R2 2018 vår LØSNING

2018-05-28T13:17:44Z

Jacobnatvig:

Løsning R2 Vår 18
Løsningsforslag Eksamen vår 2018

Del 1 – Uten hjelpemidler + forslag poengfordeling

Oppgave 1 (1+2poeng )
Deriver funksjonene
f(x)=cos⁡〖(πx-2)〗
f^' (x)=〖-πsin〗⁡〖(πx-2)〗

g(x)=x⋅sin⁡x u=sin⁡x,u^'=cos⁡x v=x,v^'=1
g^' (x)=u^'⋅v+u⋅v^'=x⋅cos⁡x+sin⁡x⋅1=
=x⋅cos⁡x+sin⁡x

Oppgave 2 (1+1+2 poeng)
Bestem integralene
∫4x^2+3x dx
=4/3 x^3+3/2 x^2+C

∫4x^2 ln⁡x dx
Bruker delvis integrasjon
u=ln⁡x⇒u^'=1/x
v^'=4x^2⇒v=4/3 x^3
∫▒〖u⋅v^' 〗 dx=u⋅v-∫▒〖u^'⋅v〗 dx
∫4x^2 ln⁡x dx=ln⁡x⋅4/3 x^3-∫▒〖4/3 x^3⋅1/x dx〗=ln⁡x⋅4/3 x^3-∫▒〖4/3 x^2 dx〗=ln⁡x⋅4/3 x^3-1/3 x^4+C

c) ∫_0^(√12)▒〖 2x/(x^2+4)〗 dx Bruker variabelskifte :u=x^2+4,du/dx=2x ,dx=du/2x

∫_0^(√12)▒〖 2x/(x^2+4)〗 dx=∫_0^(√12)▒〖 2x/u〗 du/2x=[ln⁡〖|u|〗 ]_0^√12=[ln⁡〖|x^2+4|〗 ]_0^√12=ln⁡〖|〖√12〗^2+4| 〗-ln⁡|0-4|=ln⁡〖16-ln⁡4 〗=ln⁡〖16/4〗=ln⁡4=2 ln⁡2
Oppgave 3
I en aritmetisk rekk3 a_1+a_2+a_3+a_4+⋯a_n er a_2=4 og a_5=13
Bestem en eksplisitt formel for summen av rekka
I: a_2=a_1+d=4
II: a_5=a_1+4⋅d=13
II-I gir (a_1+4⋅d)-a_1+d=13-4
3d=9⇔d=3
d=3 i I gir a_1+3=4⇔a_1=1
S_n=(2a_1+d(n-1))n/2=(2+3(n-1))n/2=(3n-1)n/2=(3n^2-n)/2
Oppgave 4( 2+1 poeng)
Løs differensiallikningene
y^'=(sin⁡x ) y^2 , y(π)=1.
y^'/y^2 =(sin⁡x )
∫dy/y^2 =∫(sin⁡x )dx
-1/y=-cos⁡x+C
y=1/(cos⁡x+C)

b)
1=1/(cos⁡π+C)

C=1-cos⁡π=2
y=1/(cos⁡x+2)
Oppgave 5 (2+2 poeng)
En funksjon er gitt ved
f(x)=1-x^2
Bestem arealet av flatestykket F som er begrenset av grafen til f, (x-aksen)
f(x) vil være positiv i hele definisjonsmengden.
Finner skjæring først f(x)=0 , x=±1
A=∫_(-1)^1▒1-x^2 dx=[x-1/3 x^3 ]_(-1)^1=(1-1/3)-(-1-1/3 (-1)^3 )=1-1/3-(-1+1/3)=4/3

Finn volumet av figuren som framkommer ved å rotere flatestykket F 360° om x-aksen.
Omdreiningslegemet vil ha volumet gitt ved
V=π∫_a^b▒〖f(x)^2 〗 dx=π∫_(-1)^1▒(1-x^2 )^2 dx=π∫_(-1)^1▒〖1-〖2x〗^2+x^4 〗 dx=π[x-〖2/3 x〗^3+1/5 x^5 ]_(-1)^1=π(1-2/3+1/5)-π(-1+2/3-1/5)=16/15 π
V=16/15 π

Oppgave 6
f(x)=2 sin⁡(π/2 (x-1)) ,x∈〈1,9〉
Topppunkt f(x)=2 når sin⁡(π/2 (x-1))=1
sin⁡(π/2 (x-1))=1
π/2 (x-1)=π/2+n⋅2π
π/2 x=π/2+π/2+n⋅2π
x=π⋅2/π+n⋅2π⋅2/π
x=2+n⋅4
x∈〈1,9〉 gir Topppunkt (2,2) og (6,2)
Bunnpunkt f(x)= -2 når sin⁡(π/2 (x-1))=-1
sin⁡(π/2 (x-1))=-1
π/2 (x-1)=-π/2+n⋅2π
π/2 x=-π/2+π/2+n⋅2π
x=n⋅2π⋅2/π
x=n⋅4
Bunnpunkt (4,-2),(8,-2)

2 sin⁡(π/2 (x-1))=0
sin⁡(π/2 (x-1))=0
π/2 (x-1)=n⋅π (snarvei=))
π/2 x=π/2+n⋅π
x=1+n⋅2
Null punkt for x=3 ,x=5 ,x=7 (x=1 og x=9 er utenfor)
L={3,5,7}

2 sin⁡(π/2 (x-1))=√3
sin⁡(π/2 (x-1))=√3/2
π/2 (x-1)=π/3+n⋅2π ∨ π/2 (x-1)=2π/3+n⋅2π
π/2 x=π/3+π/2+n⋅2π ∨ π/2 x=2π/3+π/2+n⋅2π
x=5π/6⋅2/π+n⋅2π⋅2/π ∨ x=7π/6⋅2/π+n⋅2π⋅2/π
x=5/3+4n ∨ x=7/3+4n
L={5/3,7/3,17/3,19/3}

Oppgave 5
En kuleflate er gitt ved x^2-6x+y^2+4y+z^2-8z-20=0
Vis at kuleflaten har sentrum S(3,-2,4) og bestem radius
Likningen for en kuleflate kan skrives som (x-x_0 )^2+(y-y_o )^2+(z-z_0 )^2=r^2
der (x_0,y_0,z_0) er sentrum i kula og r er radius.
Skriver likninga x^2-6x+y^2+4y+z^2-8z-20=0 ved hjelp av kvadrater:
(x-3)^2+(y+2)^2+(z-4)^2=20+9+4+16
(x-3)^2+(y+2)^2+(z-4)^2=7^2

Denne likningsformen viser at kula har sentrum i S=(3,-2,4) og radius lik 7.

Et plan er gitt ved 6x-3y+2z-4=0
Bestem avstanden fra S til planet
h=|6⋅3-3⋅(-2)+2⋅4-4|/√(6^2+(-3)^2+2^2 )=(|18+6+8-4|)/√49=28/7=4
Skjæringen mellom planet og kula lager en sirkelen

Bestem arealet av sirkelen

Vi kjenner radius i kula =7 og avstans fra S til plan =4
Bruker pytagoras for å finne radiusi sirkelen
7^2-4^2=r^2=33
Arealet av sirkelen blir A=πr^2=33π

Oppgave 8
En uendelig geometrisk rekke er gitt ved S(x)=1-2x+4x^2-8x^3+⋯..
Avgjør når rekka konvergerer Rekka konvergerere når :
-1<k<1 der k era_(n+1)/a_n =-2x.
-1<-2x<1 gir -2<x<2
S(x)=1/(1-k)=1/(1+2x)
For hvilke verdier av a har S(x)=a løsning ?
S(x)=a gir 1/(1+2x)=a ,tar x<2 først ,S(2)=1/5 S Øker⁡〖mot uendelig når x→-1/2 〗 det⁡〖betyr at 〗
a∈〈1/5,∞〉
-2<x gir ,S(-2)=-1/3 S avtar⁡〖mot- uendelig når x→-1/2 〗 det⁡〖betyr at 〗
a∈〈-1/3,-∞〉
Det betyr at a kan ha alle verdier bortsett fra intervallet [-1/3,1/5]
a∈R\[-1/3,1/5]

Del 2 – Med hjelpemidler
Oppgave 1 (6 poeng)
Funksjonene til f og g er gitt ved
f(x)=-x^2+3x+3
g(x)=x^2+1

Bruk graftegner til å tegne grafene til f og g i samme koordinatsystem

Grafene avgrenser et flatestykke A
Bestem A med CAS

Arealet er 125/24 linje 4 cas

Tyngdepunktet er gitt ved (M/A,N/A) der M og N er gitt ved
M=∫_a^b▒〖x(f(x)-g(x))dx〗
M=1/2 ∫_a^b▒〖(f(x))^2-(g(x))^2 dx〗
Der a og b er x- koordinatene til skjæringspunktene mellom f og g og a<b
Bestem Koordinaten til T ved hjelp av CAS

Hva er perioden til f? Gi en praktisk tolkning av svaret.
Perioden er tiden mellom to bunnpunkter. Bruker kommandoen Ekstremalpunkt. Punktene B og D er bunnpunkter.
periode=19,716-6,389=13,327
Perioden til f er 13,33. Det betyr at tiden fra et lavvann til neste lavvann er 13 timer og 20 minutter.

Hvor raskt stiger vannet klokka 11.00, ifølge modellen?
Klokken 11.00 stiger vannet med 9,1 cm/time

Når endrer vannstanden seg raskest?

Vannet stiger raskest kl 9.44 synker raskest kl 03.04

Oppgave 2 (6 poeng)
Gitt punktene A(0,0,0) og B(1,t+2,3t),C(0,4,t+1)og D(t-3,8,1)
Besten arealet av trekanten ABC

Bruk CAS til å bestemme t slik at arealet til ABC blir 6

Arealet blir 6 for 4 ulike verdier av t Linje 8 CAS
Bestem t slik at volumet av Pyramiden ABCD blir størst mulig

Største volum er 18 .Cas linje 12 . cas 11 (7,18) er maks

Oppgave 3 (8 poeng)
I en by med 12000 innbyggere sprer det seg en smittsom sykdom. Det viser seg at vekstfarten i antall smittede personer til enhver tid er proporsjonal med antall personer som ennå ikke er smittet. Vi lar k være proporsjonaliteteskonstanten
Sett opp en differensiallikning som beskriver anatll smittede personer y(t), der t er antall uker atter at sykdommen ble oppdaget.
y^'=k(12000-y)
Vis at y(t)=12000-11900e^kt

Etter 10 uker var 4000 personer smittet
Bruk dette til å bestemme k.

På hvilket tidspunkt var halvparten av innbyggerene smittet?

Halvparten av innbyggerene er smittet etter 17.24 uker (17 uker og 1,7 døgn )

Oppgave 4
Femkanttallene er gitt ved
P_(n+1)=P_n+3n+1 ,P_1=1
Vis ved induksjon at P_n=(3n^2-n)/2
P_1=(3〖⋅1〗^2-1)/2=2/2=1 OK

Skal få HS: P_(n+1)=(3(n+1)^2-(n+1))/2=(3n^2+6n+3-n-1)/2=(3n^2+5n+2)/2
VS:P_(n+1)= P_n+3n+1=(3n^2-n)/2+3n+1
=(3n^2-n)/2+(6n+2)/2
=(3n^2-n+6n+2)/2
=(3n^2+5n+2)/2
VS=HS QED

Figuren viser at P_n=to summer til n-1 og en til n

P_n=(n(n-1))/2+(n(n-1))/2+n(n+1)/2
P_n=(n^2-n)/2+(n^2-n)/2+(n^2+n)/2

P_n=n^2-n+(n^2+n)/2
P_n=(〖2n^2-2n+n〗^2+n)/2
P_n=(3n^2-n)/2

R2 2018 vår LØSNING

2018-05-28T13:14:55Z

Jacobnatvig: Ny side: Løsning R2 Vår 18

Løsning R2 Vår 18

Matematikk.net - Brukerbidrag [nb]

R2 2018 vår LØSNING

R2 2018 vår LØSNING