https://matematikk.net/w/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=N0valife
Matematikk.net - Brukerbidrag [nb]
2026-04-04T04:09:46Z
Brukerbidrag
MediaWiki 1.42.3
https://matematikk.net/w/index.php?title=R2_2016_v%C3%A5r_L%C3%98SNING&diff=20779
R2 2016 vår LØSNING
2018-05-16T11:50:22Z
<p>N0valife: /* a */</p>
<hr />
<div>[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1033 Oppgaven som pdf]<br />
<br />
[https://goo.gl/GeksvX Løsningsforslag (pdf)] fra bruker joes. Send gjerne en [mailto:espen.johanssen+matematikknet@gmail.com?subject=Kommentar%20til%20R2%20V16%20fasit melding] hvis du har kommentarer til løsningsforslaget. På forhånd, takk.<br />
<br />
[http://matematikk.net/res/eksamen/R2/R2_V16_losn_OHG.pdf Løsningsforslag (pdf) delt på eksamensfest R2 på OHG 2016-06-01]<br />
<br />
[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=42959 Diskusjon av denne oppgaven]<br />
<br />
=Del 1=<br />
==Oppgave 1==<br />
===a===<br />
<br />
$f(x)=2cos5x\quad \quad u=5x\\ f´(x) = -2sin u \cdot u´\\ f´(x)= -10 sin 2x $<br />
<br />
===b===<br />
<br />
$g(x)= e^{-2x} sin x \\ g´(x)= -2e^{-2x}sin x + e^{-2x}cos x = e^{-2x}(cos x -2sinx)$<br />
<br />
==Oppgave 2==<br />
===a===<br />
<br />
$\int\limits_1^e \frac 1x dx = [3 ln x]_1^e = 3ln e - 3 ln 1 = 3-0= 3$<br />
<br />
===b===<br />
$\int \frac{2}{x^2-1} dx =\int \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} dx \\ A(x+1) +B(x-1) =2 \\ B=-1 \wedge A=1 \\ \int ( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} ) dx = ln|x-1|- ln|x+1| + c = \frac{ln|x-1|}{ln|x+1|} +c$<br />
<br />
==Oppgave 3==<br />
===a===<br />
<br />
$ f(x)=sinx \quad x \in [0, \pi ] \\ \int \limits_0^{\pi} sinxdx \\ =[- cos x ]_0^{\pi} = -cos(\pi) + cos(0) =1+1 =2 $<br />
<br />
===b===<br />
<br />
$( \frac 12 x- \frac 12 sinx \cdot cos x + c)´= \frac 12 - \frac 12(cosx \cdot cosx + sin x \cdot sin x) \\ = \frac 12 - \frac 12( (1-sin^2x) - sin^2x) \\= sin^2x$<br />
<br />
===c===<br />
$ V= \int\limits_0^{\pi}\pi sin^2xdx=\pi [\frac12x -\frac12 sinx cosx]_0^{\pi} = \pi (\frac12\pi-0-(0-0))= \frac12 \pi^2$<br />
<br />
==Oppgave 4==<br />
<br />
===a===<br />
===b===<br />
===c===<br />
<br />
==Oppgave 5==<br />
===a===m m,<br />
<br />
===b===<br />
===c===<br />
==Oppgave 6==<br />
<br />
$y' -xy = x \quad \quad y(0)=1$<br />
<br />
Integrerende faktor: $e^{- \frac 12x^2}$<br />
<br />
Vi får:<br />
<br />
$ y' \cdot e^{- \frac 12x^2} -x y \cdot e^{- \frac 12x^2} = x \cdot e^{- \frac 12x^2} \\ \int (ye^{- \frac 12x^2})' dx = \int x \cdot e^{- \frac 12x^2} dx \quad u = - \frac12 x^2, \quad du =- xdx\\ ye^{- \frac 12x^2} = - e^{- \frac 12 x^2} +C \\ y= -1 +Ce^{ \frac 12x^2} $<br />
<br />
Bruker initialbetingenlsen og får at C = 2.<br />
<br />
Det gir:<br />
<br />
$ y = -1 + 2e^{ \frac 12 x^2}$<br />
<br />
==Oppgave 7==<br />
===a===<br />
===b===<br />
===c===<br />
===d===<br />
<br />
==Oppgave 8==<br />
=Del 2=<br />
<br />
==Oppgave 1==<br />
===a===<br />
===b===<br />
<br />
==Oppgave 2==<br />
===a===<br />
===b===<br />
===c===<br />
===d===<br />
<br />
==Oppgave 3==<br />
===a===<br />
===b===<br />
===c===<br />
==Oppgave 4==<br />
===a===<br />
<br />
y er antall personer som kjenner ryktet ved tiden t. Ved t = 0 (starten) er det en person som kjenner ryktet. Ryktet sprer seg proporsjonalt med antallet som kjenner ryktet, multiplisert med antallet som ikke kjenner ryktet.<br />
<br />
Endring i antall som kjenner ryktet:<br />
<br />
$y' = 0,0006 \cdot y \cdot (1200 - y)$<br />
<br />
===b===<br />
<br />
[[File:r2-v2016-2-4b1.png]]<br />
<br />
[[File:r2-v2016-2-4b2.png]]<br />
<br />
<br />
Det tar ca. 10 dager før halvparten av bygdas befolkning er kjent med ryktet.</div>
N0valife