1T 2014 Høst LØSNING

2014-11-29T10:30:35Z

Nebuchadnezzar: Ny side: ==Oppgave 1== Skriv svaret på standardform $ \hspace{1cm} 25 \,000\, 000\, 000 \cdot 0.000 5 = 25 \cdot 10^9 \cdot 5 \cdot 10^{-4} = 125 \cdot 10^{9-4} = 1.25 \cdot 10^{7} $ ==Op...

==Oppgave 1==

Skriv svaret på standardform

$ \hspace{1cm}
25 \,000\, 000\, 000 \cdot 0.000 5
= 25 \cdot 10^9 \cdot 5 \cdot 10^{-4}
= 125 \cdot 10^{9-4}
= 1.25 \cdot 10^{7}
$

==Oppgave 2==

Løs likningen

$
\begin{align*}
2^{x + \frac{x}{2}} & = 16 \\
\left( x + \frac x2 \right)\log 2 & = 4 \log 2 \\
\frac{3}{2}x & = 4
\end{align*}
$

Hvor vi tok logaritmen på begge sider i andre overgang. Her ble det brukt at
$\log a^b = b \log a$ og at $\log 16 = \log 2^4 = 4 \log 2$. Som en artig kuriositet kunne ha brukt logaritmen med grunntall 2 i stedet for e for å ha fjernet logaritmen direkte.

Svaret blir altså $x = \frac 83 = 2 + \frac{2}{3}$ som kan testes ved innsetning. Alternativt kunne vi ha skrevet

$
2^{x + \frac x2} = 2^{ 4 }
$

Om $a>0$ og $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ da må $f(x) = g(x)$. Dermed så er $x + \frac c2 = 4$
og vi får $x = 8/3$ som før. Dette er egentlig bare å ta toerlogaritmen $\log_2 (x)$ på begge sider.

==Oppgave 3==

Løs likningen

$\lg (2x -3) = 0$

Vi opphøyer begge sider i 10 og får

$
\begin{align*}
\lg (2x -3) & = 0 \\
10^{\lg(2x-3)} & = 10^0 \\
(2x-3) & = 1 \\
x = & 2
\end{align*}
$

Merk at $\lg x$ betegnes som den brigske logaritmen, mens $\log x$ er den naturlige logaritmen,

==Oppgave 4==

Løs ulikheten

$
x^2 + x > 2
$

Første steg er å finne nullpunktene til ulikheten.
Via andregradsformelen blir nullpunktene

$
x = \frac{-1 \pm \sqrt{ 1^2 - 4(1)(-2) }{ 2 \cdot 1}
= \frac{ -1 \pm 3 }{2}
= -2 \ \vee \ 1
$

Vi kunne også bestemt røttene ved faktorisering eller vietes "formel". Vi
ønsker å finne to tall slik at $a+b = 1$ og $a \cdot b = -2$. Her ser en rastk
at $a = 2$ og $b = -1$ fungerer. Altså er $x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$.

Matematikk.net - Brukerbidrag [nb]

1T 2014 Høst LØSNING