <tex>\tan\,\theta_2=\frac{d}{c}</tex>. Da får vi at produket av <tex>(a,b)</tex> og <tex>(c,d)</tex> på polar form er gitt ved<br /> <br /> <tex>r=\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}</tex> og <tex>\theta=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)+\arctan\left(\frac{d}{c}\right)=\arctan\left(\frac{\frac{b}{a}+\frac{d}{c}}{1+\frac{bd}{ac}}\right)</tex><br /> <br /> ==Spesielle punkter==<br /> <br /> <br /> Vi har allerede sett at hvis <tex>r=0</tex> har vi <tex>\<r,\theta\>=(0,0)</tex> for alle valg av <tex>\theta</tex>. La oss derfor se på punkter med <tex>r=1</tex>.<br /> <br /> Først har vi <tex>A=\<1,0\> = (1,0)</tex>. Hvis vi ganger <tex>A</tex> med seg selv, får vi <tex>AA=\<1,0\>=(1,0)=A</tex>. <tex>A</tex> viser seg å ha egenskapen at for ethvert punkt <tex>P</tex> har vi <tex>AP=P</tex>.<br /> <br /> Se så på punktet <tex>B=\<1,\pi\>=(-1,0)</tex>. Da får vi <tex>BB=\<1,2\pi\>=\<1,0\>=(1,0)=A</tex>.</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Komplekse_tall&diff=6367 Komplekse tall 2011-09-28T08:27:41Z

<p>Espen180: </p> <hr /> <div>Z =a + ib er formen komplekse tall skrives på. a og b er reelle tall mens i er den imaginære enheten. <tex>i^2</tex> er størrelsen som tilfredstiller<br /> <tex> i^2= -1</tex>.<br /> <br /> Kvadratroten av -1 = i. Det betyr at andregradslikninger alltid har en løsning innenfor denne tallmengden.<br /> <br /> a kalles for realdelen og skrives ofte a = Re(Z), b kalles for imaginærdelen og skrives ofte b = Im(Z).<br /> <br /> Mengden av alle komplekse tall kalles for C. De reelle tallene er inkludert i C. <br /> <br /> For å visualisere de komplekse tallene kan vi bruke XY planet. Vi setter a =X og b = Y. Det komplekse planet C ser da slik ut:<br /> <br /> [[Bilde:Kompleksplan.gif]]<br /> <br /> <br /> == REGNEREGLER FOR KOMPLEKSE TALL ==<br /> <br /> <br /> Potenser av <tex>i^n</tex> kan alltid reduseres til pluss/minus 1 eller pluss/minus i. Eksempelvis er <tex>i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = - i</tex><br /> <br /> Summering av to komplekse tall gjøres ved å summere realdelen for seg og imaginærdelen for seg. Dersom vi skal summere <tex>Z_1 = 1 + 2i \quad og \quad Z_2 = 2 + 2i</tex> blir resultatet <tex>Z_3 = 3 + 4i</tex> <br /> <br /> Generelt kan summen av det komplekse tallene Z = a + ib og W = c + id uttrykkes som <br /> <br /> Z + W = (a + c) + i(b + d).<br /> <br /> Vi kan oppfatte de komplekse tallene som vektorer i det komplekse plan. Regneoperasjonen over kan da fremstilles slik; <br /> <br /> [[Bilde:Kompleksplan2.gif]]<br /> <br /> Lengden av linjestykket <tex>OZ_n</tex> kan vi finne ved å bruke Pytagoras. Lengden er gitt ved <tex>|Z_n| = \sqrt{a^2 + b^2}</tex>. <tex>|Z_n|</tex> kalles absoluttverdien eller modulen av det komplekse tallet <tex>Z_n</tex> <br /> <br /> Subtraksjon utføres ved å subtrahere realdelen for seg og imaginærdelen for seg, altså analogt til addisjon. Generelt har vi<br /> <br /> Z - W = (a - c) + i(b - d) <br /> <br /> Vi kan oppgi det komplekse tallet som et produkt av lengden <tex>OZ_n</tex> og vinkelen mellom X aksen og linjestykket <tex>OZ_n</tex>.<br /> <br /> [[Bilde:Kompleks3.gif]]<br /> <br /> Fra figuren over ser vi at Z kan utrykkes som lengden av OZ og θ. Dersom vi kaller absoluttverdien av Z for r får vi : <br /> <br /> Z = r(cos θ + isin θ). θ kalles argumentet til Z og skrives arg Z. Argumentet til Z er entydig bestemt i [0,2π ><br /> <br /> punktet <tex> \overline{Z}= a-bi</tex> kalles det konjugerte komplekse tallet til Z.<br /> <br /> en viktig egenskap er:<p></p><br /> <tex>Z \cdot \overline{Z} = a^2 + b^2 =|Z|^2</tex><br /> <br /> '''Multiplikasjon.'''<p></p><br /> Multiplikasjon utføres på vanlig måte: <p></p><tex>(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i</tex><br /> <p></p><br /> '''Divisjon.'''<p></p><br /> Vi multipliserer teller og nevner med det konjugerte komplekse tallet til nevneren. Da får vi et reelt tall i nevneren:<p></p><br /> <tex>\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac {ac-adi +bci -bdi^2}{c^2 -cdi + cdi -d^2i^2}= \frac {ac+bd -(ad-bc)i}{c^2 + d^2}</tex><br /> ----<br /> [[X Hovedside | Tilbake til X hovedside]]<br /> ----<br /> [[kategori:lex]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=X_Hovedside&diff=6366 X Hovedside 2011-09-28T08:26:36Z

<p>Espen180: </p> <hr /> <div>Her finner man relevant stoff for kurset Matematikk X.<br /> <br /> ----<br /> [[X Kompetansemål]]<br /> <br /> <br /> ----<br /> <br /> <br /> <br /> '''EMNER'''<br /> <br /> <br /> <br /> ==Tallteori==<br /> <br /> <br /> *[[Delbarhet og faktorisering]]<br /> *[[Primtall og Eratostenes' sil]]<br /> *[[Største felles divisor og Euklids algoritme]]<br /> *[[Diofantiske ligninger]]<br /> *[[Kongruensregning]]<br /> *[[Rester og siste siffer i store tall]]<br /> *[[Lineære kongruenser]]<br /> <br /> ==Komplekse tall==<br /> <br /> *[[Komplekse tall]]<br /> <br /> ==Statistikk==</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Gruppeteori&diff=6359 Gruppeteori 2011-09-26T20:12:18Z

<p>Espen180: /* Homomorfier */</p> <hr /> <div>Gruppeteori er en gren av [[Algebra]] og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.<br /> <br /> ==Definisjon==<br /> <br /> La <tex>G</tex> være en ikketom mengde med <tex>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <tex>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:<br /> <br /> <br /> 1. <tex>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon=<br /> <br /> 2. <tex>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)<br /> <br /> 3. <tex>\exists e \in G</tex> slik at <tex>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)<br /> <br /> 4. <tex>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <tex>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)<br /> <br /> 5. <tex>a*b=b*a</tex><br /> <br /> <br /> En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive <tex>G</tex>, og la operasjonen være implisert.<br /> <br /> For en <tex>a\in G</tex> kan vi innføre forkortelsen <tex>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n \text{ elementer}}</tex>. Tilsvarende innfører vi <tex>a^{-n}=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\, ... \, * a^{-1}}_{n \text{ elementer}}</tex>. Dermed oppnår vi sammenhengene<br /> <br /> 1. <tex>a^n*a^m=a^{n+m}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\left(a^n\right)^m=a^{nm}</tex><br /> <br /> 3. <tex>a^0 = e</tex><br /> <br /> ===Eksempel 1===<br /> <br /> Heltallene <tex>\mathbb{Z}</tex> med vanlig addisjon av heltall er et viktig eksempel på en abelsk gruppe. Identiteten er gitt ved <tex>e=0</tex> og inverser ved <tex>a^{-1}=-a</tex>.<br /> <br /> Lignende eksempler er de rasjonale tallene <tex>\mathbb{Q}</tex>, de reelle tallene <tex>\mathbb{R}</tex> og de komplekse tallene <tex>\mathbb{C}</tex>.<br /> <br /> ''Er <tex>\mathbb{R}</tex> en gruppe under vanlig multiplikasjon av tall? Hvis ikke, hva er den største undermengden av <tex>\mathbb{R}</tex> som er en gruppe under multiplikasjon? Besvar samme spørsmål for <tex>\mathbb{Q}</tex>, <tex>\mathbb{C}</tex> og <tex>\mathbb{Z}</tex>.''<br /> <br /> ===Eksempel 2===<br /> <br /> La <tex>X</tex> være en mengde, og la <tex>B(X)</tex> være en ikketom samling av undermengder av <tex>X</tex>. For <tex>U,V\in B(X)</tex>, definer<br /> <br /> <tex>U-V=\{x\in U \,\wedge \, x\not\in V\}</tex><br /> <br /> definer så<br /> <br /> <tex>U*V=(U-V)\cup (V-U)</tex><br /> <br /> kalt den symmetriske differansen av <tex>U</tex> og <tex>V</tex>.<br /> <br /> Da er <tex>(B(X),*)</tex> en abelsk gruppe og kalles den Boolske gruppen. Identiteten er <tex>e=\emptyset</tex> og <tex>U^{-1}=U</tex> for alle <tex>U\in B(X)</tex>.<br /> <br /> Vi overlater til leseren å vise assosiativitet.<br /> <br /> ==Elementære resultater==<br /> <br /> ===Forkortningslov===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=a*c</tex> eller <tex>b*a=c*a</tex>. Da er <tex>b=c</tex><br /> <br /> <br /> Bevis: <tex>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex>. Beviset for venstre forkortning er tilsvarende.<br /> <br /> ===Identitetselementet er unikt===<br /> <br /> Anta at <tex>e_1</tex> og <tex>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <tex>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .<br /> <br /> <br /> Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <tex>b</tex> slik at <tex>a*b=a</tex> for en <tex>a</tex>, så er <tex>b=e</tex>.<br /> <br /> ===Inverser er unike===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=e</tex>. Da er <tex>b=a^{-1}</tex>. Anta at <tex>c*a=e</tex>. Da er <tex>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.<br /> <br /> ===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte===<br /> <br /> For elementer <tex>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <tex>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <tex>n</tex>.<br /> <br /> ==Undergrupper==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> være en gruppe, og la <tex>H</tex> være en ikketom undermengde av <tex>G</tex>, notert <tex>H\subset G</tex>. Da kalles <tex>(H,*)</tex> en undergruppe av <tex>(G,*)</tex> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <tex>G</tex>, notert ved <tex>H\leq G</tex>.<br /> <br /> To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis <tex>H</tex> er en ikketriviell undergruppe av <tex>G</tex> skriver vi <tex>H<G</tex>.<br /> <br /> ===Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper===<br /> <br /> De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, <tex>e</tex> må være et medlem i <tex>H</tex>, og for hvert element i <tex>H</tex>, må inversen også være et medlem.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: <tex>H</tex> er en under gruppe hvis og bare hvis for hver <tex>a,b \in H</tex>, så er <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Ettersom <tex>H</tex> ikke er tom, må det finnes et element <tex>a\in H</tex>. Dermed har vi at <tex>a*a^{-1}=e\in H</tex>, <tex>e*a^{-1}=a^{-1}\in H</tex>, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom <tex>b\in H</tex>, har vi <tex>b^{-1}\in H</tex>, så <tex>a*b \in H</tex> og <tex>H</tex> er dermed lukket.<br /> <br /> ==Orden==<br /> <br /> Ordenen til en gruppe <tex>G</tex> defineres som kardinaliteten til mengden <tex>G</tex>, notert <tex>o(G)</tex>. Hvis vi antar at <tex>a \in G</tex> og lar <tex>H=\{a^i | i\in \mathbb{Z}\}</tex>, vil <tex>H</tex> være en abelsk undergruppe av <tex>G</tex>, og vi kaller da <tex>H</tex> undergruppen av <tex>G</tex> generert av <tex>a</tex> og skriver <tex>H=\<a\></tex>. Vi kan da definere ordenen til et element <tex>a\in G</tex> som ordenen av undergruppen generert av <tex>a</tex>, det vil si <tex>o(a)\equiv o(H)</tex>. Merk at <tex>a</tex> har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en <tex>n\in \mathbb{N}</tex> slik at <tex>a^n=e</tex>, og <tex>o(a)</tex> er da den minste slike <tex>n</tex>.<br /> <br /> ===Sykliske grupper===<br /> <br /> En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex> generert av <tex>1</tex>.<br /> <br /> Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at <tex>G</tex> er generert av <tex>a</tex>, at <tex>H<G</tex> og at <tex>m</tex> er det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>. Anta så at det finnes et annet element <tex>a^n\in H</tex> med <tex>m<n</tex>. Hvis <tex>m</tex> ikke deler <tex>n</tex>, kan ikke <tex>m</tex> være det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>, ettersom <tex>a^{n-m}\in H</tex> og <tex>0<n-m<m</tex>. Altså må <tex>m</tex> dele <tex>n</tex>. Dermed er <tex>H</tex> generert av <tex>a^m</tex> og er dermed syklisk.<br /> <br /> ==Sideklasser==<br /> <br /> La <tex>H<G</tex>, og se på relasjonen <tex>a\sim b \, \Leftrightarrow \, a*b^{-1}\in H</tex>. Dette er en [[relasjoner|ekvivalensrelasjon]] på mengden <tex>G</tex>. Ekvivalensklassene er gitt ved<br /> <br /> <tex>[a]=\{b\in G \,|\, a\sim b\} = \{h*a \,|\, h\in H\} </tex><br /> <br /> For å se dette, merk at <tex>(h_1*a)*(h_2*a)^{-1}=h_1*a*a^{-1}*h_2^{-1}=h_1*h_2^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Mengden <tex>\{h*a \,|\, h\in H\}</tex> noteres <tex>Ha</tex> og kalles en høyre sideklasse til <tex>H</tex><br /> <br /> <br /> Alternativt kan vi la <tex>a\sim b \,\Leftrightarrow \, a^{-1}b\in H</tex>. Ekvivalensklassene blir da<br /> <br /> <tex>[a]=\{a*h \,|\, h\in H\} = aH</tex><br /> <br /> som kalles en venste sideklasse til <tex>H</tex>.<br /> <br /> <br /> Ettersom <tex>\sim</tex> er en ekvivalensrelasjon her, oppnår vi øyeblikkelig følgende resultater for høyre sideklasser. De tilsvarende utsagnene gjelder også for venstre sideklasser:<br /> <br /> 1. <tex>a\in H \, \Leftrightarrow \, Ha=H</tex><br /> <br /> 2. <tex>b\in Ha \,\Rightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 3. <tex>h\in H \, \Rightarrow H(h*a)=Ha</tex><br /> <br /> 4. <tex>Ha\cap Hb \neq \emptyset \, \Leftrightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 5. Mengden av høyre sideklasser av <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>.<br /> <br /> 6. <tex>a</tex> og <tex>b</tex> tilhører samme sideklasse kun hvis <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> ===Lagranges Teorem===<br /> <br /> La <tex>a\in G</tex>. Da er funksjonen <tex>f:H\rightarrow Ha</tex> gitt ved <tex>f(h)=a*h</tex> en bijeksjon. Dette kan sees ved å anvende forkortningsloven. Følgen av dette er at alle høyre sideklasser har samme orden. Samme argument kan benyttes på venstre sideklasser, og ettersom <tex>H</tex> er både en venste og høyre sideklasse, har alle sideklasser samme orden.<br /> <br /> <br /> Lagranges teorem sier at dersom <tex>H\leq G</tex> og <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>o(H)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> Beviset er elementært når vi vet at <tex>o(H)=o(Ha)=o(aH)</tex> for alle <tex>a\in G</tex>. Vi vet at sideklassene til <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>. Anta derfor at<br /> <br /> <tex>G=H\cup (Ha_1) \cup (Ha_2) \cup \, ... \, \cup (Ha_{t-1})</tex><br /> <br /> da følger det at<br /> <br /> <tex>o(G)=o(H)+|Ha_1|+|Ha_2| + ... + |Ha_{t-1}|=t\cdot o(H)</tex><br /> <br /> som beviser teoremet.<br /> <br /> <br /> Indeksen til en undergruppe <tex>H\leq G</tex> defineres som antallet venstre (eller høyre) sideklasser til <tex>H</tex> i <tex>G</tex> og noteres som <tex>[G:H]</tex>.<br /> <br /> For å se at <tex>H</tex> har like mange høyre sideklaser som venstre sideklasser, se på funksjonen <tex>f(H*a)=a^{-1}*H</tex>, som er en bijeksjon fra samlingen av høyre sideklasser til samlingen av venstre sideklasser.<br /> <br /> Verdien til <tex>[G:H]</tex> er lik tallet <tex>t</tex> i beviset av Lagranges teorem over, slik at<br /> <br /> <tex>o(G)=[G:H]\cdot o(H)</tex><br /> <br /> eller<br /> <br /> <tex>[G:H]=\frac{o(G)}{o(H)}</tex><br /> <br /> <br /> Lagranges teorem har flere øyeblikkelige konsekvenser:<br /> <br /> 1. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex> og <tex>a\in G</tex>, så er <tex>o(a)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> 2. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>a^{o(G)}=e</tex> for alle <tex>a\in G</tex>.<br /> <br /> 3. La <tex>p</tex> være et primtall. Da er alle grupper med orden <tex>p</tex> sykliske.<br /> <br /> ==Normale undergrupper og kvotientgrupper==<br /> <br /> La <tex>H\leq G</tex>. Da er følgende utsagn ekvivalente.<br /> <br /> 1. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}=H</tex><br /> <br /> 2. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}\subset H</tex><br /> <br /> 3. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aH=Ha</tex><br /> <br /> 4. Hver venstre sideklasse er en høyre sideklasse og omvendt.<br /> <br /> En undergruppe <tex>H</tex> som oppfyller disse kravene kalles en normal undergruppe til <tex>G</tex>.<br /> <br /> For enhver gruppe <tex>G</tex> er <tex>G</tex> selv og <tex>\{e\}</tex> normale undergrupper. Hvis <tex>G</tex> i tillegg er en abelsk gruppe, er alle undergrupper normale.<br /> <br /> ===Kvotientgrupper===<br /> <br /> Hvis <tex>N\leq G</tex> er en normal undegruppe, kan vi definere en gruppestruktur på sideklassene til <tex>N</tex> på følgende måte.<br /> <br /> La <tex>G/N</tex> være mengden av alle sideklasser til <tex>N</tex>. Dersom <tex>S_1=Na</tex> og <tex>S_2=Nb</tex>, definer produktet <tex>S_1*S_2 = (Na)*(Nb)=N(a*b)</tex>. Denne operasjonen en veldefinert. Identiteten er <tex>N</tex> og inverser er gitt ved <tex>(Na)^{-1}=Na^{-1}</tex>. Dersom <tex>o(G)<\infty</tex>, har vi i tillegg at <tex>o(G/N)=\frac{o(G)}{o(N)}</tex>.<br /> <br /> ==Homomorfier==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> og <tex>(H,\cdot )</tex> være grupper. En gruppehomomorfi (kort: homomorfi) fra <tex>G</tex> til <tex>H</tex> er en transformasjon<br /> <br /> <tex>\phi \,:\, G \rightarrow H</tex><br /> <br /> som bevarer gruppestrukturen, dvs.<br /> <br /> <tex>\phi (a*b) = \phi(a)\cdot \phi(b)</tex><br /> <br /> <br /> La <tex>G</tex> og <tex>H</tex> ha identitetselementer <tex>e</tex> og <tex>\bar{e}</tex>. Definer kjernen til en homomorfi som<br /> <br /> <tex>\tex{ker}(\phi)=\{a\in G \,:\, \phi(a)=\bar{e}\}=\phi^{-1}(\bar{e})</tex><br /> <br /> De følgende utsagnene følger direkte fra definisjonen av homomorfier.<br /> <br /> 1. <tex>\phi(e)=\bar{e}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\phi(a^{-1})=\phi(a)^{-1}</tex><br /> <br /> 3. Dersom <tex>A</tex> er en undergruppe av <tex>G</tex>, er <tex>\phi(A)</tex> en undergruppe av <tex>H</tex>. Det følger at <tex>R(\phi)=\{\phi(a)\,:\,a\in G\}</tex> er en undergruppe av <tex>H</tex>.<br /> <br /> 4. Dersom <tex>B</tex> er en undergruppe av B, er <tex>\phi^{-1}(B)</tex> en undergruppe av <tex>G</tex><br /> <br /> 5. Dersom <tex>\phi</tex> er injektiv, er <tex>\text{ker}(\phi)=\{e\}</tex><br /> <br /> 6. <tex>\text{ker}(\phi)</tex> er en normal undergruppe til <tex>G</tex><br /> <br /> 7. Dersom <tex>h\in H</tex>, er <tex>\phi^{-1}(h)</tex> en sideklasse av <tex>\text{ker}(\phi)</tex><br /> <br /> 8. Komposisjonen av to homomorfier <tex>\phi_1 \,:\, G\rightarrow H</tex> og <tex>\phi_2\,:\, H\rightarrow K</tex> er en ny homomorfi <tex>\phi_2\circ\phi_1 \,:\, G\rightarrow K</tex><br /> <br /> 9. Dersom <tex>\phi</tex> er en bijeksjon, er <tex>\phi^{-1}\,:\, H\to G</tex> en homomorfi, og <tex>\phi</tex> kalles da en isomorfi og vi skriver <tex>G\simeq H</tex>. Hvis <tex>G=H</tex> kalles <tex>\phi</tex> en automorfi.<br /> <br /> 10. La <tex>\phi</tex> være en isomorfi. Da er:<br /> : i) <tex>A\leq G</tex> hvis og bare hvis <tex>\phi(A)\leq H</tex><br /> : ii) <tex>A\leq G</tex> er en normal undergruppe hvis og bare hvis <tex>f(A)\leq H</tex> er en normal undergruppe.<br /> : iii) <tex>G</tex> er syklisk hvis og bare hvis <tex>H</tex> er syklisk.<br /> <br /> ===Det første isomorfiteoremet===<br /> <br /> Anta at <tex>N\leq G</tex> er en normal undergruppe. Da er<br /> <br /> <tex>\pi\,:\, G \rightarrow G/N</tex><br /> <br /> definert ved <tex>\pi(a)=Ha</tex> en surjektiv homomorfi med kjerne <tex>\text{ker}(\pi)=N</tex>.<br /> <br /> Hvis i tillegg <tex>\phi\,:\, G\rightarrow H</tex> er en surjektiv homomorfi med kjerne <tex>N</tex>, har vi <tex>G\simeq H</tex>.<br /> <br /> ==Ytre produkter av grupper==<br /> <br /> ==Gruppen (Z,+)==<br /> <br /> ==Symmetrigruppen på n elementer==<br /> <br /> [[Kategori:Algebra]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Gruppeteori&diff=6358 Gruppeteori 2011-09-26T18:51:07Z

<p>Espen180: /* Homomorfier */</p> <hr /> <div>Gruppeteori er en gren av [[Algebra]] og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.<br /> <br /> ==Definisjon==<br /> <br /> La <tex>G</tex> være en ikketom mengde med <tex>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <tex>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:<br /> <br /> <br /> 1. <tex>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon=<br /> <br /> 2. <tex>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)<br /> <br /> 3. <tex>\exists e \in G</tex> slik at <tex>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)<br /> <br /> 4. <tex>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <tex>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)<br /> <br /> 5. <tex>a*b=b*a</tex><br /> <br /> <br /> En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive <tex>G</tex>, og la operasjonen være implisert.<br /> <br /> For en <tex>a\in G</tex> kan vi innføre forkortelsen <tex>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n \text{ elementer}}</tex>. Tilsvarende innfører vi <tex>a^{-n}=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\, ... \, * a^{-1}}_{n \text{ elementer}}</tex>. Dermed oppnår vi sammenhengene<br /> <br /> 1. <tex>a^n*a^m=a^{n+m}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\left(a^n\right)^m=a^{nm}</tex><br /> <br /> 3. <tex>a^0 = e</tex><br /> <br /> ===Eksempel 1===<br /> <br /> Heltallene <tex>\mathbb{Z}</tex> med vanlig addisjon av heltall er et viktig eksempel på en abelsk gruppe. Identiteten er gitt ved <tex>e=0</tex> og inverser ved <tex>a^{-1}=-a</tex>.<br /> <br /> Lignende eksempler er de rasjonale tallene <tex>\mathbb{Q}</tex>, de reelle tallene <tex>\mathbb{R}</tex> og de komplekse tallene <tex>\mathbb{C}</tex>.<br /> <br /> ''Er <tex>\mathbb{R}</tex> en gruppe under vanlig multiplikasjon av tall? Hvis ikke, hva er den største undermengden av <tex>\mathbb{R}</tex> som er en gruppe under multiplikasjon? Besvar samme spørsmål for <tex>\mathbb{Q}</tex>, <tex>\mathbb{C}</tex> og <tex>\mathbb{Z}</tex>.''<br /> <br /> ===Eksempel 2===<br /> <br /> La <tex>X</tex> være en mengde, og la <tex>B(X)</tex> være en ikketom samling av undermengder av <tex>X</tex>. For <tex>U,V\in B(X)</tex>, definer<br /> <br /> <tex>U-V=\{x\in U \,\wedge \, x\not\in V\}</tex><br /> <br /> definer så<br /> <br /> <tex>U*V=(U-V)\cup (V-U)</tex><br /> <br /> kalt den symmetriske differansen av <tex>U</tex> og <tex>V</tex>.<br /> <br /> Da er <tex>(B(X),*)</tex> en abelsk gruppe og kalles den Boolske gruppen. Identiteten er <tex>e=\emptyset</tex> og <tex>U^{-1}=U</tex> for alle <tex>U\in B(X)</tex>.<br /> <br /> Vi overlater til leseren å vise assosiativitet.<br /> <br /> ==Elementære resultater==<br /> <br /> ===Forkortningslov===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=a*c</tex> eller <tex>b*a=c*a</tex>. Da er <tex>b=c</tex><br /> <br /> <br /> Bevis: <tex>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex>. Beviset for venstre forkortning er tilsvarende.<br /> <br /> ===Identitetselementet er unikt===<br /> <br /> Anta at <tex>e_1</tex> og <tex>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <tex>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .<br /> <br /> <br /> Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <tex>b</tex> slik at <tex>a*b=a</tex> for en <tex>a</tex>, så er <tex>b=e</tex>.<br /> <br /> ===Inverser er unike===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=e</tex>. Da er <tex>b=a^{-1}</tex>. Anta at <tex>c*a=e</tex>. Da er <tex>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.<br /> <br /> ===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte===<br /> <br /> For elementer <tex>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <tex>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <tex>n</tex>.<br /> <br /> ==Undergrupper==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> være en gruppe, og la <tex>H</tex> være en ikketom undermengde av <tex>G</tex>, notert <tex>H\subset G</tex>. Da kalles <tex>(H,*)</tex> en undergruppe av <tex>(G,*)</tex> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <tex>G</tex>, notert ved <tex>H\leq G</tex>.<br /> <br /> To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis <tex>H</tex> er en ikketriviell undergruppe av <tex>G</tex> skriver vi <tex>H<G</tex>.<br /> <br /> ===Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper===<br /> <br /> De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, <tex>e</tex> må være et medlem i <tex>H</tex>, og for hvert element i <tex>H</tex>, må inversen også være et medlem.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: <tex>H</tex> er en under gruppe hvis og bare hvis for hver <tex>a,b \in H</tex>, så er <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Ettersom <tex>H</tex> ikke er tom, må det finnes et element <tex>a\in H</tex>. Dermed har vi at <tex>a*a^{-1}=e\in H</tex>, <tex>e*a^{-1}=a^{-1}\in H</tex>, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom <tex>b\in H</tex>, har vi <tex>b^{-1}\in H</tex>, så <tex>a*b \in H</tex> og <tex>H</tex> er dermed lukket.<br /> <br /> ==Orden==<br /> <br /> Ordenen til en gruppe <tex>G</tex> defineres som kardinaliteten til mengden <tex>G</tex>, notert <tex>o(G)</tex>. Hvis vi antar at <tex>a \in G</tex> og lar <tex>H=\{a^i | i\in \mathbb{Z}\}</tex>, vil <tex>H</tex> være en abelsk undergruppe av <tex>G</tex>, og vi kaller da <tex>H</tex> undergruppen av <tex>G</tex> generert av <tex>a</tex> og skriver <tex>H=\<a\></tex>. Vi kan da definere ordenen til et element <tex>a\in G</tex> som ordenen av undergruppen generert av <tex>a</tex>, det vil si <tex>o(a)\equiv o(H)</tex>. Merk at <tex>a</tex> har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en <tex>n\in \mathbb{N}</tex> slik at <tex>a^n=e</tex>, og <tex>o(a)</tex> er da den minste slike <tex>n</tex>.<br /> <br /> ===Sykliske grupper===<br /> <br /> En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex> generert av <tex>1</tex>.<br /> <br /> Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at <tex>G</tex> er generert av <tex>a</tex>, at <tex>H<G</tex> og at <tex>m</tex> er det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>. Anta så at det finnes et annet element <tex>a^n\in H</tex> med <tex>m<n</tex>. Hvis <tex>m</tex> ikke deler <tex>n</tex>, kan ikke <tex>m</tex> være det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>, ettersom <tex>a^{n-m}\in H</tex> og <tex>0<n-m<m</tex>. Altså må <tex>m</tex> dele <tex>n</tex>. Dermed er <tex>H</tex> generert av <tex>a^m</tex> og er dermed syklisk.<br /> <br /> ==Sideklasser==<br /> <br /> La <tex>H<G</tex>, og se på relasjonen <tex>a\sim b \, \Leftrightarrow \, a*b^{-1}\in H</tex>. Dette er en [[relasjoner|ekvivalensrelasjon]] på mengden <tex>G</tex>. Ekvivalensklassene er gitt ved<br /> <br /> <tex>[a]=\{b\in G \,|\, a\sim b\} = \{h*a \,|\, h\in H\} </tex><br /> <br /> For å se dette, merk at <tex>(h_1*a)*(h_2*a)^{-1}=h_1*a*a^{-1}*h_2^{-1}=h_1*h_2^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Mengden <tex>\{h*a \,|\, h\in H\}</tex> noteres <tex>Ha</tex> og kalles en høyre sideklasse til <tex>H</tex><br /> <br /> <br /> Alternativt kan vi la <tex>a\sim b \,\Leftrightarrow \, a^{-1}b\in H</tex>. Ekvivalensklassene blir da<br /> <br /> <tex>[a]=\{a*h \,|\, h\in H\} = aH</tex><br /> <br /> som kalles en venste sideklasse til <tex>H</tex>.<br /> <br /> <br /> Ettersom <tex>\sim</tex> er en ekvivalensrelasjon her, oppnår vi øyeblikkelig følgende resultater for høyre sideklasser. De tilsvarende utsagnene gjelder også for venstre sideklasser:<br /> <br /> 1. <tex>a\in H \, \Leftrightarrow \, Ha=H</tex><br /> <br /> 2. <tex>b\in Ha \,\Rightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 3. <tex>h\in H \, \Rightarrow H(h*a)=Ha</tex><br /> <br /> 4. <tex>Ha\cap Hb \neq \emptyset \, \Leftrightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 5. Mengden av høyre sideklasser av <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>.<br /> <br /> 6. <tex>a</tex> og <tex>b</tex> tilhører samme sideklasse kun hvis <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> ===Lagranges Teorem===<br /> <br /> La <tex>a\in G</tex>. Da er funksjonen <tex>f:H\rightarrow Ha</tex> gitt ved <tex>f(h)=a*h</tex> en bijeksjon. Dette kan sees ved å anvende forkortningsloven. Følgen av dette er at alle høyre sideklasser har samme orden. Samme argument kan benyttes på venstre sideklasser, og ettersom <tex>H</tex> er både en venste og høyre sideklasse, har alle sideklasser samme orden.<br /> <br /> <br /> Lagranges teorem sier at dersom <tex>H\leq G</tex> og <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>o(H)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> Beviset er elementært når vi vet at <tex>o(H)=o(Ha)=o(aH)</tex> for alle <tex>a\in G</tex>. Vi vet at sideklassene til <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>. Anta derfor at<br /> <br /> <tex>G=H\cup (Ha_1) \cup (Ha_2) \cup \, ... \, \cup (Ha_{t-1})</tex><br /> <br /> da følger det at<br /> <br /> <tex>o(G)=o(H)+|Ha_1|+|Ha_2| + ... + |Ha_{t-1}|=t\cdot o(H)</tex><br /> <br /> som beviser teoremet.<br /> <br /> <br /> Indeksen til en undergruppe <tex>H\leq G</tex> defineres som antallet venstre (eller høyre) sideklasser til <tex>H</tex> i <tex>G</tex> og noteres som <tex>[G:H]</tex>.<br /> <br /> For å se at <tex>H</tex> har like mange høyre sideklaser som venstre sideklasser, se på funksjonen <tex>f(H*a)=a^{-1}*H</tex>, som er en bijeksjon fra samlingen av høyre sideklasser til samlingen av venstre sideklasser.<br /> <br /> Verdien til <tex>[G:H]</tex> er lik tallet <tex>t</tex> i beviset av Lagranges teorem over, slik at<br /> <br /> <tex>o(G)=[G:H]\cdot o(H)</tex><br /> <br /> eller<br /> <br /> <tex>[G:H]=\frac{o(G)}{o(H)}</tex><br /> <br /> <br /> Lagranges teorem har flere øyeblikkelige konsekvenser:<br /> <br /> 1. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex> og <tex>a\in G</tex>, så er <tex>o(a)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> 2. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>a^{o(G)}=e</tex> for alle <tex>a\in G</tex>.<br /> <br /> 3. La <tex>p</tex> være et primtall. Da er alle grupper med orden <tex>p</tex> sykliske.<br /> <br /> ==Normale undergrupper og kvotientgrupper==<br /> <br /> La <tex>H\leq G</tex>. Da er følgende utsagn ekvivalente.<br /> <br /> 1. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}=H</tex><br /> <br /> 2. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}\subset H</tex><br /> <br /> 3. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aH=Ha</tex><br /> <br /> 4. Hver venstre sideklasse er en høyre sideklasse og omvendt.<br /> <br /> En undergruppe <tex>H</tex> som oppfyller disse kravene kalles en normal undergruppe til <tex>G</tex>.<br /> <br /> For enhver gruppe <tex>G</tex> er <tex>G</tex> selv og <tex>\{e\}</tex> normale undergrupper. Hvis <tex>G</tex> i tillegg er en abelsk gruppe, er alle undergrupper normale.<br /> <br /> ===Kvotientgrupper===<br /> <br /> Hvis <tex>N\leq G</tex> er en normal undegruppe, kan vi definere en gruppestruktur på sideklassene til <tex>N</tex> på følgende måte.<br /> <br /> La <tex>G/N</tex> være mengden av alle sideklasser til <tex>N</tex>. Dersom <tex>S_1=Na</tex> og <tex>S_2=Nb</tex>, definer produktet <tex>S_1*S_2 = (Na)*(Nb)=N(a*b)</tex>. Denne operasjonen en veldefinert. Identiteten er <tex>N</tex> og inverser er gitt ved <tex>(Na)^{-1}=Na^{-1}</tex>. Dersom <tex>o(G)<\infty</tex>, har vi i tillegg at <tex>o(G/N)=\frac{o(G)}{o(N)}</tex>.<br /> <br /> ==Homomorfier==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> og <tex>(H,\cdot )</tex> være grupper. En gruppehomomorfi (kort: homomorfi) fra <tex>G</tex> til <tex>H</tex> er en transformasjon<br /> <br /> <tex>\phi \,:\, G \rightarrow H</tex><br /> <br /> som bevarer gruppestrukturen, dvs.<br /> <br /> <tex>\phi (a*b) = \phi(a)\cdot \phi(b)</tex><br /> <br /> <br /> La <tex>G</tex> og <tex>H</tex> ha identitetselementer <tex>e</tex> og <tex>\bar{e}</tex>. Definer kjernen til en homomorfi som<br /> <br /> <tex>\tex{ker}(\phi)=\{a\in G \,:\, \phi(a)=\bar{e}\}=\phi^{-1}(\bar{e})</tex><br /> <br /> De følgende utsagnene følger direkte fra definisjonen av homomorfier.<br /> <br /> 1. <tex>\phi(e)=\bar{e}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\phi(a^{-1})=\phi(a)^{-1}</tex><br /> <br /> 3. Dersom <tex>A</tex> er en undergruppe av <tex>G</tex>, er <tex>\phi(A)</tex> en undergruppe av <tex>H</tex>. Det følger at <tex>R(\phi)=\{\phi(a)\,:\,a\in G\}</tex> er en undergruppe av <tex>H</tex>.<br /> <br /> 4. Dersom <tex>B</tex> er en undergruppe av B, er <tex>\phi^{-1}(B)</tex> en undergruppe av <tex>G</tex><br /> <br /> 5. Dersom <tex>\phi</tex> er injektiv, er <tex>\text{ker}(\phi)=\{e\}</tex><br /> <br /> 6. <tex>\text{ker}(\phi)</tex> er en normal undergruppe til <tex>G</tex><br /> <br /> 7. Dersom <tex>h\in H</tex>, er <tex>\phi^{-1}(h)</tex> en sideklasse av <tex>\text{ker}(\phi)</tex><br /> <br /> ==Ytre produkter av grupper==<br /> <br /> ==Gruppen (Z,+)==<br /> <br /> ==Symmetrigruppen på n elementer==<br /> <br /> [[Kategori:Algebra]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Gruppeteori&diff=6357 Gruppeteori 2011-09-26T18:02:50Z

<p>Espen180: </p> <hr /> <div>Gruppeteori er en gren av [[Algebra]] og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.<br /> <br /> ==Definisjon==<br /> <br /> La <tex>G</tex> være en ikketom mengde med <tex>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <tex>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:<br /> <br /> <br /> 1. <tex>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon=<br /> <br /> 2. <tex>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)<br /> <br /> 3. <tex>\exists e \in G</tex> slik at <tex>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)<br /> <br /> 4. <tex>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <tex>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)<br /> <br /> 5. <tex>a*b=b*a</tex><br /> <br /> <br /> En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive <tex>G</tex>, og la operasjonen være implisert.<br /> <br /> For en <tex>a\in G</tex> kan vi innføre forkortelsen <tex>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n \text{ elementer}}</tex>. Tilsvarende innfører vi <tex>a^{-n}=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\, ... \, * a^{-1}}_{n \text{ elementer}}</tex>. Dermed oppnår vi sammenhengene<br /> <br /> 1. <tex>a^n*a^m=a^{n+m}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\left(a^n\right)^m=a^{nm}</tex><br /> <br /> 3. <tex>a^0 = e</tex><br /> <br /> ===Eksempel 1===<br /> <br /> Heltallene <tex>\mathbb{Z}</tex> med vanlig addisjon av heltall er et viktig eksempel på en abelsk gruppe. Identiteten er gitt ved <tex>e=0</tex> og inverser ved <tex>a^{-1}=-a</tex>.<br /> <br /> Lignende eksempler er de rasjonale tallene <tex>\mathbb{Q}</tex>, de reelle tallene <tex>\mathbb{R}</tex> og de komplekse tallene <tex>\mathbb{C}</tex>.<br /> <br /> ''Er <tex>\mathbb{R}</tex> en gruppe under vanlig multiplikasjon av tall? Hvis ikke, hva er den største undermengden av <tex>\mathbb{R}</tex> som er en gruppe under multiplikasjon? Besvar samme spørsmål for <tex>\mathbb{Q}</tex>, <tex>\mathbb{C}</tex> og <tex>\mathbb{Z}</tex>.''<br /> <br /> ===Eksempel 2===<br /> <br /> La <tex>X</tex> være en mengde, og la <tex>B(X)</tex> være en ikketom samling av undermengder av <tex>X</tex>. For <tex>U,V\in B(X)</tex>, definer<br /> <br /> <tex>U-V=\{x\in U \,\wedge \, x\not\in V\}</tex><br /> <br /> definer så<br /> <br /> <tex>U*V=(U-V)\cup (V-U)</tex><br /> <br /> kalt den symmetriske differansen av <tex>U</tex> og <tex>V</tex>.<br /> <br /> Da er <tex>(B(X),*)</tex> en abelsk gruppe og kalles den Boolske gruppen. Identiteten er <tex>e=\emptyset</tex> og <tex>U^{-1}=U</tex> for alle <tex>U\in B(X)</tex>.<br /> <br /> Vi overlater til leseren å vise assosiativitet.<br /> <br /> ==Elementære resultater==<br /> <br /> ===Forkortningslov===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=a*c</tex> eller <tex>b*a=c*a</tex>. Da er <tex>b=c</tex><br /> <br /> <br /> Bevis: <tex>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex>. Beviset for venstre forkortning er tilsvarende.<br /> <br /> ===Identitetselementet er unikt===<br /> <br /> Anta at <tex>e_1</tex> og <tex>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <tex>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .<br /> <br /> <br /> Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <tex>b</tex> slik at <tex>a*b=a</tex> for en <tex>a</tex>, så er <tex>b=e</tex>.<br /> <br /> ===Inverser er unike===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=e</tex>. Da er <tex>b=a^{-1}</tex>. Anta at <tex>c*a=e</tex>. Da er <tex>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.<br /> <br /> ===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte===<br /> <br /> For elementer <tex>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <tex>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <tex>n</tex>.<br /> <br /> ==Undergrupper==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> være en gruppe, og la <tex>H</tex> være en ikketom undermengde av <tex>G</tex>, notert <tex>H\subset G</tex>. Da kalles <tex>(H,*)</tex> en undergruppe av <tex>(G,*)</tex> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <tex>G</tex>, notert ved <tex>H\leq G</tex>.<br /> <br /> To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis <tex>H</tex> er en ikketriviell undergruppe av <tex>G</tex> skriver vi <tex>H<G</tex>.<br /> <br /> ===Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper===<br /> <br /> De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, <tex>e</tex> må være et medlem i <tex>H</tex>, og for hvert element i <tex>H</tex>, må inversen også være et medlem.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: <tex>H</tex> er en under gruppe hvis og bare hvis for hver <tex>a,b \in H</tex>, så er <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Ettersom <tex>H</tex> ikke er tom, må det finnes et element <tex>a\in H</tex>. Dermed har vi at <tex>a*a^{-1}=e\in H</tex>, <tex>e*a^{-1}=a^{-1}\in H</tex>, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom <tex>b\in H</tex>, har vi <tex>b^{-1}\in H</tex>, så <tex>a*b \in H</tex> og <tex>H</tex> er dermed lukket.<br /> <br /> ==Orden==<br /> <br /> Ordenen til en gruppe <tex>G</tex> defineres som kardinaliteten til mengden <tex>G</tex>, notert <tex>o(G)</tex>. Hvis vi antar at <tex>a \in G</tex> og lar <tex>H=\{a^i | i\in \mathbb{Z}\}</tex>, vil <tex>H</tex> være en abelsk undergruppe av <tex>G</tex>, og vi kaller da <tex>H</tex> undergruppen av <tex>G</tex> generert av <tex>a</tex> og skriver <tex>H=\<a\></tex>. Vi kan da definere ordenen til et element <tex>a\in G</tex> som ordenen av undergruppen generert av <tex>a</tex>, det vil si <tex>o(a)\equiv o(H)</tex>. Merk at <tex>a</tex> har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en <tex>n\in \mathbb{N}</tex> slik at <tex>a^n=e</tex>, og <tex>o(a)</tex> er da den minste slike <tex>n</tex>.<br /> <br /> ===Sykliske grupper===<br /> <br /> En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex> generert av <tex>1</tex>.<br /> <br /> Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at <tex>G</tex> er generert av <tex>a</tex>, at <tex>H<G</tex> og at <tex>m</tex> er det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>. Anta så at det finnes et annet element <tex>a^n\in H</tex> med <tex>m<n</tex>. Hvis <tex>m</tex> ikke deler <tex>n</tex>, kan ikke <tex>m</tex> være det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>, ettersom <tex>a^{n-m}\in H</tex> og <tex>0<n-m<m</tex>. Altså må <tex>m</tex> dele <tex>n</tex>. Dermed er <tex>H</tex> generert av <tex>a^m</tex> og er dermed syklisk.<br /> <br /> ==Sideklasser==<br /> <br /> La <tex>H<G</tex>, og se på relasjonen <tex>a\sim b \, \Leftrightarrow \, a*b^{-1}\in H</tex>. Dette er en [[relasjoner|ekvivalensrelasjon]] på mengden <tex>G</tex>. Ekvivalensklassene er gitt ved<br /> <br /> <tex>[a]=\{b\in G \,|\, a\sim b\} = \{h*a \,|\, h\in H\} </tex><br /> <br /> For å se dette, merk at <tex>(h_1*a)*(h_2*a)^{-1}=h_1*a*a^{-1}*h_2^{-1}=h_1*h_2^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Mengden <tex>\{h*a \,|\, h\in H\}</tex> noteres <tex>Ha</tex> og kalles en høyre sideklasse til <tex>H</tex><br /> <br /> <br /> Alternativt kan vi la <tex>a\sim b \,\Leftrightarrow \, a^{-1}b\in H</tex>. Ekvivalensklassene blir da<br /> <br /> <tex>[a]=\{a*h \,|\, h\in H\} = aH</tex><br /> <br /> som kalles en venste sideklasse til <tex>H</tex>.<br /> <br /> <br /> Ettersom <tex>\sim</tex> er en ekvivalensrelasjon her, oppnår vi øyeblikkelig følgende resultater for høyre sideklasser. De tilsvarende utsagnene gjelder også for venstre sideklasser:<br /> <br /> 1. <tex>a\in H \, \Leftrightarrow \, Ha=H</tex><br /> <br /> 2. <tex>b\in Ha \,\Rightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 3. <tex>h\in H \, \Rightarrow H(h*a)=Ha</tex><br /> <br /> 4. <tex>Ha\cap Hb \neq \emptyset \, \Leftrightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 5. Mengden av høyre sideklasser av <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>.<br /> <br /> 6. <tex>a</tex> og <tex>b</tex> tilhører samme sideklasse kun hvis <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> ===Lagranges Teorem===<br /> <br /> La <tex>a\in G</tex>. Da er funksjonen <tex>f:H\rightarrow Ha</tex> gitt ved <tex>f(h)=a*h</tex> en bijeksjon. Dette kan sees ved å anvende forkortningsloven. Følgen av dette er at alle høyre sideklasser har samme orden. Samme argument kan benyttes på venstre sideklasser, og ettersom <tex>H</tex> er både en venste og høyre sideklasse, har alle sideklasser samme orden.<br /> <br /> <br /> Lagranges teorem sier at dersom <tex>H\leq G</tex> og <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>o(H)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> Beviset er elementært når vi vet at <tex>o(H)=o(Ha)=o(aH)</tex> for alle <tex>a\in G</tex>. Vi vet at sideklassene til <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>. Anta derfor at<br /> <br /> <tex>G=H\cup (Ha_1) \cup (Ha_2) \cup \, ... \, \cup (Ha_{t-1})</tex><br /> <br /> da følger det at<br /> <br /> <tex>o(G)=o(H)+|Ha_1|+|Ha_2| + ... + |Ha_{t-1}|=t\cdot o(H)</tex><br /> <br /> som beviser teoremet.<br /> <br /> <br /> Indeksen til en undergruppe <tex>H\leq G</tex> defineres som antallet venstre (eller høyre) sideklasser til <tex>H</tex> i <tex>G</tex> og noteres som <tex>[G:H]</tex>.<br /> <br /> For å se at <tex>H</tex> har like mange høyre sideklaser som venstre sideklasser, se på funksjonen <tex>f(H*a)=a^{-1}*H</tex>, som er en bijeksjon fra samlingen av høyre sideklasser til samlingen av venstre sideklasser.<br /> <br /> Verdien til <tex>[G:H]</tex> er lik tallet <tex>t</tex> i beviset av Lagranges teorem over, slik at<br /> <br /> <tex>o(G)=[G:H]\cdot o(H)</tex><br /> <br /> eller<br /> <br /> <tex>[G:H]=\frac{o(G)}{o(H)}</tex><br /> <br /> <br /> Lagranges teorem har flere øyeblikkelige konsekvenser:<br /> <br /> 1. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex> og <tex>a\in G</tex>, så er <tex>o(a)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> 2. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>a^{o(G)}=e</tex> for alle <tex>a\in G</tex>.<br /> <br /> 3. La <tex>p</tex> være et primtall. Da er alle grupper med orden <tex>p</tex> sykliske.<br /> <br /> ==Normale undergrupper og kvotientgrupper==<br /> <br /> La <tex>H\leq G</tex>. Da er følgende utsagn ekvivalente.<br /> <br /> 1. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}=H</tex><br /> <br /> 2. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}\subset H</tex><br /> <br /> 3. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aH=Ha</tex><br /> <br /> 4. Hver venstre sideklasse er en høyre sideklasse og omvendt.<br /> <br /> En undergruppe <tex>H</tex> som oppfyller disse kravene kalles en normal undergruppe til <tex>G</tex>.<br /> <br /> For enhver gruppe <tex>G</tex> er <tex>G</tex> selv og <tex>\{e\}</tex> normale undergrupper. Hvis <tex>G</tex> i tillegg er en abelsk gruppe, er alle undergrupper normale.<br /> <br /> ===Kvotientgrupper===<br /> <br /> Hvis <tex>N\leq G</tex> er en normal undegruppe, kan vi definere en gruppestruktur på sideklassene til <tex>N</tex> på følgende måte.<br /> <br /> La <tex>G/N</tex> være mengden av alle sideklasser til <tex>N</tex>. Dersom <tex>S_1=Na</tex> og <tex>S_2=Nb</tex>, definer produktet <tex>S_1*S_2 = (Na)*(Nb)=N(a*b)</tex>. Denne operasjonen en veldefinert. Identiteten er <tex>N</tex> og inverser er gitt ved <tex>(Na)^{-1}=Na^{-1}</tex>. Dersom <tex>o(G)<\infty</tex>, har vi i tillegg at <tex>o(G/N)=\frac{o(G)}{o(N)}</tex>.<br /> <br /> ==Homomorfier==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> og <tex>(H,\cdot )</tex> være grupper. En gruppehomomorfi (kort: homomorfi) fra <tex>G</tex> til <tex>H</tex> er en transformasjon<br /> <br /> <tex>\phi \,:\, G \rightarrow H</tex><br /> <br /> som bevarer gruppestrukturen, dvs.<br /> <br /> <tex>\phi (a*b) = \phi(a)\cdot \phi(b)</tex><br /> <br /> ==Ytre produkter av grupper==<br /> <br /> ==Gruppen (Z,+)==<br /> <br /> ==Symmetrigruppen på n elementer==<br /> <br /> [[Kategori:Algebra]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Gruppeteori&diff=6356 Gruppeteori 2011-09-26T18:00:40Z

<p>Espen180: /* Normale undergrupper og kvotientgrupper */</p> <hr /> <div>Gruppeteori er en gren av [[Algebra]] og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.<br /> <br /> ==Definisjon==<br /> <br /> La <tex>G</tex> være en ikketom mengde med <tex>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <tex>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:<br /> <br /> <br /> 1. <tex>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon=<br /> <br /> 2. <tex>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)<br /> <br /> 3. <tex>\exists e \in G</tex> slik at <tex>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)<br /> <br /> 4. <tex>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <tex>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)<br /> <br /> 5. <tex>a*b=b*a</tex><br /> <br /> <br /> En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive <tex>G</tex>, og la operasjonen være implisert.<br /> <br /> For en <tex>a\in G</tex> kan vi innføre forkortelsen <tex>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n \text{ elementer}}</tex>. Tilsvarende innfører vi <tex>a^{-n}=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\, ... \, * a^{-1}}_{n \text{ elementer}}</tex>. Dermed oppnår vi sammenhengene<br /> <br /> 1. <tex>a^n*a^m=a^{n+m}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\left(a^n\right)^m=a^{nm}</tex><br /> <br /> 3. <tex>a^0 = e</tex><br /> <br /> ===Eksempel 1===<br /> <br /> Heltallene <tex>\mathbb{Z}</tex> med vanlig addisjon av heltall er et viktig eksempel på en abelsk gruppe. Identiteten er gitt ved <tex>e=0</tex> og inverser ved <tex>a^{-1}=-a</tex>.<br /> <br /> Lignende eksempler er de rasjonale tallene <tex>\mathbb{Q}</tex>, de reelle tallene <tex>\mathbb{R}</tex> og de komplekse tallene <tex>\mathbb{C}</tex>.<br /> <br /> ''Er <tex>\mathbb{R}</tex> en gruppe under vanlig multiplikasjon av tall? Hvis ikke, hva er den største undermengden av <tex>\mathbb{R}</tex> som er en gruppe under multiplikasjon? Besvar samme spørsmål for <tex>\mathbb{Q}</tex>, <tex>\mathbb{C}</tex> og <tex>\mathbb{Z}</tex>.''<br /> <br /> ===Eksempel 2===<br /> <br /> La <tex>X</tex> være en mengde, og la <tex>B(X)</tex> være en ikketom samling av undermengder av <tex>X</tex>. For <tex>U,V\in B(X)</tex>, definer<br /> <br /> <tex>U-V=\{x\in U \,\wedge \, x\not\in V\}</tex><br /> <br /> definer så<br /> <br /> <tex>U*V=(U-V)\cup (V-U)</tex><br /> <br /> kalt den symmetriske differansen av <tex>U</tex> og <tex>V</tex>.<br /> <br /> Da er <tex>(B(X),*)</tex> en abelsk gruppe og kalles den Boolske gruppen. Identiteten er <tex>e=\emptyset</tex> og <tex>U^{-1}=U</tex> for alle <tex>U\in B(X)</tex>.<br /> <br /> Vi overlater til leseren å vise assosiativitet.<br /> <br /> ==Elementære resultater==<br /> <br /> ===Forkortningslov===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=a*c</tex> eller <tex>b*a=c*a</tex>. Da er <tex>b=c</tex><br /> <br /> <br /> Bevis: <tex>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex>. Beviset for venstre forkortning er tilsvarende.<br /> <br /> ===Identitetselementet er unikt===<br /> <br /> Anta at <tex>e_1</tex> og <tex>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <tex>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .<br /> <br /> <br /> Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <tex>b</tex> slik at <tex>a*b=a</tex> for en <tex>a</tex>, så er <tex>b=e</tex>.<br /> <br /> ===Inverser er unike===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=e</tex>. Da er <tex>b=a^{-1}</tex>. Anta at <tex>c*a=e</tex>. Da er <tex>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.<br /> <br /> ===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte===<br /> <br /> For elementer <tex>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <tex>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <tex>n</tex>.<br /> <br /> ==Undergrupper==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> være en gruppe, og la <tex>H</tex> være en ikketom undermengde av <tex>G</tex>, notert <tex>H\subset G</tex>. Da kalles <tex>(H,*)</tex> en undergruppe av <tex>(G,*)</tex> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <tex>G</tex>, notert ved <tex>H\leq G</tex>.<br /> <br /> To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis <tex>H</tex> er en ikketriviell undergruppe av <tex>G</tex> skriver vi <tex>H<G</tex>.<br /> <br /> ===Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper===<br /> <br /> De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, <tex>e</tex> må være et medlem i <tex>H</tex>, og for hvert element i <tex>H</tex>, må inversen også være et medlem.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: <tex>H</tex> er en under gruppe hvis og bare hvis for hver <tex>a,b \in H</tex>, så er <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Ettersom <tex>H</tex> ikke er tom, må det finnes et element <tex>a\in H</tex>. Dermed har vi at <tex>a*a^{-1}=e\in H</tex>, <tex>e*a^{-1}=a^{-1}\in H</tex>, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom <tex>b\in H</tex>, har vi <tex>b^{-1}\in H</tex>, så <tex>a*b \in H</tex> og <tex>H</tex> er dermed lukket.<br /> <br /> ==Orden==<br /> <br /> Ordenen til en gruppe <tex>G</tex> defineres som kardinaliteten til mengden <tex>G</tex>, notert <tex>o(G)</tex>. Hvis vi antar at <tex>a \in G</tex> og lar <tex>H=\{a^i | i\in \mathbb{Z}\}</tex>, vil <tex>H</tex> være en abelsk undergruppe av <tex>G</tex>, og vi kaller da <tex>H</tex> undergruppen av <tex>G</tex> generert av <tex>a</tex> og skriver <tex>H=\<a\></tex>. Vi kan da definere ordenen til et element <tex>a\in G</tex> som ordenen av undergruppen generert av <tex>a</tex>, det vil si <tex>o(a)\equiv o(H)</tex>. Merk at <tex>a</tex> har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en <tex>n\in \mathbb{N}</tex> slik at <tex>a^n=e</tex>, og <tex>o(a)</tex> er da den minste slike <tex>n</tex>.<br /> <br /> ===Sykliske grupper===<br /> <br /> En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex> generert av <tex>1</tex>.<br /> <br /> Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at <tex>G</tex> er generert av <tex>a</tex>, at <tex>H<G</tex> og at <tex>m</tex> er det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>. Anta så at det finnes et annet element <tex>a^n\in H</tex> med <tex>m<n</tex>. Hvis <tex>m</tex> ikke deler <tex>n</tex>, kan ikke <tex>m</tex> være det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>, ettersom <tex>a^{n-m}\in H</tex> og <tex>0<n-m<m</tex>. Altså må <tex>m</tex> dele <tex>n</tex>. Dermed er <tex>H</tex> generert av <tex>a^m</tex> og er dermed syklisk.<br /> <br /> ==Sideklasser==<br /> <br /> La <tex>H<G</tex>, og se på relasjonen <tex>a\sim b \, \Leftrightarrow \, a*b^{-1}\in H</tex>. Dette er en [[relasjoner|ekvivalensrelasjon]] på mengden <tex>G</tex>. Ekvivalensklassene er gitt ved<br /> <br /> <tex>[a]=\{b\in G \,|\, a\sim b\} = \{h*a \,|\, h\in H\} </tex><br /> <br /> For å se dette, merk at <tex>(h_1*a)*(h_2*a)^{-1}=h_1*a*a^{-1}*h_2^{-1}=h_1*h_2^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Mengden <tex>\{h*a \,|\, h\in H\}</tex> noteres <tex>Ha</tex> og kalles en høyre sideklasse til <tex>H</tex><br /> <br /> <br /> Alternativt kan vi la <tex>a\sim b \,\Leftrightarrow \, a^{-1}b\in H</tex>. Ekvivalensklassene blir da<br /> <br /> <tex>[a]=\{a*h \,|\, h\in H\} = aH</tex><br /> <br /> som kalles en venste sideklasse til <tex>H</tex>.<br /> <br /> <br /> Ettersom <tex>\sim</tex> er en ekvivalensrelasjon her, oppnår vi øyeblikkelig følgende resultater for høyre sideklasser. De tilsvarende utsagnene gjelder også for venstre sideklasser:<br /> <br /> 1. <tex>a\in H \, \Leftrightarrow \, Ha=H</tex><br /> <br /> 2. <tex>b\in Ha \,\Rightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 3. <tex>h\in H \, \Rightarrow H(h*a)=Ha</tex><br /> <br /> 4. <tex>Ha\cap Hb \neq \emptyset \, \Leftrightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 5. Mengden av høyre sideklasser av <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>.<br /> <br /> 6. <tex>a</tex> og <tex>b</tex> tilhører samme sideklasse kun hvis <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> ===Lagranges Teorem===<br /> <br /> La <tex>a\in G</tex>. Da er funksjonen <tex>f:H\rightarrow Ha</tex> gitt ved <tex>f(h)=a*h</tex> en bijeksjon. Dette kan sees ved å anvende forkortningsloven. Følgen av dette er at alle høyre sideklasser har samme orden. Samme argument kan benyttes på venstre sideklasser, og ettersom <tex>H</tex> er både en venste og høyre sideklasse, har alle sideklasser samme orden.<br /> <br /> <br /> Lagranges teorem sier at dersom <tex>H\leq G</tex> og <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>o(H)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> Beviset er elementært når vi vet at <tex>o(H)=o(Ha)=o(aH)</tex> for alle <tex>a\in G</tex>. Vi vet at sideklassene til <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>. Anta derfor at<br /> <br /> <tex>G=H\cup (Ha_1) \cup (Ha_2) \cup \, ... \, \cup (Ha_{t-1})</tex><br /> <br /> da følger det at<br /> <br /> <tex>o(G)=o(H)+|Ha_1|+|Ha_2| + ... + |Ha_{t-1}|=t\cdot o(H)</tex><br /> <br /> som beviser teoremet.<br /> <br /> <br /> Indeksen til en undergruppe <tex>H\leq G</tex> defineres som antallet venstre (eller høyre) sideklasser til <tex>H</tex> i <tex>G</tex> og noteres som <tex>[G:H]</tex>.<br /> <br /> For å se at <tex>H</tex> har like mange høyre sideklaser som venstre sideklasser, se på funksjonen <tex>f(H*a)=a^{-1}*H</tex>, som er en bijeksjon fra samlingen av høyre sideklasser til samlingen av venstre sideklasser.<br /> <br /> Verdien til <tex>[G:H]</tex> er lik tallet <tex>t</tex> i beviset av Lagranges teorem over, slik at<br /> <br /> <tex>o(G)=[G:H]\cdot o(H)</tex><br /> <br /> eller<br /> <br /> <tex>[G:H]=\frac{o(G)}{o(H)}</tex><br /> <br /> <br /> Lagranges teorem har flere øyeblikkelige konsekvenser:<br /> <br /> 1. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex> og <tex>a\in G</tex>, så er <tex>o(a)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> 2. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>a^{o(G)}=e</tex> for alle <tex>a\in G</tex>.<br /> <br /> 3. La <tex>p</tex> være et primtall. Da er alle grupper med orden <tex>p</tex> sykliske.<br /> <br /> ==Normale undergrupper og kvotientgrupper==<br /> <br /> La <tex>H\leq G</tex>. Da er følgende utsagn ekvivalente.<br /> <br /> 1. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}=H</tex><br /> <br /> 2. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}\subset H</tex><br /> <br /> 3. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aH=Ha</tex><br /> <br /> 4. Hver venstre sideklasse er en høyre sideklasse og omvendt.<br /> <br /> En undergruppe <tex>H</tex> som oppfyller disse kravene kalles en normal undergruppe til <tex>G</tex>.<br /> <br /> For enhver gruppe <tex>G</tex> er <tex>G</tex> selv og <tex>\{e\}</tex> normale undergrupper. Hvis <tex>G</tex> i tillegg er en abelsk gruppe, er alle undergrupper normale.<br /> <br /> ===Kvotientgrupper===<br /> <br /> Hvis <tex>N\leq G</tex> er en normal undegruppe, kan vi definere en gruppestruktur på sideklassene til <tex>N</tex> på følgende måte.<br /> <br /> La <tex>G/N</tex> være mengden av alle sideklasser til <tex>N</tex>. Dersom <tex>S_1=Na</tex> og <tex>S_2=Nb</tex>, definer produktet <tex>S_1*S_2 = (Na)*(Nb)=N(a*b)</tex>. Denne operasjonen en veldefinert. Identiteten er <tex>N</tex> og inverser er gitt ved <tex>(Na)^{-1}=Na^{-1}</tex>. Dersom <tex>o(G)<\infty</tex>, har vi i tillegg at <tex>o(G/N)=\frac{o(G)}{o(N)}</tex>.<br /> <br /> ==Homomorfier==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> og <tex>(H,\cdot )</tex> være grupper. En gruppehomomorfi (kort: homomorfi) fra <tex>G</tex> til <tex>H</tex> er en transformasjon<br /> <br /> <tex>\phi \,:\, G \rightarrow H</tex><br /> <br /> som bevarer gruppestrukturen, dvs.<br /> <br /> <tex>\phi (a*b) = \phi(a)\cdot \phi(b)</tex><br /> <br /> ==Ytre produkter av grupper==<br /> <br /> [[Kategori:Algebra]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Gruppeteori&diff=6351 Gruppeteori 2011-09-25T09:57:37Z

<p>Espen180: /* Orden */</p> <hr /> <div>Gruppeteori er en gren av [[Algebra]] og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.<br /> <br /> ==Definisjon==<br /> <br /> La <tex>G</tex> være en ikketom mengde med <tex>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <tex>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:<br /> <br /> <br /> 1. <tex>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon=<br /> <br /> 2. <tex>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)<br /> <br /> 3. <tex>\exists e \in G</tex> slik at <tex>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)<br /> <br /> 4. <tex>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <tex>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)<br /> <br /> 5. <tex>a*b=b*a</tex><br /> <br /> <br /> En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive <tex>G</tex>, og la operasjonen være implisert.<br /> <br /> For en <tex>a\in G</tex> kan vi innføre forkortelsen <tex>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n \text{ elementer}}</tex>. Tilsvarende innfører vi <tex>a^{-n}=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\, ... \, * a^{-1}}_{n \text{ elementer}}</tex>. Dermed oppnår vi sammenhengene<br /> <br /> 1. <tex>a^n*a^m=a^{n+m}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\left(a^n\right)^m=a^{nm}</tex><br /> <br /> 3. <tex>a^0 = e</tex><br /> <br /> ===Eksempel 1===<br /> <br /> Heltallene <tex>\mathbb{Z}</tex> med vanlig addisjon av heltall er et viktig eksempel på en abelsk gruppe. Identiteten er gitt ved <tex>e=0</tex> og inverser ved <tex>a^{-1}=-a</tex>.<br /> <br /> Lignende eksempler er de rasjonale tallene <tex>\mathbb{Q}</tex>, de reelle tallene <tex>\mathbb{R}</tex> og de komplekse tallene <tex>\mathbb{C}</tex>.<br /> <br /> ''Er <tex>\mathbb{R}</tex> en gruppe under vanlig multiplikasjon av tall? Hvis ikke, hva er den største undermengden av <tex>\mathbb{R}</tex> som er en gruppe under multiplikasjon? Besvar samme spørsmål for <tex>\mathbb{Q}</tex>, <tex>\mathbb{C}</tex> og <tex>\mathbb{Z}</tex>.''<br /> <br /> ===Eksempel 2===<br /> <br /> La <tex>X</tex> være en mengde, og la <tex>B(X)</tex> være en ikketom samling av undermengder av <tex>X</tex>. For <tex>U,V\in B(X)</tex>, definer<br /> <br /> <tex>U-V=\{x\in U \,\wedge \, x\not\in V\}</tex><br /> <br /> definer så<br /> <br /> <tex>U*V=(U-V)\cup (V-U)</tex><br /> <br /> kalt den symmetriske differansen av <tex>U</tex> og <tex>V</tex>.<br /> <br /> Da er <tex>(B(X),*)</tex> en abelsk gruppe og kalles den Boolske gruppen. Identiteten er <tex>e=\emptyset</tex> og <tex>U^{-1}=U</tex> for alle <tex>U\in B(X)</tex>.<br /> <br /> Vi overlater til leseren å vise assosiativitet.<br /> <br /> ==Elementære resultater==<br /> <br /> ===Forkortningslov===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=a*c</tex> eller <tex>b*a=c*a</tex>. Da er <tex>b=c</tex><br /> <br /> <br /> Bevis: <tex>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex>. Beviset for venstre forkortning er tilsvarende.<br /> <br /> ===Identitetselementet er unikt===<br /> <br /> Anta at <tex>e_1</tex> og <tex>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <tex>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .<br /> <br /> <br /> Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <tex>b</tex> slik at <tex>a*b=a</tex> for en <tex>a</tex>, så er <tex>b=e</tex>.<br /> <br /> ===Inverser er unike===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=e</tex>. Da er <tex>b=a^{-1}</tex>. Anta at <tex>c*a=e</tex>. Da er <tex>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.<br /> <br /> ===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte===<br /> <br /> For elementer <tex>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <tex>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <tex>n</tex>.<br /> <br /> ==Undergrupper==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> være en gruppe, og la <tex>H</tex> være en ikketom undermengde av <tex>G</tex>, notert <tex>H\subset G</tex>. Da kalles <tex>(H,*)</tex> en undergruppe av <tex>(G,*)</tex> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <tex>G</tex>, notert ved <tex>H\leq G</tex>.<br /> <br /> To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis <tex>H</tex> er en ikketriviell undergruppe av <tex>G</tex> skriver vi <tex>H<G</tex>.<br /> <br /> ===Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper===<br /> <br /> De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, <tex>e</tex> må være et medlem i <tex>H</tex>, og for hvert element i <tex>H</tex>, må inversen også være et medlem.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: <tex>H</tex> er en under gruppe hvis og bare hvis for hver <tex>a,b \in H</tex>, så er <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Ettersom <tex>H</tex> ikke er tom, må det finnes et element <tex>a\in H</tex>. Dermed har vi at <tex>a*a^{-1}=e\in H</tex>, <tex>e*a^{-1}=a^{-1}\in H</tex>, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom <tex>b\in H</tex>, har vi <tex>b^{-1}\in H</tex>, så <tex>a*b \in H</tex> og <tex>H</tex> er dermed lukket.<br /> <br /> ==Orden==<br /> <br /> Ordenen til en gruppe <tex>G</tex> defineres som kardinaliteten til mengden <tex>G</tex>, notert <tex>o(G)</tex>. Hvis vi antar at <tex>a \in G</tex> og lar <tex>H=\{a^i | i\in \mathbb{Z}\}</tex>, vil <tex>H</tex> være en abelsk undergruppe av <tex>G</tex>, og vi kaller da <tex>H</tex> undergruppen av <tex>G</tex> generert av <tex>a</tex> og skriver <tex>H=\<a\></tex>. Vi kan da definere ordenen til et element <tex>a\in G</tex> som ordenen av undergruppen generert av <tex>a</tex>, det vil si <tex>o(a)\equiv o(H)</tex>. Merk at <tex>a</tex> har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en <tex>n\in \mathbb{N}</tex> slik at <tex>a^n=e</tex>, og <tex>o(a)</tex> er da den minste slike <tex>n</tex>.<br /> <br /> ===Sykliske grupper===<br /> <br /> En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex> generert av <tex>1</tex>.<br /> <br /> Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at <tex>G</tex> er generert av <tex>a</tex>, at <tex>H<G</tex> og at <tex>m</tex> er det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>. Anta så at det finnes et annet element <tex>a^n\in H</tex> med <tex>m<n</tex>. Hvis <tex>m</tex> ikke deler <tex>n</tex>, kan ikke <tex>m</tex> være det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>, ettersom <tex>a^{n-m}\in H</tex> og <tex>0<n-m<m</tex>. Altså må <tex>m</tex> dele <tex>n</tex>. Dermed er <tex>H</tex> generert av <tex>a^m</tex> og er dermed syklisk.<br /> <br /> ==Sideklasser==<br /> <br /> La <tex>H<G</tex>, og se på relasjonen <tex>a\sim b \, \Leftrightarrow \, a*b^{-1}\in H</tex>. Dette er en [[relasjoner|ekvivalensrelasjon]] på mengden <tex>G</tex>. Ekvivalensklassene er gitt ved<br /> <br /> <tex>[a]=\{b\in G \,|\, a\sim b\} = \{h*a \,|\, h\in H\} </tex><br /> <br /> For å se dette, merk at <tex>(h_1*a)*(h_2*a)^{-1}=h_1*a*a^{-1}*h_2^{-1}=h_1*h_2^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Mengden <tex>\{h*a \,|\, h\in H\}</tex> noteres <tex>Ha</tex> og kalles en høyre sideklasse til <tex>H</tex><br /> <br /> <br /> Alternativt kan vi la <tex>a\sim b \,\Leftrightarrow \, a^{-1}b\in H</tex>. Ekvivalensklassene blir da<br /> <br /> <tex>[a]=\{a*h \,|\, h\in H\} = aH</tex><br /> <br /> som kalles en venste sideklasse til <tex>H</tex>.<br /> <br /> <br /> Ettersom <tex>\sim</tex> er en ekvivalensrelasjon her, oppnår vi øyeblikkelig følgende resultater for høyre sideklasser. De tilsvarende utsagnene gjelder også for venstre sideklasser:<br /> <br /> 1. <tex>a\in H \, \Leftrightarrow \, Ha=H</tex><br /> <br /> 2. <tex>b\in Ha \,\Rightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 3. <tex>h\in H \, \Rightarrow H(h*a)=Ha</tex><br /> <br /> 4. <tex>Ha\cap Hb \neq \emptyset \, \Leftrightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 5. Mengden av høyre sideklasser av <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>.<br /> <br /> 6. <tex>a</tex> og <tex>b</tex> tilhører samme sideklasse kun hvis <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> ===Lagranges Teorem===<br /> <br /> La <tex>a\in G</tex>. Da er funksjonen <tex>f:H\rightarrow Ha</tex> gitt ved <tex>f(h)=a*h</tex> en bijeksjon. Dette kan sees ved å anvende forkortningsloven. Følgen av dette er at alle høyre sideklasser har samme orden. Samme argument kan benyttes på venstre sideklasser, og ettersom <tex>H</tex> er både en venste og høyre sideklasse, har alle sideklasser samme orden.<br /> <br /> <br /> Lagranges teorem sier at dersom <tex>H\leq G</tex> og <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>o(H)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> Beviset er elementært når vi vet at <tex>o(H)=o(Ha)=o(aH)</tex> for alle <tex>a\in G</tex>. Vi vet at sideklassene til <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>. Anta derfor at<br /> <br /> <tex>G=H\cup (Ha_1) \cup (Ha_2) \cup \, ... \, \cup (Ha_{t-1})</tex><br /> <br /> da følger det at<br /> <br /> <tex>o(G)=o(H)+|Ha_1|+|Ha_2| + ... + |Ha_{t-1}|=t\cdot o(H)</tex><br /> <br /> som beviser teoremet.<br /> <br /> <br /> Indeksen til en undergruppe <tex>H\leq G</tex> defineres som antallet venstre (eller høyre) sideklasser til <tex>H</tex> i <tex>G</tex> og noteres som <tex>[G:H]</tex>.<br /> <br /> For å se at <tex>H</tex> har like mange høyre sideklaser som venstre sideklasser, se på funksjonen <tex>f(H*a)=a^{-1}*H</tex>, som er en bijeksjon fra samlingen av høyre sideklasser til samlingen av venstre sideklasser.<br /> <br /> Verdien til <tex>[G:H]</tex> er lik tallet <tex>t</tex> i beviset av Lagranges teorem over, slik at<br /> <br /> <tex>o(G)=[G:H]\cdot o(H)</tex><br /> <br /> eller<br /> <br /> <tex>[G:H]=\frac{o(G)}{o(H)}</tex><br /> <br /> <br /> Lagranges teorem har flere øyeblikkelige konsekvenser:<br /> <br /> 1. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex> og <tex>a\in G</tex>, så er <tex>o(a)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> 2. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>a^{o(G)}=e</tex> for alle <tex>a\in G</tex>.<br /> <br /> 3. La <tex>p</tex> være et primtall. Da er alle grupper med orden <tex>p</tex> sykliske.<br /> <br /> ==Normale undergrupper og kvotientgrupper==<br /> <br /> La <tex>H\leq G</tex>. Da er følgende utsagn ekvivalente.<br /> <br /> 1. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}=H</tex><br /> <br /> 2. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}\subset H</tex><br /> <br /> 3. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aH=Ha</tex><br /> <br /> 4. Hver venstre sideklasse er en høyre sideklasse og omvendt.<br /> <br /> En undergruppe <tex>H</tex> som oppfyller disse kravene kalles en normal undergruppe til <tex>G</tex>.<br /> <br /> For enhver gruppe <tex>G</tex> er <tex>G</tex> selv og <tex>\{e\}</tex> normale undergrupper. Hvis <tex>G</tex> i tillegg er en abelsk gruppe, er alle undergrupper normale.<br /> <br /> ==Homomorfier==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> og <tex>(H,\cdot )</tex> være grupper. En gruppehomomorfi (kort: homomorfi) fra <tex>G</tex> til <tex>H</tex> er en transformasjon<br /> <br /> <tex>\phi \,:\, G \rightarrow H</tex><br /> <br /> som bevarer gruppestrukturen, dvs.<br /> <br /> <tex>\phi (a*b) = \phi(a)\cdot \phi(b)</tex><br /> <br /> ==Ytre produkter av grupper==<br /> <br /> [[Kategori:Algebra]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Gruppeteori&diff=6350 Gruppeteori 2011-09-25T09:48:48Z

<p>Espen180: /* Eksempel 2 */</p> <hr /> <div>Gruppeteori er en gren av [[Algebra]] og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.<br /> <br /> ==Definisjon==<br /> <br /> La <tex>G</tex> være en ikketom mengde med <tex>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <tex>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:<br /> <br /> <br /> 1. <tex>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon=<br /> <br /> 2. <tex>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)<br /> <br /> 3. <tex>\exists e \in G</tex> slik at <tex>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)<br /> <br /> 4. <tex>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <tex>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)<br /> <br /> 5. <tex>a*b=b*a</tex><br /> <br /> <br /> En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive <tex>G</tex>, og la operasjonen være implisert.<br /> <br /> For en <tex>a\in G</tex> kan vi innføre forkortelsen <tex>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n \text{ elementer}}</tex>. Tilsvarende innfører vi <tex>a^{-n}=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\, ... \, * a^{-1}}_{n \text{ elementer}}</tex>. Dermed oppnår vi sammenhengene<br /> <br /> 1. <tex>a^n*a^m=a^{n+m}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\left(a^n\right)^m=a^{nm}</tex><br /> <br /> 3. <tex>a^0 = e</tex><br /> <br /> ===Eksempel 1===<br /> <br /> Heltallene <tex>\mathbb{Z}</tex> med vanlig addisjon av heltall er et viktig eksempel på en abelsk gruppe. Identiteten er gitt ved <tex>e=0</tex> og inverser ved <tex>a^{-1}=-a</tex>.<br /> <br /> Lignende eksempler er de rasjonale tallene <tex>\mathbb{Q}</tex>, de reelle tallene <tex>\mathbb{R}</tex> og de komplekse tallene <tex>\mathbb{C}</tex>.<br /> <br /> ''Er <tex>\mathbb{R}</tex> en gruppe under vanlig multiplikasjon av tall? Hvis ikke, hva er den største undermengden av <tex>\mathbb{R}</tex> som er en gruppe under multiplikasjon? Besvar samme spørsmål for <tex>\mathbb{Q}</tex>, <tex>\mathbb{C}</tex> og <tex>\mathbb{Z}</tex>.''<br /> <br /> ===Eksempel 2===<br /> <br /> La <tex>X</tex> være en mengde, og la <tex>B(X)</tex> være en ikketom samling av undermengder av <tex>X</tex>. For <tex>U,V\in B(X)</tex>, definer<br /> <br /> <tex>U-V=\{x\in U \,\wedge \, x\not\in V\}</tex><br /> <br /> definer så<br /> <br /> <tex>U*V=(U-V)\cup (V-U)</tex><br /> <br /> kalt den symmetriske differansen av <tex>U</tex> og <tex>V</tex>.<br /> <br /> Da er <tex>(B(X),*)</tex> en abelsk gruppe og kalles den Boolske gruppen. Identiteten er <tex>e=\emptyset</tex> og <tex>U^{-1}=U</tex> for alle <tex>U\in B(X)</tex>.<br /> <br /> Vi overlater til leseren å vise assosiativitet.<br /> <br /> ==Elementære resultater==<br /> <br /> ===Forkortningslov===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=a*c</tex> eller <tex>b*a=c*a</tex>. Da er <tex>b=c</tex><br /> <br /> <br /> Bevis: <tex>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex>. Beviset for venstre forkortning er tilsvarende.<br /> <br /> ===Identitetselementet er unikt===<br /> <br /> Anta at <tex>e_1</tex> og <tex>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <tex>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .<br /> <br /> <br /> Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <tex>b</tex> slik at <tex>a*b=a</tex> for en <tex>a</tex>, så er <tex>b=e</tex>.<br /> <br /> ===Inverser er unike===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=e</tex>. Da er <tex>b=a^{-1}</tex>. Anta at <tex>c*a=e</tex>. Da er <tex>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.<br /> <br /> ===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte===<br /> <br /> For elementer <tex>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <tex>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <tex>n</tex>.<br /> <br /> ==Undergrupper==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> være en gruppe, og la <tex>H</tex> være en ikketom undermengde av <tex>G</tex>, notert <tex>H\subset G</tex>. Da kalles <tex>(H,*)</tex> en undergruppe av <tex>(G,*)</tex> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <tex>G</tex>, notert ved <tex>H\leq G</tex>.<br /> <br /> To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis <tex>H</tex> er en ikketriviell undergruppe av <tex>G</tex> skriver vi <tex>H<G</tex>.<br /> <br /> ===Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper===<br /> <br /> De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, <tex>e</tex> må være et medlem i <tex>H</tex>, og for hvert element i <tex>H</tex>, må inversen også være et medlem.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: <tex>H</tex> er en under gruppe hvis og bare hvis for hver <tex>a,b \in H</tex>, så er <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Ettersom <tex>H</tex> ikke er tom, må det finnes et element <tex>a\in H</tex>. Dermed har vi at <tex>a*a^{-1}=e\in H</tex>, <tex>e*a^{-1}=a^{-1}\in H</tex>, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom <tex>b\in H</tex>, har vi <tex>b^{-1}\in H</tex>, så <tex>a*b \in H</tex> og <tex>H</tex> er dermed lukket.<br /> <br /> ==Orden==<br /> <br /> Ordenen til en gruppe <tex>G</tex> defineres som kardinaliteten til mengden <tex>G</tex>, notert <tex>o(G)</tex>. Hvis vi antar at <tex>a \in G</tex> og lar <tex>H=\{a^i | i\in \mathbb{Z}\}</tex>, vil <tex>H</tex> være en abelsk undergruppe av <tex>G</tex>, og vi da kaller vi <tex>H</tex> undergruppen av <tex>G</tex> generert av <tex>a</tex>. Vi kan da definere ordenen til et element <tex>a\in G</tex> som ordenen av undergruppen generert av <tex>a</tex>, det vil si <tex>o(a)\equiv o(H)</tex>. Merk at <tex>a</tex> har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en <tex>n\in \mathbb{N}</tex> slik at <tex>a^n=e</tex>, og <tex>o(a)</tex> er da den minste slike <tex>n</tex>.<br /> <br /> ===Sykliske grupper===<br /> <br /> En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex> generert av <tex>1</tex>.<br /> <br /> Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at <tex>G</tex> er generert av <tex>a</tex>, at <tex>H<G</tex> og at <tex>m</tex> er det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>. Anta så at det finnes et annet element <tex>a^n\in H</tex> med <tex>m<n</tex>. Hvis <tex>m</tex> ikke deler <tex>n</tex>, kan ikke <tex>m</tex> være det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>, ettersom <tex>a^{n-m}\in H</tex> og <tex>0<n-m<m</tex>. Altså må <tex>m</tex> dele <tex>n</tex>. Dermed er <tex>H</tex> generert av <tex>a^m</tex> og er dermed syklisk.<br /> <br /> ==Sideklasser==<br /> <br /> La <tex>H<G</tex>, og se på relasjonen <tex>a\sim b \, \Leftrightarrow \, a*b^{-1}\in H</tex>. Dette er en [[relasjoner|ekvivalensrelasjon]] på mengden <tex>G</tex>. Ekvivalensklassene er gitt ved<br /> <br /> <tex>[a]=\{b\in G \,|\, a\sim b\} = \{h*a \,|\, h\in H\} </tex><br /> <br /> For å se dette, merk at <tex>(h_1*a)*(h_2*a)^{-1}=h_1*a*a^{-1}*h_2^{-1}=h_1*h_2^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Mengden <tex>\{h*a \,|\, h\in H\}</tex> noteres <tex>Ha</tex> og kalles en høyre sideklasse til <tex>H</tex><br /> <br /> <br /> Alternativt kan vi la <tex>a\sim b \,\Leftrightarrow \, a^{-1}b\in H</tex>. Ekvivalensklassene blir da<br /> <br /> <tex>[a]=\{a*h \,|\, h\in H\} = aH</tex><br /> <br /> som kalles en venste sideklasse til <tex>H</tex>.<br /> <br /> <br /> Ettersom <tex>\sim</tex> er en ekvivalensrelasjon her, oppnår vi øyeblikkelig følgende resultater for høyre sideklasser. De tilsvarende utsagnene gjelder også for venstre sideklasser:<br /> <br /> 1. <tex>a\in H \, \Leftrightarrow \, Ha=H</tex><br /> <br /> 2. <tex>b\in Ha \,\Rightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 3. <tex>h\in H \, \Rightarrow H(h*a)=Ha</tex><br /> <br /> 4. <tex>Ha\cap Hb \neq \emptyset \, \Leftrightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 5. Mengden av høyre sideklasser av <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>.<br /> <br /> 6. <tex>a</tex> og <tex>b</tex> tilhører samme sideklasse kun hvis <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> ===Lagranges Teorem===<br /> <br /> La <tex>a\in G</tex>. Da er funksjonen <tex>f:H\rightarrow Ha</tex> gitt ved <tex>f(h)=a*h</tex> en bijeksjon. Dette kan sees ved å anvende forkortningsloven. Følgen av dette er at alle høyre sideklasser har samme orden. Samme argument kan benyttes på venstre sideklasser, og ettersom <tex>H</tex> er både en venste og høyre sideklasse, har alle sideklasser samme orden.<br /> <br /> <br /> Lagranges teorem sier at dersom <tex>H\leq G</tex> og <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>o(H)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> Beviset er elementært når vi vet at <tex>o(H)=o(Ha)=o(aH)</tex> for alle <tex>a\in G</tex>. Vi vet at sideklassene til <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>. Anta derfor at<br /> <br /> <tex>G=H\cup (Ha_1) \cup (Ha_2) \cup \, ... \, \cup (Ha_{t-1})</tex><br /> <br /> da følger det at<br /> <br /> <tex>o(G)=o(H)+|Ha_1|+|Ha_2| + ... + |Ha_{t-1}|=t\cdot o(H)</tex><br /> <br /> som beviser teoremet.<br /> <br /> <br /> Indeksen til en undergruppe <tex>H\leq G</tex> defineres som antallet venstre (eller høyre) sideklasser til <tex>H</tex> i <tex>G</tex> og noteres som <tex>[G:H]</tex>.<br /> <br /> For å se at <tex>H</tex> har like mange høyre sideklaser som venstre sideklasser, se på funksjonen <tex>f(H*a)=a^{-1}*H</tex>, som er en bijeksjon fra samlingen av høyre sideklasser til samlingen av venstre sideklasser.<br /> <br /> Verdien til <tex>[G:H]</tex> er lik tallet <tex>t</tex> i beviset av Lagranges teorem over, slik at<br /> <br /> <tex>o(G)=[G:H]\cdot o(H)</tex><br /> <br /> eller<br /> <br /> <tex>[G:H]=\frac{o(G)}{o(H)}</tex><br /> <br /> <br /> Lagranges teorem har flere øyeblikkelige konsekvenser:<br /> <br /> 1. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex> og <tex>a\in G</tex>, så er <tex>o(a)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> 2. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>a^{o(G)}=e</tex> for alle <tex>a\in G</tex>.<br /> <br /> 3. La <tex>p</tex> være et primtall. Da er alle grupper med orden <tex>p</tex> sykliske.<br /> <br /> ==Normale undergrupper og kvotientgrupper==<br /> <br /> La <tex>H\leq G</tex>. Da er følgende utsagn ekvivalente.<br /> <br /> 1. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}=H</tex><br /> <br /> 2. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}\subset H</tex><br /> <br /> 3. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aH=Ha</tex><br /> <br /> 4. Hver venstre sideklasse er en høyre sideklasse og omvendt.<br /> <br /> En undergruppe <tex>H</tex> som oppfyller disse kravene kalles en normal undergruppe til <tex>G</tex>.<br /> <br /> For enhver gruppe <tex>G</tex> er <tex>G</tex> selv og <tex>\{e\}</tex> normale undergrupper. Hvis <tex>G</tex> i tillegg er en abelsk gruppe, er alle undergrupper normale.<br /> <br /> ==Homomorfier==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> og <tex>(H,\cdot )</tex> være grupper. En gruppehomomorfi (kort: homomorfi) fra <tex>G</tex> til <tex>H</tex> er en transformasjon<br /> <br /> <tex>\phi \,:\, G \rightarrow H</tex><br /> <br /> som bevarer gruppestrukturen, dvs.<br /> <br /> <tex>\phi (a*b) = \phi(a)\cdot \phi(b)</tex><br /> <br /> ==Ytre produkter av grupper==<br /> <br /> [[Kategori:Algebra]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Gruppeteori&diff=6349 Gruppeteori 2011-09-25T09:47:55Z

<p>Espen180: /* Eksempel 2 */</p> <hr /> <div>Gruppeteori er en gren av [[Algebra]] og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.<br /> <br /> ==Definisjon==<br /> <br /> La <tex>G</tex> være en ikketom mengde med <tex>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <tex>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:<br /> <br /> <br /> 1. <tex>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon=<br /> <br /> 2. <tex>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)<br /> <br /> 3. <tex>\exists e \in G</tex> slik at <tex>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)<br /> <br /> 4. <tex>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <tex>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)<br /> <br /> 5. <tex>a*b=b*a</tex><br /> <br /> <br /> En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive <tex>G</tex>, og la operasjonen være implisert.<br /> <br /> For en <tex>a\in G</tex> kan vi innføre forkortelsen <tex>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n \text{ elementer}}</tex>. Tilsvarende innfører vi <tex>a^{-n}=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\, ... \, * a^{-1}}_{n \text{ elementer}}</tex>. Dermed oppnår vi sammenhengene<br /> <br /> 1. <tex>a^n*a^m=a^{n+m}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\left(a^n\right)^m=a^{nm}</tex><br /> <br /> 3. <tex>a^0 = e</tex><br /> <br /> ===Eksempel 1===<br /> <br /> Heltallene <tex>\mathbb{Z}</tex> med vanlig addisjon av heltall er et viktig eksempel på en abelsk gruppe. Identiteten er gitt ved <tex>e=0</tex> og inverser ved <tex>a^{-1}=-a</tex>.<br /> <br /> Lignende eksempler er de rasjonale tallene <tex>\mathbb{Q}</tex>, de reelle tallene <tex>\mathbb{R}</tex> og de komplekse tallene <tex>\mathbb{C}</tex>.<br /> <br /> ''Er <tex>\mathbb{R}</tex> en gruppe under vanlig multiplikasjon av tall? Hvis ikke, hva er den største undermengden av <tex>\mathbb{R}</tex> som er en gruppe under multiplikasjon? Besvar samme spørsmål for <tex>\mathbb{Q}</tex>, <tex>\mathbb{C}</tex> og <tex>\mathbb{Z}</tex>.''<br /> <br /> ===Eksempel 2===<br /> <br /> La <tex>X</tex> være en mengde, og la <tex>B(X)</tex> være en ikketom samling av undermengder av <tex>X</tex>. For <tex>U,V\in B(X)</tex>, definer<br /> <br /> <tex>U-V=\{x\in U \,\wedge \, x\not\in V\}</tex><br /> <br /> definer så<br /> <br /> <tex>U*V=(U-V)\cup (V-U)</tex><br /> <br /> kalt den symmetriske differansen av <tex>U</tex> og <tex>V</tex>.<br /> <br /> Da er <tex>(B(X),*)</tex> en abelsk gruppe og kalles den Boolske gruppen. Identiteten er <tex>e=\emptyset</tex> og <tex>U^{-1}=U</tex> for alle <tex>U\in B(X)</tex>.<br /> <br /> Vi overlater til leseren å vise assosiasjon.<br /> <br /> ==Elementære resultater==<br /> <br /> ===Forkortningslov===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=a*c</tex> eller <tex>b*a=c*a</tex>. Da er <tex>b=c</tex><br /> <br /> <br /> Bevis: <tex>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex>. Beviset for venstre forkortning er tilsvarende.<br /> <br /> ===Identitetselementet er unikt===<br /> <br /> Anta at <tex>e_1</tex> og <tex>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <tex>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .<br /> <br /> <br /> Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <tex>b</tex> slik at <tex>a*b=a</tex> for en <tex>a</tex>, så er <tex>b=e</tex>.<br /> <br /> ===Inverser er unike===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=e</tex>. Da er <tex>b=a^{-1}</tex>. Anta at <tex>c*a=e</tex>. Da er <tex>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.<br /> <br /> ===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte===<br /> <br /> For elementer <tex>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <tex>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <tex>n</tex>.<br /> <br /> ==Undergrupper==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> være en gruppe, og la <tex>H</tex> være en ikketom undermengde av <tex>G</tex>, notert <tex>H\subset G</tex>. Da kalles <tex>(H,*)</tex> en undergruppe av <tex>(G,*)</tex> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <tex>G</tex>, notert ved <tex>H\leq G</tex>.<br /> <br /> To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis <tex>H</tex> er en ikketriviell undergruppe av <tex>G</tex> skriver vi <tex>H<G</tex>.<br /> <br /> ===Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper===<br /> <br /> De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, <tex>e</tex> må være et medlem i <tex>H</tex>, og for hvert element i <tex>H</tex>, må inversen også være et medlem.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: <tex>H</tex> er en under gruppe hvis og bare hvis for hver <tex>a,b \in H</tex>, så er <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Ettersom <tex>H</tex> ikke er tom, må det finnes et element <tex>a\in H</tex>. Dermed har vi at <tex>a*a^{-1}=e\in H</tex>, <tex>e*a^{-1}=a^{-1}\in H</tex>, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom <tex>b\in H</tex>, har vi <tex>b^{-1}\in H</tex>, så <tex>a*b \in H</tex> og <tex>H</tex> er dermed lukket.<br /> <br /> ==Orden==<br /> <br /> Ordenen til en gruppe <tex>G</tex> defineres som kardinaliteten til mengden <tex>G</tex>, notert <tex>o(G)</tex>. Hvis vi antar at <tex>a \in G</tex> og lar <tex>H=\{a^i | i\in \mathbb{Z}\}</tex>, vil <tex>H</tex> være en abelsk undergruppe av <tex>G</tex>, og vi da kaller vi <tex>H</tex> undergruppen av <tex>G</tex> generert av <tex>a</tex>. Vi kan da definere ordenen til et element <tex>a\in G</tex> som ordenen av undergruppen generert av <tex>a</tex>, det vil si <tex>o(a)\equiv o(H)</tex>. Merk at <tex>a</tex> har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en <tex>n\in \mathbb{N}</tex> slik at <tex>a^n=e</tex>, og <tex>o(a)</tex> er da den minste slike <tex>n</tex>.<br /> <br /> ===Sykliske grupper===<br /> <br /> En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex> generert av <tex>1</tex>.<br /> <br /> Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at <tex>G</tex> er generert av <tex>a</tex>, at <tex>H<G</tex> og at <tex>m</tex> er det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>. Anta så at det finnes et annet element <tex>a^n\in H</tex> med <tex>m<n</tex>. Hvis <tex>m</tex> ikke deler <tex>n</tex>, kan ikke <tex>m</tex> være det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>, ettersom <tex>a^{n-m}\in H</tex> og <tex>0<n-m<m</tex>. Altså må <tex>m</tex> dele <tex>n</tex>. Dermed er <tex>H</tex> generert av <tex>a^m</tex> og er dermed syklisk.<br /> <br /> ==Sideklasser==<br /> <br /> La <tex>H<G</tex>, og se på relasjonen <tex>a\sim b \, \Leftrightarrow \, a*b^{-1}\in H</tex>. Dette er en [[relasjoner|ekvivalensrelasjon]] på mengden <tex>G</tex>. Ekvivalensklassene er gitt ved<br /> <br /> <tex>[a]=\{b\in G \,|\, a\sim b\} = \{h*a \,|\, h\in H\} </tex><br /> <br /> For å se dette, merk at <tex>(h_1*a)*(h_2*a)^{-1}=h_1*a*a^{-1}*h_2^{-1}=h_1*h_2^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Mengden <tex>\{h*a \,|\, h\in H\}</tex> noteres <tex>Ha</tex> og kalles en høyre sideklasse til <tex>H</tex><br /> <br /> <br /> Alternativt kan vi la <tex>a\sim b \,\Leftrightarrow \, a^{-1}b\in H</tex>. Ekvivalensklassene blir da<br /> <br /> <tex>[a]=\{a*h \,|\, h\in H\} = aH</tex><br /> <br /> som kalles en venste sideklasse til <tex>H</tex>.<br /> <br /> <br /> Ettersom <tex>\sim</tex> er en ekvivalensrelasjon her, oppnår vi øyeblikkelig følgende resultater for høyre sideklasser. De tilsvarende utsagnene gjelder også for venstre sideklasser:<br /> <br /> 1. <tex>a\in H \, \Leftrightarrow \, Ha=H</tex><br /> <br /> 2. <tex>b\in Ha \,\Rightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 3. <tex>h\in H \, \Rightarrow H(h*a)=Ha</tex><br /> <br /> 4. <tex>Ha\cap Hb \neq \emptyset \, \Leftrightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 5. Mengden av høyre sideklasser av <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>.<br /> <br /> 6. <tex>a</tex> og <tex>b</tex> tilhører samme sideklasse kun hvis <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> ===Lagranges Teorem===<br /> <br /> La <tex>a\in G</tex>. Da er funksjonen <tex>f:H\rightarrow Ha</tex> gitt ved <tex>f(h)=a*h</tex> en bijeksjon. Dette kan sees ved å anvende forkortningsloven. Følgen av dette er at alle høyre sideklasser har samme orden. Samme argument kan benyttes på venstre sideklasser, og ettersom <tex>H</tex> er både en venste og høyre sideklasse, har alle sideklasser samme orden.<br /> <br /> <br /> Lagranges teorem sier at dersom <tex>H\leq G</tex> og <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>o(H)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> Beviset er elementært når vi vet at <tex>o(H)=o(Ha)=o(aH)</tex> for alle <tex>a\in G</tex>. Vi vet at sideklassene til <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>. Anta derfor at<br /> <br /> <tex>G=H\cup (Ha_1) \cup (Ha_2) \cup \, ... \, \cup (Ha_{t-1})</tex><br /> <br /> da følger det at<br /> <br /> <tex>o(G)=o(H)+|Ha_1|+|Ha_2| + ... + |Ha_{t-1}|=t\cdot o(H)</tex><br /> <br /> som beviser teoremet.<br /> <br /> <br /> Indeksen til en undergruppe <tex>H\leq G</tex> defineres som antallet venstre (eller høyre) sideklasser til <tex>H</tex> i <tex>G</tex> og noteres som <tex>[G:H]</tex>.<br /> <br /> For å se at <tex>H</tex> har like mange høyre sideklaser som venstre sideklasser, se på funksjonen <tex>f(H*a)=a^{-1}*H</tex>, som er en bijeksjon fra samlingen av høyre sideklasser til samlingen av venstre sideklasser.<br /> <br /> Verdien til <tex>[G:H]</tex> er lik tallet <tex>t</tex> i beviset av Lagranges teorem over, slik at<br /> <br /> <tex>o(G)=[G:H]\cdot o(H)</tex><br /> <br /> eller<br /> <br /> <tex>[G:H]=\frac{o(G)}{o(H)}</tex><br /> <br /> <br /> Lagranges teorem har flere øyeblikkelige konsekvenser:<br /> <br /> 1. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex> og <tex>a\in G</tex>, så er <tex>o(a)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> 2. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>a^{o(G)}=e</tex> for alle <tex>a\in G</tex>.<br /> <br /> 3. La <tex>p</tex> være et primtall. Da er alle grupper med orden <tex>p</tex> sykliske.<br /> <br /> ==Normale undergrupper og kvotientgrupper==<br /> <br /> La <tex>H\leq G</tex>. Da er følgende utsagn ekvivalente.<br /> <br /> 1. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}=H</tex><br /> <br /> 2. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}\subset H</tex><br /> <br /> 3. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aH=Ha</tex><br /> <br /> 4. Hver venstre sideklasse er en høyre sideklasse og omvendt.<br /> <br /> En undergruppe <tex>H</tex> som oppfyller disse kravene kalles en normal undergruppe til <tex>G</tex>.<br /> <br /> For enhver gruppe <tex>G</tex> er <tex>G</tex> selv og <tex>\{e\}</tex> normale undergrupper. Hvis <tex>G</tex> i tillegg er en abelsk gruppe, er alle undergrupper normale.<br /> <br /> ==Homomorfier==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> og <tex>(H,\cdot )</tex> være grupper. En gruppehomomorfi (kort: homomorfi) fra <tex>G</tex> til <tex>H</tex> er en transformasjon<br /> <br /> <tex>\phi \,:\, G \rightarrow H</tex><br /> <br /> som bevarer gruppestrukturen, dvs.<br /> <br /> <tex>\phi (a*b) = \phi(a)\cdot \phi(b)</tex><br /> <br /> ==Ytre produkter av grupper==<br /> <br /> [[Kategori:Algebra]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Gruppeteori&diff=6348 Gruppeteori 2011-09-25T09:46:50Z

<p>Espen180: /* Eksempel 1 */</p> <hr /> <div>Gruppeteori er en gren av [[Algebra]] og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.<br /> <br /> ==Definisjon==<br /> <br /> La <tex>G</tex> være en ikketom mengde med <tex>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <tex>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:<br /> <br /> <br /> 1. <tex>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon=<br /> <br /> 2. <tex>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)<br /> <br /> 3. <tex>\exists e \in G</tex> slik at <tex>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)<br /> <br /> 4. <tex>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <tex>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)<br /> <br /> 5. <tex>a*b=b*a</tex><br /> <br /> <br /> En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive <tex>G</tex>, og la operasjonen være implisert.<br /> <br /> For en <tex>a\in G</tex> kan vi innføre forkortelsen <tex>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n \text{ elementer}}</tex>. Tilsvarende innfører vi <tex>a^{-n}=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\, ... \, * a^{-1}}_{n \text{ elementer}}</tex>. Dermed oppnår vi sammenhengene<br /> <br /> 1. <tex>a^n*a^m=a^{n+m}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\left(a^n\right)^m=a^{nm}</tex><br /> <br /> 3. <tex>a^0 = e</tex><br /> <br /> ===Eksempel 1===<br /> <br /> Heltallene <tex>\mathbb{Z}</tex> med vanlig addisjon av heltall er et viktig eksempel på en abelsk gruppe. Identiteten er gitt ved <tex>e=0</tex> og inverser ved <tex>a^{-1}=-a</tex>.<br /> <br /> Lignende eksempler er de rasjonale tallene <tex>\mathbb{Q}</tex>, de reelle tallene <tex>\mathbb{R}</tex> og de komplekse tallene <tex>\mathbb{C}</tex>.<br /> <br /> ''Er <tex>\mathbb{R}</tex> en gruppe under vanlig multiplikasjon av tall? Hvis ikke, hva er den største undermengden av <tex>\mathbb{R}</tex> som er en gruppe under multiplikasjon? Besvar samme spørsmål for <tex>\mathbb{Q}</tex>, <tex>\mathbb{C}</tex> og <tex>\mathbb{Z}</tex>.''<br /> <br /> ===Eksempel 2===<br /> <br /> La <tex>X</tex> være en mengde, og la <tex>B(X)</tex> være en ikketom samling av undermengder av <tex>X</tex>. For <tex>U,V\in B(X)</tex>, definer<br /> <br /> <tex>U-V=\{x\in U \,\wedge \, x\not\in V\}</tex><br /> <br /> definer så<br /> <br /> <tex>U*V=(U-V)\cup (V-U)</tex><br /> <br /> Da er <tex>(B(X),*)</tex> en abelsk gruppe og kalles den Boolske gruppen. Identiteten er <tex>e=\emptyset</tex> og <tex>U^{-1}=U</tex> for alle <tex>U\in B(X)</tex>.<br /> <br /> Vi overlater til leseren å vise assosiasjon.<br /> <br /> ==Elementære resultater==<br /> <br /> ===Forkortningslov===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=a*c</tex> eller <tex>b*a=c*a</tex>. Da er <tex>b=c</tex><br /> <br /> <br /> Bevis: <tex>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex>. Beviset for venstre forkortning er tilsvarende.<br /> <br /> ===Identitetselementet er unikt===<br /> <br /> Anta at <tex>e_1</tex> og <tex>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <tex>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .<br /> <br /> <br /> Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <tex>b</tex> slik at <tex>a*b=a</tex> for en <tex>a</tex>, så er <tex>b=e</tex>.<br /> <br /> ===Inverser er unike===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=e</tex>. Da er <tex>b=a^{-1}</tex>. Anta at <tex>c*a=e</tex>. Da er <tex>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.<br /> <br /> ===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte===<br /> <br /> For elementer <tex>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <tex>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <tex>n</tex>.<br /> <br /> ==Undergrupper==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> være en gruppe, og la <tex>H</tex> være en ikketom undermengde av <tex>G</tex>, notert <tex>H\subset G</tex>. Da kalles <tex>(H,*)</tex> en undergruppe av <tex>(G,*)</tex> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <tex>G</tex>, notert ved <tex>H\leq G</tex>.<br /> <br /> To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis <tex>H</tex> er en ikketriviell undergruppe av <tex>G</tex> skriver vi <tex>H<G</tex>.<br /> <br /> ===Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper===<br /> <br /> De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, <tex>e</tex> må være et medlem i <tex>H</tex>, og for hvert element i <tex>H</tex>, må inversen også være et medlem.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: <tex>H</tex> er en under gruppe hvis og bare hvis for hver <tex>a,b \in H</tex>, så er <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Ettersom <tex>H</tex> ikke er tom, må det finnes et element <tex>a\in H</tex>. Dermed har vi at <tex>a*a^{-1}=e\in H</tex>, <tex>e*a^{-1}=a^{-1}\in H</tex>, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom <tex>b\in H</tex>, har vi <tex>b^{-1}\in H</tex>, så <tex>a*b \in H</tex> og <tex>H</tex> er dermed lukket.<br /> <br /> ==Orden==<br /> <br /> Ordenen til en gruppe <tex>G</tex> defineres som kardinaliteten til mengden <tex>G</tex>, notert <tex>o(G)</tex>. Hvis vi antar at <tex>a \in G</tex> og lar <tex>H=\{a^i | i\in \mathbb{Z}\}</tex>, vil <tex>H</tex> være en abelsk undergruppe av <tex>G</tex>, og vi da kaller vi <tex>H</tex> undergruppen av <tex>G</tex> generert av <tex>a</tex>. Vi kan da definere ordenen til et element <tex>a\in G</tex> som ordenen av undergruppen generert av <tex>a</tex>, det vil si <tex>o(a)\equiv o(H)</tex>. Merk at <tex>a</tex> har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en <tex>n\in \mathbb{N}</tex> slik at <tex>a^n=e</tex>, og <tex>o(a)</tex> er da den minste slike <tex>n</tex>.<br /> <br /> ===Sykliske grupper===<br /> <br /> En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex> generert av <tex>1</tex>.<br /> <br /> Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at <tex>G</tex> er generert av <tex>a</tex>, at <tex>H<G</tex> og at <tex>m</tex> er det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>. Anta så at det finnes et annet element <tex>a^n\in H</tex> med <tex>m<n</tex>. Hvis <tex>m</tex> ikke deler <tex>n</tex>, kan ikke <tex>m</tex> være det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>, ettersom <tex>a^{n-m}\in H</tex> og <tex>0<n-m<m</tex>. Altså må <tex>m</tex> dele <tex>n</tex>. Dermed er <tex>H</tex> generert av <tex>a^m</tex> og er dermed syklisk.<br /> <br /> ==Sideklasser==<br /> <br /> La <tex>H<G</tex>, og se på relasjonen <tex>a\sim b \, \Leftrightarrow \, a*b^{-1}\in H</tex>. Dette er en [[relasjoner|ekvivalensrelasjon]] på mengden <tex>G</tex>. Ekvivalensklassene er gitt ved<br /> <br /> <tex>[a]=\{b\in G \,|\, a\sim b\} = \{h*a \,|\, h\in H\} </tex><br /> <br /> For å se dette, merk at <tex>(h_1*a)*(h_2*a)^{-1}=h_1*a*a^{-1}*h_2^{-1}=h_1*h_2^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Mengden <tex>\{h*a \,|\, h\in H\}</tex> noteres <tex>Ha</tex> og kalles en høyre sideklasse til <tex>H</tex><br /> <br /> <br /> Alternativt kan vi la <tex>a\sim b \,\Leftrightarrow \, a^{-1}b\in H</tex>. Ekvivalensklassene blir da<br /> <br /> <tex>[a]=\{a*h \,|\, h\in H\} = aH</tex><br /> <br /> som kalles en venste sideklasse til <tex>H</tex>.<br /> <br /> <br /> Ettersom <tex>\sim</tex> er en ekvivalensrelasjon her, oppnår vi øyeblikkelig følgende resultater for høyre sideklasser. De tilsvarende utsagnene gjelder også for venstre sideklasser:<br /> <br /> 1. <tex>a\in H \, \Leftrightarrow \, Ha=H</tex><br /> <br /> 2. <tex>b\in Ha \,\Rightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 3. <tex>h\in H \, \Rightarrow H(h*a)=Ha</tex><br /> <br /> 4. <tex>Ha\cap Hb \neq \emptyset \, \Leftrightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 5. Mengden av høyre sideklasser av <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>.<br /> <br /> 6. <tex>a</tex> og <tex>b</tex> tilhører samme sideklasse kun hvis <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> ===Lagranges Teorem===<br /> <br /> La <tex>a\in G</tex>. Da er funksjonen <tex>f:H\rightarrow Ha</tex> gitt ved <tex>f(h)=a*h</tex> en bijeksjon. Dette kan sees ved å anvende forkortningsloven. Følgen av dette er at alle høyre sideklasser har samme orden. Samme argument kan benyttes på venstre sideklasser, og ettersom <tex>H</tex> er både en venste og høyre sideklasse, har alle sideklasser samme orden.<br /> <br /> <br /> Lagranges teorem sier at dersom <tex>H\leq G</tex> og <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>o(H)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> Beviset er elementært når vi vet at <tex>o(H)=o(Ha)=o(aH)</tex> for alle <tex>a\in G</tex>. Vi vet at sideklassene til <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>. Anta derfor at<br /> <br /> <tex>G=H\cup (Ha_1) \cup (Ha_2) \cup \, ... \, \cup (Ha_{t-1})</tex><br /> <br /> da følger det at<br /> <br /> <tex>o(G)=o(H)+|Ha_1|+|Ha_2| + ... + |Ha_{t-1}|=t\cdot o(H)</tex><br /> <br /> som beviser teoremet.<br /> <br /> <br /> Indeksen til en undergruppe <tex>H\leq G</tex> defineres som antallet venstre (eller høyre) sideklasser til <tex>H</tex> i <tex>G</tex> og noteres som <tex>[G:H]</tex>.<br /> <br /> For å se at <tex>H</tex> har like mange høyre sideklaser som venstre sideklasser, se på funksjonen <tex>f(H*a)=a^{-1}*H</tex>, som er en bijeksjon fra samlingen av høyre sideklasser til samlingen av venstre sideklasser.<br /> <br /> Verdien til <tex>[G:H]</tex> er lik tallet <tex>t</tex> i beviset av Lagranges teorem over, slik at<br /> <br /> <tex>o(G)=[G:H]\cdot o(H)</tex><br /> <br /> eller<br /> <br /> <tex>[G:H]=\frac{o(G)}{o(H)}</tex><br /> <br /> <br /> Lagranges teorem har flere øyeblikkelige konsekvenser:<br /> <br /> 1. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex> og <tex>a\in G</tex>, så er <tex>o(a)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> 2. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>a^{o(G)}=e</tex> for alle <tex>a\in G</tex>.<br /> <br /> 3. La <tex>p</tex> være et primtall. Da er alle grupper med orden <tex>p</tex> sykliske.<br /> <br /> ==Normale undergrupper og kvotientgrupper==<br /> <br /> La <tex>H\leq G</tex>. Da er følgende utsagn ekvivalente.<br /> <br /> 1. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}=H</tex><br /> <br /> 2. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}\subset H</tex><br /> <br /> 3. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aH=Ha</tex><br /> <br /> 4. Hver venstre sideklasse er en høyre sideklasse og omvendt.<br /> <br /> En undergruppe <tex>H</tex> som oppfyller disse kravene kalles en normal undergruppe til <tex>G</tex>.<br /> <br /> For enhver gruppe <tex>G</tex> er <tex>G</tex> selv og <tex>\{e\}</tex> normale undergrupper. Hvis <tex>G</tex> i tillegg er en abelsk gruppe, er alle undergrupper normale.<br /> <br /> ==Homomorfier==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> og <tex>(H,\cdot )</tex> være grupper. En gruppehomomorfi (kort: homomorfi) fra <tex>G</tex> til <tex>H</tex> er en transformasjon<br /> <br /> <tex>\phi \,:\, G \rightarrow H</tex><br /> <br /> som bevarer gruppestrukturen, dvs.<br /> <br /> <tex>\phi (a*b) = \phi(a)\cdot \phi(b)</tex><br /> <br /> ==Ytre produkter av grupper==<br /> <br /> [[Kategori:Algebra]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Gruppeteori&diff=6347 Gruppeteori 2011-09-25T09:46:20Z

<p>Espen180: /* Eksempler */</p> <hr /> <div>Gruppeteori er en gren av [[Algebra]] og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.<br /> <br /> ==Definisjon==<br /> <br /> La <tex>G</tex> være en ikketom mengde med <tex>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <tex>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:<br /> <br /> <br /> 1. <tex>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon=<br /> <br /> 2. <tex>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)<br /> <br /> 3. <tex>\exists e \in G</tex> slik at <tex>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)<br /> <br /> 4. <tex>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <tex>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)<br /> <br /> 5. <tex>a*b=b*a</tex><br /> <br /> <br /> En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive <tex>G</tex>, og la operasjonen være implisert.<br /> <br /> For en <tex>a\in G</tex> kan vi innføre forkortelsen <tex>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n \text{ elementer}}</tex>. Tilsvarende innfører vi <tex>a^{-n}=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\, ... \, * a^{-1}}_{n \text{ elementer}}</tex>. Dermed oppnår vi sammenhengene<br /> <br /> 1. <tex>a^n*a^m=a^{n+m}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\left(a^n\right)^m=a^{nm}</tex><br /> <br /> 3. <tex>a^0 = e</tex><br /> <br /> ===Eksempel 1===<br /> <br /> Heltallene <tex>\mathbb{Z}</tex> med vanlig addisjon av heltall er et viktig eksempel på en abelsk gruppe. Identiteten er gitt ved <tex>e=0</tex> og inverser ved <tex>a^{-1}=-a</tex>.<br /> <br /> Lignende eksempler er de rasjonale tallene <tex>\mathbb{Q}</tex>, de reelle tallene <tex>\mathbb{R}</tex> og de komplekse tallene <tex>\mathbb{C}</tex>.<br /> <br /> ''Er <tex>\mathbb{R}</tex>'' en gruppe under vanlig multiplikasjon av tall? Hvis ikke, hva er den største undermengden av <tex>\mathbb{R}</tex> som er en gruppe under multiplikasjon? Besvar samme spørsmål for <tex>\mathbb{Q}</tex>, <tex>\mathbb{C}</tex> og <tex>\mathbb{Z}</tex>.<br /> <br /> ===Eksempel 2===<br /> <br /> La <tex>X</tex> være en mengde, og la <tex>B(X)</tex> være en ikketom samling av undermengder av <tex>X</tex>. For <tex>U,V\in B(X)</tex>, definer<br /> <br /> <tex>U-V=\{x\in U \,\wedge \, x\not\in V\}</tex><br /> <br /> definer så<br /> <br /> <tex>U*V=(U-V)\cup (V-U)</tex><br /> <br /> Da er <tex>(B(X),*)</tex> en abelsk gruppe og kalles den Boolske gruppen. Identiteten er <tex>e=\emptyset</tex> og <tex>U^{-1}=U</tex> for alle <tex>U\in B(X)</tex>.<br /> <br /> Vi overlater til leseren å vise assosiasjon.<br /> <br /> ==Elementære resultater==<br /> <br /> ===Forkortningslov===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=a*c</tex> eller <tex>b*a=c*a</tex>. Da er <tex>b=c</tex><br /> <br /> <br /> Bevis: <tex>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex>. Beviset for venstre forkortning er tilsvarende.<br /> <br /> ===Identitetselementet er unikt===<br /> <br /> Anta at <tex>e_1</tex> og <tex>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <tex>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .<br /> <br /> <br /> Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <tex>b</tex> slik at <tex>a*b=a</tex> for en <tex>a</tex>, så er <tex>b=e</tex>.<br /> <br /> ===Inverser er unike===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=e</tex>. Da er <tex>b=a^{-1}</tex>. Anta at <tex>c*a=e</tex>. Da er <tex>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.<br /> <br /> ===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte===<br /> <br /> For elementer <tex>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <tex>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <tex>n</tex>.<br /> <br /> ==Undergrupper==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> være en gruppe, og la <tex>H</tex> være en ikketom undermengde av <tex>G</tex>, notert <tex>H\subset G</tex>. Da kalles <tex>(H,*)</tex> en undergruppe av <tex>(G,*)</tex> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <tex>G</tex>, notert ved <tex>H\leq G</tex>.<br /> <br /> To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis <tex>H</tex> er en ikketriviell undergruppe av <tex>G</tex> skriver vi <tex>H<G</tex>.<br /> <br /> ===Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper===<br /> <br /> De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, <tex>e</tex> må være et medlem i <tex>H</tex>, og for hvert element i <tex>H</tex>, må inversen også være et medlem.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: <tex>H</tex> er en under gruppe hvis og bare hvis for hver <tex>a,b \in H</tex>, så er <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Ettersom <tex>H</tex> ikke er tom, må det finnes et element <tex>a\in H</tex>. Dermed har vi at <tex>a*a^{-1}=e\in H</tex>, <tex>e*a^{-1}=a^{-1}\in H</tex>, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom <tex>b\in H</tex>, har vi <tex>b^{-1}\in H</tex>, så <tex>a*b \in H</tex> og <tex>H</tex> er dermed lukket.<br /> <br /> ==Orden==<br /> <br /> Ordenen til en gruppe <tex>G</tex> defineres som kardinaliteten til mengden <tex>G</tex>, notert <tex>o(G)</tex>. Hvis vi antar at <tex>a \in G</tex> og lar <tex>H=\{a^i | i\in \mathbb{Z}\}</tex>, vil <tex>H</tex> være en abelsk undergruppe av <tex>G</tex>, og vi da kaller vi <tex>H</tex> undergruppen av <tex>G</tex> generert av <tex>a</tex>. Vi kan da definere ordenen til et element <tex>a\in G</tex> som ordenen av undergruppen generert av <tex>a</tex>, det vil si <tex>o(a)\equiv o(H)</tex>. Merk at <tex>a</tex> har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en <tex>n\in \mathbb{N}</tex> slik at <tex>a^n=e</tex>, og <tex>o(a)</tex> er da den minste slike <tex>n</tex>.<br /> <br /> ===Sykliske grupper===<br /> <br /> En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex> generert av <tex>1</tex>.<br /> <br /> Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at <tex>G</tex> er generert av <tex>a</tex>, at <tex>H<G</tex> og at <tex>m</tex> er det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>. Anta så at det finnes et annet element <tex>a^n\in H</tex> med <tex>m<n</tex>. Hvis <tex>m</tex> ikke deler <tex>n</tex>, kan ikke <tex>m</tex> være det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>, ettersom <tex>a^{n-m}\in H</tex> og <tex>0<n-m<m</tex>. Altså må <tex>m</tex> dele <tex>n</tex>. Dermed er <tex>H</tex> generert av <tex>a^m</tex> og er dermed syklisk.<br /> <br /> ==Sideklasser==<br /> <br /> La <tex>H<G</tex>, og se på relasjonen <tex>a\sim b \, \Leftrightarrow \, a*b^{-1}\in H</tex>. Dette er en [[relasjoner|ekvivalensrelasjon]] på mengden <tex>G</tex>. Ekvivalensklassene er gitt ved<br /> <br /> <tex>[a]=\{b\in G \,|\, a\sim b\} = \{h*a \,|\, h\in H\} </tex><br /> <br /> For å se dette, merk at <tex>(h_1*a)*(h_2*a)^{-1}=h_1*a*a^{-1}*h_2^{-1}=h_1*h_2^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Mengden <tex>\{h*a \,|\, h\in H\}</tex> noteres <tex>Ha</tex> og kalles en høyre sideklasse til <tex>H</tex><br /> <br /> <br /> Alternativt kan vi la <tex>a\sim b \,\Leftrightarrow \, a^{-1}b\in H</tex>. Ekvivalensklassene blir da<br /> <br /> <tex>[a]=\{a*h \,|\, h\in H\} = aH</tex><br /> <br /> som kalles en venste sideklasse til <tex>H</tex>.<br /> <br /> <br /> Ettersom <tex>\sim</tex> er en ekvivalensrelasjon her, oppnår vi øyeblikkelig følgende resultater for høyre sideklasser. De tilsvarende utsagnene gjelder også for venstre sideklasser:<br /> <br /> 1. <tex>a\in H \, \Leftrightarrow \, Ha=H</tex><br /> <br /> 2. <tex>b\in Ha \,\Rightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 3. <tex>h\in H \, \Rightarrow H(h*a)=Ha</tex><br /> <br /> 4. <tex>Ha\cap Hb \neq \emptyset \, \Leftrightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 5. Mengden av høyre sideklasser av <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>.<br /> <br /> 6. <tex>a</tex> og <tex>b</tex> tilhører samme sideklasse kun hvis <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> ===Lagranges Teorem===<br /> <br /> La <tex>a\in G</tex>. Da er funksjonen <tex>f:H\rightarrow Ha</tex> gitt ved <tex>f(h)=a*h</tex> en bijeksjon. Dette kan sees ved å anvende forkortningsloven. Følgen av dette er at alle høyre sideklasser har samme orden. Samme argument kan benyttes på venstre sideklasser, og ettersom <tex>H</tex> er både en venste og høyre sideklasse, har alle sideklasser samme orden.<br /> <br /> <br /> Lagranges teorem sier at dersom <tex>H\leq G</tex> og <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>o(H)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> Beviset er elementært når vi vet at <tex>o(H)=o(Ha)=o(aH)</tex> for alle <tex>a\in G</tex>. Vi vet at sideklassene til <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>. Anta derfor at<br /> <br /> <tex>G=H\cup (Ha_1) \cup (Ha_2) \cup \, ... \, \cup (Ha_{t-1})</tex><br /> <br /> da følger det at<br /> <br /> <tex>o(G)=o(H)+|Ha_1|+|Ha_2| + ... + |Ha_{t-1}|=t\cdot o(H)</tex><br /> <br /> som beviser teoremet.<br /> <br /> <br /> Indeksen til en undergruppe <tex>H\leq G</tex> defineres som antallet venstre (eller høyre) sideklasser til <tex>H</tex> i <tex>G</tex> og noteres som <tex>[G:H]</tex>.<br /> <br /> For å se at <tex>H</tex> har like mange høyre sideklaser som venstre sideklasser, se på funksjonen <tex>f(H*a)=a^{-1}*H</tex>, som er en bijeksjon fra samlingen av høyre sideklasser til samlingen av venstre sideklasser.<br /> <br /> Verdien til <tex>[G:H]</tex> er lik tallet <tex>t</tex> i beviset av Lagranges teorem over, slik at<br /> <br /> <tex>o(G)=[G:H]\cdot o(H)</tex><br /> <br /> eller<br /> <br /> <tex>[G:H]=\frac{o(G)}{o(H)}</tex><br /> <br /> <br /> Lagranges teorem har flere øyeblikkelige konsekvenser:<br /> <br /> 1. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex> og <tex>a\in G</tex>, så er <tex>o(a)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> 2. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>a^{o(G)}=e</tex> for alle <tex>a\in G</tex>.<br /> <br /> 3. La <tex>p</tex> være et primtall. Da er alle grupper med orden <tex>p</tex> sykliske.<br /> <br /> ==Normale undergrupper og kvotientgrupper==<br /> <br /> La <tex>H\leq G</tex>. Da er følgende utsagn ekvivalente.<br /> <br /> 1. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}=H</tex><br /> <br /> 2. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}\subset H</tex><br /> <br /> 3. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aH=Ha</tex><br /> <br /> 4. Hver venstre sideklasse er en høyre sideklasse og omvendt.<br /> <br /> En undergruppe <tex>H</tex> som oppfyller disse kravene kalles en normal undergruppe til <tex>G</tex>.<br /> <br /> For enhver gruppe <tex>G</tex> er <tex>G</tex> selv og <tex>\{e\}</tex> normale undergrupper. Hvis <tex>G</tex> i tillegg er en abelsk gruppe, er alle undergrupper normale.<br /> <br /> ==Homomorfier==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> og <tex>(H,\cdot )</tex> være grupper. En gruppehomomorfi (kort: homomorfi) fra <tex>G</tex> til <tex>H</tex> er en transformasjon<br /> <br /> <tex>\phi \,:\, G \rightarrow H</tex><br /> <br /> som bevarer gruppestrukturen, dvs.<br /> <br /> <tex>\phi (a*b) = \phi(a)\cdot \phi(b)</tex><br /> <br /> ==Ytre produkter av grupper==<br /> <br /> [[Kategori:Algebra]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Minste_felles_multiplum_og_st%C3%B8rste_felles_divisor&diff=6346 Minste felles multiplum og største felles divisor 2011-09-25T09:19:19Z

<p>Espen180: /* Definisjon */</p> <hr /> <div>==Definisjon==<br /> <br /> La <tex>a</tex> og <tex>b</tex> være heltall. Da finnes det heltall <tex>r,s</tex> slik at<br /> <br /> <tex>ar=bs</tex><br /> <br /> og verdien av <tex>ar</tex> og <tex>bs</tex> kalles da et felles multiplum av <tex>a</tex> og <tex>b</tex>. Det minste felles multiplumet til <tex>a</tex> og <tex>b</tex> er det minste slike multiplumet og noteres ved <tex>\text{lcm}(a,b)</tex> (Les: Least common multiple).<br /> <br /> <br /> Det finnes også et heltall <tex>t</tex> slik at <tex>t</tex> deler både <tex>a</tex> og <tex>b</tex>. Det største slike tallet <tex>t</tex> kalles den største felles divisoren til <tex>a</tex> og <tex>b</tex> og noteres ved <tex>\gcd(a,b)</tex> (Les: Greatest common divisor).<br /> <br /> ==Sammenheng med primtallsfaktorisering==<br /> <br /> La <tex>a</tex> og <tex>b</tex> ha primtallsfaktoriseringer gitt ved <tex>a=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_n^{a_n}</tex> og <tex>b=p_1^{b_1}p_2^{b_2}...p_n^{b_n}</tex>, der <tex>a_i,b_i=0,1,2,\,...</tex>. La så <tex>M_i=\max(a_i,b_i)</tex> og <tex>m_i=\min(a_i,b_i)</tex>.<br /> <br /> Da er<br /> <br /> <tex>\text{lcm}(a,b)=p_1^{M_1}p_2^{M_2}...p_n^{M_n}</tex><br /> <br /> og<br /> <br /> <tex>\gcd(a,b)=p_1^{m_1}p_2^{m_2}...p_n^{m_n}</tex><br /> <br /> <br /> Fra denne sammenhengen, og at <tex>M_i+m_i=a_i+b_i</tex> er det rett frem å vise at<br /> <br /> <tex>\gcd(a,b)\cdot \text{lcm}(a,b) = a\cdot b</tex><br /> <br /> ==Euklids algoritme==<br /> <br /> Dersom <tex>a, b, r</tex> er heltall, gjelder <tex>\gcd(a,b)=\gcd(a-rb,b)</tex>, fordi alle faktorer som deler <tex>b</tex>, også deler <tex>rb</tex>.<br /> <br /> Ettersom vi kan finne heltall <tex>c</tex> og <tex>k_0</tex> slik at <tex>a=bc+k_0</tex> og <tex>0\leq d < |b|</tex>, har vi dermed at<br /> <br /> <tex>gcd(a,b)=gcd(b,k_0)</tex>.<br /> <br /> <br /> Ettersom vi også har <tex>b=t_0 k_0 + k_1</tex> for heltall <tex>t_0,k_</tex> får vi at<br /> <br /> <tex>gcd(a,b)=gcd(b,k_0)=gcd(k_0,k_1)</tex> og så videre.<br /> <br /> <br /> Dette er euklids algoritme. Hvis vi fortsetter denne prosessen, vil vi etter et endelig antall (<tex>N</tex>) steg komme til et punkt der <tex>k_{N-1}=t*k_{N}</tex>, og vi får da at<br /> <br /> <tex>\gcd(a,b)=\gcd(k_{N-1},k_N)=\gcd(t\cdot k_N,k_N)=k_N</tex><br /> <br /> ----<br /> [[Kategori:Tallteori]]<br /> [[kategori:lex]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Minste_felles_multiplum_og_st%C3%B8rste_felles_divisor&diff=6345 Minste felles multiplum og største felles divisor 2011-09-24T18:56:24Z

<p>Espen180: Slettet alt og startet på nytt. Denne kan sikkert smeltes sammen med artiklene i mat. X - kategorien.</p> <hr /> <div>==Definisjon==<br /> <br /> La <tex>a</tex> og <tex>b</tex> være heltall. Da finnes det heltall <tex>r,s</tex> slik at<br /> <br /> <tex>ar=bs</tex><br /> <br /> og verdien av <tex>ar</tex> og <tex>bs</tex> kalles da et felles multiplum av <tex>a</tex> og <tex>b</tex>. Det minste felles multiplumet til <tex>a</tex> og <tex>b</tex> er det minste slike multiplumet og noteres ved <tex>\text{lcm}(a,b)</tex> (Les: Least common multiplier).<br /> <br /> <br /> Det finnes også et heltall <tex>t</tex> slik at <tex>t</tex> deler både <tex>a</tex> og <tex>b</tex>. Det største slike tallet <tex>t</tex> kalles den største felles divisoren til <tex>a</tex> og <tex>b</tex> og noteres ved <tex>\gcd(a,b)</tex> (Les: Greatest common divisor).<br /> <br /> ==Sammenheng med primtallsfaktorisering==<br /> <br /> La <tex>a</tex> og <tex>b</tex> ha primtallsfaktoriseringer gitt ved <tex>a=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_n^{a_n}</tex> og <tex>b=p_1^{b_1}p_2^{b_2}...p_n^{b_n}</tex>, der <tex>a_i,b_i=0,1,2,\,...</tex>. La så <tex>M_i=\max(a_i,b_i)</tex> og <tex>m_i=\min(a_i,b_i)</tex>.<br /> <br /> Da er<br /> <br /> <tex>\text{lcm}(a,b)=p_1^{M_1}p_2^{M_2}...p_n^{M_n}</tex><br /> <br /> og<br /> <br /> <tex>\gcd(a,b)=p_1^{m_1}p_2^{m_2}...p_n^{m_n}</tex><br /> <br /> <br /> Fra denne sammenhengen, og at <tex>M_i+m_i=a_i+b_i</tex> er det rett frem å vise at<br /> <br /> <tex>\gcd(a,b)\cdot \text{lcm}(a,b) = a\cdot b</tex><br /> <br /> ==Euklids algoritme==<br /> <br /> Dersom <tex>a, b, r</tex> er heltall, gjelder <tex>\gcd(a,b)=\gcd(a-rb,b)</tex>, fordi alle faktorer som deler <tex>b</tex>, også deler <tex>rb</tex>.<br /> <br /> Ettersom vi kan finne heltall <tex>c</tex> og <tex>k_0</tex> slik at <tex>a=bc+k_0</tex> og <tex>0\leq d < |b|</tex>, har vi dermed at<br /> <br /> <tex>gcd(a,b)=gcd(b,k_0)</tex>.<br /> <br /> <br /> Ettersom vi også har <tex>b=t_0 k_0 + k_1</tex> for heltall <tex>t_0,k_</tex> får vi at<br /> <br /> <tex>gcd(a,b)=gcd(b,k_0)=gcd(k_0,k_1)</tex> og så videre.<br /> <br /> <br /> Dette er euklids algoritme. Hvis vi fortsetter denne prosessen, vil vi etter et endelig antall (<tex>N</tex>) steg komme til et punkt der <tex>k_{N-1}=t*k_{N}</tex>, og vi får da at<br /> <br /> <tex>\gcd(a,b)=\gcd(k_{N-1},k_N)=\gcd(t\cdot k_N,k_N)=k_N</tex><br /> <br /> ----<br /> [[Kategori:Tallteori]]<br /> [[kategori:lex]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Gruppeteori&diff=6333 Gruppeteori 2011-09-24T13:25:41Z

<p>Espen180: /* Normale undergrupper og kvotientgrupper */</p> <hr /> <div>Gruppeteori er en gren av [[Algebra]] og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.<br /> <br /> ==Definisjon==<br /> <br /> La <tex>G</tex> være en ikketom mengde med <tex>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <tex>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:<br /> <br /> <br /> 1. <tex>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon=<br /> <br /> 2. <tex>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)<br /> <br /> 3. <tex>\exists e \in G</tex> slik at <tex>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)<br /> <br /> 4. <tex>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <tex>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)<br /> <br /> 5. <tex>a*b=b*a</tex><br /> <br /> <br /> En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive <tex>G</tex>, og la operasjonen være implisert.<br /> <br /> For en <tex>a\in G</tex> kan vi innføre forkortelsen <tex>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n \text{ elementer}}</tex>. Tilsvarende innfører vi <tex>a^{-n}=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\, ... \, * a^{-1}}_{n \text{ elementer}}</tex>. Dermed oppnår vi sammenhengene<br /> <br /> 1. <tex>a^n*a^m=a^{n+m}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\left(a^n\right)^m=a^{nm}</tex><br /> <br /> 3. <tex>a^0 = e</tex><br /> <br /> ===Eksempler===<br /> <br /> Eksempler på grupper er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex>, <tex>(\mathbb{Q},+)</tex>, <tex>(\mathbb{R},+)</tex> og <tex>(\mathbb{C},+)</tex>. I de tre siste kan vi også bytte ut addisjon med vanlig multiplikasjon og få nye gruppestrukturer. ''Hvorfor er ikke <tex>(\mathbb{Z},\cdot)</tex> en gruppe?''<br /> <br /> <br /> La <tex>X</tex> være en mengde, og la <tex>B(X)</tex> være en ikketom samling av undermengder av <tex>X</tex>. For <tex>U,V\in B(X)</tex>, definer<br /> <br /> <tex>U-V=\{x\in U \,\wedge \, x\not\in V\}</tex><br /> <br /> definer så<br /> <br /> <tex>U*V=(U-V)\cup (V-U)</tex><br /> <br /> Da er <tex>(B(X),*)</tex> en abelsk gruppe og kalles den Boolske gruppen. Vi overlater til leseren å verifisere at gruppeaksiomene gjelder for den Boolske gruppen.<br /> <br /> ==Elementære resultater==<br /> <br /> ===Forkortningslov===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=a*c</tex> eller <tex>b*a=c*a</tex>. Da er <tex>b=c</tex><br /> <br /> <br /> Bevis: <tex>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex>. Beviset for venstre forkortning er tilsvarende.<br /> <br /> ===Identitetselementet er unikt===<br /> <br /> Anta at <tex>e_1</tex> og <tex>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <tex>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .<br /> <br /> <br /> Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <tex>b</tex> slik at <tex>a*b=a</tex> for en <tex>a</tex>, så er <tex>b=e</tex>.<br /> <br /> ===Inverser er unike===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=e</tex>. Da er <tex>b=a^{-1}</tex>. Anta at <tex>c*a=e</tex>. Da er <tex>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.<br /> <br /> ===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte===<br /> <br /> For elementer <tex>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <tex>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <tex>n</tex>.<br /> <br /> ==Undergrupper==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> være en gruppe, og la <tex>H</tex> være en ikketom undermengde av <tex>G</tex>, notert <tex>H\subset G</tex>. Da kalles <tex>(H,*)</tex> en undergruppe av <tex>(G,*)</tex> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <tex>G</tex>, notert ved <tex>H\leq G</tex>.<br /> <br /> To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis <tex>H</tex> er en ikketriviell undergruppe av <tex>G</tex> skriver vi <tex>H<G</tex>.<br /> <br /> ===Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper===<br /> <br /> De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, <tex>e</tex> må være et medlem i <tex>H</tex>, og for hvert element i <tex>H</tex>, må inversen også være et medlem.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: <tex>H</tex> er en under gruppe hvis og bare hvis for hver <tex>a,b \in H</tex>, så er <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Ettersom <tex>H</tex> ikke er tom, må det finnes et element <tex>a\in H</tex>. Dermed har vi at <tex>a*a^{-1}=e\in H</tex>, <tex>e*a^{-1}=a^{-1}\in H</tex>, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom <tex>b\in H</tex>, har vi <tex>b^{-1}\in H</tex>, så <tex>a*b \in H</tex> og <tex>H</tex> er dermed lukket.<br /> <br /> ==Orden==<br /> <br /> Ordenen til en gruppe <tex>G</tex> defineres som kardinaliteten til mengden <tex>G</tex>, notert <tex>o(G)</tex>. Hvis vi antar at <tex>a \in G</tex> og lar <tex>H=\{a^i | i\in \mathbb{Z}\}</tex>, vil <tex>H</tex> være en abelsk undergruppe av <tex>G</tex>, og vi da kaller vi <tex>H</tex> undergruppen av <tex>G</tex> generert av <tex>a</tex>. Vi kan da definere ordenen til et element <tex>a\in G</tex> som ordenen av undergruppen generert av <tex>a</tex>, det vil si <tex>o(a)\equiv o(H)</tex>. Merk at <tex>a</tex> har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en <tex>n\in \mathbb{N}</tex> slik at <tex>a^n=e</tex>, og <tex>o(a)</tex> er da den minste slike <tex>n</tex>.<br /> <br /> ===Sykliske grupper===<br /> <br /> En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex> generert av <tex>1</tex>.<br /> <br /> Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at <tex>G</tex> er generert av <tex>a</tex>, at <tex>H<G</tex> og at <tex>m</tex> er det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>. Anta så at det finnes et annet element <tex>a^n\in H</tex> med <tex>m<n</tex>. Hvis <tex>m</tex> ikke deler <tex>n</tex>, kan ikke <tex>m</tex> være det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>, ettersom <tex>a^{n-m}\in H</tex> og <tex>0<n-m<m</tex>. Altså må <tex>m</tex> dele <tex>n</tex>. Dermed er <tex>H</tex> generert av <tex>a^m</tex> og er dermed syklisk.<br /> <br /> ==Sideklasser==<br /> <br /> La <tex>H<G</tex>, og se på relasjonen <tex>a\sim b \, \Leftrightarrow \, a*b^{-1}\in H</tex>. Dette er en [[relasjoner|ekvivalensrelasjon]] på mengden <tex>G</tex>. Ekvivalensklassene er gitt ved<br /> <br /> <tex>[a]=\{b\in G \,|\, a\sim b\} = \{h*a \,|\, h\in H\} </tex><br /> <br /> For å se dette, merk at <tex>(h_1*a)*(h_2*a)^{-1}=h_1*a*a^{-1}*h_2^{-1}=h_1*h_2^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Mengden <tex>\{h*a \,|\, h\in H\}</tex> noteres <tex>Ha</tex> og kalles en høyre sideklasse til <tex>H</tex><br /> <br /> <br /> Alternativt kan vi la <tex>a\sim b \,\Leftrightarrow \, a^{-1}b\in H</tex>. Ekvivalensklassene blir da<br /> <br /> <tex>[a]=\{a*h \,|\, h\in H\} = aH</tex><br /> <br /> som kalles en venste sideklasse til <tex>H</tex>.<br /> <br /> <br /> Ettersom <tex>\sim</tex> er en ekvivalensrelasjon her, oppnår vi øyeblikkelig følgende resultater for høyre sideklasser. De tilsvarende utsagnene gjelder også for venstre sideklasser:<br /> <br /> 1. <tex>a\in H \, \Leftrightarrow \, Ha=H</tex><br /> <br /> 2. <tex>b\in Ha \,\Rightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 3. <tex>h\in H \, \Rightarrow H(h*a)=Ha</tex><br /> <br /> 4. <tex>Ha\cap Hb \neq \emptyset \, \Leftrightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 5. Mengden av høyre sideklasser av <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>.<br /> <br /> 6. <tex>a</tex> og <tex>b</tex> tilhører samme sideklasse kun hvis <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> ===Lagranges Teorem===<br /> <br /> La <tex>a\in G</tex>. Da er funksjonen <tex>f:H\rightarrow Ha</tex> gitt ved <tex>f(h)=a*h</tex> en bijeksjon. Dette kan sees ved å anvende forkortningsloven. Følgen av dette er at alle høyre sideklasser har samme orden. Samme argument kan benyttes på venstre sideklasser, og ettersom <tex>H</tex> er både en venste og høyre sideklasse, har alle sideklasser samme orden.<br /> <br /> <br /> Lagranges teorem sier at dersom <tex>H\leq G</tex> og <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>o(H)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> Beviset er elementært når vi vet at <tex>o(H)=o(Ha)=o(aH)</tex> for alle <tex>a\in G</tex>. Vi vet at sideklassene til <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>. Anta derfor at<br /> <br /> <tex>G=H\cup (Ha_1) \cup (Ha_2) \cup \, ... \, \cup (Ha_{t-1})</tex><br /> <br /> da følger det at<br /> <br /> <tex>o(G)=o(H)+|Ha_1|+|Ha_2| + ... + |Ha_{t-1}|=t\cdot o(H)</tex><br /> <br /> som beviser teoremet.<br /> <br /> <br /> Indeksen til en undergruppe <tex>H\leq G</tex> defineres som antallet venstre (eller høyre) sideklasser til <tex>H</tex> i <tex>G</tex> og noteres som <tex>[G:H]</tex>.<br /> <br /> For å se at <tex>H</tex> har like mange høyre sideklaser som venstre sideklasser, se på funksjonen <tex>f(H*a)=a^{-1}*H</tex>, som er en bijeksjon fra samlingen av høyre sideklasser til samlingen av venstre sideklasser.<br /> <br /> Verdien til <tex>[G:H]</tex> er lik tallet <tex>t</tex> i beviset av Lagranges teorem over, slik at<br /> <br /> <tex>o(G)=[G:H]\cdot o(H)</tex><br /> <br /> eller<br /> <br /> <tex>[G:H]=\frac{o(G)}{o(H)}</tex><br /> <br /> <br /> Lagranges teorem har flere øyeblikkelige konsekvenser:<br /> <br /> 1. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex> og <tex>a\in G</tex>, så er <tex>o(a)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> 2. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>a^{o(G)}=e</tex> for alle <tex>a\in G</tex>.<br /> <br /> 3. La <tex>p</tex> være et primtall. Da er alle grupper med orden <tex>p</tex> sykliske.<br /> <br /> ==Normale undergrupper og kvotientgrupper==<br /> <br /> La <tex>H\leq G</tex>. Da er følgende utsagn ekvivalente.<br /> <br /> 1. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}=H</tex><br /> <br /> 2. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}\subset H</tex><br /> <br /> 3. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aH=Ha</tex><br /> <br /> 4. Hver venstre sideklasse er en høyre sideklasse og omvendt.<br /> <br /> En undergruppe <tex>H</tex> som oppfyller disse kravene kalles en normal undergruppe til <tex>G</tex>.<br /> <br /> For enhver gruppe <tex>G</tex> er <tex>G</tex> selv og <tex>\{e\}</tex> normale undergrupper. Hvis <tex>G</tex> i tillegg er en abelsk gruppe, er alle undergrupper normale.<br /> <br /> ==Homomorfier==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> og <tex>(H,\cdot )</tex> være grupper. En gruppehomomorfi (kort: homomorfi) fra <tex>G</tex> til <tex>H</tex> er en transformasjon<br /> <br /> <tex>\phi \,:\, G \rightarrow H</tex><br /> <br /> som bevarer gruppestrukturen, dvs.<br /> <br /> <tex>\phi (a*b) = \phi(a)\cdot \phi(b)</tex><br /> <br /> ==Ytre produkter av grupper==<br /> <br /> [[Kategori:Algebra]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Gruppeteori&diff=6332 Gruppeteori 2011-09-24T13:25:25Z

<p>Espen180: /* Normale undergrupper og kvotientgrupper */</p> <hr /> <div>Gruppeteori er en gren av [[Algebra]] og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.<br /> <br /> ==Definisjon==<br /> <br /> La <tex>G</tex> være en ikketom mengde med <tex>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <tex>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:<br /> <br /> <br /> 1. <tex>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon=<br /> <br /> 2. <tex>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)<br /> <br /> 3. <tex>\exists e \in G</tex> slik at <tex>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)<br /> <br /> 4. <tex>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <tex>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)<br /> <br /> 5. <tex>a*b=b*a</tex><br /> <br /> <br /> En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive <tex>G</tex>, og la operasjonen være implisert.<br /> <br /> For en <tex>a\in G</tex> kan vi innføre forkortelsen <tex>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n \text{ elementer}}</tex>. Tilsvarende innfører vi <tex>a^{-n}=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\, ... \, * a^{-1}}_{n \text{ elementer}}</tex>. Dermed oppnår vi sammenhengene<br /> <br /> 1. <tex>a^n*a^m=a^{n+m}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\left(a^n\right)^m=a^{nm}</tex><br /> <br /> 3. <tex>a^0 = e</tex><br /> <br /> ===Eksempler===<br /> <br /> Eksempler på grupper er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex>, <tex>(\mathbb{Q},+)</tex>, <tex>(\mathbb{R},+)</tex> og <tex>(\mathbb{C},+)</tex>. I de tre siste kan vi også bytte ut addisjon med vanlig multiplikasjon og få nye gruppestrukturer. ''Hvorfor er ikke <tex>(\mathbb{Z},\cdot)</tex> en gruppe?''<br /> <br /> <br /> La <tex>X</tex> være en mengde, og la <tex>B(X)</tex> være en ikketom samling av undermengder av <tex>X</tex>. For <tex>U,V\in B(X)</tex>, definer<br /> <br /> <tex>U-V=\{x\in U \,\wedge \, x\not\in V\}</tex><br /> <br /> definer så<br /> <br /> <tex>U*V=(U-V)\cup (V-U)</tex><br /> <br /> Da er <tex>(B(X),*)</tex> en abelsk gruppe og kalles den Boolske gruppen. Vi overlater til leseren å verifisere at gruppeaksiomene gjelder for den Boolske gruppen.<br /> <br /> ==Elementære resultater==<br /> <br /> ===Forkortningslov===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=a*c</tex> eller <tex>b*a=c*a</tex>. Da er <tex>b=c</tex><br /> <br /> <br /> Bevis: <tex>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex>. Beviset for venstre forkortning er tilsvarende.<br /> <br /> ===Identitetselementet er unikt===<br /> <br /> Anta at <tex>e_1</tex> og <tex>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <tex>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .<br /> <br /> <br /> Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <tex>b</tex> slik at <tex>a*b=a</tex> for en <tex>a</tex>, så er <tex>b=e</tex>.<br /> <br /> ===Inverser er unike===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=e</tex>. Da er <tex>b=a^{-1}</tex>. Anta at <tex>c*a=e</tex>. Da er <tex>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.<br /> <br /> ===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte===<br /> <br /> For elementer <tex>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <tex>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <tex>n</tex>.<br /> <br /> ==Undergrupper==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> være en gruppe, og la <tex>H</tex> være en ikketom undermengde av <tex>G</tex>, notert <tex>H\subset G</tex>. Da kalles <tex>(H,*)</tex> en undergruppe av <tex>(G,*)</tex> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <tex>G</tex>, notert ved <tex>H\leq G</tex>.<br /> <br /> To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis <tex>H</tex> er en ikketriviell undergruppe av <tex>G</tex> skriver vi <tex>H<G</tex>.<br /> <br /> ===Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper===<br /> <br /> De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, <tex>e</tex> må være et medlem i <tex>H</tex>, og for hvert element i <tex>H</tex>, må inversen også være et medlem.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: <tex>H</tex> er en under gruppe hvis og bare hvis for hver <tex>a,b \in H</tex>, så er <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Ettersom <tex>H</tex> ikke er tom, må det finnes et element <tex>a\in H</tex>. Dermed har vi at <tex>a*a^{-1}=e\in H</tex>, <tex>e*a^{-1}=a^{-1}\in H</tex>, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom <tex>b\in H</tex>, har vi <tex>b^{-1}\in H</tex>, så <tex>a*b \in H</tex> og <tex>H</tex> er dermed lukket.<br /> <br /> ==Orden==<br /> <br /> Ordenen til en gruppe <tex>G</tex> defineres som kardinaliteten til mengden <tex>G</tex>, notert <tex>o(G)</tex>. Hvis vi antar at <tex>a \in G</tex> og lar <tex>H=\{a^i | i\in \mathbb{Z}\}</tex>, vil <tex>H</tex> være en abelsk undergruppe av <tex>G</tex>, og vi da kaller vi <tex>H</tex> undergruppen av <tex>G</tex> generert av <tex>a</tex>. Vi kan da definere ordenen til et element <tex>a\in G</tex> som ordenen av undergruppen generert av <tex>a</tex>, det vil si <tex>o(a)\equiv o(H)</tex>. Merk at <tex>a</tex> har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en <tex>n\in \mathbb{N}</tex> slik at <tex>a^n=e</tex>, og <tex>o(a)</tex> er da den minste slike <tex>n</tex>.<br /> <br /> ===Sykliske grupper===<br /> <br /> En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex> generert av <tex>1</tex>.<br /> <br /> Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at <tex>G</tex> er generert av <tex>a</tex>, at <tex>H<G</tex> og at <tex>m</tex> er det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>. Anta så at det finnes et annet element <tex>a^n\in H</tex> med <tex>m<n</tex>. Hvis <tex>m</tex> ikke deler <tex>n</tex>, kan ikke <tex>m</tex> være det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>, ettersom <tex>a^{n-m}\in H</tex> og <tex>0<n-m<m</tex>. Altså må <tex>m</tex> dele <tex>n</tex>. Dermed er <tex>H</tex> generert av <tex>a^m</tex> og er dermed syklisk.<br /> <br /> ==Sideklasser==<br /> <br /> La <tex>H<G</tex>, og se på relasjonen <tex>a\sim b \, \Leftrightarrow \, a*b^{-1}\in H</tex>. Dette er en [[relasjoner|ekvivalensrelasjon]] på mengden <tex>G</tex>. Ekvivalensklassene er gitt ved<br /> <br /> <tex>[a]=\{b\in G \,|\, a\sim b\} = \{h*a \,|\, h\in H\} </tex><br /> <br /> For å se dette, merk at <tex>(h_1*a)*(h_2*a)^{-1}=h_1*a*a^{-1}*h_2^{-1}=h_1*h_2^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Mengden <tex>\{h*a \,|\, h\in H\}</tex> noteres <tex>Ha</tex> og kalles en høyre sideklasse til <tex>H</tex><br /> <br /> <br /> Alternativt kan vi la <tex>a\sim b \,\Leftrightarrow \, a^{-1}b\in H</tex>. Ekvivalensklassene blir da<br /> <br /> <tex>[a]=\{a*h \,|\, h\in H\} = aH</tex><br /> <br /> som kalles en venste sideklasse til <tex>H</tex>.<br /> <br /> <br /> Ettersom <tex>\sim</tex> er en ekvivalensrelasjon her, oppnår vi øyeblikkelig følgende resultater for høyre sideklasser. De tilsvarende utsagnene gjelder også for venstre sideklasser:<br /> <br /> 1. <tex>a\in H \, \Leftrightarrow \, Ha=H</tex><br /> <br /> 2. <tex>b\in Ha \,\Rightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 3. <tex>h\in H \, \Rightarrow H(h*a)=Ha</tex><br /> <br /> 4. <tex>Ha\cap Hb \neq \emptyset \, \Leftrightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 5. Mengden av høyre sideklasser av <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>.<br /> <br /> 6. <tex>a</tex> og <tex>b</tex> tilhører samme sideklasse kun hvis <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> ===Lagranges Teorem===<br /> <br /> La <tex>a\in G</tex>. Da er funksjonen <tex>f:H\rightarrow Ha</tex> gitt ved <tex>f(h)=a*h</tex> en bijeksjon. Dette kan sees ved å anvende forkortningsloven. Følgen av dette er at alle høyre sideklasser har samme orden. Samme argument kan benyttes på venstre sideklasser, og ettersom <tex>H</tex> er både en venste og høyre sideklasse, har alle sideklasser samme orden.<br /> <br /> <br /> Lagranges teorem sier at dersom <tex>H\leq G</tex> og <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>o(H)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> Beviset er elementært når vi vet at <tex>o(H)=o(Ha)=o(aH)</tex> for alle <tex>a\in G</tex>. Vi vet at sideklassene til <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>. Anta derfor at<br /> <br /> <tex>G=H\cup (Ha_1) \cup (Ha_2) \cup \, ... \, \cup (Ha_{t-1})</tex><br /> <br /> da følger det at<br /> <br /> <tex>o(G)=o(H)+|Ha_1|+|Ha_2| + ... + |Ha_{t-1}|=t\cdot o(H)</tex><br /> <br /> som beviser teoremet.<br /> <br /> <br /> Indeksen til en undergruppe <tex>H\leq G</tex> defineres som antallet venstre (eller høyre) sideklasser til <tex>H</tex> i <tex>G</tex> og noteres som <tex>[G:H]</tex>.<br /> <br /> For å se at <tex>H</tex> har like mange høyre sideklaser som venstre sideklasser, se på funksjonen <tex>f(H*a)=a^{-1}*H</tex>, som er en bijeksjon fra samlingen av høyre sideklasser til samlingen av venstre sideklasser.<br /> <br /> Verdien til <tex>[G:H]</tex> er lik tallet <tex>t</tex> i beviset av Lagranges teorem over, slik at<br /> <br /> <tex>o(G)=[G:H]\cdot o(H)</tex><br /> <br /> eller<br /> <br /> <tex>[G:H]=\frac{o(G)}{o(H)}</tex><br /> <br /> <br /> Lagranges teorem har flere øyeblikkelige konsekvenser:<br /> <br /> 1. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex> og <tex>a\in G</tex>, så er <tex>o(a)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> 2. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>a^{o(G)}=e</tex> for alle <tex>a\in G</tex>.<br /> <br /> 3. La <tex>p</tex> være et primtall. Da er alle grupper med orden <tex>p</tex> sykliske.<br /> <br /> ==Normale undergrupper og kvotientgrupper==<br /> <br /> La <tex>H\leq G</tex>. Da er følgende utsagn ekvivalente.<br /> <br /> 1. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}=H</tex><br /> <br /> 2. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}\subset H</tex><br /> <br /> 3. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aH=Ha</tex><br /> <br /> 4. Hver venstre sideklasse er en høyre sideklasse og omvendt.<br /> <br /> En undergruppe <tex>H</tex> som oppfyller disse kravene kalles en normal undergruppe til <tex>G</tex>.<br /> <br /> For enhver gruppe <tex>G</tex> er <tex>G</tex> selv og <tex>{e}</tex> normale undergrupper. Hvis <tex>G</tex> i tillegg er en abelsk gruppe, er alle undergrupper normale.<br /> <br /> ==Homomorfier==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> og <tex>(H,\cdot )</tex> være grupper. En gruppehomomorfi (kort: homomorfi) fra <tex>G</tex> til <tex>H</tex> er en transformasjon<br /> <br /> <tex>\phi \,:\, G \rightarrow H</tex><br /> <br /> som bevarer gruppestrukturen, dvs.<br /> <br /> <tex>\phi (a*b) = \phi(a)\cdot \phi(b)</tex><br /> <br /> ==Ytre produkter av grupper==<br /> <br /> [[Kategori:Algebra]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Gruppeteori&diff=6331 Gruppeteori 2011-09-24T13:23:36Z

<p>Espen180: /* Normale undergrupper og kvotientgrupper */</p> <hr /> <div>Gruppeteori er en gren av [[Algebra]] og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.<br /> <br /> ==Definisjon==<br /> <br /> La <tex>G</tex> være en ikketom mengde med <tex>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <tex>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:<br /> <br /> <br /> 1. <tex>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon=<br /> <br /> 2. <tex>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)<br /> <br /> 3. <tex>\exists e \in G</tex> slik at <tex>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)<br /> <br /> 4. <tex>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <tex>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)<br /> <br /> 5. <tex>a*b=b*a</tex><br /> <br /> <br /> En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive <tex>G</tex>, og la operasjonen være implisert.<br /> <br /> For en <tex>a\in G</tex> kan vi innføre forkortelsen <tex>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n \text{ elementer}}</tex>. Tilsvarende innfører vi <tex>a^{-n}=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\, ... \, * a^{-1}}_{n \text{ elementer}}</tex>. Dermed oppnår vi sammenhengene<br /> <br /> 1. <tex>a^n*a^m=a^{n+m}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\left(a^n\right)^m=a^{nm}</tex><br /> <br /> 3. <tex>a^0 = e</tex><br /> <br /> ===Eksempler===<br /> <br /> Eksempler på grupper er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex>, <tex>(\mathbb{Q},+)</tex>, <tex>(\mathbb{R},+)</tex> og <tex>(\mathbb{C},+)</tex>. I de tre siste kan vi også bytte ut addisjon med vanlig multiplikasjon og få nye gruppestrukturer. ''Hvorfor er ikke <tex>(\mathbb{Z},\cdot)</tex> en gruppe?''<br /> <br /> <br /> La <tex>X</tex> være en mengde, og la <tex>B(X)</tex> være en ikketom samling av undermengder av <tex>X</tex>. For <tex>U,V\in B(X)</tex>, definer<br /> <br /> <tex>U-V=\{x\in U \,\wedge \, x\not\in V\}</tex><br /> <br /> definer så<br /> <br /> <tex>U*V=(U-V)\cup (V-U)</tex><br /> <br /> Da er <tex>(B(X),*)</tex> en abelsk gruppe og kalles den Boolske gruppen. Vi overlater til leseren å verifisere at gruppeaksiomene gjelder for den Boolske gruppen.<br /> <br /> ==Elementære resultater==<br /> <br /> ===Forkortningslov===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=a*c</tex> eller <tex>b*a=c*a</tex>. Da er <tex>b=c</tex><br /> <br /> <br /> Bevis: <tex>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex>. Beviset for venstre forkortning er tilsvarende.<br /> <br /> ===Identitetselementet er unikt===<br /> <br /> Anta at <tex>e_1</tex> og <tex>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <tex>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .<br /> <br /> <br /> Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <tex>b</tex> slik at <tex>a*b=a</tex> for en <tex>a</tex>, så er <tex>b=e</tex>.<br /> <br /> ===Inverser er unike===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=e</tex>. Da er <tex>b=a^{-1}</tex>. Anta at <tex>c*a=e</tex>. Da er <tex>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.<br /> <br /> ===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte===<br /> <br /> For elementer <tex>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <tex>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <tex>n</tex>.<br /> <br /> ==Undergrupper==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> være en gruppe, og la <tex>H</tex> være en ikketom undermengde av <tex>G</tex>, notert <tex>H\subset G</tex>. Da kalles <tex>(H,*)</tex> en undergruppe av <tex>(G,*)</tex> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <tex>G</tex>, notert ved <tex>H\leq G</tex>.<br /> <br /> To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis <tex>H</tex> er en ikketriviell undergruppe av <tex>G</tex> skriver vi <tex>H<G</tex>.<br /> <br /> ===Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper===<br /> <br /> De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, <tex>e</tex> må være et medlem i <tex>H</tex>, og for hvert element i <tex>H</tex>, må inversen også være et medlem.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: <tex>H</tex> er en under gruppe hvis og bare hvis for hver <tex>a,b \in H</tex>, så er <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Ettersom <tex>H</tex> ikke er tom, må det finnes et element <tex>a\in H</tex>. Dermed har vi at <tex>a*a^{-1}=e\in H</tex>, <tex>e*a^{-1}=a^{-1}\in H</tex>, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom <tex>b\in H</tex>, har vi <tex>b^{-1}\in H</tex>, så <tex>a*b \in H</tex> og <tex>H</tex> er dermed lukket.<br /> <br /> ==Orden==<br /> <br /> Ordenen til en gruppe <tex>G</tex> defineres som kardinaliteten til mengden <tex>G</tex>, notert <tex>o(G)</tex>. Hvis vi antar at <tex>a \in G</tex> og lar <tex>H=\{a^i | i\in \mathbb{Z}\}</tex>, vil <tex>H</tex> være en abelsk undergruppe av <tex>G</tex>, og vi da kaller vi <tex>H</tex> undergruppen av <tex>G</tex> generert av <tex>a</tex>. Vi kan da definere ordenen til et element <tex>a\in G</tex> som ordenen av undergruppen generert av <tex>a</tex>, det vil si <tex>o(a)\equiv o(H)</tex>. Merk at <tex>a</tex> har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en <tex>n\in \mathbb{N}</tex> slik at <tex>a^n=e</tex>, og <tex>o(a)</tex> er da den minste slike <tex>n</tex>.<br /> <br /> ===Sykliske grupper===<br /> <br /> En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex> generert av <tex>1</tex>.<br /> <br /> Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at <tex>G</tex> er generert av <tex>a</tex>, at <tex>H<G</tex> og at <tex>m</tex> er det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>. Anta så at det finnes et annet element <tex>a^n\in H</tex> med <tex>m<n</tex>. Hvis <tex>m</tex> ikke deler <tex>n</tex>, kan ikke <tex>m</tex> være det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>, ettersom <tex>a^{n-m}\in H</tex> og <tex>0<n-m<m</tex>. Altså må <tex>m</tex> dele <tex>n</tex>. Dermed er <tex>H</tex> generert av <tex>a^m</tex> og er dermed syklisk.<br /> <br /> ==Sideklasser==<br /> <br /> La <tex>H<G</tex>, og se på relasjonen <tex>a\sim b \, \Leftrightarrow \, a*b^{-1}\in H</tex>. Dette er en [[relasjoner|ekvivalensrelasjon]] på mengden <tex>G</tex>. Ekvivalensklassene er gitt ved<br /> <br /> <tex>[a]=\{b\in G \,|\, a\sim b\} = \{h*a \,|\, h\in H\} </tex><br /> <br /> For å se dette, merk at <tex>(h_1*a)*(h_2*a)^{-1}=h_1*a*a^{-1}*h_2^{-1}=h_1*h_2^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Mengden <tex>\{h*a \,|\, h\in H\}</tex> noteres <tex>Ha</tex> og kalles en høyre sideklasse til <tex>H</tex><br /> <br /> <br /> Alternativt kan vi la <tex>a\sim b \,\Leftrightarrow \, a^{-1}b\in H</tex>. Ekvivalensklassene blir da<br /> <br /> <tex>[a]=\{a*h \,|\, h\in H\} = aH</tex><br /> <br /> som kalles en venste sideklasse til <tex>H</tex>.<br /> <br /> <br /> Ettersom <tex>\sim</tex> er en ekvivalensrelasjon her, oppnår vi øyeblikkelig følgende resultater for høyre sideklasser. De tilsvarende utsagnene gjelder også for venstre sideklasser:<br /> <br /> 1. <tex>a\in H \, \Leftrightarrow \, Ha=H</tex><br /> <br /> 2. <tex>b\in Ha \,\Rightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 3. <tex>h\in H \, \Rightarrow H(h*a)=Ha</tex><br /> <br /> 4. <tex>Ha\cap Hb \neq \emptyset \, \Leftrightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 5. Mengden av høyre sideklasser av <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>.<br /> <br /> 6. <tex>a</tex> og <tex>b</tex> tilhører samme sideklasse kun hvis <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> ===Lagranges Teorem===<br /> <br /> La <tex>a\in G</tex>. Da er funksjonen <tex>f:H\rightarrow Ha</tex> gitt ved <tex>f(h)=a*h</tex> en bijeksjon. Dette kan sees ved å anvende forkortningsloven. Følgen av dette er at alle høyre sideklasser har samme orden. Samme argument kan benyttes på venstre sideklasser, og ettersom <tex>H</tex> er både en venste og høyre sideklasse, har alle sideklasser samme orden.<br /> <br /> <br /> Lagranges teorem sier at dersom <tex>H\leq G</tex> og <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>o(H)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> Beviset er elementært når vi vet at <tex>o(H)=o(Ha)=o(aH)</tex> for alle <tex>a\in G</tex>. Vi vet at sideklassene til <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>. Anta derfor at<br /> <br /> <tex>G=H\cup (Ha_1) \cup (Ha_2) \cup \, ... \, \cup (Ha_{t-1})</tex><br /> <br /> da følger det at<br /> <br /> <tex>o(G)=o(H)+|Ha_1|+|Ha_2| + ... + |Ha_{t-1}|=t\cdot o(H)</tex><br /> <br /> som beviser teoremet.<br /> <br /> <br /> Indeksen til en undergruppe <tex>H\leq G</tex> defineres som antallet venstre (eller høyre) sideklasser til <tex>H</tex> i <tex>G</tex> og noteres som <tex>[G:H]</tex>.<br /> <br /> For å se at <tex>H</tex> har like mange høyre sideklaser som venstre sideklasser, se på funksjonen <tex>f(H*a)=a^{-1}*H</tex>, som er en bijeksjon fra samlingen av høyre sideklasser til samlingen av venstre sideklasser.<br /> <br /> Verdien til <tex>[G:H]</tex> er lik tallet <tex>t</tex> i beviset av Lagranges teorem over, slik at<br /> <br /> <tex>o(G)=[G:H]\cdot o(H)</tex><br /> <br /> eller<br /> <br /> <tex>[G:H]=\frac{o(G)}{o(H)}</tex><br /> <br /> <br /> Lagranges teorem har flere øyeblikkelige konsekvenser:<br /> <br /> 1. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex> og <tex>a\in G</tex>, så er <tex>o(a)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> 2. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>a^{o(G)}=e</tex> for alle <tex>a\in G</tex>.<br /> <br /> 3. La <tex>p</tex> være et primtall. Da er alle grupper med orden <tex>p</tex> sykliske.<br /> <br /> ==Normale undergrupper og kvotientgrupper==<br /> <br /> La <tex>H\leq G</tex>. Da er følgende utsagn ekvivalente.<br /> <br /> 1. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}=H</tex><br /> <br /> 2. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}\subset H</tex><br /> <br /> 3. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aH=Ha</tex><br /> <br /> 4. Hver venstre sideklasse er en høyre sideklasse og omvendt.<br /> <br /> En undergruppe <tex>H</tex> som oppfyller disse kravene kalles en normal undergruppe til <tex>G</tex>.<br /> <br /> ==Homomorfier==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> og <tex>(H,\cdot )</tex> være grupper. En gruppehomomorfi (kort: homomorfi) fra <tex>G</tex> til <tex>H</tex> er en transformasjon<br /> <br /> <tex>\phi \,:\, G \rightarrow H</tex><br /> <br /> som bevarer gruppestrukturen, dvs.<br /> <br /> <tex>\phi (a*b) = \phi(a)\cdot \phi(b)</tex><br /> <br /> ==Ytre produkter av grupper==<br /> <br /> [[Kategori:Algebra]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Gruppeteori&diff=6330 Gruppeteori 2011-09-24T12:52:53Z

<p>Espen180: /* Normale undergrupper og kvotientgrupper */</p> <hr /> <div>Gruppeteori er en gren av [[Algebra]] og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.<br /> <br /> ==Definisjon==<br /> <br /> La <tex>G</tex> være en ikketom mengde med <tex>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <tex>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:<br /> <br /> <br /> 1. <tex>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon=<br /> <br /> 2. <tex>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)<br /> <br /> 3. <tex>\exists e \in G</tex> slik at <tex>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)<br /> <br /> 4. <tex>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <tex>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)<br /> <br /> 5. <tex>a*b=b*a</tex><br /> <br /> <br /> En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive <tex>G</tex>, og la operasjonen være implisert.<br /> <br /> For en <tex>a\in G</tex> kan vi innføre forkortelsen <tex>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n \text{ elementer}}</tex>. Tilsvarende innfører vi <tex>a^{-n}=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\, ... \, * a^{-1}}_{n \text{ elementer}}</tex>. Dermed oppnår vi sammenhengene<br /> <br /> 1. <tex>a^n*a^m=a^{n+m}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\left(a^n\right)^m=a^{nm}</tex><br /> <br /> 3. <tex>a^0 = e</tex><br /> <br /> ===Eksempler===<br /> <br /> Eksempler på grupper er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex>, <tex>(\mathbb{Q},+)</tex>, <tex>(\mathbb{R},+)</tex> og <tex>(\mathbb{C},+)</tex>. I de tre siste kan vi også bytte ut addisjon med vanlig multiplikasjon og få nye gruppestrukturer. ''Hvorfor er ikke <tex>(\mathbb{Z},\cdot)</tex> en gruppe?''<br /> <br /> <br /> La <tex>X</tex> være en mengde, og la <tex>B(X)</tex> være en ikketom samling av undermengder av <tex>X</tex>. For <tex>U,V\in B(X)</tex>, definer<br /> <br /> <tex>U-V=\{x\in U \,\wedge \, x\not\in V\}</tex><br /> <br /> definer så<br /> <br /> <tex>U*V=(U-V)\cup (V-U)</tex><br /> <br /> Da er <tex>(B(X),*)</tex> en abelsk gruppe og kalles den Boolske gruppen. Vi overlater til leseren å verifisere at gruppeaksiomene gjelder for den Boolske gruppen.<br /> <br /> ==Elementære resultater==<br /> <br /> ===Forkortningslov===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=a*c</tex> eller <tex>b*a=c*a</tex>. Da er <tex>b=c</tex><br /> <br /> <br /> Bevis: <tex>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex>. Beviset for venstre forkortning er tilsvarende.<br /> <br /> ===Identitetselementet er unikt===<br /> <br /> Anta at <tex>e_1</tex> og <tex>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <tex>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .<br /> <br /> <br /> Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <tex>b</tex> slik at <tex>a*b=a</tex> for en <tex>a</tex>, så er <tex>b=e</tex>.<br /> <br /> ===Inverser er unike===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=e</tex>. Da er <tex>b=a^{-1}</tex>. Anta at <tex>c*a=e</tex>. Da er <tex>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.<br /> <br /> ===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte===<br /> <br /> For elementer <tex>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <tex>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <tex>n</tex>.<br /> <br /> ==Undergrupper==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> være en gruppe, og la <tex>H</tex> være en ikketom undermengde av <tex>G</tex>, notert <tex>H\subset G</tex>. Da kalles <tex>(H,*)</tex> en undergruppe av <tex>(G,*)</tex> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <tex>G</tex>, notert ved <tex>H\leq G</tex>.<br /> <br /> To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis <tex>H</tex> er en ikketriviell undergruppe av <tex>G</tex> skriver vi <tex>H<G</tex>.<br /> <br /> ===Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper===<br /> <br /> De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, <tex>e</tex> må være et medlem i <tex>H</tex>, og for hvert element i <tex>H</tex>, må inversen også være et medlem.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: <tex>H</tex> er en under gruppe hvis og bare hvis for hver <tex>a,b \in H</tex>, så er <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Ettersom <tex>H</tex> ikke er tom, må det finnes et element <tex>a\in H</tex>. Dermed har vi at <tex>a*a^{-1}=e\in H</tex>, <tex>e*a^{-1}=a^{-1}\in H</tex>, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom <tex>b\in H</tex>, har vi <tex>b^{-1}\in H</tex>, så <tex>a*b \in H</tex> og <tex>H</tex> er dermed lukket.<br /> <br /> ==Orden==<br /> <br /> Ordenen til en gruppe <tex>G</tex> defineres som kardinaliteten til mengden <tex>G</tex>, notert <tex>o(G)</tex>. Hvis vi antar at <tex>a \in G</tex> og lar <tex>H=\{a^i | i\in \mathbb{Z}\}</tex>, vil <tex>H</tex> være en abelsk undergruppe av <tex>G</tex>, og vi da kaller vi <tex>H</tex> undergruppen av <tex>G</tex> generert av <tex>a</tex>. Vi kan da definere ordenen til et element <tex>a\in G</tex> som ordenen av undergruppen generert av <tex>a</tex>, det vil si <tex>o(a)\equiv o(H)</tex>. Merk at <tex>a</tex> har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en <tex>n\in \mathbb{N}</tex> slik at <tex>a^n=e</tex>, og <tex>o(a)</tex> er da den minste slike <tex>n</tex>.<br /> <br /> ===Sykliske grupper===<br /> <br /> En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex> generert av <tex>1</tex>.<br /> <br /> Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at <tex>G</tex> er generert av <tex>a</tex>, at <tex>H<G</tex> og at <tex>m</tex> er det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>. Anta så at det finnes et annet element <tex>a^n\in H</tex> med <tex>m<n</tex>. Hvis <tex>m</tex> ikke deler <tex>n</tex>, kan ikke <tex>m</tex> være det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>, ettersom <tex>a^{n-m}\in H</tex> og <tex>0<n-m<m</tex>. Altså må <tex>m</tex> dele <tex>n</tex>. Dermed er <tex>H</tex> generert av <tex>a^m</tex> og er dermed syklisk.<br /> <br /> ==Sideklasser==<br /> <br /> La <tex>H<G</tex>, og se på relasjonen <tex>a\sim b \, \Leftrightarrow \, a*b^{-1}\in H</tex>. Dette er en [[relasjoner|ekvivalensrelasjon]] på mengden <tex>G</tex>. Ekvivalensklassene er gitt ved<br /> <br /> <tex>[a]=\{b\in G \,|\, a\sim b\} = \{h*a \,|\, h\in H\} </tex><br /> <br /> For å se dette, merk at <tex>(h_1*a)*(h_2*a)^{-1}=h_1*a*a^{-1}*h_2^{-1}=h_1*h_2^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Mengden <tex>\{h*a \,|\, h\in H\}</tex> noteres <tex>Ha</tex> og kalles en høyre sideklasse til <tex>H</tex><br /> <br /> <br /> Alternativt kan vi la <tex>a\sim b \,\Leftrightarrow \, a^{-1}b\in H</tex>. Ekvivalensklassene blir da<br /> <br /> <tex>[a]=\{a*h \,|\, h\in H\} = aH</tex><br /> <br /> som kalles en venste sideklasse til <tex>H</tex>.<br /> <br /> <br /> Ettersom <tex>\sim</tex> er en ekvivalensrelasjon her, oppnår vi øyeblikkelig følgende resultater for høyre sideklasser. De tilsvarende utsagnene gjelder også for venstre sideklasser:<br /> <br /> 1. <tex>a\in H \, \Leftrightarrow \, Ha=H</tex><br /> <br /> 2. <tex>b\in Ha \,\Rightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 3. <tex>h\in H \, \Rightarrow H(h*a)=Ha</tex><br /> <br /> 4. <tex>Ha\cap Hb \neq \emptyset \, \Leftrightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 5. Mengden av høyre sideklasser av <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>.<br /> <br /> 6. <tex>a</tex> og <tex>b</tex> tilhører samme sideklasse kun hvis <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> ===Lagranges Teorem===<br /> <br /> La <tex>a\in G</tex>. Da er funksjonen <tex>f:H\rightarrow Ha</tex> gitt ved <tex>f(h)=a*h</tex> en bijeksjon. Dette kan sees ved å anvende forkortningsloven. Følgen av dette er at alle høyre sideklasser har samme orden. Samme argument kan benyttes på venstre sideklasser, og ettersom <tex>H</tex> er både en venste og høyre sideklasse, har alle sideklasser samme orden.<br /> <br /> <br /> Lagranges teorem sier at dersom <tex>H\leq G</tex> og <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>o(H)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> Beviset er elementært når vi vet at <tex>o(H)=o(Ha)=o(aH)</tex> for alle <tex>a\in G</tex>. Vi vet at sideklassene til <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>. Anta derfor at<br /> <br /> <tex>G=H\cup (Ha_1) \cup (Ha_2) \cup \, ... \, \cup (Ha_{t-1})</tex><br /> <br /> da følger det at<br /> <br /> <tex>o(G)=o(H)+|Ha_1|+|Ha_2| + ... + |Ha_{t-1}|=t\cdot o(H)</tex><br /> <br /> som beviser teoremet.<br /> <br /> <br /> Indeksen til en undergruppe <tex>H\leq G</tex> defineres som antallet venstre (eller høyre) sideklasser til <tex>H</tex> i <tex>G</tex> og noteres som <tex>[G:H]</tex>.<br /> <br /> For å se at <tex>H</tex> har like mange høyre sideklaser som venstre sideklasser, se på funksjonen <tex>f(H*a)=a^{-1}*H</tex>, som er en bijeksjon fra samlingen av høyre sideklasser til samlingen av venstre sideklasser.<br /> <br /> Verdien til <tex>[G:H]</tex> er lik tallet <tex>t</tex> i beviset av Lagranges teorem over, slik at<br /> <br /> <tex>o(G)=[G:H]\cdot o(H)</tex><br /> <br /> eller<br /> <br /> <tex>[G:H]=\frac{o(G)}{o(H)}</tex><br /> <br /> <br /> Lagranges teorem har flere øyeblikkelige konsekvenser:<br /> <br /> 1. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex> og <tex>a\in G</tex>, så er <tex>o(a)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> 2. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>a^{o(G)}=e</tex> for alle <tex>a\in G</tex>.<br /> <br /> 3. La <tex>p</tex> være et primtall. Da er alle grupper med orden <tex>p</tex> sykliske.<br /> <br /> ==Normale undergrupper og kvotientgrupper==<br /> <br /> La <tex>H\leq G</tex>. Da er følgende utsagn ekvivalente.<br /> <br /> 1. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}=H</tex><br /> <br /> 2. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aHa^{-1}\subset H</tex><br /> <br /> 3. Hvis <tex>a\in G</tex>, så er <tex>aH=Ha</tex><br /> <br /> 4. Hver venstre sideklasse er en høyre sideklasse og omvendt.<br /> <br /> ==Homomorfier==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> og <tex>(H,\cdot )</tex> være grupper. En gruppehomomorfi (kort: homomorfi) fra <tex>G</tex> til <tex>H</tex> er en transformasjon<br /> <br /> <tex>\phi \,:\, G \rightarrow H</tex><br /> <br /> som bevarer gruppestrukturen, dvs.<br /> <br /> <tex>\phi (a*b) = \phi(a)\cdot \phi(b)</tex><br /> <br /> ==Ytre produkter av grupper==<br /> <br /> [[Kategori:Algebra]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Gruppeteori&diff=6329 Gruppeteori 2011-09-24T12:44:45Z

<p>Espen180: /* Sideklasser */</p> <hr /> <div>Gruppeteori er en gren av [[Algebra]] og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.<br /> <br /> ==Definisjon==<br /> <br /> La <tex>G</tex> være en ikketom mengde med <tex>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <tex>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:<br /> <br /> <br /> 1. <tex>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon=<br /> <br /> 2. <tex>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)<br /> <br /> 3. <tex>\exists e \in G</tex> slik at <tex>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)<br /> <br /> 4. <tex>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <tex>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)<br /> <br /> 5. <tex>a*b=b*a</tex><br /> <br /> <br /> En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive <tex>G</tex>, og la operasjonen være implisert.<br /> <br /> For en <tex>a\in G</tex> kan vi innføre forkortelsen <tex>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n \text{ elementer}}</tex>. Tilsvarende innfører vi <tex>a^{-n}=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\, ... \, * a^{-1}}_{n \text{ elementer}}</tex>. Dermed oppnår vi sammenhengene<br /> <br /> 1. <tex>a^n*a^m=a^{n+m}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\left(a^n\right)^m=a^{nm}</tex><br /> <br /> 3. <tex>a^0 = e</tex><br /> <br /> ===Eksempler===<br /> <br /> Eksempler på grupper er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex>, <tex>(\mathbb{Q},+)</tex>, <tex>(\mathbb{R},+)</tex> og <tex>(\mathbb{C},+)</tex>. I de tre siste kan vi også bytte ut addisjon med vanlig multiplikasjon og få nye gruppestrukturer. ''Hvorfor er ikke <tex>(\mathbb{Z},\cdot)</tex> en gruppe?''<br /> <br /> <br /> La <tex>X</tex> være en mengde, og la <tex>B(X)</tex> være en ikketom samling av undermengder av <tex>X</tex>. For <tex>U,V\in B(X)</tex>, definer<br /> <br /> <tex>U-V=\{x\in U \,\wedge \, x\not\in V\}</tex><br /> <br /> definer så<br /> <br /> <tex>U*V=(U-V)\cup (V-U)</tex><br /> <br /> Da er <tex>(B(X),*)</tex> en abelsk gruppe og kalles den Boolske gruppen. Vi overlater til leseren å verifisere at gruppeaksiomene gjelder for den Boolske gruppen.<br /> <br /> ==Elementære resultater==<br /> <br /> ===Forkortningslov===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=a*c</tex> eller <tex>b*a=c*a</tex>. Da er <tex>b=c</tex><br /> <br /> <br /> Bevis: <tex>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex>. Beviset for venstre forkortning er tilsvarende.<br /> <br /> ===Identitetselementet er unikt===<br /> <br /> Anta at <tex>e_1</tex> og <tex>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <tex>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .<br /> <br /> <br /> Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <tex>b</tex> slik at <tex>a*b=a</tex> for en <tex>a</tex>, så er <tex>b=e</tex>.<br /> <br /> ===Inverser er unike===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=e</tex>. Da er <tex>b=a^{-1}</tex>. Anta at <tex>c*a=e</tex>. Da er <tex>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.<br /> <br /> ===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte===<br /> <br /> For elementer <tex>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <tex>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <tex>n</tex>.<br /> <br /> ==Undergrupper==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> være en gruppe, og la <tex>H</tex> være en ikketom undermengde av <tex>G</tex>, notert <tex>H\subset G</tex>. Da kalles <tex>(H,*)</tex> en undergruppe av <tex>(G,*)</tex> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <tex>G</tex>, notert ved <tex>H\leq G</tex>.<br /> <br /> To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis <tex>H</tex> er en ikketriviell undergruppe av <tex>G</tex> skriver vi <tex>H<G</tex>.<br /> <br /> ===Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper===<br /> <br /> De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, <tex>e</tex> må være et medlem i <tex>H</tex>, og for hvert element i <tex>H</tex>, må inversen også være et medlem.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: <tex>H</tex> er en under gruppe hvis og bare hvis for hver <tex>a,b \in H</tex>, så er <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Ettersom <tex>H</tex> ikke er tom, må det finnes et element <tex>a\in H</tex>. Dermed har vi at <tex>a*a^{-1}=e\in H</tex>, <tex>e*a^{-1}=a^{-1}\in H</tex>, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom <tex>b\in H</tex>, har vi <tex>b^{-1}\in H</tex>, så <tex>a*b \in H</tex> og <tex>H</tex> er dermed lukket.<br /> <br /> ==Orden==<br /> <br /> Ordenen til en gruppe <tex>G</tex> defineres som kardinaliteten til mengden <tex>G</tex>, notert <tex>o(G)</tex>. Hvis vi antar at <tex>a \in G</tex> og lar <tex>H=\{a^i | i\in \mathbb{Z}\}</tex>, vil <tex>H</tex> være en abelsk undergruppe av <tex>G</tex>, og vi da kaller vi <tex>H</tex> undergruppen av <tex>G</tex> generert av <tex>a</tex>. Vi kan da definere ordenen til et element <tex>a\in G</tex> som ordenen av undergruppen generert av <tex>a</tex>, det vil si <tex>o(a)\equiv o(H)</tex>. Merk at <tex>a</tex> har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en <tex>n\in \mathbb{N}</tex> slik at <tex>a^n=e</tex>, og <tex>o(a)</tex> er da den minste slike <tex>n</tex>.<br /> <br /> ===Sykliske grupper===<br /> <br /> En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex> generert av <tex>1</tex>.<br /> <br /> Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at <tex>G</tex> er generert av <tex>a</tex>, at <tex>H<G</tex> og at <tex>m</tex> er det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>. Anta så at det finnes et annet element <tex>a^n\in H</tex> med <tex>m<n</tex>. Hvis <tex>m</tex> ikke deler <tex>n</tex>, kan ikke <tex>m</tex> være det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>, ettersom <tex>a^{n-m}\in H</tex> og <tex>0<n-m<m</tex>. Altså må <tex>m</tex> dele <tex>n</tex>. Dermed er <tex>H</tex> generert av <tex>a^m</tex> og er dermed syklisk.<br /> <br /> ==Sideklasser==<br /> <br /> La <tex>H<G</tex>, og se på relasjonen <tex>a\sim b \, \Leftrightarrow \, a*b^{-1}\in H</tex>. Dette er en [[relasjoner|ekvivalensrelasjon]] på mengden <tex>G</tex>. Ekvivalensklassene er gitt ved<br /> <br /> <tex>[a]=\{b\in G \,|\, a\sim b\} = \{h*a \,|\, h\in H\} </tex><br /> <br /> For å se dette, merk at <tex>(h_1*a)*(h_2*a)^{-1}=h_1*a*a^{-1}*h_2^{-1}=h_1*h_2^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Mengden <tex>\{h*a \,|\, h\in H\}</tex> noteres <tex>Ha</tex> og kalles en høyre sideklasse til <tex>H</tex><br /> <br /> <br /> Alternativt kan vi la <tex>a\sim b \,\Leftrightarrow \, a^{-1}b\in H</tex>. Ekvivalensklassene blir da<br /> <br /> <tex>[a]=\{a*h \,|\, h\in H\} = aH</tex><br /> <br /> som kalles en venste sideklasse til <tex>H</tex>.<br /> <br /> <br /> Ettersom <tex>\sim</tex> er en ekvivalensrelasjon her, oppnår vi øyeblikkelig følgende resultater for høyre sideklasser. De tilsvarende utsagnene gjelder også for venstre sideklasser:<br /> <br /> 1. <tex>a\in H \, \Leftrightarrow \, Ha=H</tex><br /> <br /> 2. <tex>b\in Ha \,\Rightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 3. <tex>h\in H \, \Rightarrow H(h*a)=Ha</tex><br /> <br /> 4. <tex>Ha\cap Hb \neq \emptyset \, \Leftrightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 5. Mengden av høyre sideklasser av <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>.<br /> <br /> 6. <tex>a</tex> og <tex>b</tex> tilhører samme sideklasse kun hvis <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> ===Lagranges Teorem===<br /> <br /> La <tex>a\in G</tex>. Da er funksjonen <tex>f:H\rightarrow Ha</tex> gitt ved <tex>f(h)=a*h</tex> en bijeksjon. Dette kan sees ved å anvende forkortningsloven. Følgen av dette er at alle høyre sideklasser har samme orden. Samme argument kan benyttes på venstre sideklasser, og ettersom <tex>H</tex> er både en venste og høyre sideklasse, har alle sideklasser samme orden.<br /> <br /> <br /> Lagranges teorem sier at dersom <tex>H\leq G</tex> og <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>o(H)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> Beviset er elementært når vi vet at <tex>o(H)=o(Ha)=o(aH)</tex> for alle <tex>a\in G</tex>. Vi vet at sideklassene til <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>. Anta derfor at<br /> <br /> <tex>G=H\cup (Ha_1) \cup (Ha_2) \cup \, ... \, \cup (Ha_{t-1})</tex><br /> <br /> da følger det at<br /> <br /> <tex>o(G)=o(H)+|Ha_1|+|Ha_2| + ... + |Ha_{t-1}|=t\cdot o(H)</tex><br /> <br /> som beviser teoremet.<br /> <br /> <br /> Indeksen til en undergruppe <tex>H\leq G</tex> defineres som antallet venstre (eller høyre) sideklasser til <tex>H</tex> i <tex>G</tex> og noteres som <tex>[G:H]</tex>.<br /> <br /> For å se at <tex>H</tex> har like mange høyre sideklaser som venstre sideklasser, se på funksjonen <tex>f(H*a)=a^{-1}*H</tex>, som er en bijeksjon fra samlingen av høyre sideklasser til samlingen av venstre sideklasser.<br /> <br /> Verdien til <tex>[G:H]</tex> er lik tallet <tex>t</tex> i beviset av Lagranges teorem over, slik at<br /> <br /> <tex>o(G)=[G:H]\cdot o(H)</tex><br /> <br /> eller<br /> <br /> <tex>[G:H]=\frac{o(G)}{o(H)}</tex><br /> <br /> <br /> Lagranges teorem har flere øyeblikkelige konsekvenser:<br /> <br /> 1. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex> og <tex>a\in G</tex>, så er <tex>o(a)</tex> en divisor til <tex>o(G)</tex>.<br /> <br /> 2. Hvis <tex>o(G)<\infty</tex>, så er <tex>a^{o(G)}=e</tex> for alle <tex>a\in G</tex>.<br /> <br /> 3. La <tex>p</tex> være et primtall. Da er alle grupper med orden <tex>p</tex> sykliske.<br /> <br /> ==Normale undergrupper og kvotientgrupper==<br /> <br /> ==Homomorfier==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> og <tex>(H,\cdot )</tex> være grupper. En gruppehomomorfi (kort: homomorfi) fra <tex>G</tex> til <tex>H</tex> er en transformasjon<br /> <br /> <tex>\phi \,:\, G \rightarrow H</tex><br /> <br /> som bevarer gruppestrukturen, dvs.<br /> <br /> <tex>\phi (a*b) = \phi(a)\cdot \phi(b)</tex><br /> <br /> ==Ytre produkter av grupper==<br /> <br /> [[Kategori:Algebra]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Gruppeteori&diff=6327 Gruppeteori 2011-09-24T11:30:26Z

<p>Espen180: /* Sideklasser */</p> <hr /> <div>Gruppeteori er en gren av [[Algebra]] og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.<br /> <br /> ==Definisjon==<br /> <br /> La <tex>G</tex> være en ikketom mengde med <tex>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <tex>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:<br /> <br /> <br /> 1. <tex>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon=<br /> <br /> 2. <tex>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)<br /> <br /> 3. <tex>\exists e \in G</tex> slik at <tex>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)<br /> <br /> 4. <tex>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <tex>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)<br /> <br /> 5. <tex>a*b=b*a</tex><br /> <br /> <br /> En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive <tex>G</tex>, og la operasjonen være implisert.<br /> <br /> For en <tex>a\in G</tex> kan vi innføre forkortelsen <tex>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n \text{ elementer}}</tex>. Tilsvarende innfører vi <tex>a^{-n}=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\, ... \, * a^{-1}}_{n \text{ elementer}}</tex>. Dermed oppnår vi sammenhengene<br /> <br /> 1. <tex>a^n*a^m=a^{n+m}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\left(a^n\right)^m=a^{nm}</tex><br /> <br /> 3. <tex>a^0 = e</tex><br /> <br /> ===Eksempler===<br /> <br /> Eksempler på grupper er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex>, <tex>(\mathbb{Q},+)</tex>, <tex>(\mathbb{R},+)</tex> og <tex>(\mathbb{C},+)</tex>. I de tre siste kan vi også bytte ut addisjon med vanlig multiplikasjon og få nye gruppestrukturer. ''Hvorfor er ikke <tex>(\mathbb{Z},\cdot)</tex> en gruppe?''<br /> <br /> <br /> La <tex>X</tex> være en mengde, og la <tex>B(X)</tex> være en ikketom samling av undermengder av <tex>X</tex>. For <tex>U,V\in B(X)</tex>, definer<br /> <br /> <tex>U-V=\{x\in U \,\wedge \, x\not\in V\}</tex><br /> <br /> definer så<br /> <br /> <tex>U*V=(U-V)\cup (V-U)</tex><br /> <br /> Da er <tex>(B(X),*)</tex> en abelsk gruppe og kalles den Boolske gruppen. Vi overlater til leseren å verifisere at gruppeaksiomene gjelder for den Boolske gruppen.<br /> <br /> ==Elementære resultater==<br /> <br /> ===Forkortningslov===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=a*c</tex> eller <tex>b*a=c*a</tex>. Da er <tex>b=c</tex><br /> <br /> <br /> Bevis: <tex>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex>. Beviset for venstre forkortning er tilsvarende.<br /> <br /> ===Identitetselementet er unikt===<br /> <br /> Anta at <tex>e_1</tex> og <tex>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <tex>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .<br /> <br /> <br /> Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <tex>b</tex> slik at <tex>a*b=a</tex> for en <tex>a</tex>, så er <tex>b=e</tex>.<br /> <br /> ===Inverser er unike===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=e</tex>. Da er <tex>b=a^{-1}</tex>. Anta at <tex>c*a=e</tex>. Da er <tex>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.<br /> <br /> ===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte===<br /> <br /> For elementer <tex>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <tex>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <tex>n</tex>.<br /> <br /> ==Undergrupper==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> være en gruppe, og la <tex>H</tex> være en ikketom undermengde av <tex>G</tex>, notert <tex>H\subset G</tex>. Da kalles <tex>(H,*)</tex> en undergruppe av <tex>(G,*)</tex> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <tex>G</tex>, notert ved <tex>H\leq G</tex>.<br /> <br /> To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis <tex>H</tex> er en ikketriviell undergruppe av <tex>G</tex> skriver vi <tex>H<G</tex>.<br /> <br /> ===Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper===<br /> <br /> De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, <tex>e</tex> må være et medlem i <tex>H</tex>, og for hvert element i <tex>H</tex>, må inversen også være et medlem.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: <tex>H</tex> er en under gruppe hvis og bare hvis for hver <tex>a,b \in H</tex>, så er <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Ettersom <tex>H</tex> ikke er tom, må det finnes et element <tex>a\in H</tex>. Dermed har vi at <tex>a*a^{-1}=e\in H</tex>, <tex>e*a^{-1}=a^{-1}\in H</tex>, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom <tex>b\in H</tex>, har vi <tex>b^{-1}\in H</tex>, så <tex>a*b \in H</tex> og <tex>H</tex> er dermed lukket.<br /> <br /> ==Orden==<br /> <br /> Ordenen til en gruppe <tex>G</tex> defineres som kardinaliteten til mengden <tex>G</tex>, notert <tex>o(G)</tex>. Hvis vi antar at <tex>a \in G</tex> og lar <tex>H=\{a^i | i\in \mathbb{Z}\}</tex>, vil <tex>H</tex> være en abelsk undergruppe av <tex>G</tex>, og vi da kaller vi <tex>H</tex> undergruppen av <tex>G</tex> generert av <tex>a</tex>. Vi kan da definere ordenen til et element <tex>a\in G</tex> som ordenen av undergruppen generert av <tex>a</tex>, det vil si <tex>o(a)\equiv o(H)</tex>. Merk at <tex>a</tex> har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en <tex>n\in \mathbb{N}</tex> slik at <tex>a^n=e</tex>, og <tex>o(a)</tex> er da den minste slike <tex>n</tex>.<br /> <br /> ===Sykliske grupper===<br /> <br /> En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex> generert av <tex>1</tex>.<br /> <br /> Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at <tex>G</tex> er generert av <tex>a</tex>, at <tex>H<G</tex> og at <tex>m</tex> er det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>. Anta så at det finnes et annet element <tex>a^n\in H</tex> med <tex>m<n</tex>. Hvis <tex>m</tex> ikke deler <tex>n</tex>, kan ikke <tex>m</tex> være det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>, ettersom <tex>a^{n-m}\in H</tex> og <tex>0<n-m<m</tex>. Altså må <tex>m</tex> dele <tex>n</tex>. Dermed er <tex>H</tex> generert av <tex>a^m</tex> og er dermed syklisk.<br /> <br /> ==Sideklasser==<br /> <br /> La <tex>H<G</tex>, og se på relasjonen <tex>a\sim b \, \Leftrightarrow \, a*b^{-1}\in H</tex>. Dette er en [[relasjoner|ekvivalensrelasjon]] på mengden <tex>G</tex>. Ekvivalensklassene er gitt ved<br /> <br /> <tex>[a]=\{b\in G \,|\, a\sim b\} = \{h*a \,|\, h\in H\} </tex><br /> <br /> For å se dette, merk at <tex>(h_1*a)*(h_2*a)^{-1}=h_1*a*a^{-1}*h_2^{-1}=h_1*h_2^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Mengden <tex>\{h*a \,|\, h\in H\}</tex> noteres <tex>Ha</tex> og kalles en høyre sideklasse til <tex>H</tex><br /> <br /> <br /> Alternativt kan vi la <tex>a\sim b \,\Leftrightarrow \, a^{-1}b\in H</tex>. Ekvivalensklassene blir da<br /> <br /> <tex>[a]=\{a*h \,|\, h\in H\} = aH</tex><br /> <br /> som kalles en venste sideklasse til <tex>H</tex>.<br /> <br /> <br /> Ettersom <tex>\sim</tex> er en ekvivalensrelasjon her, oppnår vi øyeblikkelig følgende resultater for høyre sideklasser. De tilsvarende utsagnene gjelder også for venstre sideklasser:<br /> <br /> 1. <tex>a\in H \, \Leftrightarrow \, Ha=H</tex><br /> <br /> 2. <tex>b\in Ha \,\Rightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 3. <tex>h\in H \, \Rightarrow H(h*a)=Ha</tex><br /> <br /> 4. <tex>Ha\cap Hb \neq \emptyset \, \Leftrightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 5. Mengden av høyre sideklasser av <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>.<br /> <br /> 6. <tex>a</tex> og <tex>b</tex> tilhører samme sideklasse kun hvis <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> <br /> La <tex>a\in G</tex>. Da er funksjonen <tex>f:H\rightarrow Ha</tex> gitt ved <tex>f(h)=a*h</tex> en bijeksjon. Dette kan sees ved å anvende forkortningsloven. Følgen av dette er at alle høyre sideklasser har samme orden. Samme argument kan benyttes på venstre sideklasser, og ettersom <tex>H</tex> er både en venste og høyre sideklasse, har alle sideklasser samme orden.<br /> <br /> ==Normale undergrupper og kvotientgrupper==<br /> <br /> ==Homomorfier==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> og <tex>(H,\cdot )</tex> være grupper. En gruppehomomorfi (kort: homomorfi) fra <tex>G</tex> til <tex>H</tex> er en transformasjon<br /> <br /> <tex>\phi \,:\, G \rightarrow H</tex><br /> <br /> som bevarer gruppestrukturen, dvs.<br /> <br /> <tex>\phi (a*b) = \phi(a)\cdot \phi(b)</tex><br /> <br /> ==Ytre produkter av grupper==<br /> <br /> [[Kategori:Algebra]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Gruppeteori&diff=6326 Gruppeteori 2011-09-24T11:29:57Z

<p>Espen180: /* Sideklasser */</p> <hr /> <div>Gruppeteori er en gren av [[Algebra]] og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.<br /> <br /> ==Definisjon==<br /> <br /> La <tex>G</tex> være en ikketom mengde med <tex>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <tex>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:<br /> <br /> <br /> 1. <tex>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon=<br /> <br /> 2. <tex>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)<br /> <br /> 3. <tex>\exists e \in G</tex> slik at <tex>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)<br /> <br /> 4. <tex>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <tex>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)<br /> <br /> 5. <tex>a*b=b*a</tex><br /> <br /> <br /> En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive <tex>G</tex>, og la operasjonen være implisert.<br /> <br /> For en <tex>a\in G</tex> kan vi innføre forkortelsen <tex>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n \text{ elementer}}</tex>. Tilsvarende innfører vi <tex>a^{-n}=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\, ... \, * a^{-1}}_{n \text{ elementer}}</tex>. Dermed oppnår vi sammenhengene<br /> <br /> 1. <tex>a^n*a^m=a^{n+m}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\left(a^n\right)^m=a^{nm}</tex><br /> <br /> 3. <tex>a^0 = e</tex><br /> <br /> ===Eksempler===<br /> <br /> Eksempler på grupper er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex>, <tex>(\mathbb{Q},+)</tex>, <tex>(\mathbb{R},+)</tex> og <tex>(\mathbb{C},+)</tex>. I de tre siste kan vi også bytte ut addisjon med vanlig multiplikasjon og få nye gruppestrukturer. ''Hvorfor er ikke <tex>(\mathbb{Z},\cdot)</tex> en gruppe?''<br /> <br /> <br /> La <tex>X</tex> være en mengde, og la <tex>B(X)</tex> være en ikketom samling av undermengder av <tex>X</tex>. For <tex>U,V\in B(X)</tex>, definer<br /> <br /> <tex>U-V=\{x\in U \,\wedge \, x\not\in V\}</tex><br /> <br /> definer så<br /> <br /> <tex>U*V=(U-V)\cup (V-U)</tex><br /> <br /> Da er <tex>(B(X),*)</tex> en abelsk gruppe og kalles den Boolske gruppen. Vi overlater til leseren å verifisere at gruppeaksiomene gjelder for den Boolske gruppen.<br /> <br /> ==Elementære resultater==<br /> <br /> ===Forkortningslov===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=a*c</tex> eller <tex>b*a=c*a</tex>. Da er <tex>b=c</tex><br /> <br /> <br /> Bevis: <tex>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex>. Beviset for venstre forkortning er tilsvarende.<br /> <br /> ===Identitetselementet er unikt===<br /> <br /> Anta at <tex>e_1</tex> og <tex>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <tex>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .<br /> <br /> <br /> Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <tex>b</tex> slik at <tex>a*b=a</tex> for en <tex>a</tex>, så er <tex>b=e</tex>.<br /> <br /> ===Inverser er unike===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=e</tex>. Da er <tex>b=a^{-1}</tex>. Anta at <tex>c*a=e</tex>. Da er <tex>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.<br /> <br /> ===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte===<br /> <br /> For elementer <tex>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <tex>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <tex>n</tex>.<br /> <br /> ==Undergrupper==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> være en gruppe, og la <tex>H</tex> være en ikketom undermengde av <tex>G</tex>, notert <tex>H\subset G</tex>. Da kalles <tex>(H,*)</tex> en undergruppe av <tex>(G,*)</tex> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <tex>G</tex>, notert ved <tex>H\leq G</tex>.<br /> <br /> To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis <tex>H</tex> er en ikketriviell undergruppe av <tex>G</tex> skriver vi <tex>H<G</tex>.<br /> <br /> ===Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper===<br /> <br /> De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, <tex>e</tex> må være et medlem i <tex>H</tex>, og for hvert element i <tex>H</tex>, må inversen også være et medlem.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: <tex>H</tex> er en under gruppe hvis og bare hvis for hver <tex>a,b \in H</tex>, så er <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Ettersom <tex>H</tex> ikke er tom, må det finnes et element <tex>a\in H</tex>. Dermed har vi at <tex>a*a^{-1}=e\in H</tex>, <tex>e*a^{-1}=a^{-1}\in H</tex>, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom <tex>b\in H</tex>, har vi <tex>b^{-1}\in H</tex>, så <tex>a*b \in H</tex> og <tex>H</tex> er dermed lukket.<br /> <br /> ==Orden==<br /> <br /> Ordenen til en gruppe <tex>G</tex> defineres som kardinaliteten til mengden <tex>G</tex>, notert <tex>o(G)</tex>. Hvis vi antar at <tex>a \in G</tex> og lar <tex>H=\{a^i | i\in \mathbb{Z}\}</tex>, vil <tex>H</tex> være en abelsk undergruppe av <tex>G</tex>, og vi da kaller vi <tex>H</tex> undergruppen av <tex>G</tex> generert av <tex>a</tex>. Vi kan da definere ordenen til et element <tex>a\in G</tex> som ordenen av undergruppen generert av <tex>a</tex>, det vil si <tex>o(a)\equiv o(H)</tex>. Merk at <tex>a</tex> har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en <tex>n\in \mathbb{N}</tex> slik at <tex>a^n=e</tex>, og <tex>o(a)</tex> er da den minste slike <tex>n</tex>.<br /> <br /> ===Sykliske grupper===<br /> <br /> En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex> generert av <tex>1</tex>.<br /> <br /> Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at <tex>G</tex> er generert av <tex>a</tex>, at <tex>H<G</tex> og at <tex>m</tex> er det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>. Anta så at det finnes et annet element <tex>a^n\in H</tex> med <tex>m<n</tex>. Hvis <tex>m</tex> ikke deler <tex>n</tex>, kan ikke <tex>m</tex> være det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>, ettersom <tex>a^{n-m}\in H</tex> og <tex>0<n-m<m</tex>. Altså må <tex>m</tex> dele <tex>n</tex>. Dermed er <tex>H</tex> generert av <tex>a^m</tex> og er dermed syklisk.<br /> <br /> ==Sideklasser==<br /> <br /> La <tex>H<G</tex>, og se på relasjonen <tex>a\sim b \, \Leftrightarrow \, a*b^{-1}\in H</tex>. Dette er en [[relasjoner|ekvivalensrelasjon]] på mengden <tex>G</tex>. Ekvivalensklassene er gitt ved<br /> <br /> <tex>[a]=\{b\in G \,|\, a\sim b\} = \{h*a \,|\, h\in H\} </tex><br /> <br /> For å se dette, merk at <tex>(h_1*a)*(h_2*a)^{-1}=h_1*a*a^{-1}*h_2^{-1}=h_1*h_2^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Mengden <tex>\{h*a \,|\, h\in H\}</tex> noteres <tex>Ha</tex> og kalles en høyre sideklasse til <tex>H</tex><br /> <br /> <br /> Alternativt kan vi la <tex>a\sim b \,\Leftrightarrow \, a^{-1}b\in H</tex>. Ekvivalensklassene blir da<br /> <br /> <tex>[a]=\{a*h \,|\, h\in H\} = aH</tex><br /> <br /> som kalles en venste sideklasse til <tex>H</tex>.<br /> <br /> <br /> Ettersom <tex>\sim</tex> er en ekvivalensrelasjon her, oppnår vi øyeblikkelig følgende resultater for høyre sideklasser. De tilsvarende utsagnene gjelder også for venstre sideklasser:<br /> <br /> 1. <tex>a\in H \, \Leftrightarrow \, Ha=H</tex><br /> <br /> 2. <tex>b\in Ha \,\Rightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 3. <tex>h\in H \, \Rightarrow H(h*a)=Ha</tex><br /> <br /> 4. <tex>Ha\cap Hb \neq \emptyset \, \Leftrightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 5. Mengden av høyre sideklasser av <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>.<br /> <br /> 6. <tex>a</tex> og <tex>b</tex> tilhører samme sideklasse kun hvis <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> <br /> La <tex>a\in G</tex>. Da er funksjonen <tex>f:H\rightarrow Ha</tex> gitt ved <tex>f(h)=a*h</tex> en bijeksjon. Dette kan sees ved å anvende forkortningsloven. Følgen av dette er at alle høyre sideklasser har samme orden. Samme argument kan benyttes på venstre sideklasser, og ettersom <tex>H</tex> er både en venste og høyre sideklasse, har alle sideklasser samme kardinalitet.<br /> <br /> ==Normale undergrupper og kvotientgrupper==<br /> <br /> ==Homomorfier==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> og <tex>(H,\cdot )</tex> være grupper. En gruppehomomorfi (kort: homomorfi) fra <tex>G</tex> til <tex>H</tex> er en transformasjon<br /> <br /> <tex>\phi \,:\, G \rightarrow H</tex><br /> <br /> som bevarer gruppestrukturen, dvs.<br /> <br /> <tex>\phi (a*b) = \phi(a)\cdot \phi(b)</tex><br /> <br /> ==Ytre produkter av grupper==<br /> <br /> [[Kategori:Algebra]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Gruppeteori&diff=6325 Gruppeteori 2011-09-23T20:30:25Z

<p>Espen180: /* Sideklasser */</p> <hr /> <div>Gruppeteori er en gren av [[Algebra]] og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.<br /> <br /> ==Definisjon==<br /> <br /> La <tex>G</tex> være en ikketom mengde med <tex>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <tex>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:<br /> <br /> <br /> 1. <tex>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon=<br /> <br /> 2. <tex>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)<br /> <br /> 3. <tex>\exists e \in G</tex> slik at <tex>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)<br /> <br /> 4. <tex>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <tex>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)<br /> <br /> 5. <tex>a*b=b*a</tex><br /> <br /> <br /> En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive <tex>G</tex>, og la operasjonen være implisert.<br /> <br /> For en <tex>a\in G</tex> kan vi innføre forkortelsen <tex>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n \text{ elementer}}</tex>. Tilsvarende innfører vi <tex>a^{-n}=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\, ... \, * a^{-1}}_{n \text{ elementer}}</tex>. Dermed oppnår vi sammenhengene<br /> <br /> 1. <tex>a^n*a^m=a^{n+m}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\left(a^n\right)^m=a^{nm}</tex><br /> <br /> 3. <tex>a^0 = e</tex><br /> <br /> ===Eksempler===<br /> <br /> Eksempler på grupper er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex>, <tex>(\mathbb{Q},+)</tex>, <tex>(\mathbb{R},+)</tex> og <tex>(\mathbb{C},+)</tex>. I de tre siste kan vi også bytte ut addisjon med vanlig multiplikasjon og få nye gruppestrukturer. ''Hvorfor er ikke <tex>(\mathbb{Z},\cdot)</tex> en gruppe?''<br /> <br /> <br /> La <tex>X</tex> være en mengde, og la <tex>B(X)</tex> være en ikketom samling av undermengder av <tex>X</tex>. For <tex>U,V\in B(X)</tex>, definer<br /> <br /> <tex>U-V=\{x\in U \,\wedge \, x\not\in V\}</tex><br /> <br /> definer så<br /> <br /> <tex>U*V=(U-V)\cup (V-U)</tex><br /> <br /> Da er <tex>(B(X),*)</tex> en abelsk gruppe og kalles den Boolske gruppen. Vi overlater til leseren å verifisere at gruppeaksiomene gjelder for den Boolske gruppen.<br /> <br /> ==Elementære resultater==<br /> <br /> ===Forkortningslov===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=a*c</tex> eller <tex>b*a=c*a</tex>. Da er <tex>b=c</tex><br /> <br /> <br /> Bevis: <tex>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex>. Beviset for venstre forkortning er tilsvarende.<br /> <br /> ===Identitetselementet er unikt===<br /> <br /> Anta at <tex>e_1</tex> og <tex>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <tex>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .<br /> <br /> <br /> Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <tex>b</tex> slik at <tex>a*b=a</tex> for en <tex>a</tex>, så er <tex>b=e</tex>.<br /> <br /> ===Inverser er unike===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=e</tex>. Da er <tex>b=a^{-1}</tex>. Anta at <tex>c*a=e</tex>. Da er <tex>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.<br /> <br /> ===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte===<br /> <br /> For elementer <tex>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <tex>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <tex>n</tex>.<br /> <br /> ==Undergrupper==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> være en gruppe, og la <tex>H</tex> være en ikketom undermengde av <tex>G</tex>, notert <tex>H\subset G</tex>. Da kalles <tex>(H,*)</tex> en undergruppe av <tex>(G,*)</tex> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <tex>G</tex>, notert ved <tex>H\leq G</tex>.<br /> <br /> To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis <tex>H</tex> er en ikketriviell undergruppe av <tex>G</tex> skriver vi <tex>H<G</tex>.<br /> <br /> ===Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper===<br /> <br /> De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, <tex>e</tex> må være et medlem i <tex>H</tex>, og for hvert element i <tex>H</tex>, må inversen også være et medlem.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: <tex>H</tex> er en under gruppe hvis og bare hvis for hver <tex>a,b \in H</tex>, så er <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Ettersom <tex>H</tex> ikke er tom, må det finnes et element <tex>a\in H</tex>. Dermed har vi at <tex>a*a^{-1}=e\in H</tex>, <tex>e*a^{-1}=a^{-1}\in H</tex>, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom <tex>b\in H</tex>, har vi <tex>b^{-1}\in H</tex>, så <tex>a*b \in H</tex> og <tex>H</tex> er dermed lukket.<br /> <br /> ==Orden==<br /> <br /> Ordenen til en gruppe <tex>G</tex> defineres som kardinaliteten til mengden <tex>G</tex>, notert <tex>o(G)</tex>. Hvis vi antar at <tex>a \in G</tex> og lar <tex>H=\{a^i | i\in \mathbb{Z}\}</tex>, vil <tex>H</tex> være en abelsk undergruppe av <tex>G</tex>, og vi da kaller vi <tex>H</tex> undergruppen av <tex>G</tex> generert av <tex>a</tex>. Vi kan da definere ordenen til et element <tex>a\in G</tex> som ordenen av undergruppen generert av <tex>a</tex>, det vil si <tex>o(a)\equiv o(H)</tex>. Merk at <tex>a</tex> har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en <tex>n\in \mathbb{N}</tex> slik at <tex>a^n=e</tex>, og <tex>o(a)</tex> er da den minste slike <tex>n</tex>.<br /> <br /> ===Sykliske grupper===<br /> <br /> En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex> generert av <tex>1</tex>.<br /> <br /> Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at <tex>G</tex> er generert av <tex>a</tex>, at <tex>H<G</tex> og at <tex>m</tex> er det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>. Anta så at det finnes et annet element <tex>a^n\in H</tex> med <tex>m<n</tex>. Hvis <tex>m</tex> ikke deler <tex>n</tex>, kan ikke <tex>m</tex> være det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>, ettersom <tex>a^{n-m}\in H</tex> og <tex>0<n-m<m</tex>. Altså må <tex>m</tex> dele <tex>n</tex>. Dermed er <tex>H</tex> generert av <tex>a^m</tex> og er dermed syklisk.<br /> <br /> ==Sideklasser==<br /> <br /> La <tex>H<G</tex>, og se på relasjonen <tex>a\sim b \, \Leftrightarrow \, a*b^{-1}\in H</tex>. Dette er en [[relasjoner|ekvivalensrelasjon]] på mengden <tex>G</tex>. Ekvivalensklassene er gitt ved<br /> <br /> <tex>[a]=\{b\in G \,|\, a\sim b\} = \{h*a \,|\, h\in H\} </tex><br /> <br /> For å se dette, merk at <tex>(h_1*a)*(h_2*a)^{-1}=h_1*a*a^{-1}*h_2^{-1}=h_1*h_2^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Mengden <tex>\{h*a \,|\, h\in H\}</tex> noteres <tex>Ha</tex> og kalles en høyre sideklasse til <tex>H</tex><br /> <br /> <br /> Alternativt kan vi la <tex>a\sim b \,\Leftrightarrow \, a^{-1}b\in H</tex>. Ekvivalensklassene blir da<br /> <br /> <tex>[a]=\{a*h \,|\, h\in H\} = aH</tex><br /> <br /> som kalles en venste sideklasse til <tex>H</tex>.<br /> <br /> <br /> Ettersom <tex>\sim</tex> er en ekvivalensrelasjon her, oppnår vi øyeblikkelig følgende resultater for høyre sideklasser. De tilsvarende utsagnene gjelder også for venstre sideklasser:<br /> <br /> 1. <tex>a\in H \, \Leftrightarrow \, Ha=H</tex><br /> <br /> 2. <tex>b\in Ha \,\Rightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 3. <tex>h\in H \, \Rightarrow H(h*a)=Ha</tex><br /> <br /> 4. <tex>Ha\cap Hb \neq \emptyset \, \Leftrightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 5. Mengden av høyre sideklasser av <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>.<br /> <br /> 6. <tex>a</tex> og <tex>b</tex> tilhører samme sideklasse kun hvis <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> <br /> La <tex>a,b\in G</tex>. Da er funksjonen <tex>f:Ha\rightarrow Hb</tex> gitt ved <tex>f(h*a)=h*b</tex> en bijeksjon.<br /> <br /> ==Normale undergrupper og kvotientgrupper==<br /> <br /> ==Homomorfier==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> og <tex>(H,\cdot )</tex> være grupper. En gruppehomomorfi (kort: homomorfi) fra <tex>G</tex> til <tex>H</tex> er en transformasjon<br /> <br /> <tex>\phi \,:\, G \rightarrow H</tex><br /> <br /> som bevarer gruppestrukturen, dvs.<br /> <br /> <tex>\phi (a*b) = \phi(a)\cdot \phi(b)</tex><br /> <br /> ==Ytre produkter av grupper==<br /> <br /> [[Kategori:Algebra]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Gruppeteori&diff=6324 Gruppeteori 2011-09-23T18:57:11Z

<p>Espen180: /* Homomorfier */</p> <hr /> <div>Gruppeteori er en gren av [[Algebra]] og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.<br /> <br /> ==Definisjon==<br /> <br /> La <tex>G</tex> være en ikketom mengde med <tex>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <tex>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:<br /> <br /> <br /> 1. <tex>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon=<br /> <br /> 2. <tex>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)<br /> <br /> 3. <tex>\exists e \in G</tex> slik at <tex>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)<br /> <br /> 4. <tex>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <tex>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)<br /> <br /> 5. <tex>a*b=b*a</tex><br /> <br /> <br /> En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive <tex>G</tex>, og la operasjonen være implisert.<br /> <br /> For en <tex>a\in G</tex> kan vi innføre forkortelsen <tex>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n \text{ elementer}}</tex>. Tilsvarende innfører vi <tex>a^{-n}=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\, ... \, * a^{-1}}_{n \text{ elementer}}</tex>. Dermed oppnår vi sammenhengene<br /> <br /> 1. <tex>a^n*a^m=a^{n+m}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\left(a^n\right)^m=a^{nm}</tex><br /> <br /> 3. <tex>a^0 = e</tex><br /> <br /> ===Eksempler===<br /> <br /> Eksempler på grupper er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex>, <tex>(\mathbb{Q},+)</tex>, <tex>(\mathbb{R},+)</tex> og <tex>(\mathbb{C},+)</tex>. I de tre siste kan vi også bytte ut addisjon med vanlig multiplikasjon og få nye gruppestrukturer. ''Hvorfor er ikke <tex>(\mathbb{Z},\cdot)</tex> en gruppe?''<br /> <br /> <br /> La <tex>X</tex> være en mengde, og la <tex>B(X)</tex> være en ikketom samling av undermengder av <tex>X</tex>. For <tex>U,V\in B(X)</tex>, definer<br /> <br /> <tex>U-V=\{x\in U \,\wedge \, x\not\in V\}</tex><br /> <br /> definer så<br /> <br /> <tex>U*V=(U-V)\cup (V-U)</tex><br /> <br /> Da er <tex>(B(X),*)</tex> en abelsk gruppe og kalles den Boolske gruppen. Vi overlater til leseren å verifisere at gruppeaksiomene gjelder for den Boolske gruppen.<br /> <br /> ==Elementære resultater==<br /> <br /> ===Forkortningslov===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=a*c</tex> eller <tex>b*a=c*a</tex>. Da er <tex>b=c</tex><br /> <br /> <br /> Bevis: <tex>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex>. Beviset for venstre forkortning er tilsvarende.<br /> <br /> ===Identitetselementet er unikt===<br /> <br /> Anta at <tex>e_1</tex> og <tex>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <tex>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .<br /> <br /> <br /> Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <tex>b</tex> slik at <tex>a*b=a</tex> for en <tex>a</tex>, så er <tex>b=e</tex>.<br /> <br /> ===Inverser er unike===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=e</tex>. Da er <tex>b=a^{-1}</tex>. Anta at <tex>c*a=e</tex>. Da er <tex>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.<br /> <br /> ===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte===<br /> <br /> For elementer <tex>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <tex>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <tex>n</tex>.<br /> <br /> ==Undergrupper==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> være en gruppe, og la <tex>H</tex> være en ikketom undermengde av <tex>G</tex>, notert <tex>H\subset G</tex>. Da kalles <tex>(H,*)</tex> en undergruppe av <tex>(G,*)</tex> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <tex>G</tex>, notert ved <tex>H\leq G</tex>.<br /> <br /> To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis <tex>H</tex> er en ikketriviell undergruppe av <tex>G</tex> skriver vi <tex>H<G</tex>.<br /> <br /> ===Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper===<br /> <br /> De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, <tex>e</tex> må være et medlem i <tex>H</tex>, og for hvert element i <tex>H</tex>, må inversen også være et medlem.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: <tex>H</tex> er en under gruppe hvis og bare hvis for hver <tex>a,b \in H</tex>, så er <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Ettersom <tex>H</tex> ikke er tom, må det finnes et element <tex>a\in H</tex>. Dermed har vi at <tex>a*a^{-1}=e\in H</tex>, <tex>e*a^{-1}=a^{-1}\in H</tex>, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom <tex>b\in H</tex>, har vi <tex>b^{-1}\in H</tex>, så <tex>a*b \in H</tex> og <tex>H</tex> er dermed lukket.<br /> <br /> ==Orden==<br /> <br /> Ordenen til en gruppe <tex>G</tex> defineres som kardinaliteten til mengden <tex>G</tex>, notert <tex>o(G)</tex>. Hvis vi antar at <tex>a \in G</tex> og lar <tex>H=\{a^i | i\in \mathbb{Z}\}</tex>, vil <tex>H</tex> være en abelsk undergruppe av <tex>G</tex>, og vi da kaller vi <tex>H</tex> undergruppen av <tex>G</tex> generert av <tex>a</tex>. Vi kan da definere ordenen til et element <tex>a\in G</tex> som ordenen av undergruppen generert av <tex>a</tex>, det vil si <tex>o(a)\equiv o(H)</tex>. Merk at <tex>a</tex> har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en <tex>n\in \mathbb{N}</tex> slik at <tex>a^n=e</tex>, og <tex>o(a)</tex> er da den minste slike <tex>n</tex>.<br /> <br /> ===Sykliske grupper===<br /> <br /> En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex> generert av <tex>1</tex>.<br /> <br /> Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at <tex>G</tex> er generert av <tex>a</tex>, at <tex>H<G</tex> og at <tex>m</tex> er det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>. Anta så at det finnes et annet element <tex>a^n\in H</tex> med <tex>m<n</tex>. Hvis <tex>m</tex> ikke deler <tex>n</tex>, kan ikke <tex>m</tex> være det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>, ettersom <tex>a^{n-m}\in H</tex> og <tex>0<n-m<m</tex>. Altså må <tex>m</tex> dele <tex>n</tex>. Dermed er <tex>H</tex> generert av <tex>a^m</tex> og er dermed syklisk.<br /> <br /> ==Sideklasser==<br /> <br /> La <tex>H<G</tex>, og se på relasjonen <tex>a\sim b \, \Leftrightarrow \, a*b^{-1}\in H</tex>. Dette er en [[relasjoner|ekvivalensrelasjon]] på mengden <tex>G</tex>. Ekvivalensklassene er gitt ved<br /> <br /> <tex>[a]=\{b\in G \,|\, a\sim b\} = \{h*a \,|\, h\in H\} </tex><br /> <br /> For å se dette, merk at <tex>(h_1*a)*(h_2*a)^{-1}=h_1*a*a^{-1}*h_2^{-1}=h_1*h_2^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Mengden <tex>\{h*a \,|\, h\in H\}</tex> noteres <tex>Ha</tex> og kalles en høyre sideklasse til <tex>H</tex><br /> <br /> <br /> Alternativt kan vi la <tex>a\sim b \,\Leftrightarrow \, a^{-1}b\in H</tex>. Ekvivalensklassene blir da<br /> <br /> <tex>[a]=\{a*h \,|\, h\in H\} = aH</tex><br /> <br /> som kalles en venste sideklasse til <tex>H</tex>.<br /> <br /> <br /> Ettersom <tex>\sim</tex> er en ekvivalensrelasjon her, oppnår vi øyeblikkelig følgende resultater for høyre sideklasser. De tilsvarende utsagnene gjelder også for venstre sideklasser:<br /> <br /> 1. <tex>a\in H \, \Leftrightarrow \, Ha=H</tex><br /> <br /> 2. <tex>b\in Ha \,\Rightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 3. <tex>h\in H \, \Rightarrow H(h*a)=Ha</tex><br /> <br /> 4. <tex>Ha\cap Hb \neq \emptyset \, \Leftrightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 5. Mengden av høyre sideklasser av <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>.<br /> <br /> 6. <tex>a</tex> og <tex>b</tex> tilhører samme sideklasse kun hvis <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> ==Normale undergrupper og kvotientgrupper==<br /> <br /> ==Homomorfier==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> og <tex>(H,\cdot )</tex> være grupper. En gruppehomomorfi (kort: homomorfi) fra <tex>G</tex> til <tex>H</tex> er en transformasjon<br /> <br /> <tex>\phi \,:\, G \rightarrow H</tex><br /> <br /> som bevarer gruppestrukturen, dvs.<br /> <br /> <tex>\phi (a*b) = \phi(a)\cdot \phi(b)</tex><br /> <br /> ==Ytre produkter av grupper==<br /> <br /> [[Kategori:Algebra]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Gruppeteori&diff=6323 Gruppeteori 2011-09-23T16:16:42Z

<p>Espen180: /* Eksempler */</p> <hr /> <div>Gruppeteori er en gren av [[Algebra]] og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.<br /> <br /> ==Definisjon==<br /> <br /> La <tex>G</tex> være en ikketom mengde med <tex>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <tex>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:<br /> <br /> <br /> 1. <tex>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon=<br /> <br /> 2. <tex>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)<br /> <br /> 3. <tex>\exists e \in G</tex> slik at <tex>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)<br /> <br /> 4. <tex>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <tex>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)<br /> <br /> 5. <tex>a*b=b*a</tex><br /> <br /> <br /> En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive <tex>G</tex>, og la operasjonen være implisert.<br /> <br /> For en <tex>a\in G</tex> kan vi innføre forkortelsen <tex>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n \text{ elementer}}</tex>. Tilsvarende innfører vi <tex>a^{-n}=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\, ... \, * a^{-1}}_{n \text{ elementer}}</tex>. Dermed oppnår vi sammenhengene<br /> <br /> 1. <tex>a^n*a^m=a^{n+m}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\left(a^n\right)^m=a^{nm}</tex><br /> <br /> 3. <tex>a^0 = e</tex><br /> <br /> ===Eksempler===<br /> <br /> Eksempler på grupper er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex>, <tex>(\mathbb{Q},+)</tex>, <tex>(\mathbb{R},+)</tex> og <tex>(\mathbb{C},+)</tex>. I de tre siste kan vi også bytte ut addisjon med vanlig multiplikasjon og få nye gruppestrukturer. ''Hvorfor er ikke <tex>(\mathbb{Z},\cdot)</tex> en gruppe?''<br /> <br /> <br /> La <tex>X</tex> være en mengde, og la <tex>B(X)</tex> være en ikketom samling av undermengder av <tex>X</tex>. For <tex>U,V\in B(X)</tex>, definer<br /> <br /> <tex>U-V=\{x\in U \,\wedge \, x\not\in V\}</tex><br /> <br /> definer så<br /> <br /> <tex>U*V=(U-V)\cup (V-U)</tex><br /> <br /> Da er <tex>(B(X),*)</tex> en abelsk gruppe og kalles den Boolske gruppen. Vi overlater til leseren å verifisere at gruppeaksiomene gjelder for den Boolske gruppen.<br /> <br /> ==Elementære resultater==<br /> <br /> ===Forkortningslov===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=a*c</tex> eller <tex>b*a=c*a</tex>. Da er <tex>b=c</tex><br /> <br /> <br /> Bevis: <tex>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex>. Beviset for venstre forkortning er tilsvarende.<br /> <br /> ===Identitetselementet er unikt===<br /> <br /> Anta at <tex>e_1</tex> og <tex>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <tex>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .<br /> <br /> <br /> Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <tex>b</tex> slik at <tex>a*b=a</tex> for en <tex>a</tex>, så er <tex>b=e</tex>.<br /> <br /> ===Inverser er unike===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=e</tex>. Da er <tex>b=a^{-1}</tex>. Anta at <tex>c*a=e</tex>. Da er <tex>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.<br /> <br /> ===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte===<br /> <br /> For elementer <tex>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <tex>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <tex>n</tex>.<br /> <br /> ==Undergrupper==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> være en gruppe, og la <tex>H</tex> være en ikketom undermengde av <tex>G</tex>, notert <tex>H\subset G</tex>. Da kalles <tex>(H,*)</tex> en undergruppe av <tex>(G,*)</tex> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <tex>G</tex>, notert ved <tex>H\leq G</tex>.<br /> <br /> To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis <tex>H</tex> er en ikketriviell undergruppe av <tex>G</tex> skriver vi <tex>H<G</tex>.<br /> <br /> ===Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper===<br /> <br /> De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, <tex>e</tex> må være et medlem i <tex>H</tex>, og for hvert element i <tex>H</tex>, må inversen også være et medlem.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: <tex>H</tex> er en under gruppe hvis og bare hvis for hver <tex>a,b \in H</tex>, så er <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Ettersom <tex>H</tex> ikke er tom, må det finnes et element <tex>a\in H</tex>. Dermed har vi at <tex>a*a^{-1}=e\in H</tex>, <tex>e*a^{-1}=a^{-1}\in H</tex>, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom <tex>b\in H</tex>, har vi <tex>b^{-1}\in H</tex>, så <tex>a*b \in H</tex> og <tex>H</tex> er dermed lukket.<br /> <br /> ==Orden==<br /> <br /> Ordenen til en gruppe <tex>G</tex> defineres som kardinaliteten til mengden <tex>G</tex>, notert <tex>o(G)</tex>. Hvis vi antar at <tex>a \in G</tex> og lar <tex>H=\{a^i | i\in \mathbb{Z}\}</tex>, vil <tex>H</tex> være en abelsk undergruppe av <tex>G</tex>, og vi da kaller vi <tex>H</tex> undergruppen av <tex>G</tex> generert av <tex>a</tex>. Vi kan da definere ordenen til et element <tex>a\in G</tex> som ordenen av undergruppen generert av <tex>a</tex>, det vil si <tex>o(a)\equiv o(H)</tex>. Merk at <tex>a</tex> har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en <tex>n\in \mathbb{N}</tex> slik at <tex>a^n=e</tex>, og <tex>o(a)</tex> er da den minste slike <tex>n</tex>.<br /> <br /> ===Sykliske grupper===<br /> <br /> En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex> generert av <tex>1</tex>.<br /> <br /> Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at <tex>G</tex> er generert av <tex>a</tex>, at <tex>H<G</tex> og at <tex>m</tex> er det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>. Anta så at det finnes et annet element <tex>a^n\in H</tex> med <tex>m<n</tex>. Hvis <tex>m</tex> ikke deler <tex>n</tex>, kan ikke <tex>m</tex> være det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>, ettersom <tex>a^{n-m}\in H</tex> og <tex>0<n-m<m</tex>. Altså må <tex>m</tex> dele <tex>n</tex>. Dermed er <tex>H</tex> generert av <tex>a^m</tex> og er dermed syklisk.<br /> <br /> ==Sideklasser==<br /> <br /> La <tex>H<G</tex>, og se på relasjonen <tex>a\sim b \, \Leftrightarrow \, a*b^{-1}\in H</tex>. Dette er en [[relasjoner|ekvivalensrelasjon]] på mengden <tex>G</tex>. Ekvivalensklassene er gitt ved<br /> <br /> <tex>[a]=\{b\in G \,|\, a\sim b\} = \{h*a \,|\, h\in H\} </tex><br /> <br /> For å se dette, merk at <tex>(h_1*a)*(h_2*a)^{-1}=h_1*a*a^{-1}*h_2^{-1}=h_1*h_2^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Mengden <tex>\{h*a \,|\, h\in H\}</tex> noteres <tex>Ha</tex> og kalles en høyre sideklasse til <tex>H</tex><br /> <br /> <br /> Alternativt kan vi la <tex>a\sim b \,\Leftrightarrow \, a^{-1}b\in H</tex>. Ekvivalensklassene blir da<br /> <br /> <tex>[a]=\{a*h \,|\, h\in H\} = aH</tex><br /> <br /> som kalles en venste sideklasse til <tex>H</tex>.<br /> <br /> <br /> Ettersom <tex>\sim</tex> er en ekvivalensrelasjon her, oppnår vi øyeblikkelig følgende resultater for høyre sideklasser. De tilsvarende utsagnene gjelder også for venstre sideklasser:<br /> <br /> 1. <tex>a\in H \, \Leftrightarrow \, Ha=H</tex><br /> <br /> 2. <tex>b\in Ha \,\Rightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 3. <tex>h\in H \, \Rightarrow H(h*a)=Ha</tex><br /> <br /> 4. <tex>Ha\cap Hb \neq \emptyset \, \Leftrightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 5. Mengden av høyre sideklasser av <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>.<br /> <br /> 6. <tex>a</tex> og <tex>b</tex> tilhører samme sideklasse kun hvis <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> ==Normale undergrupper og kvotientgrupper==<br /> <br /> ==Homomorfier==<br /> <br /> ==Ytre produkter av grupper==<br /> <br /> [[Kategori:Algebra]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Gruppeteori&diff=6322 Gruppeteori 2011-09-23T15:49:07Z

<p>Espen180: /* Forkortningslov */</p> <hr /> <div>Gruppeteori er en gren av [[Algebra]] og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.<br /> <br /> ==Definisjon==<br /> <br /> La <tex>G</tex> være en ikketom mengde med <tex>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <tex>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:<br /> <br /> <br /> 1. <tex>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon=<br /> <br /> 2. <tex>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)<br /> <br /> 3. <tex>\exists e \in G</tex> slik at <tex>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)<br /> <br /> 4. <tex>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <tex>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)<br /> <br /> 5. <tex>a*b=b*a</tex><br /> <br /> <br /> En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive <tex>G</tex>, og la operasjonen være implisert.<br /> <br /> For en <tex>a\in G</tex> kan vi innføre forkortelsen <tex>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n \text{ elementer}}</tex>. Tilsvarende innfører vi <tex>a^{-n}=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\, ... \, * a^{-1}}_{n \text{ elementer}}</tex>. Dermed oppnår vi sammenhengene<br /> <br /> 1. <tex>a^n*a^m=a^{n+m}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\left(a^n\right)^m=a^{nm}</tex><br /> <br /> 3. <tex>a^0 = e</tex><br /> <br /> ===Eksempler===<br /> <br /> Eksempler på grupper er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex>, <tex>(\mathbb{Q},+)</tex>, <tex>(\mathbb{R},+)</tex> og <tex>(\mathbb{C},+)</tex>. I de tre siste kan vi også bytte ut addisjon med vanlig multiplikasjon og få nye gruppestrukturer. ''Hvorfor er ikke <tex>(\mathbb{Z},\cdot)</tex> en gruppe?''<br /> <br /> ==Elementære resultater==<br /> <br /> ===Forkortningslov===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=a*c</tex> eller <tex>b*a=c*a</tex>. Da er <tex>b=c</tex><br /> <br /> <br /> Bevis: <tex>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex>. Beviset for venstre forkortning er tilsvarende.<br /> <br /> ===Identitetselementet er unikt===<br /> <br /> Anta at <tex>e_1</tex> og <tex>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <tex>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .<br /> <br /> <br /> Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <tex>b</tex> slik at <tex>a*b=a</tex> for en <tex>a</tex>, så er <tex>b=e</tex>.<br /> <br /> ===Inverser er unike===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=e</tex>. Da er <tex>b=a^{-1}</tex>. Anta at <tex>c*a=e</tex>. Da er <tex>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.<br /> <br /> ===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte===<br /> <br /> For elementer <tex>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <tex>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <tex>n</tex>.<br /> <br /> ==Undergrupper==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> være en gruppe, og la <tex>H</tex> være en ikketom undermengde av <tex>G</tex>, notert <tex>H\subset G</tex>. Da kalles <tex>(H,*)</tex> en undergruppe av <tex>(G,*)</tex> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <tex>G</tex>, notert ved <tex>H\leq G</tex>.<br /> <br /> To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis <tex>H</tex> er en ikketriviell undergruppe av <tex>G</tex> skriver vi <tex>H<G</tex>.<br /> <br /> ===Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper===<br /> <br /> De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, <tex>e</tex> må være et medlem i <tex>H</tex>, og for hvert element i <tex>H</tex>, må inversen også være et medlem.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: <tex>H</tex> er en under gruppe hvis og bare hvis for hver <tex>a,b \in H</tex>, så er <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Ettersom <tex>H</tex> ikke er tom, må det finnes et element <tex>a\in H</tex>. Dermed har vi at <tex>a*a^{-1}=e\in H</tex>, <tex>e*a^{-1}=a^{-1}\in H</tex>, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom <tex>b\in H</tex>, har vi <tex>b^{-1}\in H</tex>, så <tex>a*b \in H</tex> og <tex>H</tex> er dermed lukket.<br /> <br /> ==Orden==<br /> <br /> Ordenen til en gruppe <tex>G</tex> defineres som kardinaliteten til mengden <tex>G</tex>, notert <tex>o(G)</tex>. Hvis vi antar at <tex>a \in G</tex> og lar <tex>H=\{a^i | i\in \mathbb{Z}\}</tex>, vil <tex>H</tex> være en abelsk undergruppe av <tex>G</tex>, og vi da kaller vi <tex>H</tex> undergruppen av <tex>G</tex> generert av <tex>a</tex>. Vi kan da definere ordenen til et element <tex>a\in G</tex> som ordenen av undergruppen generert av <tex>a</tex>, det vil si <tex>o(a)\equiv o(H)</tex>. Merk at <tex>a</tex> har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en <tex>n\in \mathbb{N}</tex> slik at <tex>a^n=e</tex>, og <tex>o(a)</tex> er da den minste slike <tex>n</tex>.<br /> <br /> ===Sykliske grupper===<br /> <br /> En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex> generert av <tex>1</tex>.<br /> <br /> Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at <tex>G</tex> er generert av <tex>a</tex>, at <tex>H<G</tex> og at <tex>m</tex> er det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>. Anta så at det finnes et annet element <tex>a^n\in H</tex> med <tex>m<n</tex>. Hvis <tex>m</tex> ikke deler <tex>n</tex>, kan ikke <tex>m</tex> være det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>, ettersom <tex>a^{n-m}\in H</tex> og <tex>0<n-m<m</tex>. Altså må <tex>m</tex> dele <tex>n</tex>. Dermed er <tex>H</tex> generert av <tex>a^m</tex> og er dermed syklisk.<br /> <br /> ==Sideklasser==<br /> <br /> La <tex>H<G</tex>, og se på relasjonen <tex>a\sim b \, \Leftrightarrow \, a*b^{-1}\in H</tex>. Dette er en [[relasjoner|ekvivalensrelasjon]] på mengden <tex>G</tex>. Ekvivalensklassene er gitt ved<br /> <br /> <tex>[a]=\{b\in G \,|\, a\sim b\} = \{h*a \,|\, h\in H\} </tex><br /> <br /> For å se dette, merk at <tex>(h_1*a)*(h_2*a)^{-1}=h_1*a*a^{-1}*h_2^{-1}=h_1*h_2^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Mengden <tex>\{h*a \,|\, h\in H\}</tex> noteres <tex>Ha</tex> og kalles en høyre sideklasse til <tex>H</tex><br /> <br /> <br /> Alternativt kan vi la <tex>a\sim b \,\Leftrightarrow \, a^{-1}b\in H</tex>. Ekvivalensklassene blir da<br /> <br /> <tex>[a]=\{a*h \,|\, h\in H\} = aH</tex><br /> <br /> som kalles en venste sideklasse til <tex>H</tex>.<br /> <br /> <br /> Ettersom <tex>\sim</tex> er en ekvivalensrelasjon her, oppnår vi øyeblikkelig følgende resultater for høyre sideklasser. De tilsvarende utsagnene gjelder også for venstre sideklasser:<br /> <br /> 1. <tex>a\in H \, \Leftrightarrow \, Ha=H</tex><br /> <br /> 2. <tex>b\in Ha \,\Rightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 3. <tex>h\in H \, \Rightarrow H(h*a)=Ha</tex><br /> <br /> 4. <tex>Ha\cap Hb \neq \emptyset \, \Leftrightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 5. Mengden av høyre sideklasser av <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>.<br /> <br /> 6. <tex>a</tex> og <tex>b</tex> tilhører samme sideklasse kun hvis <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> ==Normale undergrupper og kvotientgrupper==<br /> <br /> ==Homomorfier==<br /> <br /> ==Ytre produkter av grupper==<br /> <br /> [[Kategori:Algebra]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Gruppeteori&diff=6317 Gruppeteori 2011-09-22T19:15:50Z

<p>Espen180: /* Sideklasser */</p> <hr /> <div>Gruppeteori er en gren av [[Algebra]] og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.<br /> <br /> ==Definisjon==<br /> <br /> La <tex>G</tex> være en ikketom mengde med <tex>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <tex>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:<br /> <br /> <br /> 1. <tex>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon=<br /> <br /> 2. <tex>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)<br /> <br /> 3. <tex>\exists e \in G</tex> slik at <tex>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)<br /> <br /> 4. <tex>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <tex>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)<br /> <br /> 5. <tex>a*b=b*a</tex><br /> <br /> <br /> En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive <tex>G</tex>, og la operasjonen være implisert.<br /> <br /> For en <tex>a\in G</tex> kan vi innføre forkortelsen <tex>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n \text{ elementer}}</tex>. Tilsvarende innfører vi <tex>a^{-n}=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\, ... \, * a^{-1}}_{n \text{ elementer}}</tex>. Dermed oppnår vi sammenhengene<br /> <br /> 1. <tex>a^n*a^m=a^{n+m}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\left(a^n\right)^m=a^{nm}</tex><br /> <br /> 3. <tex>a^0 = e</tex><br /> <br /> ===Eksempler===<br /> <br /> Eksempler på grupper er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex>, <tex>(\mathbb{Q},+)</tex>, <tex>(\mathbb{R},+)</tex> og <tex>(\mathbb{C},+)</tex>. I de tre siste kan vi også bytte ut addisjon med vanlig multiplikasjon og få nye gruppestrukturer. ''Hvorfor er ikke <tex>(\mathbb{Z},\cdot)</tex> en gruppe?''<br /> <br /> ==Elementære resultater==<br /> <br /> ===Forkortningslov===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=a*c</tex>. Da er <tex>b=c</tex><br /> <br /> <br /> Bevis: <tex>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex><br /> <br /> ===Identitetselementet er unikt===<br /> <br /> Anta at <tex>e_1</tex> og <tex>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <tex>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .<br /> <br /> <br /> Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <tex>b</tex> slik at <tex>a*b=a</tex> for en <tex>a</tex>, så er <tex>b=e</tex>.<br /> <br /> ===Inverser er unike===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=e</tex>. Da er <tex>b=a^{-1}</tex>. Anta at <tex>c*a=e</tex>. Da er <tex>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.<br /> <br /> ===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte===<br /> <br /> For elementer <tex>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <tex>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <tex>n</tex>.<br /> <br /> ==Undergrupper==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> være en gruppe, og la <tex>H</tex> være en ikketom undermengde av <tex>G</tex>, notert <tex>H\subset G</tex>. Da kalles <tex>(H,*)</tex> en undergruppe av <tex>(G,*)</tex> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <tex>G</tex>, notert ved <tex>H\leq G</tex>.<br /> <br /> To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis <tex>H</tex> er en ikketriviell undergruppe av <tex>G</tex> skriver vi <tex>H<G</tex>.<br /> <br /> ===Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper===<br /> <br /> De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, <tex>e</tex> må være et medlem i <tex>H</tex>, og for hvert element i <tex>H</tex>, må inversen også være et medlem.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: <tex>H</tex> er en under gruppe hvis og bare hvis for hver <tex>a,b \in H</tex>, så er <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Ettersom <tex>H</tex> ikke er tom, må det finnes et element <tex>a\in H</tex>. Dermed har vi at <tex>a*a^{-1}=e\in H</tex>, <tex>e*a^{-1}=a^{-1}\in H</tex>, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom <tex>b\in H</tex>, har vi <tex>b^{-1}\in H</tex>, så <tex>a*b \in H</tex> og <tex>H</tex> er dermed lukket.<br /> <br /> ==Orden==<br /> <br /> Ordenen til en gruppe <tex>G</tex> defineres som kardinaliteten til mengden <tex>G</tex>, notert <tex>o(G)</tex>. Hvis vi antar at <tex>a \in G</tex> og lar <tex>H=\{a^i | i\in \mathbb{Z}\}</tex>, vil <tex>H</tex> være en abelsk undergruppe av <tex>G</tex>, og vi da kaller vi <tex>H</tex> undergruppen av <tex>G</tex> generert av <tex>a</tex>. Vi kan da definere ordenen til et element <tex>a\in G</tex> som ordenen av undergruppen generert av <tex>a</tex>, det vil si <tex>o(a)\equiv o(H)</tex>. Merk at <tex>a</tex> har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en <tex>n\in \mathbb{N}</tex> slik at <tex>a^n=e</tex>, og <tex>o(a)</tex> er da den minste slike <tex>n</tex>.<br /> <br /> ===Sykliske grupper===<br /> <br /> En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex> generert av <tex>1</tex>.<br /> <br /> Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at <tex>G</tex> er generert av <tex>a</tex>, at <tex>H<G</tex> og at <tex>m</tex> er det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>. Anta så at det finnes et annet element <tex>a^n\in H</tex> med <tex>m<n</tex>. Hvis <tex>m</tex> ikke deler <tex>n</tex>, kan ikke <tex>m</tex> være det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>, ettersom <tex>a^{n-m}\in H</tex> og <tex>0<n-m<m</tex>. Altså må <tex>m</tex> dele <tex>n</tex>. Dermed er <tex>H</tex> generert av <tex>a^m</tex> og er dermed syklisk.<br /> <br /> ==Sideklasser==<br /> <br /> La <tex>H<G</tex>, og se på relasjonen <tex>a\sim b \, \Leftrightarrow \, a*b^{-1}\in H</tex>. Dette er en [[relasjoner|ekvivalensrelasjon]] på mengden <tex>G</tex>. Ekvivalensklassene er gitt ved<br /> <br /> <tex>[a]=\{b\in G \,|\, a\sim b\} = \{h*a \,|\, h\in H\} </tex><br /> <br /> For å se dette, merk at <tex>(h_1*a)*(h_2*a)^{-1}=h_1*a*a^{-1}*h_2^{-1}=h_1*h_2^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Mengden <tex>\{h*a \,|\, h\in H\}</tex> noteres <tex>Ha</tex> og kalles en høyre sideklasse til <tex>H</tex><br /> <br /> <br /> Alternativt kan vi la <tex>a\sim b \,\Leftrightarrow \, a^{-1}b\in H</tex>. Ekvivalensklassene blir da<br /> <br /> <tex>[a]=\{a*h \,|\, h\in H\} = aH</tex><br /> <br /> som kalles en venste sideklasse til <tex>H</tex>.<br /> <br /> <br /> Ettersom <tex>\sim</tex> er en ekvivalensrelasjon her, oppnår vi øyeblikkelig følgende resultater for høyre sideklasser. De tilsvarende utsagnene gjelder også for venstre sideklasser:<br /> <br /> 1. <tex>a\in H \, \Leftrightarrow \, Ha=H</tex><br /> <br /> 2. <tex>b\in Ha \,\Rightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 3. <tex>h\in H \, \Rightarrow H(h*a)=Ha</tex><br /> <br /> 4. <tex>Ha\cap Hb \neq \emptyset \, \Leftrightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 5. Mengden av høyre sideklasser av <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>.<br /> <br /> 6. <tex>a</tex> og <tex>b</tex> tilhører samme sideklasse kun hvis <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> ==Normale undergrupper og kvotientgrupper==<br /> <br /> ==Homomorfier==<br /> <br /> ==Ytre produkter av grupper==<br /> <br /> [[Kategori:Algebra]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Gruppeteori&diff=6316 Gruppeteori 2011-09-22T19:15:34Z

<p>Espen180: /* Sideklasser */</p> <hr /> <div>Gruppeteori er en gren av [[Algebra]] og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.<br /> <br /> ==Definisjon==<br /> <br /> La <tex>G</tex> være en ikketom mengde med <tex>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <tex>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:<br /> <br /> <br /> 1. <tex>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon=<br /> <br /> 2. <tex>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)<br /> <br /> 3. <tex>\exists e \in G</tex> slik at <tex>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)<br /> <br /> 4. <tex>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <tex>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)<br /> <br /> 5. <tex>a*b=b*a</tex><br /> <br /> <br /> En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive <tex>G</tex>, og la operasjonen være implisert.<br /> <br /> For en <tex>a\in G</tex> kan vi innføre forkortelsen <tex>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n \text{ elementer}}</tex>. Tilsvarende innfører vi <tex>a^{-n}=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\, ... \, * a^{-1}}_{n \text{ elementer}}</tex>. Dermed oppnår vi sammenhengene<br /> <br /> 1. <tex>a^n*a^m=a^{n+m}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\left(a^n\right)^m=a^{nm}</tex><br /> <br /> 3. <tex>a^0 = e</tex><br /> <br /> ===Eksempler===<br /> <br /> Eksempler på grupper er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex>, <tex>(\mathbb{Q},+)</tex>, <tex>(\mathbb{R},+)</tex> og <tex>(\mathbb{C},+)</tex>. I de tre siste kan vi også bytte ut addisjon med vanlig multiplikasjon og få nye gruppestrukturer. ''Hvorfor er ikke <tex>(\mathbb{Z},\cdot)</tex> en gruppe?''<br /> <br /> ==Elementære resultater==<br /> <br /> ===Forkortningslov===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=a*c</tex>. Da er <tex>b=c</tex><br /> <br /> <br /> Bevis: <tex>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex><br /> <br /> ===Identitetselementet er unikt===<br /> <br /> Anta at <tex>e_1</tex> og <tex>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <tex>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .<br /> <br /> <br /> Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <tex>b</tex> slik at <tex>a*b=a</tex> for en <tex>a</tex>, så er <tex>b=e</tex>.<br /> <br /> ===Inverser er unike===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=e</tex>. Da er <tex>b=a^{-1}</tex>. Anta at <tex>c*a=e</tex>. Da er <tex>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.<br /> <br /> ===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte===<br /> <br /> For elementer <tex>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <tex>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <tex>n</tex>.<br /> <br /> ==Undergrupper==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> være en gruppe, og la <tex>H</tex> være en ikketom undermengde av <tex>G</tex>, notert <tex>H\subset G</tex>. Da kalles <tex>(H,*)</tex> en undergruppe av <tex>(G,*)</tex> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <tex>G</tex>, notert ved <tex>H\leq G</tex>.<br /> <br /> To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis <tex>H</tex> er en ikketriviell undergruppe av <tex>G</tex> skriver vi <tex>H<G</tex>.<br /> <br /> ===Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper===<br /> <br /> De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, <tex>e</tex> må være et medlem i <tex>H</tex>, og for hvert element i <tex>H</tex>, må inversen også være et medlem.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: <tex>H</tex> er en under gruppe hvis og bare hvis for hver <tex>a,b \in H</tex>, så er <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Ettersom <tex>H</tex> ikke er tom, må det finnes et element <tex>a\in H</tex>. Dermed har vi at <tex>a*a^{-1}=e\in H</tex>, <tex>e*a^{-1}=a^{-1}\in H</tex>, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom <tex>b\in H</tex>, har vi <tex>b^{-1}\in H</tex>, så <tex>a*b \in H</tex> og <tex>H</tex> er dermed lukket.<br /> <br /> ==Orden==<br /> <br /> Ordenen til en gruppe <tex>G</tex> defineres som kardinaliteten til mengden <tex>G</tex>, notert <tex>o(G)</tex>. Hvis vi antar at <tex>a \in G</tex> og lar <tex>H=\{a^i | i\in \mathbb{Z}\}</tex>, vil <tex>H</tex> være en abelsk undergruppe av <tex>G</tex>, og vi da kaller vi <tex>H</tex> undergruppen av <tex>G</tex> generert av <tex>a</tex>. Vi kan da definere ordenen til et element <tex>a\in G</tex> som ordenen av undergruppen generert av <tex>a</tex>, det vil si <tex>o(a)\equiv o(H)</tex>. Merk at <tex>a</tex> har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en <tex>n\in \mathbb{N}</tex> slik at <tex>a^n=e</tex>, og <tex>o(a)</tex> er da den minste slike <tex>n</tex>.<br /> <br /> ===Sykliske grupper===<br /> <br /> En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex> generert av <tex>1</tex>.<br /> <br /> Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at <tex>G</tex> er generert av <tex>a</tex>, at <tex>H<G</tex> og at <tex>m</tex> er det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>. Anta så at det finnes et annet element <tex>a^n\in H</tex> med <tex>m<n</tex>. Hvis <tex>m</tex> ikke deler <tex>n</tex>, kan ikke <tex>m</tex> være det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>, ettersom <tex>a^{n-m}\in H</tex> og <tex>0<n-m<m</tex>. Altså må <tex>m</tex> dele <tex>n</tex>. Dermed er <tex>H</tex> generert av <tex>a^m</tex> og er dermed syklisk.<br /> <br /> ==Sideklasser==<br /> <br /> La <tex>H<G</tex>, og se på relasjonen <tex>a\sim b \, \Leftrightarrow \, a*b^{-1}\in H</tex>. Dette er en [[relasjoner|ekvivalensrelasjon]] på mengden <tex>G</tex>. Ekvivalensklassene er gitt ved<br /> <br /> <tex>[a]=\{b\in G \,|\, a\sim b\} = \{h*a \,|\, h\in H\} </tex><br /> <br /> For å se dette, merk at <tex>(h_1*a)*(h_2*a)^{-1}=h_1*a*a^{-1}*h_2^{-1}=h_1*h_2^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Mengden <tex>\{h*a \,|\, h\in H\}</tex> noteres <tex>Ha</tex> og kalles en høyre sideklasse til <tex>H</tex><br /> <br /> <br /> Alternativt kan vi la <tex>a\sim b \,\Leftrightarrow \, a^{-1}b\in H</tex>. Ekvivalensklassene blir da<br /> <br /> <tex>[a]=\{a*h \,|\, h\in H\} = aH</tex><br /> <br /> som kalles en venste sideklasse til <tex>H</tex>.<br /> <br /> <br /> Ettersom <tex>\sim</tex> er en ekvivalensrelasjon her, oppnår vi øyeblikkelig følgende resultater for høyre sideklasser. De tilsvarende utsagnene gjelder også for venstre sideklasser:<br /> <br /> 1. <tex>a\in H \, \Leftrightarrow \, Ha=H</tex><br /> <br /> 2. <tex>b\in Ha \,\Righgtarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 3. <tex>h\in H \, \Rightarrow H(h*a)=Ha</tex><br /> <br /> 4. <tex>Ha\cap Hb \neq \emptyset \, \Leftrightarrow Ha=Hb</tex><br /> <br /> 5. Mengden av høyre sideklasser av <tex>H</tex> partisjonerer <tex>G</tex>.<br /> <br /> 6. <tex>a</tex> og <tex>b</tex> tilhører samme sideklasse kun hvis <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> ==Normale undergrupper og kvotientgrupper==<br /> <br /> ==Homomorfier==<br /> <br /> ==Ytre produkter av grupper==<br /> <br /> [[Kategori:Algebra]]</div>

Espen180 https://matematikk.net/w/index.php?title=Gruppeteori&diff=6314 Gruppeteori 2011-09-22T09:56:59Z

<p>Espen180: /* Sideklasser */</p> <hr /> <div>Gruppeteori er en gren av [[Algebra]] og omhandler den enkleste algebraiske strukturen hvis operasjon oppviser assisiasjon og tillater inverser.<br /> <br /> ==Definisjon==<br /> <br /> La <tex>G</tex> være en ikketom mengde med <tex>a,b,c\in G</tex> og med en definert operasjon <tex>*</tex>, kalt multiplikasjon, og se på følgende egenskaper:<br /> <br /> <br /> 1. <tex>a*b\in G</tex> (Lukkethet under multiplikasjon=<br /> <br /> 2. <tex>(a*b)*c=a*(b*c)</tex> (Assosiativitet)<br /> <br /> 3. <tex>\exists e \in G</tex> slik at <tex>e*a=a*e=a</tex> (Eksistens av identitetselement)<br /> <br /> 4. <tex>\exists a^{-1} \forall a</tex> slik at <tex>a^{-1}*a=a*a^{-1}=e</tex> (Eksistens av inverser)<br /> <br /> 5. <tex>a*b=b*a</tex><br /> <br /> <br /> En gruppe <tex>G</tex> med operasjon <tex>*</tex> som tilfredsstiller 1.-4. kalles en gruppe. Hvis den i tillegg tilfredsstiller 5., kalles den en kommutativ eller abelsk gruppe. Gruppen og operasjonen kan skrives kompakt med notasjonen <tex>(G,*)</tex>, men i denne artikkelen vil vi som regel skrive <tex>G</tex>, og la operasjonen være implisert.<br /> <br /> For en <tex>a\in G</tex> kan vi innføre forkortelsen <tex>a^n=\underbrace{a*a*\,...\,*a}_{n \text{ elementer}}</tex>. Tilsvarende innfører vi <tex>a^{-n}=\underbrace{a^{-1}*a^{-1}*\, ... \, * a^{-1}}_{n \text{ elementer}}</tex>. Dermed oppnår vi sammenhengene<br /> <br /> 1. <tex>a^n*a^m=a^{n+m}</tex><br /> <br /> 2. <tex>\left(a^n\right)^m=a^{nm}</tex><br /> <br /> 3. <tex>a^0 = e</tex><br /> <br /> ===Eksempler===<br /> <br /> Eksempler på grupper er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex>, <tex>(\mathbb{Q},+)</tex>, <tex>(\mathbb{R},+)</tex> og <tex>(\mathbb{C},+)</tex>. I de tre siste kan vi også bytte ut addisjon med vanlig multiplikasjon og få nye gruppestrukturer. ''Hvorfor er ikke <tex>(\mathbb{Z},\cdot)</tex> en gruppe?''<br /> <br /> ==Elementære resultater==<br /> <br /> ===Forkortningslov===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=a*c</tex>. Da er <tex>b=c</tex><br /> <br /> <br /> Bevis: <tex>b=a^{-1}*a*b=a^{-1}*a*c=c</tex><br /> <br /> ===Identitetselementet er unikt===<br /> <br /> Anta at <tex>e_1</tex> og <tex>e_2</tex> er identitetselementer. Da har vi <tex>e_1=e_1*e_2=e_2</tex> .<br /> <br /> <br /> Ved forkortningsloven har vi faktisk at hvis det finnes et element <tex>b</tex> slik at <tex>a*b=a</tex> for en <tex>a</tex>, så er <tex>b=e</tex>.<br /> <br /> ===Inverser er unike===<br /> <br /> Anta at <tex>a*b=e</tex>. Da er <tex>b=a^{-1}</tex>. Anta at <tex>c*a=e</tex>. Da er <tex>c=a^{-1}</tex> og dermed er inverser unike.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette er et spesialtilfelle av forkortningsloven.<br /> <br /> ===Produkter med flere enn 2 elementer er veldefinerte===<br /> <br /> For elementer <tex>a_1, a_2,..., a_n</tex> er verdien av produktet <tex>a_1*a_2*...*a_n</tex> veldefinert.<br /> <br /> <br /> Bevis: Dette kan gjøres ved induksjon på <tex>n</tex>.<br /> <br /> ==Undergrupper==<br /> <br /> La <tex>(G,*)</tex> være en gruppe, og la <tex>H</tex> være en ikketom undermengde av <tex>G</tex>, notert <tex>H\subset G</tex>. Da kalles <tex>(H,*)</tex> en undergruppe av <tex>(G,*)</tex> dersom den er en gruppe i seg selv over den samme operasjonen som ble definert over <tex>G</tex>, notert ved <tex>H\leq G</tex>.<br /> <br /> To av undergruppene til enhver gruppe er gruppen selv og undergruppen som kun inneholder identitetselementet. Disse er de trivielle undergruppene. Hvis <tex>H</tex> er en ikketriviell undergruppe av <tex>G</tex> skriver vi <tex>H<G</tex>.<br /> <br /> ===Nødvendige og tilstrekkelige krav til undergrupper===<br /> <br /> De nødvendige kravene er følgende: Undergruppen må være lukket, <tex>e</tex> må være et medlem i <tex>H</tex>, og for hvert element i <tex>H</tex>, må inversen også være et medlem.<br /> <br /> <br /> Det viser seg at det finnes et enklere krav til er tilstrekkelig: <tex>H</tex> er en under gruppe hvis og bare hvis for hver <tex>a,b \in H</tex>, så er <tex>a*b^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Ettersom <tex>H</tex> ikke er tom, må det finnes et element <tex>a\in H</tex>. Dermed har vi at <tex>a*a^{-1}=e\in H</tex>, <tex>e*a^{-1}=a^{-1}\in H</tex>, så vi har dekket identiteten og inverser. Til slutt, merk at dersom <tex>b\in H</tex>, har vi <tex>b^{-1}\in H</tex>, så <tex>a*b \in H</tex> og <tex>H</tex> er dermed lukket.<br /> <br /> ==Orden==<br /> <br /> Ordenen til en gruppe <tex>G</tex> defineres som kardinaliteten til mengden <tex>G</tex>, notert <tex>o(G)</tex>. Hvis vi antar at <tex>a \in G</tex> og lar <tex>H=\{a^i | i\in \mathbb{Z}\}</tex>, vil <tex>H</tex> være en abelsk undergruppe av <tex>G</tex>, og vi da kaller vi <tex>H</tex> undergruppen av <tex>G</tex> generert av <tex>a</tex>. Vi kan da definere ordenen til et element <tex>a\in G</tex> som ordenen av undergruppen generert av <tex>a</tex>, det vil si <tex>o(a)\equiv o(H)</tex>. Merk at <tex>a</tex> har endelig orden hvis og bare hvis det finnes en <tex>n\in \mathbb{N}</tex> slik at <tex>a^n=e</tex>, og <tex>o(a)</tex> er da den minste slike <tex>n</tex>.<br /> <br /> ===Sykliske grupper===<br /> <br /> En gruppe er definert som syklisk hvis den har et genererende element. For eksempel er <tex>(\mathbb{Z},+)</tex> generert av <tex>1</tex>.<br /> <br /> Enhver undergruppe av en syklisk gruppe må selv være syklisk. For å se dette, anta at <tex>G</tex> er generert av <tex>a</tex>, at <tex>H<G</tex> og at <tex>m</tex> er det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>. Anta så at det finnes et annet element <tex>a^n\in H</tex> med <tex>m<n</tex>. Hvis <tex>m</tex> ikke deler <tex>n</tex>, kan ikke <tex>m</tex> være det minste positive heltallet slik at <tex>a^m\in H</tex>, ettersom <tex>a^{n-m}\in H</tex> og <tex>0<n-m<m</tex>. Altså må <tex>m</tex> dele <tex>n</tex>. Dermed er <tex>H</tex> generert av <tex>a^m</tex> og er dermed syklisk.<br /> <br /> ==Sideklasser==<br /> <br /> La <tex>H<G</tex>, og se på relasjonen <tex>a\sim b \, \Leftrightarrow \, a*b^{-1}\in H</tex>. Dette er en [[relasjoner|ekvivalensrelasjon]] på mengden <tex>G</tex>. Ekvivalensklassene er gitt ved<br /> <br /> <tex>[a]=\{b\in G \,|\, a\sim b\} = \{h*a \,|\, h\in H\} </tex><br /> <br /> For å se dette, merk at <tex>(h_1*a)*(h_2*a)^{-1}=h_1*a*a^{-1}*h_2^{-1}=h_1*h_2^{-1}\in H</tex>.<br /> <br /> Mengden <tex>\{h*a \,|\, h\in H\}</tex> noteres <tex>Ha</tex> og kalles en høyre sideklasse til <tex>H</tex><br /> <br /> ==Normale undergrupper og kvotientgrupper==<br /> <br /> ==Homomorfier==<br /> <br /> ==Ytre produkter av grupper==<br /> <br /> [[Kategori:Algebra]]</div>

Espen180