Matematikk.net - Brukerbidrag [nb]

1T 2010 vår LØSNING

2012-01-28T18:00:40Z

Martin: /* f) */

= Del 1 =

== Oppgave 1 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

=== d) ===

=== e) ===

=== f) ===

Faktoriserer uttrykket ved hjelp av konjugatsetningen og regelen for faktorisering av fullstendig kvadrat, forkorter deretter uttrykket ved å stryke samme faktorer i teller og nevner:

<tex>\frac {x^2-9}{x^2+6x+9}=\frac {(x+3)\cdot (x-3)}{(x+3)(x+3)}=\frac {\cancel{(x+3)}\cdot (x-3)}{\cancel{(x+3)}(x+3)} =\frac {x-3}{x+3}</tex>

=== g) ===

<tex> \log(2x +4) = 3 \log 2 \Leftrightarrow \log (2x+4)= \log(2^3) \Leftrightarrow 2x+4=2^3 \Leftrightarrow 2x+4=8 \Leftrightarrow 2x=8-4 \Leftrightarrow 2x=4 \Leftrightarrow x= \frac 42 \Leftrightarrow x=2 </tex>

=== h) ===

''' 1) '''

Sannsynligheten er:

<tex> P=\frac 38 + \frac 28 = \frac 58 </tex>

''' 2) '''

=== i) ===

== Oppgave 2 ==

=== a) ===

=== b) ===

= Del 2 =

== Oppgave 3 ==

=== a) ===

Siden trekant ACD er rettvinklet er det greit å finne lengden AC ved hjelp av Pytagoras setning:

<tex> AC^2=AD^2+CD^2 \Leftrightarrow AC=\sqrt{AD^2+CD^2} =\sqrt{(3,0 m)^2 + (5,0 m)^2}=\sqrt{9,0 m^2 + 25 m^2}=\sqrt{34 m^2} \approx 5,8 m</tex>

=== b) ===

Når trekant <tex>BCD</tex> er likebeint (to av sidene er like lange), vet vi at også to av vinklene må være like lange. Vinkelsummen i en trekant er alltid 180 grader, så siden vinkel <tex>C</tex> er kjent kan vi regne ut de andre to:

<tex> \angle B=\angle D = \frac {180 ^\circ - \angle C}2 =\frac {180 ^\circ - 120 ^\circ }2= \frac {60 ^\circ}2= 30 ^\circ </tex>

Når vi kjenner størrelsen på denne vinkelen, kan vi finne <tex>BD</tex> ved hjelp av sinussetningen:

<tex>\frac {BD}{\sin \angle C}=\frac {CD}{\sin \angle B} \Leftrightarrow BD=\frac {CD \cdot \sin \angle C}{\sin \angle B}=\frac{5.0 \text{m} \cdot \sin (120 ^\circ)}{\sin (30 ^\circ)}=\frac {5.0 \text{m} \cdot \frac {\sqrt 3}2}{\frac 12}=5\sqrt 3 \text{m} \approx 8.66 \text{m} \approx 8.7 \text{m}</tex>

=== c) ===

''' 1) '''

''' 2) '''

== Oppgave 4 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

== Oppgave 5 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

== Oppgave 6 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

=== d) ===

== Oppgave 7 ==

=== Alternativ I ===

==== a) ====

''' 1) '''

''' 2) '''

==== b) ====

==== c) ====

=== Alternativ II ===

==== a) ====

==== b) ====

==== c) ====

==== d) ====

1T 2010 vår LØSNING

2012-01-28T17:58:56Z

Martin: /* g) */

= Del 1 =

== Oppgave 1 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

=== d) ===

=== e) ===

=== f) ===

Faktoriserer uttrykket vha konjugatsetningen og regelen for faktorisering av fullstendig kvadrat, forkorter deretter uttrykket ved å stryke samme faktorer i teller og nevner:

<tex>\frac {x^2-9}{x^2+6x+9}=\frac {(x+3)\cdot (x-3)}{(x+3)(x+3)}=\frac {\cancel{(x+3)}\cdot (x-3)}{\cancel{(x+3)}(x+3)} =\frac {x-3}{x+3}</tex>

=== g) ===

<tex> \log(2x +4) = 3 \log 2 \Leftrightarrow \log (2x+4)= \log(2^3) \Leftrightarrow 2x+4=2^3 \Leftrightarrow 2x+4=8 \Leftrightarrow 2x=8-4 \Leftrightarrow 2x=4 \Leftrightarrow x= \frac 42 \Leftrightarrow x=2 </tex>

=== h) ===

''' 1) '''

Sannsynligheten er:

<tex> P=\frac 38 + \frac 28 = \frac 58 </tex>

''' 2) '''

=== i) ===

== Oppgave 2 ==

=== a) ===

=== b) ===

= Del 2 =

== Oppgave 3 ==

=== a) ===

Siden trekant ACD er rettvinklet er det greit å finne lengden AC ved hjelp av Pytagoras setning:

<tex> AC^2=AD^2+CD^2 \Leftrightarrow AC=\sqrt{AD^2+CD^2} =\sqrt{(3,0 m)^2 + (5,0 m)^2}=\sqrt{9,0 m^2 + 25 m^2}=\sqrt{34 m^2} \approx 5,8 m</tex>

=== b) ===

Når trekant <tex>BCD</tex> er likebeint (to av sidene er like lange), vet vi at også to av vinklene må være like lange. Vinkelsummen i en trekant er alltid 180 grader, så siden vinkel <tex>C</tex> er kjent kan vi regne ut de andre to:

<tex> \angle B=\angle D = \frac {180 ^\circ - \angle C}2 =\frac {180 ^\circ - 120 ^\circ }2= \frac {60 ^\circ}2= 30 ^\circ </tex>

Når vi kjenner størrelsen på denne vinkelen, kan vi finne <tex>BD</tex> ved hjelp av sinussetningen:

<tex>\frac {BD}{\sin \angle C}=\frac {CD}{\sin \angle B} \Leftrightarrow BD=\frac {CD \cdot \sin \angle C}{\sin \angle B}=\frac{5.0 \text{m} \cdot \sin (120 ^\circ)}{\sin (30 ^\circ)}=\frac {5.0 \text{m} \cdot \frac {\sqrt 3}2}{\frac 12}=5\sqrt 3 \text{m} \approx 8.66 \text{m} \approx 8.7 \text{m}</tex>

=== c) ===

''' 1) '''

''' 2) '''

== Oppgave 4 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

== Oppgave 5 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

== Oppgave 6 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

=== d) ===

== Oppgave 7 ==

=== Alternativ I ===

==== a) ====

''' 1) '''

''' 2) '''

==== b) ====

==== c) ====

=== Alternativ II ===

==== a) ====

==== b) ====

==== c) ====

==== d) ====

1T 2010 vår LØSNING

2012-01-28T17:57:36Z

Martin: /* a) */

= Del 1 =

== Oppgave 1 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

=== d) ===

=== e) ===

=== f) ===

Faktoriserer uttrykket vha konjugatsetningen og regelen for faktorisering av fullstendig kvadrat, forkorter deretter uttrykket ved å stryke samme faktorer i teller og nevner:

<tex>\frac {x^2-9}{x^2+6x+9}=\frac {(x+3)\cdot (x-3)}{(x+3)(x+3)}=\frac {\cancel{(x+3)}\cdot (x-3)}{\cancel{(x+3)}(x+3)} =\frac {x-3}{x+3}</tex>

=== g) ===

<tex>lg(2x +4) = 3lg2 \Leftrightarrow lg(2x+4)=lg(2^3) \Leftrightarrow 2x+4=2^3 \Leftrightarrow 2x+4=8 \Leftrightarrow 2x=8-4 \Leftrightarrow 2x=4 \Leftrightarrow x= \frac 42 \Leftrightarrow x=2 </tex>

=== h) ===

''' 1) '''

Sannsynligheten er:

<tex> P=\frac 38 + \frac 28 = \frac 58 </tex>

''' 2) '''

=== i) ===

== Oppgave 2 ==

=== a) ===

=== b) ===

= Del 2 =

== Oppgave 3 ==

=== a) ===

Siden trekant ACD er rettvinklet er det greit å finne lengden AC ved hjelp av Pytagoras setning:

<tex> AC^2=AD^2+CD^2 \Leftrightarrow AC=\sqrt{AD^2+CD^2} =\sqrt{(3,0 m)^2 + (5,0 m)^2}=\sqrt{9,0 m^2 + 25 m^2}=\sqrt{34 m^2} \approx 5,8 m</tex>

=== b) ===

Når trekant <tex>BCD</tex> er likebeint (to av sidene er like lange), vet vi at også to av vinklene må være like lange. Vinkelsummen i en trekant er alltid 180 grader, så siden vinkel <tex>C</tex> er kjent kan vi regne ut de andre to:

<tex> \angle B=\angle D = \frac {180 ^\circ - \angle C}2 =\frac {180 ^\circ - 120 ^\circ }2= \frac {60 ^\circ}2= 30 ^\circ </tex>

Når vi kjenner størrelsen på denne vinkelen, kan vi finne <tex>BD</tex> ved hjelp av sinussetningen:

<tex>\frac {BD}{\sin \angle C}=\frac {CD}{\sin \angle B} \Leftrightarrow BD=\frac {CD \cdot \sin \angle C}{\sin \angle B}=\frac{5.0 \text{m} \cdot \sin (120 ^\circ)}{\sin (30 ^\circ)}=\frac {5.0 \text{m} \cdot \frac {\sqrt 3}2}{\frac 12}=5\sqrt 3 \text{m} \approx 8.66 \text{m} \approx 8.7 \text{m}</tex>

=== c) ===

''' 1) '''

''' 2) '''

== Oppgave 4 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

== Oppgave 5 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

== Oppgave 6 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

=== d) ===

== Oppgave 7 ==

=== Alternativ I ===

==== a) ====

''' 1) '''

''' 2) '''

==== b) ====

==== c) ====

=== Alternativ II ===

==== a) ====

==== b) ====

==== c) ====

==== d) ====

1T 2010 vår LØSNING

2012-01-28T17:56:49Z

Martin: /* b) */

= Del 1 =

== Oppgave 1 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

=== d) ===

=== e) ===

=== f) ===

Faktoriserer uttrykket vha konjugatsetningen og regelen for faktorisering av fullstendig kvadrat, forkorter deretter uttrykket ved å stryke samme faktorer i teller og nevner:

<tex>\frac {x^2-9}{x^2+6x+9}=\frac {(x+3)\cdot (x-3)}{(x+3)(x+3)}=\frac {\cancel{(x+3)}\cdot (x-3)}{\cancel{(x+3)}(x+3)} =\frac {x-3}{x+3}</tex>

=== g) ===

<tex>lg(2x +4) = 3lg2 \Leftrightarrow lg(2x+4)=lg(2^3) \Leftrightarrow 2x+4=2^3 \Leftrightarrow 2x+4=8 \Leftrightarrow 2x=8-4 \Leftrightarrow 2x=4 \Leftrightarrow x= \frac 42 \Leftrightarrow x=2 </tex>

=== h) ===

''' 1) '''

Sannsynligheten er:

<tex> P=\frac 38 + \frac 28 = \frac 58 </tex>

''' 2) '''

=== i) ===

== Oppgave 2 ==

=== a) ===

=== b) ===

= Del 2 =

== Oppgave 3 ==

=== a) ===

Siden trekant ACD er rettvinklet er det greit å finne lengden AC ved hjelp av Pytagoras setning:

<tex> AC^2=AD^2+CD^2 \Leftrightarrow AC=\sqrt{AD^2+CD^2} =\sqrt{(3,0 m)^2 + (5,0 m)^2}=\sqrt{9,0 m^2 + 25 m^2}=\sqrt{34 m^2} \approx 5,8 m</tex>

=== b) ===

Når trekant <tex>BCD</tex> er likebeint (to av sidene er like lange), vet vi at også to av vinklene må være like lange. Vinkelsummen i en trekant er alltid 180 grader, så siden vinkel <tex>C</tex> er kjent kan vi regne ut de andre to:

<tex> \angle B=\angle D = \frac {180 ^\circ - \angle C}2 =\frac {180 ^\circ - 120 ^\circ }2= \frac {60 ^\circ}2= 30 ^\circ </tex>

Når vi kjenner størrelsen på denne vinkelen, kan vi finne <tex>BD</tex> ved hjelp av sinussetningen:

<tex>\frac {BD}{\sin \angle C}=\frac {CD}{\sin \angle B} \Leftrightarrow BD=\frac {CD \cdot \sin \angle C}{\sin \angle B}=\frac{5.0 \text{m} \cdot \sin (120 ^\circ)}{\sin (30 ^\circ)}=\frac {5.0 \text{m} \cdot \frac {\sqrt 3}2}{\frac 12}=5\sqrt 3 \text{m} \approx 8.66 \text{m} \approx 8.7 \text{m}</tex>

=== c) ===

''' 1) '''

''' 2) '''

== Oppgave 4 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

== Oppgave 5 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

== Oppgave 6 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

=== d) ===

== Oppgave 7 ==

=== Alternativ I ===

==== a) ====

''' 1) '''
''' 2) '''

==== b) ====

==== c) ====

=== Alternativ II ===

==== a) ====

==== b) ====

==== c) ====

==== d) ====

1T 2010 vår LØSNING

2012-01-28T17:48:42Z

Martin: /* b) */

= Del 1 =

== Oppgave 1 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

=== d) ===

=== e) ===

=== f) ===

Faktoriserer uttrykket vha konjugatsetningen og regelen for faktorisering av fullstendig kvadrat, forkorter deretter uttrykket ved å stryke samme faktorer i teller og nevner:

<tex>\frac {x^2-9}{x^2+6x+9}=\frac {(x+3)\cdot (x-3)}{(x+3)(x+3)}=\frac {\cancel{(x+3)}\cdot (x-3)}{\cancel{(x+3)}(x+3)} =\frac {x-3}{x+3}</tex>

=== g) ===

<tex>lg(2x +4) = 3lg2 \Leftrightarrow lg(2x+4)=lg(2^3) \Leftrightarrow 2x+4=2^3 \Leftrightarrow 2x+4=8 \Leftrightarrow 2x=8-4 \Leftrightarrow 2x=4 \Leftrightarrow x= \frac 42 \Leftrightarrow x=2 </tex>

=== h) ===

''' 1) '''

Sannsynligheten er:

<tex> P=\frac 38 + \frac 28 = \frac 58 </tex>

''' 2) '''

=== i) ===

== Oppgave 2 ==

=== a) ===

=== b) ===

= Del 2 =

== Oppgave 3 ==

=== a) ===

Siden trekant ACD er rettvinklet er det greit å finne lengden AC ved hjelp av Pytagoras setning:

<tex> AC^2=AD^2+CD^2 \Leftrightarrow AC=\sqrt{AD^2+CD^2} =\sqrt{(3,0 m)^2 + (5,0 m)^2}=\sqrt{9,0 m^2 + 25 m^2}=\sqrt{34 m^2} \approx 5,8 m</tex>

=== b) ===

Når trekant BCD er likebeint (to av sidene er like lange), vet vi at også to av vinklene må være like lange. Vinkelsummen i en trekant er alltid 180 grader, så siden vinkel C er kjent kan vi regne ut de andre to:

<tex> \angle B=\angle D = \frac {180 ^\circ - \angle C}2 =\frac {180 ^\circ - 120 ^\circ }2= \frac {60 ^\circ}2= 30 ^\circ </tex>

Når vi kjenner størrelsen på denne vinkelen, kan vi finne BD ved hjelp av sinussetningen:

<tex>\frac {BD}{sin\angle C}=\frac {CD}{sin \angle B} \Leftrightarrow BD=\frac {CD \cdot sin \angle C}{sin\angle B}=\frac{5,0 m \cdot sin (120 ^\circ)}{sin (30 ^\circ)}=\frac {5,0 m \cdot \frac {\sqrt 3}2}{\frac 12}=5\sqrt 3=8,66 \approx 8,7</tex>

=== c) ===

''' 1) '''

''' 2) '''

== Oppgave 4 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

== Oppgave 5 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

== Oppgave 6 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

=== d) ===

== Oppgave 7 ==

=== Alternativ I ===

==== a) ====

''' 1) '''
''' 2) '''

==== b) ====

==== c) ====

=== Alternativ II ===

==== a) ====

==== b) ====

==== c) ====

==== d) ====

1T 2010 vår LØSNING

2012-01-28T17:48:08Z

Martin: /* b) */

= Del 1 =

== Oppgave 1 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

=== d) ===

=== e) ===

=== f) ===

Faktoriserer uttrykket vha konjugatsetningen og regelen for faktorisering av fullstendig kvadrat, forkorter deretter uttrykket ved å stryke samme faktorer i teller og nevner:

<tex>\frac {x^2-9}{x^2+6x+9}=\frac {(x+3)\cdot (x-3)}{(x+3)(x+3)}=\frac {\cancel{(x+3)}\cdot (x-3)}{\cancel{(x+3)}(x+3)} =\frac {x-3}{x+3}</tex>

=== g) ===

<tex>lg(2x +4) = 3lg2 \Leftrightarrow lg(2x+4)=lg(2^3) \Leftrightarrow 2x+4=2^3 \Leftrightarrow 2x+4=8 \Leftrightarrow 2x=8-4 \Leftrightarrow 2x=4 \Leftrightarrow x= \frac 42 \Leftrightarrow x=2 </tex>

=== h) ===

''' 1) '''

Sannsynligheten er:

<tex> P=\frac 38 + \frac 28 = \frac 58 </tex>

''' 2) '''

=== i) ===

== Oppgave 2 ==

=== a) ===

=== b) ===

= Del 2 =

== Oppgave 3 ==

=== a) ===

Siden trekant ACD er rettvinklet er det greit å finne lengden AC ved hjelp av Pytagoras setning:

<tex> AC^2=AD^2+CD^2 \Leftrightarrow AC=\sqrt{AD^2+CD^2} =\sqrt{(3,0 m)^2 + (5,0 m)^2}=\sqrt{9,0 m^2 + 25 m^2}=\sqrt{34 m^2} \approx 5,8 m</tex>

=== b) ===

Når trekant BCD er likebeint (to av sidene er like lange), vet vi at også to av vinklene må være like lange. Vinkelsummen i en trekant er alltid 180 grader, så siden vinkel C er kjent kan vi regne ut de andre to:

<tex> \angle B=\angle D = \frac {180 ^\circ - \angle C}2 =\frac {180 ^\circ - 120 ^\circ }2= \frac {60 ^\circ}2= 30 ^\circ </tex>

Når vi kjenner størrelsen på denne vinkelen, kan vi finne BD ved hjelp av sinussetningen:

<tex>\frac {BD}{sin\angle C}=\frac {CD}{sin \angle B} \Leftrightarrow BD=\frac {CD \cdot sin \angle C}{sin\angle B}=\frac{5,0 m \cdot sin (120 ^\circ)}{sin (30 \deg)}=\frac {5,0 m \cdot \frac {\sqrt 3}2}{\frac 12}=5\sqrt 3=8,66 \approx 8,7</tex>

=== c) ===

''' 1) '''

''' 2) '''

== Oppgave 4 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

== Oppgave 5 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

== Oppgave 6 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

=== d) ===

== Oppgave 7 ==

=== Alternativ I ===

==== a) ====

''' 1) '''
''' 2) '''

==== b) ====

==== c) ====

=== Alternativ II ===

==== a) ====

==== b) ====

==== c) ====

==== d) ====

1T 2011 vår LØSNING

2012-01-07T19:28:24Z

Martin: /* c) */

= Del 1 =

== Oppgave 1 ==

=== a) ===

'''1)''' <tex>36 200 000 = 3.62 \cdot 10^7</tex>

'''2)''' <tex>0.034 \cdot 10^{-2} = 3.4 \cdot 10^{-4}</tex>

=== b) ===

<tex>x^2 + 6x = 16 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 + 6x - 16 = 0</tex>

Ved fullstendig kvadrat:

<tex>\begin{align} x^2 + 6x - 16 &= x^2 + 6x + \Big( \frac{6}{2} \Big)^2 - 16 - \Big( \frac{6}{2} \Big)^2 \\ &= x^2 + 6x + 9 - 25 \\ &= (x+3)^2-5^2 \\ &= (x + 3 - 5)(x + 3 + 5) \\ &= (x - 2)(x + 8) \\ &= 0 \end{align} </tex> 

<tex>x = 2 \quad \vee \quad x = -8</tex>

Eller med abc-formelen:

<tex>x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4\cdot 1 \cdot (-16)} }{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{100}}{2} = -3 \pm 5</tex>

<tex>x = 2 \quad \vee \quad x = -8</tex>

=== c) ===

=== d) ===

'''1)''' E

'''2)''' C

'''3)''' J

'''4)''' B

'''5)''' G

'''6)''' H
=== e) ===

<tex>\text{lg}(2x - 1) = 2</tex>

<tex>2x - 1 = 10^2</tex>

<tex>2x = 101</tex>

<tex>x = \frac{101}{2}</tex>

=== f) ===

'''1)'''

'''2)'''

== Oppgave 2 ==

=== a) ===

[[Bilde:MAT1013_Matematikk_1T_V11_2a.png‎]]

=== b) ===
Sekanten er gitt ved 
<tex>\begin{align}S(x) &= f(0) + \frac{f(2) - f(0)}{2-0}(x-0) \\ &= -2 + \frac{(2^2-2)-(-2)}{2}x \\ &= 2x-2\end{align}</tex>

=== c) ===

Tangenten er gitt ved

<tex>\begin{align} T(x) &=f(1) + f^{\prime}(1)(x-1) \\ &= 1^2-2 + 2(x-1) \\ &= 2x - 3 \end{align}
</tex>

Der det er brukt at <tex>f^{\prime}(x) = 2x</tex>.

[[Bilde:MAT1013_Matematikk_1T_V11_2b.png‎]]

== Oppgave 3 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

= Del 2 =

== Oppgave 4 ==

1T 2011 vår LØSNING

2012-01-07T19:27:54Z

Martin: /* a) */

= Del 1 =

== Oppgave 1 ==

=== a) ===

'''1)''' <tex>36 200 000 = 3.62 \cdot 10^7</tex>

'''2)''' <tex>0.034 \cdot 10^{-2} = 3.4 \cdot 10^{-4}</tex>

=== b) ===

<tex>x^2 + 6x = 16 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 + 6x - 16 = 0</tex>

Ved fullstendig kvadrat:

<tex>\begin{align} x^2 + 6x - 16 &= x^2 + 6x + \Big( \frac{6}{2} \Big)^2 - 16 - \Big( \frac{6}{2} \Big)^2 \\ &= x^2 + 6x + 9 - 25 \\ &= (x+3)^2-5^2 \\ &= (x + 3 - 5)(x + 3 + 5) \\ &= (x - 2)(x + 8) \\ &= 0 \end{align} </tex> 

<tex>x = 2 \quad \vee \quad x = -8</tex>

Eller med abc-formelen:

<tex>x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4\cdot 1 \cdot (-16)} }{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{100}}{2} = -3 \pm 5</tex>

<tex>x = 2 \quad \vee \quad x = -8</tex>

=== c) ===

=== d) ===

'''1)''' E

'''2)''' C

'''3)''' J

'''4)''' B

'''5)''' G

'''6)''' H
=== e) ===

<tex>\text{lg}(2x - 1) = 2</tex>

<tex>2x - 1 = 10^2</tex>

<tex>2x = 101</tex>

<tex>x = \frac{101}{2}</tex>

=== f) ===

'''1)'''

'''2)'''

== Oppgave 2 ==

=== a) ===

[[Bilde:MAT1013_Matematikk_1T_V11_2a.png‎]]

=== b) ===
Sekanten er gitt ved 
<tex>\begin{align}S(x) &= f(0) + \frac{f(2) - f(0)}{2-0}(x-0) \\ &= -2 + \frac{(2^2-2)-(-2)}{2}x \\ &= 2x-2\end{align}</tex>

=== c) ===

Tangenten er gitt ved

<tex>\begin{align} T(x) &=f(1) + f^{\prime}(1)(x-1) \\ &= 1^2-2 + 2(x-1) \\ &= 2x - 3 \end{align}
</tex>

Der det er brukt at <tex>f^{\prime}(x) = 2x</tex>.

[BILDE]

== Oppgave 3 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

= Del 2 =

== Oppgave 4 ==

1T 2011 vår LØSNING

2012-01-07T19:27:15Z

Martin: /* a) */

= Del 1 =

== Oppgave 1 ==

=== a) ===

'''1)''' <tex>36 200 000 = 3.62 \cdot 10^7</tex>

'''2)''' <tex>0.034 \cdot 10^{-2} = 3.4 \cdot 10^{-4}</tex>

=== b) ===

<tex>x^2 + 6x = 16 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 + 6x - 16 = 0</tex>

Ved fullstendig kvadrat:

<tex>\begin{align} x^2 + 6x - 16 &= x^2 + 6x + \Big( \frac{6}{2} \Big)^2 - 16 - \Big( \frac{6}{2} \Big)^2 \\ &= x^2 + 6x + 9 - 25 \\ &= (x+3)^2-5^2 \\ &= (x + 3 - 5)(x + 3 + 5) \\ &= (x - 2)(x + 8) \\ &= 0 \end{align} </tex> 

<tex>x = 2 \quad \vee \quad x = -8</tex>

Eller med abc-formelen:

<tex>x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4\cdot 1 \cdot (-16)} }{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{100}}{2} = -3 \pm 5</tex>

<tex>x = 2 \quad \vee \quad x = -8</tex>

=== c) ===

=== d) ===

'''1)''' E

'''2)''' C

'''3)''' J

'''4)''' B

'''5)''' G

'''6)''' H
=== e) ===

<tex>\text{lg}(2x - 1) = 2</tex>

<tex>2x - 1 = 10^2</tex>

<tex>2x = 101</tex>

<tex>x = \frac{101}{2}</tex>

=== f) ===

'''1)'''

'''2)'''

== Oppgave 2 ==

=== a) ===

[[Bilde:MAT1013_Matematikk_1T_V11_2b.png‎]]

=== b) ===
Sekanten er gitt ved 
<tex>\begin{align}S(x) &= f(0) + \frac{f(2) - f(0)}{2-0}(x-0) \\ &= -2 + \frac{(2^2-2)-(-2)}{2}x \\ &= 2x-2\end{align}</tex>

=== c) ===

Tangenten er gitt ved

<tex>\begin{align} T(x) &=f(1) + f^{\prime}(1)(x-1) \\ &= 1^2-2 + 2(x-1) \\ &= 2x - 3 \end{align}
</tex>

Der det er brukt at <tex>f^{\prime}(x) = 2x</tex>.

[BILDE]

== Oppgave 3 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

= Del 2 =

== Oppgave 4 ==

Fil:MAT1013 Matematikk 1T V11 2b.png

2012-01-07T19:26:32Z

Martin: Viser f(x)=x^2-2 og tangent i x=1. Laget med python gplt.

Viser f(x)=x^2-2 og tangent i x=1. Laget med python gplt.

Fil:MAT1013 Matematikk 1T V11 2a.png

2012-01-07T19:25:45Z

Martin: Viser f(x)=x^2−2 på intervallet [-3, 3] Laget med python og gplt.

Viser f(x)=x^2−2 på intervallet [-3, 3]
Laget med python og gplt.

1T 2011 vår LØSNING

2012-01-07T19:07:49Z

Martin:

= Del 1 =

== Oppgave 1 ==

=== a) ===

'''1)''' <tex>36 200 000 = 3.62 \cdot 10^7</tex>

'''2)''' <tex>0.034 \cdot 10^{-2} = 3.4 \cdot 10^{-4}</tex>

=== b) ===

<tex>x^2 + 6x = 16 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 + 6x - 16 = 0</tex>

Ved fullstendig kvadrat:

<tex>\begin{align} x^2 + 6x - 16 &= x^2 + 6x + \Big( \frac{6}{2} \Big)^2 - 16 - \Big( \frac{6}{2} \Big)^2 \\ &= x^2 + 6x + 9 - 25 \\ &= (x+3)^2-5^2 \\ &= (x + 3 - 5)(x + 3 + 5) \\ &= (x - 2)(x + 8) \\ &= 0 \end{align} </tex> 

<tex>x = 2 \quad \vee \quad x = -8</tex>

Eller med abc-formelen:

<tex>x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4\cdot 1 \cdot (-16)} }{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{100}}{2} = -3 \pm 5</tex>

<tex>x = 2 \quad \vee \quad x = -8</tex>

=== c) ===

=== d) ===

'''1)''' E

'''2)''' C

'''3)''' J

'''4)''' B

'''5)''' G

'''6)''' H
=== e) ===

<tex>\text{lg}(2x - 1) = 2</tex>

<tex>2x - 1 = 10^2</tex>

<tex>2x = 101</tex>

<tex>x = \frac{101}{2}</tex>

=== f) ===

'''1)'''

'''2)'''

== Oppgave 2 ==

=== a) ===

=== b) ===
Sekanten er gitt ved 
<tex>\begin{align}S(x) &= f(0) + \frac{f(2) - f(0)}{2-0}(x-0) \\ &= -2 + \frac{(2^2-2)-(-2)}{2}x \\ &= 2x-2\end{align}</tex>

=== c) ===

Tangenten er gitt ved

<tex>\begin{align} T(x) &=f(1) + f^{\prime}(1)(x-1) \\ &= 1^2-2 + 2(x-1) \\ &= 2x - 3 \end{align}
</tex>

Der det er brukt at <tex>f^{\prime}(x) = 2x</tex>.

[BILDE]

== Oppgave 3 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

= Del 2 =

== Oppgave 4 ==

1T 2011 vår LØSNING

2012-01-07T19:04:13Z

Martin: /* b) */

= Del 1 =

== Oppgave 1 ==

=== a) ===

'''1)''' <tex>36 200 000 = 3.62 \cdot 10^7</tex>

'''2)''' <tex>0.034 \cdot 10^{-2} = 3.4 \cdot 10^{-4}</tex>

=== b) ===

<tex>x^2 + 6x = 16 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 + 6x - 16 = 0</tex>

Ved fullstendig kvadrat:

<tex>\begin{align} x^2 + 6x - 16 &= x^2 + 6x + \Big( \frac{6}{2} \Big)^2 - 16 - \Big( \frac{6}{2} \Big)^2 \\ &= x^2 + 6x + 9 - 25 \\ &= (x+3)^2-5^2 \\ &= (x + 3 - 5)(x + 3 + 5) \\ &= (x - 2)(x + 8) \\ &= 0 \end{align} </tex> 

<tex>x = 2 \quad \vee \quad x = -8</tex>

Eller med abc-formelen:

<tex>x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4\cdot 1 \cdot (-16)} }{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{100}}{2} = -3 \pm 5</tex>

<tex>x = 2 \quad \vee \quad x = -8</tex>

=== c) ===

=== d) ===

'''1)''' E

'''2)''' C

'''3)''' J

'''4)''' B

'''5)''' G

'''6)''' H
=== e) ===

<tex>\text{lg}(2x - 1) = 2</tex>

<tex>2x - 1 = 10^2</tex>

<tex>2x = 101</tex>

<tex>x = \frac{101}{2}</tex>

=== f) ===

'''1)'''

'''2)'''

== Oppgave 2 ==

=== a) ===

=== b) ===
Sekanten er gitt ved 
<tex>\begin{align}S(x) &= f(0) + \frac{f(2) - f(0)}{2-0}(x-0) \\ &= -2 + \frac{(2^2-2)-(-2)}{2}x \\ &= 2x-2\end{align}</tex>

=== c) ===

Tangenten er gitt ved

<tex>\begin{align} T(x) &=f(1) + f^{\prime}(1)(x-1) \\ &= 1^2-2 + 2(x-1) \\ &= 2x - 3 \end{align}
</tex>

Der det er brukt at <tex>f^{\prime}(x) = 2x</tex>.

[BILDE]

1T 2011 vår LØSNING

2012-01-07T19:03:56Z

Martin: /* c) */

= Del 1 =

== Oppgave 1 ==

=== a) ===

'''1)''' <tex>36 200 000 = 3.62 \cdot 10^7</tex>

'''2)''' <tex>0.034 \cdot 10^{-2} = 3.4 \cdot 10^{-4}</tex>

=== b) ===

<tex>x^2 + 6x = 16 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 + 6x - 16 = 0</tex>

Ved fullstendig kvadrat:

<tex>\begin{align} x^2 + 6x - 16 &= x^2 + 6x + \Big( \frac{6}{2} \Big)^2 - 16 - \Big( \frac{6}{2} \Big)^2 \\ &= x^2 + 6x + 9 - 25 \\ &= (x+3)^2-5^2 \\ &= (x + 3 - 5)(x + 3 + 5) \\ &= (x - 2)(x + 8) \\ &= 0 \end{align} </tex> 

<tex>x = 2 \quad \vee \quad x = -8</tex>

Eller med abc-formelen:

<tex>x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4\cdot 1 \cdot (-16)} }{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{100}}{2} = -3 \pm 5</tex>

<tex>x = 2 \quad \vee \quad x = -8</tex>

=== c) ===

=== d) ===

'''1)''' E

'''2)''' C

'''3)''' J

'''4)''' B

'''5)''' G

'''6)''' H
=== e) ===

<tex>\text{lg}(2x - 1) = 2</tex>

<tex>2x - 1 = 10^2</tex>

<tex>2x = 101</tex>

<tex>x = \frac{101}{2}</tex>

=== f) ===

'''1)'''

'''2)'''

== Oppgave 2 ==

=== a) ===

=== b) ===
Sekanten er gitt ved 
<tex>\begin{align}s(x) &= f(0) + \frac{f(2) - f(0)}{2-0}(x-0) \\ &= -2 + \frac{(2^2-2)-(-2)}{2}x \\ &= 2x-2\end{align}</tex>

=== c) ===

Tangenten er gitt ved

<tex>\begin{align} T(x) &=f(1) + f^{\prime}(1)(x-1) \\ &= 1^2-2 + 2(x-1) \\ &= 2x - 3 \end{align}
</tex>

Der det er brukt at <tex>f^{\prime}(x) = 2x</tex>.

[BILDE]

1T 2011 vår LØSNING

2012-01-07T18:54:39Z

Martin:

= Del 1 =

== Oppgave 1 ==

=== a) ===

'''1)''' <tex>36 200 000 = 3.62 \cdot 10^7</tex>

'''2)''' <tex>0.034 \cdot 10^{-2} = 3.4 \cdot 10^{-4}</tex>

=== b) ===

<tex>x^2 + 6x = 16 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 + 6x - 16 = 0</tex>

Ved fullstendig kvadrat:

<tex>\begin{align} x^2 + 6x - 16 &= x^2 + 6x + \Big( \frac{6}{2} \Big)^2 - 16 - \Big( \frac{6}{2} \Big)^2 \\ &= x^2 + 6x + 9 - 25 \\ &= (x+3)^2-5^2 \\ &= (x + 3 - 5)(x + 3 + 5) \\ &= (x - 2)(x + 8) \\ &= 0 \end{align} </tex> 

<tex>x = 2 \quad \vee \quad x = -8</tex>

Eller med abc-formelen:

<tex>x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4\cdot 1 \cdot (-16)} }{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm \sqrt{100}}{2} = -3 \pm 5</tex>

<tex>x = 2 \quad \vee \quad x = -8</tex>

=== c) ===

=== d) ===

'''1)''' E

'''2)''' C

'''3)''' J

'''4)''' B

'''5)''' G

'''6)''' H
=== e) ===

<tex>\text{lg}(2x - 1) = 2</tex>

<tex>2x - 1 = 10^2</tex>

<tex>2x = 101</tex>

<tex>x = \frac{101}{2}</tex>

=== f) ===

'''1)'''

'''2)'''

== Oppgave 2 ==

=== a) ===

=== b) ===
Sekanten er gitt ved 
<tex>\begin{align}s(x) &= f(0) + \frac{f(2) - f(0)}{2-0}(x-0) \\ &= -2 + \frac{(2^2-2)-(-2)}{2}x \\ &= 2x-2\end{align}</tex>

=== c) ===

1T 2011 vår LØSNING

2012-01-07T15:22:11Z

Martin: /* e) */

1T 2011 vår LØSNING

2012-01-07T15:01:52Z

Martin: /* e) */

1T 2011 vår LØSNING

2012-01-07T14:58:31Z

Martin: /* Oppgave 1 */

1T 2011 vår LØSNING

2012-01-07T14:52:16Z

Martin: Ny side: = Del 1 = == Oppgave 1 == === a) === '''1)''' <tex>36 200 000 = 3.62 \cdot 10^7</tex> '''2)''' <tex>0.034 \cdot 10^{-2} = 3.4 \cdot 10^{-4}</tex> === b) === <tex>x^2 + 6x = 16 \qu...

R2 2011 vår LØSNING

2012-01-07T11:22:56Z

Martin: /* d) */

= Del 1 =

== Oppgave 1 ==

=== a) ===

'''1)''' <tex>f(x)=2\sin(2x)\Rightarrow f'(x)=4\cos(2x)</tex>

'''2)''' <tex>g(x)=x^2\cos(2x)\Rightarrow g'(x)=(x^2)'\cos(2x)+x^2(\cos(2x))'=2x\cos(2x)-2x^2\sin(2x)</tex>

'''3)''' <tex>h(x)=\frac12 \sqrt{x^2-4x}\Rightarrow h'(x)=\frac12 \frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x}}</tex>

=== b) ===

'''1)''' Delvis integrasjon gir at <tex>\int xe^x\,dx=[xe^x]-\int e^x\,dx=(x-1)e^x+C</tex>

'''2)''' <tex>\int\frac{5x+3}{x^2-9}\,dx=\int\frac{5x+3}{(x-3)(x+3)}\,dx</tex>. Delbrøksoppspaltning gir at

<tex>\frac{1}{(x-3)(x+3)}=\frac16(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+3})</tex>, så <tex>\int\frac{5x+3}{(x-3)(x+3)}\,dx=\int(5x+3)\frac16(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+3})\,dx=\frac16 \left(\int \frac{5x+3}{x-3}\,dx-\int \frac{5x+3}{x+3}\,dx\right )</tex>

<tex>\int \frac{5x+3}{x-3}\,dx=\int \frac{5(x-3)+18}{x-3}\,dx=5\int dx+18\int \frac{1}{x-3}\,dx=5x+18\ln(|x-3|)+C_1</tex> og

<tex>\int \frac{5x+3}{x+3}\,dx=\int \frac{5(x+3)-12}{x+3}\,dx=5\int dx-12\int \frac{1}{x+3}\,dx=5x-12\ln(|x+3|)+C_2</tex>, så

<tex>\frac16 \left(\int \frac{5x+3}{x-3}\,dx-\int \frac{5x+3}{x+3}\,dx\right ) =3\ln(|x-3|)+2\ln(|x+3|)+C</tex>

=== c) ===

Sirkelen på figuren er beskrevet ved ligningen <tex>x^2+y^2=1</tex>, så høyden opp til halvsirkelen i øvre halvplan som funksjon av <tex>x</tex>, er <tex>y(x)=\sqrt{1-x^2}</tex>. Arealet av halvsirkelen i øvre halvplan er derfor <tex>\int_{-1}^1 y(x)\,dx=\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\,dx=\frac12\pi (1)^2=\frac12 \pi</tex>

=== d) ===

'''1)'''
Dersom én av vektorene har lengde <tex>0</tex> vil prikkproduktet være <tex>0</tex>. Anta videre at begge vektorene har lengde ulik <tex>0</tex>. Siden prikkproduktet er <tex>0</tex>, må vektorene <tex>\vec{a}</tex> og <tex>\vec{b}</tex> stå normalt på hverandre.

'''2)'''
Dersom én av vektorene har lengde <tex>0</tex> vil kryssproduktet være <tex>0</tex>. Anta videre at begge vektorene har lengde ulik <tex>0</tex>. Siden kryssproduktet er <tex>0</tex>, må vektorene <tex>\vec{a}</tex> og <tex>\vec{b}</tex> ligge parallelt.

=== e) ===

Beregner først vektorene <tex>\vec{AB}=(2-1,-1-1,3-(-1))=(1,-2,4)</tex> og <tex>\vec{AC}=(3-1,2-1,2-(-1))=(2,1,3)</tex>. Kryssproduktet <tex>\vec{AB}\times \vec{AC}=(-2\cdot 3-(1\cdot 4), -(1\cdot 3-2\cdot 4), 1\cdot 1-2\cdot (-2))=(-10,5,5)</tex>. For å vise at <tex>\vec{AB}\times \vec{AC}</tex> står vinkelrett på både <tex>\vec{AB}</tex> og <tex>\vec{AC}</tex>, beregner vi <tex>(\vec{AB}\times \vec{AC})\cdot \vec{AB}</tex> og <tex>(\vec{AB}\times \vec{AC})\cdot \vec{AC}</tex> og viser at disse er <tex>0</tex>:

<tex>(\vec{AB}\times \vec{AC})\cdot \vec{AB}=(-10,5,5)\cdot (1,-2,4)=-10-10+20=0</tex> og

<tex>(\vec{AB}\times \vec{AC})\cdot \vec{AC}=(-10,5,5)\cdot (2,1,3)=-20+5+15=0</tex>.

=== f) ===

'''Induksjonssteg 1''': <tex>1=\frac{4^1-1}{3}</tex>, så formelen er riktig for <tex>n=1</tex>

'''Induksjonssteg 2''': Anta at formelen er riktig for <tex>n=k</tex>, så <tex>1+4+16+...+4^{k-1}=\frac{4^k-1}{3}</tex>. Da er <tex>1+4+16+...+4^{k-1}+4^k=\frac{4^k-1}{3}+4^k=\frac{4^k-1+3\cdot 4^k}{3}=\frac{(1+3)4^k-1}{3}=\frac{4^{k+1}-1}{3}</tex>, så formelen er riktig for <tex>n=k+1</tex>, og vi er ferdige.

== Oppgave 2 ==

=== a) ===

Vi multipliserer den førsteordens differensialligningen <tex>y'-2y=5</tex> med integrerende faktor <tex>e^{\int -2\,dx}\,\,=e^{-2x}</tex>, og får

<tex>e^{-2x}y'-2e^{-2x}y=5e^{-2x}</tex>. Venstresiden kan nå omskrives:

<tex>(e^{-2x}y)'=5e^{-2x}</tex>

Vi integrerer ligningen med hensyn på <tex>x</tex>:

<tex>\int (e^{-2x}y)'\,dx=\int 5e^{-2x}\,dx\\ e^{-2x}y=-\frac{5}{2}e^{-2x}+C</tex>, og løser for <tex>y</tex>:

<tex>y=-\frac{5}{2}+Ce^{2x}</tex>. Løsningen verfiseres ved innsetting i den opprinnelige diff.ligningen:

<tex>y'=2Ce^{2x}</tex>, så <tex>y'-2y=2Ce^{2x}-2(-\frac{5}{2}+Ce^{2x})=5</tex>.

=== b) ===

'''1)''' <tex>y(0)=-\frac{5}{2}+C=2</tex>, så <tex>C=2+\frac{5}{2}=\frac{9}{2}</tex>

'''2)''' Setter inn <tex>y=\frac{49}{2}</tex> i løsningen, og løser for <tex>x</tex>:

<tex>\frac{49}{2}=-\frac{5}{2}+\frac{9}{2}e^{2x}\\ \frac{54}{9}=6=e^{2x}\\ \ln(6)=2x \\ x=\frac{\ln(6)}{2}\approx \frac{1.8}{2}=0.9</tex>

=== c) ===

Tangenten i <tex>(0,2)</tex> har ligning <tex>y=ax+b</tex>, der <tex>a=(-\frac{5}{2}+\frac{9}{2}e^{2x})'(0)=\frac{18}{2}=9</tex>. I tillegg må punktet <tex>(0,2)</tex> ligge på tangentlinja, så <tex>2=a\cdot 0 +b</tex>. Ligningen til tangenten er derfor <tex>y=9x+2</tex>.

=Del 2=

== Oppgave 3 ==

=== a) ===

[[Bilde:Screen_shot_2012-01-02_at_18.40.52.png|500px]]

Finner toppunktet ved derivasjon av funksjonen <tex>f(x)=2\sqrt{x}e^{-\frac{x}{3}}</tex>: <tex>f'(x)=\frac{(3-2x)e^{-\frac{x}{3}}}{3\sqrt{x}}</tex>. Den deriverte er <tex>0</tex> når <tex>3-2x=0</tex>, så toppunktet er i <tex>x=\frac{3}{2}</tex>. Diameteren til skaftet er størst i toppunktet til grafen til <tex>f(x)</tex>. Størst mulig diameter er derfor <tex>2\cdot f(\frac32 )=4\sqrt{\frac32}e^{-\frac{1}{2}}\approx 2.97</tex>

=== b) ===

Volumet er gitt ved <tex>\int_0^4 \pi f(x)^2\,dx=4\pi\int_0^4 xe^{-\frac{2}{3}x}\,dx=</tex>. La <tex>u=-\frac{2}{3}x</tex>. Integralet blir <tex>9\pi\int ue^u\,du</tex>. Vi bruker resultatet fra oppgave 1b),1): <tex>9\pi\int ue^u\,du=9\pi [(u-1)e^u]=9\pi[(-\frac{2}{3}x-1)e^{-\frac{2}{3}x}]_0^4=9\pi ((-\frac{8}{3}-1)e^{-\frac{8}{3}}+1)=9\pi (-\frac{11}{3}e^{-\frac{8}{3}}+1)</tex>

== Oppgave 4 ==

=== a) ===

'''1)''' La <tex>A_0=A</tex> og <tex>B_0=B</tex>. Generelt kan vi skrive arealet av trapeset <tex>A_nB_nB_{n+1}A_{n+1}</tex> som <tex>(A_nB_n+A_{n+1}B_{n+1})\frac{B_nB_{n+1}}{2}</tex>, der <tex>A_0B_0=8</tex>, <tex>B_0B_1=8</tex>, <tex>B_nB_{n+1}=\frac{16}{2^{n+1}}</tex>, <tex>\frac{A_nB_n}{B_nB_{n+1}}=\frac{8}{8}=1</tex> (ved formlikhet av trapesene). Altså er <tex>A_nB_n=B_nB_{n+1}=\frac{16}{2^{n+1}}</tex> og arealet av trapeset <tex>A_nB_nB_{n+1}A_{n+1}</tex> blir <tex>(A_nB_n+A_{n+1}B_{n+1})\frac{B_nB_{n+1}}{2}=(\frac{16}{2^{n+1}}+\frac{16}{2^{n+2}})\frac{16}{2^{n+2}}=\frac{3\cdot16^2}{2^{2n+4}}=3\cdot 2^{4-2n}</tex>. Summen av arealene til trapesene blir derfor

<tex>\sum_{n=0}^\infty 3\cdot 2^{4-2n}=48+12+3+...</tex>

'''2)''' Fra forrige deloppgave ser vi at summen av arealene er en geometrisk rekke

<tex>\sum_{n=0}^\infty 3\cdot 2^{4-2n}=48\sum_{n=0}^\infty (\frac{1}{4})^n</tex>

Rekken konvergerer siden <tex>|\frac14| <1</tex>

=== b) ===

Geometrisk ser vi at summen av arealene må konvergere mot arealet av trekanten <tex>ABC</tex>, som er <tex>\frac{8\cdot 16}{2}=64</tex>

Summeformelen for en geometrisk rekke <tex>\sum_{k=0}^{n-1}ar^k=a\frac{1-r^n}{1-r}</tex> gir at

<tex>\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n-1} 48 (\frac{1}{4})^k=48\lim_{n\to\infty}\frac{1-\frac{1}{4}^n}{\frac34}=48\cdot \frac{4}{3}=64</tex>

== Oppgave 5 ==

=== a) ===

I <tex>xy</tex>-planet er <tex>z=0</tex>, så vi må ha at <tex>0=4+2t</tex>. Altså er <tex>t=-2</tex> i punkt <tex>A</tex>. I <tex>xz</tex>-planet er <tex>y=0</tex>, så vi må ha at <tex>0=3+t</tex>. Altså er <tex>t=-3</tex> i punkt <tex>B</tex>. Koordinatene til <tex>A</tex> og <tex>B</tex> er derfor gitt ved <tex>A(5+2\cdot 2, 3-2,0)=A(9,1,0)</tex> og <tex>B(5-2\cdot (-3),0,4+2\cdot (-3))=B(11,0,-2)</tex>. Avstanden mellom <tex>A</tex> og <tex>B</tex> er derfor <tex>|(11-9,0-1,-2-0)|=|(2,-1,-2)|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=\sqrt{9}=3</tex>

=== b) ===

Vi kan skrive linja <tex>l</tex> på formen <tex>(x,y,z)=(5-2t,3+t,4+2t)=(5,3,4)+t(-2,1,2)</tex>. Det betyr at vektoren <tex>(-2,1,2)</tex> angir retningen til linja <tex>l</tex>. På samme måte kan linja <tex>m</tex> skrives som <tex>(x,y,z)=(s,1-s,1+s)=(0,1,1)+s(1,-1,1)</tex>, der vektoren <tex>(1,-1,1)</tex> angir retningen. Linjene er parallelle hvis og bare hvis det fins en konstant <tex>k</tex> slik at <tex>(-2,1,2)=k(1,-1,1)</tex>. Utfra ligningen ser vi at det ikke fins en slik <tex>k</tex>, altså er linjene ikke parallelle.

=== c) ===

Et tilfeldig punkt P på l er angitt ved koordinatet <tex>(x,y,z)=(5-2t,3+t,4+2t)</tex>, og et punkt Q på m er gitt ved <tex>(x,y,z)=(s,1-s,1+s)</tex>. <tex>\vec{PQ}=(s,1-s,1+s)-(5-2t,3+t,4+2t)=(s+2t-5,-s-t-2,s-2t-3)</tex>

=== d) ===

For at <tex>\vec{PQ}</tex> skal stå vinkelrett på linjene <tex>m</tex> og <tex>l</tex>, må <tex>(s+2t-5,-s-t-2,s-2t-3)\cdot (-2,1,2)=0=(s+2t-5,-s-t-2,s-2t-3)\cdot (1,-1,1)</tex>. Vi får dermed ligningene <tex>-2s-4t+10-s-t-2+2s-4t-6=-s-9t+2=0</tex> og <tex>s+2t-5+s+t+2+s-2t-3=3s+t-6=0</tex>. Altså er <tex>3s+t-6-3s-27t+6=-26t=0</tex>, så vi må ha at <tex>t=0</tex>. Da er <tex>s=2</tex>. Vi får da punktene <tex>P(5,3,4)</tex> og <tex>Q(2,-1,3)</tex>

=== e) ===

<tex>|\vec{PQ}|=|(2,-1,3)-(5,3,4)|=|(-3,-4,-1)|=\sqrt{3^2+4^2+1^2}=\sqrt{9+16+1}=\sqrt{26}</tex>

== Oppgave 6 ==

=== a) ===

[[Bilde:Screen_shot_2012-01-02_at_21.09.23.png|500px|]]

Avleser fra figuren at amplituden er <tex>\approx 7</tex>, og perioden <tex>24</tex>.

=== b) ===

Den deriverte av <tex>f(x)</tex> er <tex>f'(x)=-\frac{5}{12}\pi\left ( \cos(\frac{\pi}{12}x)-\sin(\frac{\pi}{12}x)\right )
</tex>, og har nullpunkt i <tex>x=3</tex> og <tex>x=15</tex>. Den deriverte er positiv når <tex>3<x<15</tex>, så funksjonen <tex>f(x)</tex> har toppunkt i <tex>x=15</tex> og bunnpunkt i <tex>x=3</tex>.

=== c) ===

Vi ser at <tex>g(x)=22+f(x)</tex>. Funksjonene <tex>f(x)</tex> og <tex>g(x)</tex> må derfor ha topp- og bunnpunkter i samme (korresponderende) x-verdier.
Laveste temperatur inntreffer for <tex>x=3</tex>. Da er temperaturen <tex>g(3)=22-5\sin(\frac{3\pi}{12})-5\cos(\frac{3\pi}{12})=22-5\sqrt{2}\approx 14.93</tex> grader Celsius. Høyeste temperatur inntreffer for <tex>x=15</tex>. Da er temperaturen <tex>g(15)=22-5\sin(\frac{15\pi}{12})-5\cos(\frac{15\pi}{12})=22+5\sqrt{2}\approx 29.07</tex> grader Celsius.

== Oppgave 7 ==

=== a) ===

[[Bilde:Screen_shot_2012-01-03_at_10.10.19.png|500px|]]

=== b) ===

'''1)''' La <tex>f(x)=5x^2e^{-x}</tex>. Produktregelen gir at <tex>f'(x)=(5x^2)'e^{-x}+5x^2(e^{-x})'=10xe^{-x}-5x^2e^{-x}=5(2x-x^2)e^{-x}</tex>. (Vi har i tillegg brukt kjerneregelen, og derivasjonsreglene <tex>(e^x)'=e^x</tex> og <tex>(x^n)'=nx^{n-1}</tex>).

'''2)''' Eksponentialfunksjonen er alltid positiv, så det er tilstrekkelig å betrakte nullpunktene til <tex>2x-x^2=x(2-x)</tex> i uttrykket for den deriverte, som er <tex>x=0</tex> og <tex>x=2</tex>. Når <tex>0<x<2</tex> er <tex>f'(x)>0</tex> og når <tex>x>2</tex> er <tex>f'(x)<0</tex>, så funksjonen <tex>f(x)</tex> vokser i intervallet <tex>(0,2)</tex> og avtar i <tex>(2,\infty)</tex>. <tex>f(x)</tex> har derfor et toppunkt i <tex>x=2</tex>, men ingen bunnpunkt.

=== c) ===

<tex> \begin{align} (-5x^2e^{-x}-10xe^{-x}-10e^{-x}+C) ^{\prime} &= (-5x^2e^{-x})^{\prime}-(10xe^{-x})^{\prime}-(10e^{-x})^{\prime}+C^{\prime} \\ &= -10xe^{-x}+5x^2e^{-x}-10e^{-x}+10xe^{-x}+10e^{-x}+0 \\ &=5x^2e^{-x} \\ &= f(x)\end{align} </tex>

=== d) ===

<tex>\lim_{a\to\infty}\int_0^af(x)\,dx=\lim_{a\to\infty}[-5x^2e^{-x}-10xe^{-x}-10e^{-x}]_0^a=\lim_{a\to\infty}-5a^2e^{-a}-10ae^{-a}-10e^{-a}+10</tex>

Fra det som er oppgitt i oppgaven vil de tre første leddene gå mot <tex>0</tex>, så det eneste som gjenstår er det siste leddet, altså er <tex>\lim_{a\to\infty}\int_0^af(x)\,dx=10</tex>

R2 2011 vår LØSNING

2012-01-07T11:21:29Z

Martin: /* c) */

= Del 1 =

== Oppgave 1 ==

=== a) ===

'''1)''' <tex>f(x)=2\sin(2x)\Rightarrow f'(x)=4\cos(2x)</tex>

'''2)''' <tex>g(x)=x^2\cos(2x)\Rightarrow g'(x)=(x^2)'\cos(2x)+x^2(\cos(2x))'=2x\cos(2x)-2x^2\sin(2x)</tex>

'''3)''' <tex>h(x)=\frac12 \sqrt{x^2-4x}\Rightarrow h'(x)=\frac12 \frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x}}</tex>

=== b) ===

'''1)''' Delvis integrasjon gir at <tex>\int xe^x\,dx=[xe^x]-\int e^x\,dx=(x-1)e^x+C</tex>

'''2)''' <tex>\int\frac{5x+3}{x^2-9}\,dx=\int\frac{5x+3}{(x-3)(x+3)}\,dx</tex>. Delbrøksoppspaltning gir at

<tex>\frac{1}{(x-3)(x+3)}=\frac16(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+3})</tex>, så <tex>\int\frac{5x+3}{(x-3)(x+3)}\,dx=\int(5x+3)\frac16(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+3})\,dx=\frac16 \left(\int \frac{5x+3}{x-3}\,dx-\int \frac{5x+3}{x+3}\,dx\right )</tex>

<tex>\int \frac{5x+3}{x-3}\,dx=\int \frac{5(x-3)+18}{x-3}\,dx=5\int dx+18\int \frac{1}{x-3}\,dx=5x+18\ln(|x-3|)+C_1</tex> og

<tex>\int \frac{5x+3}{x+3}\,dx=\int \frac{5(x+3)-12}{x+3}\,dx=5\int dx-12\int \frac{1}{x+3}\,dx=5x-12\ln(|x+3|)+C_2</tex>, så

<tex>\frac16 \left(\int \frac{5x+3}{x-3}\,dx-\int \frac{5x+3}{x+3}\,dx\right ) =3\ln(|x-3|)+2\ln(|x+3|)+C</tex>

=== c) ===

Sirkelen på figuren er beskrevet ved ligningen <tex>x^2+y^2=1</tex>, så høyden opp til halvsirkelen i øvre halvplan som funksjon av <tex>x</tex>, er <tex>y(x)=\sqrt{1-x^2}</tex>. Arealet av halvsirkelen i øvre halvplan er derfor <tex>\int_{-1}^1 y(x)\,dx=\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\,dx=\frac12\pi (1)^2=\frac12 \pi</tex>

=== d) ===

'''1)'''
Dersom én av vektorene har lengde <tex>0</tex> vil prikkproduktet være <tex>0</tex>. Anta videre at begge vektorene har lengde ulik <tex>0</tex>. Siden prikkproduktet er <tex>0</tex>, må vektorene <tex>\vec{a}</tex> og <tex>\vec{b}</tex> stå normalt på hverandre.

'''2)'''
Dersom én av vektorene har lengde <tex>0</tex> vil kryssproduktet være <tex>0</tex>. Anta videre at begge vektorene har lengde ulik <tex>0</tex>. Siden kryssproduktet er <tex>0</tex>, må vektorene <tex>\vec{a}</tex> og <tex>\vec{b}</tex> ligge parallelt.

=== e) ===

Beregner først vektorene <tex>\vec{AB}=(2-1,-1-1,3-(-1))=(1,-2,4)</tex> og <tex>\vec{AC}=(3-1,2-1,2-(-1))=(2,1,3)</tex>. Kryssproduktet <tex>\vec{AB}\times \vec{AC}=(-2\cdot 3-(1\cdot 4), -(1\cdot 3-2\cdot 4), 1\cdot 1-2\cdot (-2))=(-10,5,5)</tex>. For å vise at <tex>\vec{AB}\times \vec{AC}</tex> står vinkelrett på både <tex>\vec{AB}</tex> og <tex>\vec{AC}</tex>, beregner vi <tex>(\vec{AB}\times \vec{AC})\cdot \vec{AB}</tex> og <tex>(\vec{AB}\times \vec{AC})\cdot \vec{AC}</tex> og viser at disse er <tex>0</tex>:

<tex>(\vec{AB}\times \vec{AC})\cdot \vec{AB}=(-10,5,5)\cdot (1,-2,4)=-10-10+20=0</tex> og

<tex>(\vec{AB}\times \vec{AC})\cdot \vec{AC}=(-10,5,5)\cdot (2,1,3)=-20+5+15=0</tex>.

=== f) ===

'''Induksjonssteg 1''': <tex>1=\frac{4^1-1}{3}</tex>, så formelen er riktig for <tex>n=1</tex>

'''Induksjonssteg 2''': Anta at formelen er riktig for <tex>n=k</tex>, så <tex>1+4+16+...+4^{k-1}=\frac{4^k-1}{3}</tex>. Da er <tex>1+4+16+...+4^{k-1}+4^k=\frac{4^k-1}{3}+4^k=\frac{4^k-1+3\cdot 4^k}{3}=\frac{(1+3)4^k-1}{3}=\frac{4^{k+1}-1}{3}</tex>, så formelen er riktig for <tex>n=k+1</tex>, og vi er ferdige.

== Oppgave 2 ==

=== a) ===

Vi multipliserer den førsteordens differensialligningen <tex>y'-2y=5</tex> med integrerende faktor <tex>e^{\int -2\,dx}\,\,=e^{-2x}</tex>, og får

<tex>e^{-2x}y'-2e^{-2x}y=5e^{-2x}</tex>. Venstresiden kan nå omskrives:

<tex>(e^{-2x}y)'=5e^{-2x}</tex>

Vi integrerer ligningen med hensyn på <tex>x</tex>:

<tex>\int (e^{-2x}y)'\,dx=\int 5e^{-2x}\,dx\\ e^{-2x}y=-\frac{5}{2}e^{-2x}+C</tex>, og løser for <tex>y</tex>:

<tex>y=-\frac{5}{2}+Ce^{2x}</tex>. Løsningen verfiseres ved innsetting i den opprinnelige diff.ligningen:

<tex>y'=2Ce^{2x}</tex>, så <tex>y'-2y=2Ce^{2x}-2(-\frac{5}{2}+Ce^{2x})=5</tex>.

=== b) ===

'''1)''' <tex>y(0)=-\frac{5}{2}+C=2</tex>, så <tex>C=2+\frac{5}{2}=\frac{9}{2}</tex>

'''2)''' Setter inn <tex>y=\frac{49}{2}</tex> i løsningen, og løser for <tex>x</tex>:

<tex>\frac{49}{2}=-\frac{5}{2}+\frac{9}{2}e^{2x}\\ \frac{54}{9}=6=e^{2x}\\ \ln(6)=2x \\ x=\frac{\ln(6)}{2}\approx \frac{1.8}{2}=0.9</tex>

=== c) ===

Tangenten i <tex>(0,2)</tex> har ligning <tex>y=ax+b</tex>, der <tex>a=(-\frac{5}{2}+\frac{9}{2}e^{2x})'(0)=\frac{18}{2}=9</tex>. I tillegg må punktet <tex>(0,2)</tex> ligge på tangentlinja, så <tex>2=a\cdot 0 +b</tex>. Ligningen til tangenten er derfor <tex>y=9x+2</tex>.

=Del 2=

== Oppgave 3 ==

=== a) ===

[[Bilde:Screen_shot_2012-01-02_at_18.40.52.png|500px]]

Finner toppunktet ved derivasjon av funksjonen <tex>f(x)=2\sqrt{x}e^{-\frac{x}{3}}</tex>: <tex>f'(x)=\frac{(3-2x)e^{-\frac{x}{3}}}{3\sqrt{x}}</tex>. Den deriverte er <tex>0</tex> når <tex>3-2x=0</tex>, så toppunktet er i <tex>x=\frac{3}{2}</tex>. Diameteren til skaftet er størst i toppunktet til grafen til <tex>f(x)</tex>. Størst mulig diameter er derfor <tex>2\cdot f(\frac32 )=4\sqrt{\frac32}e^{-\frac{1}{2}}\approx 2.97</tex>

=== b) ===

Volumet er gitt ved <tex>\int_0^4 \pi f(x)^2\,dx=4\pi\int_0^4 xe^{-\frac{2}{3}x}\,dx=</tex>. La <tex>u=-\frac{2}{3}x</tex>. Integralet blir <tex>9\pi\int ue^u\,du</tex>. Vi bruker resultatet fra oppgave 1b),1): <tex>9\pi\int ue^u\,du=9\pi [(u-1)e^u]=9\pi[(-\frac{2}{3}x-1)e^{-\frac{2}{3}x}]_0^4=9\pi ((-\frac{8}{3}-1)e^{-\frac{8}{3}}+1)=9\pi (-\frac{11}{3}e^{-\frac{8}{3}}+1)</tex>

== Oppgave 4 ==

=== a) ===

'''1)''' La <tex>A_0=A</tex> og <tex>B_0=B</tex>. Generelt kan vi skrive arealet av trapeset <tex>A_nB_nB_{n+1}A_{n+1}</tex> som <tex>(A_nB_n+A_{n+1}B_{n+1})\frac{B_nB_{n+1}}{2}</tex>, der <tex>A_0B_0=8</tex>, <tex>B_0B_1=8</tex>, <tex>B_nB_{n+1}=\frac{16}{2^{n+1}}</tex>, <tex>\frac{A_nB_n}{B_nB_{n+1}}=\frac{8}{8}=1</tex> (ved formlikhet av trapesene). Altså er <tex>A_nB_n=B_nB_{n+1}=\frac{16}{2^{n+1}}</tex> og arealet av trapeset <tex>A_nB_nB_{n+1}A_{n+1}</tex> blir <tex>(A_nB_n+A_{n+1}B_{n+1})\frac{B_nB_{n+1}}{2}=(\frac{16}{2^{n+1}}+\frac{16}{2^{n+2}})\frac{16}{2^{n+2}}=\frac{3\cdot16^2}{2^{2n+4}}=3\cdot 2^{4-2n}</tex>. Summen av arealene til trapesene blir derfor

<tex>\sum_{n=0}^\infty 3\cdot 2^{4-2n}=48+12+3+...</tex>

'''2)''' Fra forrige deloppgave ser vi at summen av arealene er en geometrisk rekke

<tex>\sum_{n=0}^\infty 3\cdot 2^{4-2n}=48\sum_{n=0}^\infty (\frac{1}{4})^n</tex>

Rekken konvergerer siden <tex>|\frac14| <1</tex>

=== b) ===

Geometrisk ser vi at summen av arealene må konvergere mot arealet av trekanten <tex>ABC</tex>, som er <tex>\frac{8\cdot 16}{2}=64</tex>

Summeformelen for en geometrisk rekke <tex>\sum_{k=0}^{n-1}ar^k=a\frac{1-r^n}{1-r}</tex> gir at

<tex>\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n-1} 48 (\frac{1}{4})^k=48\lim_{n\to\infty}\frac{1-\frac{1}{4}^n}{\frac34}=48\cdot \frac{4}{3}=64</tex>

== Oppgave 5 ==

=== a) ===

I <tex>xy</tex>-planet er <tex>z=0</tex>, så vi må ha at <tex>0=4+2t</tex>. Altså er <tex>t=-2</tex> i punkt <tex>A</tex>. I <tex>xz</tex>-planet er <tex>y=0</tex>, så vi må ha at <tex>0=3+t</tex>. Altså er <tex>t=-3</tex> i punkt <tex>B</tex>. Koordinatene til <tex>A</tex> og <tex>B</tex> er derfor gitt ved <tex>A(5+2\cdot 2, 3-2,0)=A(9,1,0)</tex> og <tex>B(5-2\cdot (-3),0,4+2\cdot (-3))=B(11,0,-2)</tex>. Avstanden mellom <tex>A</tex> og <tex>B</tex> er derfor <tex>|(11-9,0-1,-2-0)|=|(2,-1,-2)|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=\sqrt{9}=3</tex>

=== b) ===

Vi kan skrive linja <tex>l</tex> på formen <tex>(x,y,z)=(5-2t,3+t,4+2t)=(5,3,4)+t(-2,1,2)</tex>. Det betyr at vektoren <tex>(-2,1,2)</tex> angir retningen til linja <tex>l</tex>. På samme måte kan linja <tex>m</tex> skrives som <tex>(x,y,z)=(s,1-s,1+s)=(0,1,1)+s(1,-1,1)</tex>, der vektoren <tex>(1,-1,1)</tex> angir retningen. Linjene er parallelle hvis og bare hvis det fins en konstant <tex>k</tex> slik at <tex>(-2,1,2)=k(1,-1,1)</tex>. Utfra ligningen ser vi at det ikke fins en slik <tex>k</tex>, altså er linjene ikke parallelle.

=== c) ===

Et tilfeldig punkt P på l er angitt ved koordinatet <tex>(x,y,z)=(5-2t,3+t,4+2t)</tex>, og et punkt Q på m er gitt ved <tex>(x,y,z)=(s,1-s,1+s)</tex>. <tex>\vec{PQ}=(s,1-s,1+s)-(5-2t,3+t,4+2t)=(s+2t-5,-s-t-2,s-2t-3)</tex>

=== d) ===

For at <tex>\vec{PQ}</tex> skal stå vinkelrett på linjene <tex>m</tex> og <tex>l</tex>, må <tex>(s+2t-5,-s-t-2,s-2t-3)\cdot (-2,1,2)=0=(s+2t-5,-s-t-2,s-2t-3)\cdot (1,-1,1)</tex>. Vi får dermed ligningene <tex>-2s-4t+10-s-t-2+2s-4t-6=-s-9t+2=0</tex> og <tex>s+2t-5+s+t+2+s-2t-3=3s+t-6=0</tex>. Altså er <tex>3s+t-6-3s-27t+6=-26t=0</tex>, så vi må ha at <tex>t=0</tex>. Da er <tex>s=2</tex>. Vi får da punktene <tex>P(5,3,4)</tex> og <tex>Q(2,-1,3)</tex>

=== e) ===

<tex>|\vec{PQ}|=|(2,-1,3)-(5,3,4)|=|(-3,-4,-1)|=\sqrt{3^2+4^2+1^2}=\sqrt{9+16+1}=\sqrt{26}</tex>

== Oppgave 6 ==

=== a) ===

[[Bilde:Screen_shot_2012-01-02_at_21.09.23.png|500px|]]

Avleser fra figuren at amplituden er <tex>\approx 7</tex>, og perioden <tex>24</tex>.

=== b) ===

Den deriverte av <tex>f(x)</tex> er <tex>f'(x)=-\frac{5}{12}\pi\left ( \cos(\frac{\pi}{12}x)-\sin(\frac{\pi}{12}x)\right )
</tex>, og har nullpunkt i <tex>x=3</tex> og <tex>x=15</tex>. Den deriverte er positiv når <tex>3<x<15</tex>, så funksjonen <tex>f(x)</tex> har toppunkt i <tex>x=15</tex> og bunnpunkt i <tex>x=3</tex>.

=== c) ===

Vi ser at <tex>g(x)=22+f(x)</tex>. Funksjonene <tex>f(x)</tex> og <tex>g(x)</tex> må derfor ha topp- og bunnpunkter i samme (korresponderende) x-verdier.
Laveste temperatur inntreffer for <tex>x=3</tex>. Da er temperaturen <tex>g(3)=22-5\sin(\frac{3\pi}{12})-5\cos(\frac{3\pi}{12})=22-5\sqrt{2}\approx 14.93</tex> grader Celsius. Høyeste temperatur inntreffer for <tex>x=15</tex>. Da er temperaturen <tex>g(15)=22-5\sin(\frac{15\pi}{12})-5\cos(\frac{15\pi}{12})=22+5\sqrt{2}\approx 29.07</tex> grader Celsius.

== Oppgave 7 ==

=== a) ===

[[Bilde:Screen_shot_2012-01-03_at_10.10.19.png|500px|]]

=== b) ===

'''1)''' La <tex>f(x)=5x^2e^{-x}</tex>. Produktregelen gir at <tex>f'(x)=(5x^2)'e^{-x}+5x^2(e^{-x})'=10xe^{-x}-5x^2e^{-x}=5(2x-x^2)e^{-x}</tex>. (Vi har i tillegg brukt kjerneregelen, og derivasjonsreglene <tex>(e^x)'=e^x</tex> og <tex>(x^n)'=nx^{n-1}</tex>).

'''2)''' Eksponentialfunksjonen er alltid positiv, så det er tilstrekkelig å betrakte nullpunktene til <tex>2x-x^2=x(2-x)</tex> i uttrykket for den deriverte, som er <tex>x=0</tex> og <tex>x=2</tex>. Når <tex>0<x<2</tex> er <tex>f'(x)>0</tex> og når <tex>x>2</tex> er <tex>f'(x)<0</tex>, så funksjonen <tex>f(x)</tex> vokser i intervallet <tex>(0,2)</tex> og avtar i <tex>(2,\infty)</tex>. <tex>f(x)</tex> har derfor et toppunkt i <tex>x=2</tex>, men ingen bunnpunkt.

=== c) ===

<tex> \begin{align} (-5x^2e^{-x}-10xe^{-x}-10e^{-x}+C) ^{\prime} &= (-5x^2e^{-x})^{\prime}-(10xe^{-x})^{\prime}-(10e^{-x})^{\prime}+C^{\prime} \\ &= -10xe^{-x}+5x^2e^{-x}-10e^{-x}+10xe^{-x}+10e^{-x}+0 \\ &=5x^2e^{-x} \\ &= f(x)\end{align} </tex>

=== d) ===

<tex>\lim_{a\to\infty}\int_0^af(x)\,dx=\lim_{a\to\infty}[-5x^2e^{-x}-10xe^{-x}-10e^{-x}]_0^a=\lim_{a\to\infty}-5a^2e^{-a}-10ae^{-a}-10e^{-a}+10</tex>. Fra det som er oppgitt i oppgaven vil de tre første leddene gå mot <tex>0</tex>, så det eneste som gjenstår er det siste leddet, altså er <tex>\lim_{a\to\infty}\int_0^af(x)\,dx=10</tex>

R2 2010 vår LØSNING

2012-01-07T11:10:06Z

Martin: /* c) */

= Del 1 =

== Oppgave 1 ==

=== a) ===

<tex>f(x)=x^2\cdot \cos(3x)\Rightarrow f'(x)=(x^2)'\cos(3x)+x^2(\cos(3x))'=2x\cos(3x)-3x^2\sin(3x)</tex>

=== b) ===

''' 1) ''' Delvis integrasjon gir at <tex>\int 5x\cdot e^{2x}\,dx=5\int x\cdot e^{2x}\,dx=5[\frac{1}{2}xe^{2x}]-\frac{5}{2}\int e^{2x}\,dx=\frac{5}{4}(2x-1)e^{2x}+C</tex>

''' 2) ''' La <tex>u=x^2-1</tex> så <tex>du=2xdx</tex>, og <tex>\int \frac{6x}{x^2-1}\,dx=\int \frac{3}{u}\,du=3\ln|u|+C=3\ln(|x^2-1|)+C</tex>

=== c) ===

Vi multipliserer med integrerende faktor <tex>e^{\int -2\,dx}\,\,=e^{-2x}</tex> og får at <tex>y'e^{-2x}-2e^{-2x}y=3e^{-2x}</tex>. Omskrivning av venstresida gir at <tex>(ye^{-2x})'=3e^{-2x}</tex>. Integrasjon gir at <tex>\int (ye^{-2x})'\,dx=ye^{-2x}=\int 3e^{-2x}\,dx=-\frac{3}{2}e^{-2x}+C</tex>. Multiplikasjon med <tex>e^{2x}</tex> gir at <tex>y=-\frac{3}{2}+Ce^{2x}</tex>. Startbetingelsen gir at <tex>y(0)=2=C-\frac32</tex>, så <tex>C=2+\frac32=\frac{7}{2}</tex>, og løsningen på startverdiproblemet blir <tex>y=\frac{7}{2}e^{2x}-\frac32</tex>

=== d) ===

''' 1) ''' <tex>\frac12(\cos(u-v)+\cos(u+v))=\frac12(\cos(u)\cos(v)+\sin(u)\sin(v)+\cos(u)\cos(v)-\sin(u)\sin(v))=\cos(u)\cos(v)</tex>

''' 2) ''' <tex>(\cos(x))^2=\cos(x)\cos(x)=\frac12 (\cos(x-x)+\cos(x+x))=\frac12(1+\cos(2x))</tex>. Videre er <tex>\int (\cos(x))^2\,dx=\int \frac12 (1+\cos(2x))\,dx=\frac12\int 1\,dx+\int \frac12 \cos(2x)\,dx=\frac12 x+\frac14\sin(2x)+C</tex>

=== e) ===

''' 1) ''' <tex>\int_{-3}^2 f(x)\,dx=\int_{-3}^2 g'(x)\,dx= g(2)-g(-3)=28-6=22</tex>

''' 2) ''' <tex>f'(x)=g''(x)=h(x)</tex>, så <tex>\int_{-3}^1 h(x)\,dx=\int_{-3}^1 f'(x)\,dx=f(1)-f(-3)=-2-0=-2</tex>

== Oppgave 2 ==

=== a) ===

<tex> \vec{AB} = [-3, 2, 2] </tex> og <tex> \vec{AC} = [-2, -1, 6] </tex>


<tex> \vec{AB} \times \vec{AC} = [12+2,-(-18+4), 3+4]= [14, 14, 7] </tex>


=== b) ===

Normalvektoren til planet som går gjennom punktene A, B og C er <tex> \frac17[14, 14, 7] = [2, 2, 1]</tex>
 Et vilkårlig punkt i planet er <tex>P=(x,y,z)</tex>.
<tex> \vec{AP} \cdot \vec{n} = 0 , [x-3 , y-0, z+2] \cdot [2, 2, 1] = 0 </tex>
<tex> \alpha: 2x + 2y + z - 4 = 0 </tex>


=== c) ===

Siden linjen står vinkelrett på <tex>\alpha</tex>-planet kan vi bruke <tex>[2, 2, 1]</tex> som retningsvektor for linjen <tex>l</tex>. Linjen går gjennom <tex>P = (5, 4, 4)</tex>. Man får da:
<tex>[x,y,z] = [5, 4, 4] + t [2, 2, 1]</tex> som er ekvivalent med
<tex>
n:
\left [
x = 5+ 2t\\
y = 4 + 2t \\
z = 4 + t \right]</tex>
I xz-planet er y = 0. Parameterfremstillingen for linjen gir da <tex>t=-2</tex>. Innsatt for x og z gir det koordinatet <tex>(1, 0, 2)</tex>

=== d) ===

Et vilkårlig punkt Q på linjen l er gitt ved parameterfremstillingen for l. Man får:
<tex> V_{ABCQ} = \frac16|(\vec{AB} \times \vec {AC}) \cdot \vec{AQ}|</tex>

<tex> \vec{AQ}= [5+2t-3, 4+2t-0, 4+t+2] = [2t+2, 2t+4, t+6] </tex>
innsatt i likningen over gir det:
<tex> V_{ABCQ} = \frac16|[14, 14, 7] \cdot [2t+2, 2t+4, t+6] | = \frac73|5t+12|</tex>


=== e) ===

Volumet i pyramiden skal være 42. Innsatt svaret i d gir det |5t+12|= 18 som gir

5t + 12 = 18 eller 5t + 12 = -18 
<tex>t = \frac{6}{5}</tex> eller <tex>t = 6</tex>
Man får to løsninger, en "over", og en "under" alfa- planet. Man setter inn i parameterframstillingen for l og får:

<tex> Q= ( \frac{37}{5}, \frac{32}{5}, \frac{26}{5})</tex> eller Q = (-7, -8, - 2).

= Del 2 =

== Oppgave 3 ==

=== a) ===

Karakteristisk ligning er <tex>\lambda^2+\frac25\lambda+\frac{26}{25}=(\lambda+\frac15-i)(\lambda+\frac15+i)=0</tex>. Generell løsning på differensialligninga blir derfor <tex>y(x)=Ae^{(-\frac15-i)x}+Be^{(-\frac15+i)x}
</tex>. Eulers formel gir at <tex>e^{-ix}=\cos(x)-i\sin(x)</tex> og <tex>e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)</tex>, så <tex>y(x)=Ae^{(-\frac15-i)x}+Be^{(-\frac15+i)x}=Ae^{-\frac15x}(\cos(x)-i\sin(x))+Be^{-\frac15 x}(\cos(x)+i\sin(x))=e^{-0.2x}(C\sin(x)+D\cos(x))</tex>

=== b) ===

<tex>y(0)=5=C\sin(0)+D\cos(0)=D</tex> og <tex>y(\frac{3\pi}{4})=0=e^{-0.2\cdot \frac{3\pi}{4}}(C\sin(\frac{3\pi}{4})+5\cos(\frac{3\pi}{4}))</tex>. Eksponentialfunksjonen er positiv, så <tex>C\sin(\frac{3\pi}{4})+5\cos(\frac{3\pi}{4})= C\frac{\sqrt{2}}{2}-5\frac{\sqrt{2}}{2}=0</tex>. Altså er <tex>C=5</tex>, og <tex>y(x)=e^{-0.2x}(C\sin(x)+D\cos(x))=5e^{-0.2x}(\sin(x)+\cos(x))</tex>

== Oppgave 4 ==

<tex>f(x)=5e^{-0,2x}\cdot(\sin(x)+\cos(x))</tex> der <tex>x\in\langle 0,15\rangle</tex>

=== a) ===

Grafen ser slik ut:

[[bilde:graf1.png]]

''Den deriverte er også med (stiplet) fordi den skal finnes i '''c)'''.''

=== b) ===

Nullpunkter 
<tex>f(x)=0</tex> 
<tex> 5e^{-0,2x}</tex> kan aldri bli null. Man får 
<tex>sin x + cos x =0 \\
tan x = -1\\
x= \frac{3\pi}{4} + n \cdot \pi\\ x \in \Big(( \frac{3\pi}{4},0), (\frac{7\pi}{4},0),(\frac{11\pi}{4},0),(\frac{15\pi}{4},0),(\frac{19\pi}{4},0)\Big)</tex>

Regner man om fra eksakte verdier til desimaltall, ser man at det stemmer med grafen i a.

=== c) ===

<tex> \begin{align} f^{\prime}(x) &= 5(-0,2)e^{-0,2x} \cdot (sin x + cos x)+5e^{-0,2x} \cdot (cos x -sin x)
\\ &= -e^{-0,2x} \cdot sin x -e^{-0,2x} \cdot cos x +5e^{-0,2x} \cdot cos x - 5e^{-0,2x} \cdot sin x \\ &=
4e^{-0,2x} \cdot cos x - 6e^{-0,2x} \cdot sin x \\ &=2e^{-0,2x} \cdot (2cos x-3sin x) \end{align} </tex>

=== d) ===

Man har et toppunkt hver gang den deriverte skifter fortegn fra positiv til negativ. Ved å løse <tex>2\cos(x)-3\sin(x) = 0</tex> og å tegne fortegnslinje, finner man at det er tilfelle for <tex>x=0.59</tex> , <tex>x=6.87</tex> og for <tex>x= 13.15</tex>. Sett disse x-verdiene inn i funksjonsuttrykket og man får funksjonsverdien til toppunktene.

=== e) ===

<tex> A= \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt2</tex> Punktet (1,1) ligger i første kvadrant.<tex> tan\phi = 1</tex> Man får da:
<tex> f(x)=5e^{-0,2x} \cdot \sqrt2\cdot sin(x + \frac{\pi}{4}) = 5\sqrt2e^{-0,2x} \cdot sin(x + \frac{\pi}{4}) </tex>

=== f) ===

<tex>sin(x + \frac{\pi}{4}) </tex> varier i verdi mellom -1 og 1, avhengig av x. Derfor ligger f mellom q og p, altså i området
<tex> \pm5\sqrt2e^{-0,2x}</tex>

[[bilde:4f.png]]

== Oppgave 5 ==

== Oppgave 6 ==

R2 2010 vår LØSNING

2012-01-07T11:05:17Z

Martin: /* b) */

= Del 1 =

== Oppgave 1 ==

=== a) ===

<tex>f(x)=x^2\cdot \cos(3x)\Rightarrow f'(x)=(x^2)'\cos(3x)+x^2(\cos(3x))'=2x\cos(3x)-3x^2\sin(3x)</tex>

=== b) ===

''' 1) ''' Delvis integrasjon gir at <tex>\int 5x\cdot e^{2x}\,dx=5\int x\cdot e^{2x}\,dx=5[\frac{1}{2}xe^{2x}]-\frac{5}{2}\int e^{2x}\,dx=\frac{5}{4}(2x-1)e^{2x}+C</tex>

''' 2) ''' La <tex>u=x^2-1</tex> så <tex>du=2xdx</tex>, og <tex>\int \frac{6x}{x^2-1}\,dx=\int \frac{3}{u}\,du=3\ln|u|+C=3\ln(|x^2-1|)+C</tex>

=== c) ===

Vi multipliserer med integrerende faktor <tex>e^{\int -2\,dx}\,\,=e^{-2x}</tex> og får at <tex>y'e^{-2x}-2e^{-2x}y=3e^{-2x}</tex>. Omskrivning av venstresida gir at <tex>(ye^{-2x})'=3e^{-2x}</tex>. Integrasjon gir at <tex>\int (ye^{-2x})'\,dx=ye^{-2x}=\int 3e^{-2x}\,dx=-\frac{3}{2}e^{-2x}+C</tex>. Multiplikasjon med <tex>e^{2x}</tex> gir at <tex>y=-\frac{3}{2}+Ce^{2x}</tex>. Startbetingelsen gir at <tex>y(0)=2=C-\frac32</tex>, så <tex>C=2+\frac32=\frac{7}{2}</tex>, og løsningen på startverdiproblemet blir <tex>y=\frac{7}{2}e^{2x}-\frac32</tex>

=== d) ===

''' 1) ''' <tex>\frac12(\cos(u-v)+\cos(u+v))=\frac12(\cos(u)\cos(v)+\sin(u)\sin(v)+\cos(u)\cos(v)-\sin(u)\sin(v))=\cos(u)\cos(v)</tex>

''' 2) ''' <tex>(\cos(x))^2=\cos(x)\cos(x)=\frac12 (\cos(x-x)+\cos(x+x))=\frac12(1+\cos(2x))</tex>. Videre er <tex>\int (\cos(x))^2\,dx=\int \frac12 (1+\cos(2x))\,dx=\frac12\int 1\,dx+\int \frac12 \cos(2x)\,dx=\frac12 x+\frac14\sin(2x)+C</tex>

=== e) ===

''' 1) ''' <tex>\int_{-3}^2 f(x)\,dx=\int_{-3}^2 g'(x)\,dx= g(2)-g(-3)=28-6=22</tex>

''' 2) ''' <tex>f'(x)=g''(x)=h(x)</tex>, så <tex>\int_{-3}^1 h(x)\,dx=\int_{-3}^1 f'(x)\,dx=f(1)-f(-3)=-2-0=-2</tex>

== Oppgave 2 ==

=== a) ===

<tex> \vec{AB} = [-3, 2, 2] </tex> og <tex> \vec{AC} = [-2, -1, 6] </tex>


<tex> \vec{AB} \times \vec{AC} = [12+2,-(-18+4), 3+4]= [14, 14, 7] </tex>


=== b) ===

Normalvektoren til planet som går gjennom punktene A, B og C er <tex> \frac17[14, 14, 7] = [2, 2, 1]</tex>
 Et vilkårlig punkt i planet er <tex>P=(x,y,z)</tex>.
<tex> \vec{AP} \cdot \vec{n} = 0 , [x-3 , y-0, z+2] \cdot [2, 2, 1] = 0 </tex>
<tex> \alpha: 2x + 2y + z - 4 = 0 </tex>


=== c) ===

Siden linjen står vinkelrett på <tex>\alpha</tex>-planet kan vi bruke <tex>[2, 2, 1]</tex> som retningsvektor for linjen <tex>l</tex>. Linjen går gjennom <tex>P = (5, 4, 4)</tex>. Man får da:
<tex>[x,y,z] = [5, 4, 4] + t [2, 2, 1]</tex> som er ekvivalent med
<tex>
n:
\left [
x = 5+ 2t\\
y = 4 + 2t \\
z = 4 + t \right]</tex>
I xz-planet er y = 0. Parameterfremstillingen for linjen gir da <tex>t=-2</tex>. Innsatt for x og z gir det koordinatet <tex>(1, 0, 2)</tex>

=== d) ===

Et vilkårlig punkt Q på linjen l er gitt ved parameterfremstillingen for l. Man får:
<tex> V_{ABCQ} = \frac16|(\vec{AB} \times \vec {AC}) \cdot \vec{AQ}|</tex>

<tex> \vec{AQ}= [5+2t-3, 4+2t-0, 4+t+2] = [2t+2, 2t+4, t+6] </tex>
innsatt i likningen over gir det:
<tex> V_{ABCQ} = \frac16|[14, 14, 7] \cdot [2t+2, 2t+4, t+6] | = \frac73|5t+12|</tex>


=== e) ===

Volumet i pyramiden skal være 42. Innsatt svaret i d gir det |5t+12|= 18 som gir

5t + 12 = 18 eller 5t + 12 = -18 
<tex>t = \frac{6}{5}</tex> eller <tex>t = 6</tex>
Man får to løsninger, en "over", og en "under" alfa- planet. Man setter inn i parameterframstillingen for l og får:

<tex> Q= ( \frac{37}{5}, \frac{32}{5}, \frac{26}{5})</tex> eller Q = (-7, -8, - 2).

= Del 2 =

== Oppgave 3 ==

=== a) ===

Karakteristisk ligning er <tex>\lambda^2+\frac25\lambda+\frac{26}{25}=(\lambda+\frac15-i)(\lambda+\frac15+i)=0</tex>. Generell løsning på differensialligninga blir derfor <tex>y(x)=Ae^{(-\frac15-i)x}+Be^{(-\frac15+i)x}
</tex>. Eulers formel gir at <tex>e^{-ix}=\cos(x)-i\sin(x)</tex> og <tex>e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)</tex>, så <tex>y(x)=Ae^{(-\frac15-i)x}+Be^{(-\frac15+i)x}=Ae^{-\frac15x}(\cos(x)-i\sin(x))+Be^{-\frac15 x}(\cos(x)+i\sin(x))=e^{-0.2x}(C\sin(x)+D\cos(x))</tex>

=== b) ===

<tex>y(0)=5=C\sin(0)+D\cos(0)=D</tex> og <tex>y(\frac{3\pi}{4})=0=e^{-0.2\cdot \frac{3\pi}{4}}(C\sin(\frac{3\pi}{4})+5\cos(\frac{3\pi}{4}))</tex>. Eksponentialfunksjonen er positiv, så <tex>C\sin(\frac{3\pi}{4})+5\cos(\frac{3\pi}{4})= C\frac{\sqrt{2}}{2}-5\frac{\sqrt{2}}{2}=0</tex>. Altså er <tex>C=5</tex>, og <tex>y(x)=e^{-0.2x}(C\sin(x)+D\cos(x))=5e^{-0.2x}(\sin(x)+\cos(x))</tex>

== Oppgave 4 ==

<tex>f(x)=5e^{-0,2x}\cdot(\sin(x)+\cos(x))</tex> der <tex>x\in\langle 0,15\rangle</tex>

=== a) ===

Grafen ser slik ut:

[[bilde:graf1.png]]

''Den deriverte er også med (stiplet) fordi den skal finnes i '''c)'''.''

=== b) ===

Nullpunkter 
<tex>f(x)=0</tex> 
<tex> 5e^{-0,2x}</tex> kan aldri bli null. Man får 
<tex>sin x + cos x =0 \\
tan x = -1\\
x= \frac{3\pi}{4} + n \cdot \pi\\ x \in \Big(( \frac{3\pi}{4},0), (\frac{7\pi}{4},0),(\frac{11\pi}{4},0),(\frac{15\pi}{4},0),(\frac{19\pi}{4},0)\Big)</tex>

Regner man om fra eksakte verdier til desimaltall, ser man at det stemmer med grafen i a.

=== c) ===

<tex> \begin{align} f^{\prime}(x) &= 5(-0,2)e^{-0,2x} \cdot (sin x + cos x)+5e^{-0,2x} \cdot (cos x -sin x)
\\ &= -e^{-0,2x} \cdot sin x -e^{-0,2x} \cdot cos x +5e^{-0,2x} \cdot cos x - 5e^{-0,2x} \cdot sin x
4e^{-0,2x} \cdot cos x - 6e^{-0,2x} \cdot sin x \\ &=2e^{-0,2x} \cdot (2cos x-3sin x) \end{align} </tex>

=== d) ===

Man har et toppunkt hver gang den deriverte skifter fortegn fra positiv til negativ. Ved å løse <tex>2\cos(x)-3\sin(x) = 0</tex> og å tegne fortegnslinje, finner man at det er tilfelle for <tex>x=0.59</tex> , <tex>x=6.87</tex> og for <tex>x= 13.15</tex>. Sett disse x-verdiene inn i funksjonsuttrykket og man får funksjonsverdien til toppunktene.

=== e) ===

<tex> A= \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt2</tex> Punktet (1,1) ligger i første kvadrant.<tex> tan\phi = 1</tex> Man får da:
<tex> f(x)=5e^{-0,2x} \cdot \sqrt2\cdot sin(x + \frac{\pi}{4}) = 5\sqrt2e^{-0,2x} \cdot sin(x + \frac{\pi}{4}) </tex>

=== f) ===

<tex>sin(x + \frac{\pi}{4}) </tex> varier i verdi mellom -1 og 1, avhengig av x. Derfor ligger f mellom q og p, altså i området
<tex> \pm5\sqrt2e^{-0,2x}</tex>

[[bilde:4f.png]]

== Oppgave 5 ==

== Oppgave 6 ==

R2 2010 vår LØSNING

2012-01-07T11:04:42Z

Martin: /* c) */

= Del 1 =

== Oppgave 1 ==

=== a) ===

<tex>f(x)=x^2\cdot \cos(3x)\Rightarrow f'(x)=(x^2)'\cos(3x)+x^2(\cos(3x))'=2x\cos(3x)-3x^2\sin(3x)</tex>

=== b) ===

''' 1) ''' Delvis integrasjon gir at <tex>\int 5x\cdot e^{2x}\,dx=5\int x\cdot e^{2x}\,dx=5[\frac{1}{2}xe^{2x}]-\frac{5}{2}\int e^{2x}\,dx=\frac{5}{4}(2x-1)e^{2x}+C</tex>

''' 2) ''' La <tex>u=x^2-1</tex> så <tex>du=2xdx</tex>, og <tex>\int \frac{6x}{x^2-1}\,dx=\int \frac{3}{u}\,du=3\ln|u|+C=3\ln(|x^2-1|)+C</tex>

=== c) ===

Vi multipliserer med integrerende faktor <tex>e^{\int -2\,dx}\,\,=e^{-2x}</tex> og får at <tex>y'e^{-2x}-2e^{-2x}y=3e^{-2x}</tex>. Omskrivning av venstresida gir at <tex>(ye^{-2x})'=3e^{-2x}</tex>. Integrasjon gir at <tex>\int (ye^{-2x})'\,dx=ye^{-2x}=\int 3e^{-2x}\,dx=-\frac{3}{2}e^{-2x}+C</tex>. Multiplikasjon med <tex>e^{2x}</tex> gir at <tex>y=-\frac{3}{2}+Ce^{2x}</tex>. Startbetingelsen gir at <tex>y(0)=2=C-\frac32</tex>, så <tex>C=2+\frac32=\frac{7}{2}</tex>, og løsningen på startverdiproblemet blir <tex>y=\frac{7}{2}e^{2x}-\frac32</tex>

=== d) ===

''' 1) ''' <tex>\frac12(\cos(u-v)+\cos(u+v))=\frac12(\cos(u)\cos(v)+\sin(u)\sin(v)+\cos(u)\cos(v)-\sin(u)\sin(v))=\cos(u)\cos(v)</tex>

''' 2) ''' <tex>(\cos(x))^2=\cos(x)\cos(x)=\frac12 (\cos(x-x)+\cos(x+x))=\frac12(1+\cos(2x))</tex>. Videre er <tex>\int (\cos(x))^2\,dx=\int \frac12 (1+\cos(2x))\,dx=\frac12\int 1\,dx+\int \frac12 \cos(2x)\,dx=\frac12 x+\frac14\sin(2x)+C</tex>

=== e) ===

''' 1) ''' <tex>\int_{-3}^2 f(x)\,dx=\int_{-3}^2 g'(x)\,dx= g(2)-g(-3)=28-6=22</tex>

''' 2) ''' <tex>f'(x)=g''(x)=h(x)</tex>, så <tex>\int_{-3}^1 h(x)\,dx=\int_{-3}^1 f'(x)\,dx=f(1)-f(-3)=-2-0=-2</tex>

== Oppgave 2 ==

=== a) ===

<tex> \vec{AB} = [-3, 2, 2] </tex> og <tex> \vec{AC} = [-2, -1, 6] </tex>


<tex> \vec{AB} \times \vec{AC} = [12+2,-(-18+4), 3+4]= [14, 14, 7] </tex>


=== b) ===

Normalvektoren til planet som går gjennom punktene A, B og C er <tex> \frac17[14, 14, 7] = [2, 2, 1]</tex>
 Et vilkårlig punkt i planet er <tex>P=(x,y,z)</tex>.
<tex> \vec{AP} \cdot \vec{n} = 0 , [x-3 , y-0, z+2] \cdot [2, 2, 1] = 0 </tex>
<tex> \alpha: 2x + 2y + z - 4 = 0 </tex>


=== c) ===

Siden linjen står vinkelrett på <tex>\alpha</tex>-planet kan vi bruke <tex>[2, 2, 1]</tex> som retningsvektor for linjen <tex>l</tex>. Linjen går gjennom <tex>P = (5, 4, 4)</tex>. Man får da:
<tex>[x,y,z] = [5, 4, 4] + t [2, 2, 1]</tex> som er ekvivalent med
<tex>
n:
\left [
x = 5+ 2t\\
y = 4 + 2t \\
z = 4 + t \right]</tex>
I xz-planet er y = 0. Parameterfremstillingen for linjen gir da <tex>t=-2</tex>. Innsatt for x og z gir det koordinatet <tex>(1, 0, 2)</tex>

=== d) ===

Et vilkårlig punkt Q på linjen l er gitt ved parameterfremstillingen for l. Man får:
<tex> V_{ABCQ} = \frac16|(\vec{AB} \times \vec {AC}) \cdot \vec{AQ}|</tex>

<tex> \vec{AQ}= [5+2t-3, 4+2t-0, 4+t+2] = [2t+2, 2t+4, t+6] </tex>
innsatt i likningen over gir det:
<tex> V_{ABCQ} = \frac16|[14, 14, 7] \cdot [2t+2, 2t+4, t+6] | = \frac73|5t+12|</tex>


=== e) ===

Volumet i pyramiden skal være 42. Innsatt svaret i d gir det |5t+12|= 18 som gir

5t + 12 = 18 eller 5t + 12 = -18 
<tex>t = \frac{6}{5}</tex> eller <tex>t = 6</tex>
Man får to løsninger, en "over", og en "under" alfa- planet. Man setter inn i parameterframstillingen for l og får:

<tex> Q= ( \frac{37}{5}, \frac{32}{5}, \frac{26}{5})</tex> eller Q = (-7, -8, - 2).

= Del 2 =

== Oppgave 3 ==

=== a) ===

Karakteristisk ligning er <tex>\lambda^2+\frac25\lambda+\frac{26}{25}=(\lambda+\frac15-i)(\lambda+\frac15+i)=0</tex>. Generell løsning på differensialligninga blir derfor <tex>y(x)=Ae^{(-\frac15-i)x}+Be^{(-\frac15+i)x}
</tex>. Eulers formel gir at <tex>e^{-ix}=\cos(x)-i\sin(x)</tex> og <tex>e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)</tex>, så <tex>y(x)=Ae^{(-\frac15-i)x}+Be^{(-\frac15+i)x}=Ae^{-\frac15x}(\cos(x)-i\sin(x))+Be^{-\frac15 x}(\cos(x)+i\sin(x))=e^{-0.2x}(C\sin(x)+D\cos(x))</tex>

=== b) ===

<tex>y(0)=5=C\sin(0)+D\cos(0)=D</tex> og <tex>y(\frac{3\pi}{4})=0=e^{-0.2\cdot \frac{3\pi}{4}}(C\sin(\frac{3\pi}{4})+5\cos(\frac{3\pi}{4}))</tex>. Eksponentialfunksjonen er positiv, så <tex>C\sin(\frac{3\pi}{4})+5\cos(\frac{3\pi}{4})= C\frac{\sqrt{2}}{2}-5\frac{\sqrt{2}}{2}=0</tex>. Altså er <tex>C=5</tex>, og <tex>y(x)=e^{-0.2x}(C\sin(x)+D\cos(x))=5e^{-0.2x}(\sin(x)+\cos(x))</tex>

== Oppgave 4 ==

<tex>f(x)=5e^{-0,2x}\cdot(\sin(x)+\cos(x))</tex> der <tex>x\in\langle 0,15\rangle</tex>

=== a) ===

Grafen ser slik ut:

[[bilde:graf1.png]]

''Den deriverte er også med (stiplet) fordi den skal finnes i '''c)'''.''

=== b) ===

Nullpunkter 
f(x)=0 
<tex> 5e^{-0,2x}</tex> kan aldri bli null. Man får 
<tex>sin x + cos x =0 \\
tan x = -1\\
x= \frac{3\pi}{4} + n \cdot \pi\\ x \in \Big(( \frac{3\pi}{4},0), (\frac{7\pi}{4},0),(\frac{11\pi}{4},0),(\frac{15\pi}{4},0),(\frac{19\pi}{4},0)\Big)</tex>

Regner man om fra eksakte verdier til desimaltall, ser man at det stemmer med grafen i a.

=== c) ===

<tex> \begin{align} f^{\prime}(x) &= 5(-0,2)e^{-0,2x} \cdot (sin x + cos x)+5e^{-0,2x} \cdot (cos x -sin x)
\\ &= -e^{-0,2x} \cdot sin x -e^{-0,2x} \cdot cos x +5e^{-0,2x} \cdot cos x - 5e^{-0,2x} \cdot sin x
4e^{-0,2x} \cdot cos x - 6e^{-0,2x} \cdot sin x \\ &=2e^{-0,2x} \cdot (2cos x-3sin x) \end{align} </tex>

=== d) ===

Man har et toppunkt hver gang den deriverte skifter fortegn fra positiv til negativ. Ved å løse <tex>2\cos(x)-3\sin(x) = 0</tex> og å tegne fortegnslinje, finner man at det er tilfelle for <tex>x=0.59</tex> , <tex>x=6.87</tex> og for <tex>x= 13.15</tex>. Sett disse x-verdiene inn i funksjonsuttrykket og man får funksjonsverdien til toppunktene.

=== e) ===

<tex> A= \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt2</tex> Punktet (1,1) ligger i første kvadrant.<tex> tan\phi = 1</tex> Man får da:
<tex> f(x)=5e^{-0,2x} \cdot \sqrt2\cdot sin(x + \frac{\pi}{4}) = 5\sqrt2e^{-0,2x} \cdot sin(x + \frac{\pi}{4}) </tex>

=== f) ===

<tex>sin(x + \frac{\pi}{4}) </tex> varier i verdi mellom -1 og 1, avhengig av x. Derfor ligger f mellom q og p, altså i området
<tex> \pm5\sqrt2e^{-0,2x}</tex>

[[bilde:4f.png]]

== Oppgave 5 ==

== Oppgave 6 ==

Radian

2012-01-07T10:50:50Z

Martin:

En radian er et vinkelmål der en hel omdreining rundt en sirkel er 2π radianer (to multiplisert med tallet pi). Det er derfor 360° per 2π radianer. Sammenhengen mellom grader og radianer er derfor:
[[ Bilde:Sirkelsegment.gif|right]]
<tex>\text{radianer } = \text{ grader} \cdot \frac{\pi}{180} </tex>

Buelengden b til et sirkelsegment med radius r utgjør b/(2πr) deler av omkretsen til sirkelen. Vinkelen, i radianer, til et sirkelsegment er derfor gitt ved b/r - se figuren.

----
[[Vinkel]]
[[kategori:lex]]

S1 2011 vår LØSNING

2012-01-06T17:11:54Z

Martin: /* Oppgave 1 */

= Del 1 =

== Oppgave 1 ==

=== a) ===

'''1)'''

'''2)'''

=== b) ===

=== c) ===

=== d) ===

=== e) ===

=== f) ===

=== g) ===

=== h) ===

=== i) ===

== Oppgave 2 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

= Del 2 =

== Oppgave 3 ==

=== a) ===

=== b) ===

'''1)'''

'''2)'''

'''3)'''

'''4)'''

== Oppgave 4 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

== Oppgave 5 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

=== d) ===

'''1)'''

'''2)'''

'''3)'''

== Oppgave 6 ==

=== a) ===

=== b) ===

== Oppgave 7 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

=== d) ===

S1 2011 vår LØSNING

2012-01-06T17:11:16Z

Martin: Ny side: = Del 1 = == Oppgave 1 == '''1)''' '''2)''' === a) === === b) === === c) === === d) === === e) === === f) === === g) === === h) === === i) === == Oppgave 2 == ...

= Del 1 =

== Oppgave 1 ==

'''1)'''

'''2)'''

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

=== d) ===

=== e) ===

=== f) ===

=== g) ===

=== h) ===

=== i) ===

== Oppgave 2 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

= Del 2 =

== Oppgave 3 ==

=== a) ===

=== b) ===

'''1)'''

'''2)'''

'''3)'''

'''4)'''

== Oppgave 4 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

== Oppgave 5 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

=== d) ===

'''1)'''

'''2)'''

'''3)'''

== Oppgave 6 ==

=== a) ===

=== b) ===

== Oppgave 7 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

=== d) ===

2P 2011 vår LØSNING

2012-01-06T16:58:40Z

Martin: /* c) */

= Del 1 =

== Oppgave 1 ==

=== a) ===

'''1)''' <tex> 36 200 = 3.62 \cdot 10^4 </tex>

'''2)''' <tex> 0.000 642 = 6.42 \cdot 10^{-4} </tex>

'''3)''' <tex> 53 \text{ millioner} = 5.3 \cdot 10^7 </tex>

'''4)''' <tex> 0.034 \cdot 10^{-2} = 3.4 \cdot 10^{-4} </tex>

=== b) ===

=== c) ===

'''1)''' <tex>a^4 \cdot \big( a^2 \big)^{-3} \cdot a^0 = a^4 \cdot a^{2 \cdot (-3)} \cdot a^0 = a^4 \cdot a^{-6} \cdot a^0 = a^{4 - 6 + 0} = a^{-2}</tex>

'''2)''' <tex>\frac{2^{-3} \cdot 4^3 } {8^2} = \frac{2^{-3} \cdot (2^2)^3 } {(2^3)^2} = \frac{2^{-3} \cdot 2^6 } {2^6} = 2^{-3} = \frac{1}{8} </tex>

=== d) ===

'''1)'''

'''2)'''

'''3)'''

=== e) ===

=== f) ===

== Oppgave 2 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

= Del 2 =

== Oppgave 3 ==

=== a) ===

'''1)'''

'''2)'''

=== b) ===

'''1)'''

'''2)'''

=== c) ===

== Oppgave 4 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

=== d) ===

=== e) ===

== Oppgave 5 ==

=== a) ===

=== b) ===

'''1)'''

'''2)'''

=== c) ===

=== d) ===

== Oppgave 6 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

== Oppgave 7 ==

=== a) ===

'''1)'''

'''2)'''

=== b) ===

=== c) ===

R1 2009 høst LØSNING

2012-01-06T16:45:56Z

Martin: /* Del 2 */

= Del 1 =

== Oppgave 1 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

=== d) ===

=== e) ===

'''1)'''

'''2)'''

=== f) ===

=== g) ===

=== h) ===

'''1)'''

'''2)'''

== Oppgave 2 ==

=== a) ===

=== b) ===

= Del 2 =

== Oppgave 3 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

=== d) ===

== Oppgave 4 ==

=== Alternativ I ===

==== a) ====

==== b) ====

==== c) ====

==== d) ====

==== e) ====

=== Alternativ II ===

==== a) ====

==== b) ====

'''1)'''

'''2)'''

==== c) ====

== Oppgave 5 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

=== d) ===

=== e) ===

2P 2011 vår LØSNING

2012-01-06T16:39:27Z

Martin:

= Del 1 =

== Oppgave 1 ==

=== a) ===

'''1)''' <tex> 36 200 = 3.62 \cdot 10^4 </tex>

'''2)''' <tex> 0.000 642 = 6.42 \cdot 10^{-4} </tex>

'''3)''' <tex> 53 \text{ millioner} = 5.3 \cdot 10^7 </tex>

'''4)''' <tex> 0.034 \cdot 10^{-2} = 3.4 \cdot 10^{-4} </tex>

=== b) ===

=== c) ===

'''1)'''

'''2)'''

=== d) ===

'''1)'''

'''2)'''

'''3)'''

=== e) ===

=== f) ===

== Oppgave 2 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

= Del 2 =

== Oppgave 3 ==

=== a) ===

'''1)'''

'''2)'''

=== b) ===

'''1)'''

'''2)'''

=== c) ===

== Oppgave 4 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

=== d) ===

=== e) ===

== Oppgave 5 ==

=== a) ===

=== b) ===

'''1)'''

'''2)'''

=== c) ===

=== d) ===

== Oppgave 6 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

== Oppgave 7 ==

=== a) ===

'''1)'''

'''2)'''

=== b) ===

=== c) ===

2P 2011 vår LØSNING

2012-01-06T16:28:45Z

Martin:

KOMMER

= Del 1 =

== Oppgave 1 ==

=== a) ===

'''1)'''

'''2)'''

'''3)'''

'''4)'''

=== b) ===

=== c) ===

'''1)'''

'''2)'''

=== d) ===

'''1)'''

'''2)'''

'''3)'''

=== e) ===

=== f) ===

== Oppgave 2 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

= Del 2 =

== Oppgave 3 ==

=== a) ===

'''1)'''

'''2)'''

=== b) ===

'''1)'''

'''2)'''

=== c) ===

== Oppgave 4 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

=== d) ===

=== e) ===

== Oppgave 5 ==

=== a) ===

=== b) ===

'''1)'''

'''2)'''

=== c) ===

=== d) ===

== Oppgave 6 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

== Oppgave 7 ==

=== a) ===

'''1)'''

'''2)'''

=== b) ===

=== c) ===

R1 2010 vår LØSNING

2012-01-06T16:18:07Z

Martin: /* Del 2 */

= Del 1 =

== Oppgave 1 ==

=== a) ===

'''1)''' <tex>f(x)=x^3\ln(x)\Rightarrow f'(x)=(x^3)'\ln(x)+x^3(\ln(x))'=3x^2\ln(x)+x^3\frac{1}{x}=x^2(3\ln(x)+1)</tex>

'''2)''' <tex>g(x)=4e^{x^2-3x}\Rightarrow g'(x)=4(2x-3)e^{x^2-3x}</tex>

=== b) ===

'''1)''' La <tex>P(x)=x^3-4x^2-4x+16</tex>. Da er <tex>P(2)=2^3-4\cdot 2^2-4\cdot 2+16=8-16-8+16=0</tex>, og <tex>x-2</tex> er en faktor i <tex>P(x)</tex>. Polynomdivisjon gir at <tex>x^3-4x^2-4x+16\,:\,x-2=x^2-2x-8
</tex>. Vi ser videre at <tex>-2</tex> er en rot i polynomet <tex>x^2-2x-8</tex>, så <tex>x+2</tex> er en faktor. Polynomdivisjon gir dermed at <tex>x^2-2x-8\,:\, x+2=x-4</tex>, så <tex>P(x)=(x-2)(x+2)(x-4)</tex>

'''2)''' <tex>P(x)\leq 0\Rightarrow (x-2)(x+2)(x-4)\leq 0</tex>. P(x) har nullpunkter i <tex>x=-2</tex>, <tex>x=2</tex> og <tex>x=4</tex>, og skifter fortegn i disse punktene. Dersom <tex>x<-2</tex> er hver av de tre faktorene i <tex>P(x)</tex> negativ, og <tex>P(x)<0</tex>. Dersom <tex>-2<x<2</tex> er to av faktorene negative og <tex>P(x)>0</tex>. Dersom <tex>2<x<4</tex> er nøyaktig én faktor negativ, og <tex>P(x)<0</tex>. Dersom <tex>x>4</tex> er alle faktorene positive, og <tex>P(x)>0</tex>. Ulikheten <tex>P(x)\leq 0</tex> er følgelig tilfredsstilt for <tex>x\leq -2</tex> og <tex>2\leq x\leq 4</tex>.

=== c) ===

<tex>\text{Per er fra Bergen}\Rightarrow \text{Per er fra Norge}</tex>. (At Per er fra Norge behøver ikke bety at han er fra Bergen.)

=== d) ===

'''1)''' La <tex>\vec{a}=[3,5]</tex>. Vi dobler vektoren ved å multiplisere med <tex>2</tex>, og snur retningen ved å multiplisere med <tex>-1</tex>. Det følger at <tex>\vec{b}=-2\cdot [3,5]=[-6,-10]</tex>

'''2)''' For at <tex>\vec{c}=[x,y]</tex> skal stå normalt på <tex>\vec{a}</tex>, må <tex>\vec{c}\cdot \vec{a}=[x,y]\cdot[3,5]=3x+5y=0</tex>. Et naturlig valg er <tex>x=5</tex>, <tex>y=-3</tex>, så <tex>\vec{c}=[5,-3]</tex>.

=== e) ===

<tex>4\cdot \left ( 1+\frac{x}{100}\right )^4=64\Rightarrow \left ( 1+\frac{x}{100}\right )^4=16=2^4\Rightarrow 1+\frac{x}{100}=2\Rightarrow x=100</tex>

== Oppgave 2 ==

=== a) ===

Vi har at <tex>f'(x)=2(x+1)(x-3)</tex>, så <tex>f'(x)</tex> har nullpunkt i <tex>x=-1</tex> og <tex>x=3</tex>. Dersom <tex>x<-1</tex> er <tex>f'(x)>0</tex> og <tex>f(x)</tex> vokser, dersom <tex>-1<x<3</tex> er <tex>f'(x)<0</tex> og <tex>f(x)</tex> avtar, og dersom <tex>x>3</tex> er <tex>f'(x)>0</tex> og <tex>f(x)</tex> vokser. <tex>f(x)</tex> har derfor toppunkt i <tex>x=-1</tex> og bunnpunkt i <tex>x=3</tex>.

=== b) ===

<tex>f'(x)=2(x+1)(x-3)\Rightarrow f''(x)=2(x-3)+2(x+1)=4x-4</tex>. <tex>f(x)</tex> har vendepunkt der <tex>f''(x)=0</tex>, altså i <tex>x=1</tex>

=== c) ===

Nullstiller vi den andrederiverte til <tex>g(x)</tex> får vi en lineær ligning som følgelig bare kan ha én løsning. Derfor kan funksjonen maksimalt ha ett vendepunkt. Vi har at <tex>g''(x)=a(x-c)+a(x-b)=a(2x-b-c)</tex>. Førstekoordinaten til vendepunktet er løsning på ligningen <tex>g''(x)=a(2x-b-c)=0</tex>, som er gitt ved <tex>x=\frac{b+c}{2}</tex>, altså midt mellom <tex>b</tex> og <tex>c</tex>, som også er midt mellom <tex>x_{maks}</tex> og <tex>x_{min}</tex> (siden <tex>g(x)</tex> har topp- og bunnpunkt i <tex>x=b</tex> og <tex>x=c</tex>, der den deriverte er <tex>0</tex>).

= Del 2 =

== Oppgave 3 ==

=== a) ===

<tex>{12\choose 5}=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=792</tex>

=== b) ===

For hver av de sju resterende kampene er det to muligheter, altså blir det totalt <tex>2^7=128</tex> måter å fylle ut kupongen.

=== c) ===

Sannsynligheten for nøyaktig fem hjemmeseire blir <tex>792\cdot (\frac{1}{3})^{5}\cdot (\frac{2}{3})^7\approx 0.19
</tex>

== Oppgave 4 ==

=== a) ===

[[Bilde:Screen_shot_2012-01-05_at_18.25.17.png|500px|]]

=== b) ===

<tex>\vec{v}=\vec{r}'=[3t^2,1]</tex> og <tex>\vec{a}=\vec{v}'=[6t,0]</tex>

=== c) ===

<tex>\vec{v}(t)</tex> er parallell med y-aksen der x-komponenten er <tex>0</tex>, altså der <tex>3t^2=0</tex>. Da er <tex>t=0</tex>, så punktet på kurven der hastighetsvektoren er parallell med y-aksen er i <tex>(3,1)</tex>

== Oppgave 5 ==

=== Alternativ I ===

==== a) ====

Tangenten har ligning <tex>y=ax+b</tex>. Siden den går gjennom punktet <tex>(1,1)</tex> må ligningen tilfredsstille <tex>1=a+b</tex>. Stigningstallet <tex>a</tex> må være det samme som stigningstallet til grafen til <tex>f(x)=x^3</tex> i <tex>(1,1)</tex>. <tex>f'(x)=3x^2</tex>, så <tex>f'(1)=3</tex>, og <tex>a=f'(1)=3</tex>. Videre er <tex>1=a+b=3+b</tex>, så <tex>b=1-3=-2</tex>. Ligningen til tangenten <tex>T_1</tex> er derfor <tex>y=3x-2</tex>.

==== b) ====

Punktet Q må tilfredsstille <tex>y=f(x)</tex>, altså <tex>3x-2=x^3</tex> som vi kan skrive <tex>x^3-3x+2=0</tex>. Siden vi kjenner én løsning fra før, <tex>x=1</tex>, må <tex>x-1</tex> være en faktor i polynomet <tex>x^3-3x+2</tex>. Polynomdivisjon gir at <tex>x^3-3x+2\,:\,x-1=x^2+x-2</tex>. Vi ser nå at <tex>1</tex> er en rot i <tex>x^2+x-2</tex>, så <tex>x-1</tex> er en faktor i <tex>x^2+x-2</tex>. Polynomdivisjon gir igjen at <tex>x^2+x-2\,:\,x-1=x+2</tex>. Altså er ligningen <tex>x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)=0</tex>, med løsninger <tex>x=-2</tex> og <tex>x=1</tex>

==== c) ====

Siden <tex>T_1</tex> og <tex>T_2</tex> er parallelle må de ha samme stigningstall. Altså må <tex>f'(x)=3x^2=3</tex> i tangeringspunktet, som har løsninger <tex>x=\pm 1</tex>. Tangeringspunktet mellom <tex>T_2</tex> og <tex>f(x)</tex> må derfor være i <tex>(x,y)=(-1,-1)</tex>

=== Alternativ II ===

==== a) ====

Siden <tex>x</tex> meter av ledningen brukes på trekanten, er det <tex>10-x</tex> tilovers til kvadratet. Siden alle sidene i kvadratet er like lange er hver side <tex>\frac{10-x}{4}</tex>, så arealet er <tex>F_1(x)=(\frac{10-x}{4})^2=\frac{1}{16}(10-x)^2</tex>

==== b) ====

Vi trekker en normal ned fra toppen av trekanten ned på grunnlinja, som blir høyden <tex>h</tex>. Pytagoras gir at <tex>h^2+(\frac{x}{6})^2=(\frac{x}{3})^2</tex>, så <tex>h=\sqrt{\frac{1}{9}x^2-\frac{1}{36} x^2}=\sqrt{\frac{3}{36}x^2}=\frac{\sqrt{3}x}{6}</tex>. Arealet av trekanten blir dermed <tex>F_2(x)=\frac{hx}{6}=\frac{\sqrt{3}}{36}x^2</tex>

==== c) ====

La <tex>F(x)=F_1(x)+F_2(x)=\frac{1}{16}(10-x)^2+\frac{\sqrt{3}}{36}x^2</tex>, der <tex>0\leq x\leq 10</tex>. <tex>F'(x)=-\frac{1}{8}(10-x)+\frac{\sqrt{3}x}{18}=0</tex> gir at <tex>x=\frac{5}{\frac{1}{2}+\frac{2\sqrt{3}}{9}}\approx 5.65</tex>. Siden den andrederiverte er positiv, må dette være et bunnpunkt, så ledningen må kuttes slik at <tex>x\approx 5.65</tex>

== Oppgave 6 ==

=== a) ===

Siden <tex>\triangle ASD</tex> er likebeint (<tex>AD=SD=r</tex>), er <tex>\angle SAD=\angle ASD =x</tex>

=== b) ===

<tex>SD=SC=r</tex> så <tex>\triangle SDC</tex> er likebeint og <tex>\angle SDC=\angle SCD</tex>. <tex>\angle SDA=\pi-2x</tex> og <tex>\angle SDC =\pi-\angle SDA=\pi-(\pi-2x)=2x</tex>

=== c) ===

<tex>\angle CSD = \pi-4x=\pi-(x+y)</tex>, så <tex>x+y=4x\Leftrightarrow y=3x</tex>

== Oppgave 7 ==

=== a) ===

<tex>n=1:</tex> <tex>4^1-1=3</tex>

<tex>n=2:</tex> <tex>4^2-1=15=3\cdot 5</tex>

<tex>n=3:</tex> <tex>4^3-1=63=3\cdot 21</tex>

<tex>n=4:</tex> <tex>4^4-1=255=3\cdot 85</tex>

=== b) ===

<tex>(2^n-1)(2^n+1)=(2^n)^2+2^n-2^n-1=(2^2)^n-1=4^n-1</tex>

=== c) ===

Dersom <tex>n</tex> er et naturlig tall er <tex>2^n</tex> et heltall, og <tex>2^n-1</tex> og <tex>2^n+1</tex> er de nærmeste heltallene. Blant tre påfølgende heltall vil det alltid være ett som er delelig med <tex>3</tex>: Tallene som er delelig med 3 er på formen <tex>3k=0,3,6,9,12,15,...</tex>. <tex>2^n</tex> er aldri delelig med 3.

=== d) ===

Fra c) må enten <tex>2^n-1</tex> eller <tex>2^n+1</tex> være delelig med <tex>3</tex> for alle naturlige tall. Siden <tex>4^n-1=(2^n-1)(2^n+1)</tex> må <tex>4^n-1</tex> alltid være delelig med 3.

R1 2008 vår LØSNING

2012-01-06T16:14:06Z

Martin: /* II */

= Del 1 =

== Oppgave 1 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

=== d) ===

=== e) ===

'''1)'''

'''2)'''

== Oppgave 2 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

=== d) ===

=== e) ===

= Del 2 =

== Oppgave 3 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

== Oppgave 4 ==

=== Alternativ I ===

==== a) ====

==== b) ====

==== c) ====

==== d) ====

=== Alternativ II ===

==== a) ====

==== b) ====

==== c) ====

==== d) ====

== Oppgave 5 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

=== d) ===

=== e) ===

=== f) ===

R1 2008 vår LØSNING

2012-01-06T16:13:51Z

Martin: /* I */

= Del 1 =

== Oppgave 1 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

=== d) ===

=== e) ===

'''1)'''

'''2)'''

== Oppgave 2 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

=== d) ===

=== e) ===

= Del 2 =

== Oppgave 3 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

== Oppgave 4 ==

=== Alternativ I ===

==== a) ====

==== b) ====

==== c) ====

==== d) ====

=== II ===

==== a) ====

==== b) ====

==== c) ====

==== d) ====

== Oppgave 5 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

=== d) ===

=== e) ===

=== f) ===

R1 2008 vår LØSNING

2012-01-05T19:50:25Z

Martin: Ny side: = Del 1 = == Oppgave 1 == === a) === === b) === === c) === === d) === === e) === '''1)''' '''2)''' == Oppgave 2 == === a) === === b) === === c) === === d) === ===...

= Del 1 =

== Oppgave 1 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

=== d) ===

=== e) ===

'''1)'''

'''2)'''

== Oppgave 2 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

=== d) ===

=== e) ===

= Del 2 =

== Oppgave 3 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

== Oppgave 4 ==

=== I ===

==== a) ====

==== b) ====

==== c) ====

==== d) ====

=== II ===

==== a) ====

==== b) ====

==== c) ====

==== d) ====

== Oppgave 5 ==

=== a) ===

=== b) ===

=== c) ===

=== d) ===

=== e) ===

=== f) ===

R2 2010 vår LØSNING

2012-01-04T11:47:15Z

Martin: /* oppgave 4 */

=== Oppgave 2 ===
a)

<tex> \vec{AB} = [-3, 2, 2] </tex> og <tex> \vec{AC} = [-2, -1, 6] </tex>


<tex> \vec{AB} \times \vec{AC} = [12+2,-(-18+4), 3+4]= [14, 14, 7] </tex>

b)
Normalvektoren til planet som går gjennom punktene A, B og C er <tex> \frac17[14, 14, 7] = [2, 2, 1]</tex>
 Ett vilkårlig punkt i planet er P= (x,y,z).
<tex> \vec{AP} \cdot \vec{n} = 0 , [x-3 , y-0, z+2] \cdot [2, 2, 1] = 0 </tex>
<tex> \alpha: 2x + 2y + z - 4 = 0 </tex>

c)
Siden linjen står vinkelrett på alfa planet kan vi bruke [2, 2, 1] som rettningsvektor for linjen l. Linjen går gjennom P = (5, 4, 4). Man får da:
[x,y,z] = [5, 4, 4] + t [2, 2, 1] som er ekvivalent med
<tex>
n:
\left [
x = 5+ 2t\\
y = 4 + 2t \\
z = 4 + t \right]</tex>
I xz-planet er y = 0. Parameterfremmstillingen for linjen gir da t=-2. Innsatt for x og z gir det koordinatene (1, 0 2)

d)

Et vilkårlig punkt Q på linjen l er gitt ved parameterfremstillingen for l. Man får:
<tex> V_{ABCQ} = \frac16|(\vec{AB} \times \vec {AC}) \cdot \vec{AQ}|</tex>

<tex> \vec{AQ}= [5+2t-3, 4+2t-0, 4+t+2] = [2t+2, 2t+4, t+6] </tex>
innsatt i likningen over gir det:
<tex> V_{ABCQ} = \frac16|[14, 14, 7] \cdot [2t+2, 2t+4, t+6] | = \frac73|5t+12|</tex>

e)
Volumet i pyramiden skal være 42. Innsatt svaret i d gir det |5t+12|= 18 som gir

5t + 12 = 18 eller 5t + 12 = -18 
<tex>t = \frac{6}{5}</tex> eller <tex>t = 6</tex>
Man får to løsninger, en "over", og en "under" alfa- planet. Man setter inn i parameterframstillingen for l og får:

<tex> Q= ( \frac{37}{5}, \frac{32}{5}, \frac{26}{5})</tex> eller Q = (-7, -8, - 2).

== Del 2 ==

=== oppgave 3 ===

=== oppgave 4 ===
<tex> f(x)=5e^{-0,2x} \cdot (sin x + cos x) </tex> der <tex> x \in <0,15> </tex> 
a)

Grafen ser slik ut:

[[bilde:graf1.png]]

''Den deriverte er også med (stiplet) fordi den skal finnes i c.''

b)
Nullpunkter 
f(x)=0 
<tex> 5e^{-0,2x}</tex> kan aldri bli null. Man får 
<tex>sin x + cos x =0 \\
tan x = -1\\
x= \frac{3\pi}{4} + n \cdot \pi\\ x \in \Big(( \frac{3\pi}{4},0), (\frac{7\pi}{4},0),(\frac{11\pi}{4},0),(\frac{15\pi}{4},0),(\frac{19\pi}{4},0)\Big)</tex>

Regner man om fra eksakte verdier, til desimaltall, ser man at det stemmer med grafen i a.

c)
<tex> f'(x)=5(-0,2)e^{-0,2x} \cdot (sin x + cos x)+5e^{-0,2x} \cdot (cos x -sin x)\\
= -e^{-0,2x} \cdot sin x -e^{-0,2x} \cdot cos x +5e^{-0,2x} \cdot cos x - 5e^{-0,2x} \cdot sin x \\
4e^{-0,2x} \cdot cos x - 6e^{-0,2x} \cdot sin x =2e^{-0,2x} \cdot (2cos x-3sin x) </tex>

d)
Man har et toppunkt hver gang den deriverte skifter fortegn fra positiv til negativ. Ved å løse 2cosx - 3sinx = 0 og å tegne fortegnslinje, finner man at det er tilfelle for x=0,59 , x=6,87 og for x= 13,15. Sett disse x verdiene inn i funksjonsuttrykket og man får funksjonsverdien til toppunktene.

e)
<tex> A= \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt2</tex> Punktet (1,1) ligger i første kvadrant.<tex> tan\phi = 1</tex> Man får da:
<tex> f(x)=5e^{-0,2x} \cdot \sqrt2\cdot sin(x + \frac{\pi}{4}) = 5\sqrt2e^{-0,2x} \cdot sin(x + \frac{\pi}{4}) </tex>


f)
<tex>sin(x + \frac{\pi}{4}) </tex> varier i verdi mellom -1 og 1, avhengig av x. Derfor ligger f mellom q og p, altså i området
<tex> \pm5\sqrt2e^{-0,2x}</tex>

[[bilde:4f.png]]

=== oppgave 5 ===

=== oppgave 6 ===

Diskusjon:Induksjonsbevis

2012-01-03T00:12:43Z

Martin: Ny side: Utregningene i eksempel 1 kan stilles opp penere ved bruk av align. Generelt liker jeg ikke så godt likhetstegn som følges av linjebrudd.

Utregningene i eksempel 1 kan stilles opp penere ved bruk av align. Generelt liker jeg ikke så godt likhetstegn som følges av linjebrudd.