Matematikk.net - Brukerbidrag [nb]

R1 2016 vår LØSNING

2016-05-28T17:25:58Z

Stringselings: /* b) */

[http://matematikk.net/res/eksamen/R1/R1_V16.pdf oppgaven som pdf]

[https://goo.gl/pWzB6q Løsningsforslag (pdf)] fra bruker joes. Send gjerne en [mailto:espen.johanssen+matematikknet@gmail.com?subject=Kommentar%20til%20R1%20V16%20fasit melding] hvis du har kommentarer til løsningsforslaget. På forhånd, takk.

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1026 Løsningsforslag (pdf)] fra bruker LektorH.

[http://www.matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=1029 Løsningsforslag (pdf)] fra bruker Claves

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=42911 Diskusjon av denne oppgaven]

==DEL EN==

==Oppgave 1==
==a)==
$f(x)=-3x^2+6x-4$

$f'(x)=-6x+6= -6(x-1)$

==b)==
$g(x)=5\ln(x^3-x)$

$g'(x)=\frac{5(3x^2-1)}{x^3-x}=\frac{15x^2-5}{x^3-x}$

==c)==
$h(x)=\frac{x-1}{x+1}$

$h'(x)=\frac{x+1-(x-1)}{(x+1)^2}=\frac{2}{(x+1)^2}$

==Oppgave 2==
==a)==
$p(x)=x^3-7x^2+14x+k$

$p(x)$ er delelig med $(x-2)$ hvis og bare hvis $p(2)=0$

$p(2)=8-7\cdot4+14\cdot2+k=8-28+28+k=8+k$

$8+k=0$

$k=-8$

==b)==

$ \quad x^3-7x^2+14x-8 :(x-2)= x^2 - 5x + 4 \\ -(x^3-2x^2) \\ \quad \quad-5x^2 + 14x -8 \\ \quad \quad -(-5x^2 -10x) \\ \quad \quad \quad \quad \quad (4x -8)$

$x= \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} \\ x= 1 \vee x =4 \\ \\ P(x)= (x-1)(x-2)(x-4)$

==c)==

$P(x) \leq 0 $

[[File:r1-v2016-12c.png]]

$x \in < \leftarrow,1] \cup [2,4]$

==Oppgave 3==
==a)==
$f(x)=x^2e^{1-x^2}$

$f'(x)=2xe^{1-x^2}+x^2\cdot-2xe^{1-x^2}=2xe^{1-x^2}(1-x^2)$

==b)==

==c)==

[[File:r1-v2016-13c.png]]

==d)==

[[File:r1-v2016-13d.png]]

==Oppgave 4==
==a)==
$AB=AC=BC=6 \ cm$

$HB=\frac{1}{2}AB=3 \ cm$

$CH=\sqrt{(BC)^2-(HB)^2}=\sqrt{6^2-3^2} \ cm=\sqrt{27}=\sqrt{3^3} \ cm=3\sqrt{3} \ cm$

$CF=CE=\sqrt{(BC)^2+(BE)^2}=\sqrt{6^2+6^2} \ cm=\sqrt{2\cdot6^2} \ cm=6\sqrt{2} \ cm$

$HF=\sqrt{(CF)^2-(CH)^2}=\sqrt{72-27} \ cm=\sqrt{45} \ cm=\sqrt{9\cdot5} \ cm=3\sqrt{5} \ cm$

==b)==
$\frac{AF}{AB}=\frac{3+3\sqrt{5}}{6}=\frac{3(1+\sqrt{5})}{2\cdot3}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\phi$

==Oppgave 5==

===a)===

$\vec{AB} =[5-1,2-1] = [4, 1] \\ \vec{AC} = [3-1, 5-1]=[2,4] \\ \vec{AB} \neq k \vec{AC}$

Punktene A, B og C ligger ikke på en rett linje.

===b)===

$\vec{CD} = [-3, t - 5] \\ \vec{DA} = [1, 1- t] \\ \vec{CD} \cdot \vec{DA} =0 \\ [-3, t-5] \cdot [ 1, 1-t] = 0 \\ -3 + (t-5)(1-t)= 0 \\ -t^2+6t - 8 = 0 \\ t= 2 \vee t =4$

===c)===

==Oppgave 6==
==a)==
Antall mulige fagkombinasjoner med 2 realfag og 2 andre fag:

${5\choose2}\cdot{8\choose2}=\frac{5\cdot4}{2!}\cdot\frac{8\cdot7}{2!}=10\cdot28=280$

==b)==
Antall mulige fagkombinasjoner med 4 fag hvor minst 2 er realfag:

${5\choose2}\cdot{8\choose2}+{5\choose3}\cdot{8\choose1}+{5\choose4}=280+\frac{5\cdot4\cdot3}{3!}\cdot8+5=280+80+5=365$

==Oppgave 7==
==a)==

[[File:r1-v2016-17a.png]]

Nullpunktene til f er (-2, 0) og (4, 0).

==b)==
$f(x)=x^2+px+q$

$A=(0,1)$

$B=(-p,q)$

$\vec{OS}=\vec{OA}+\frac{1}{2}\vec{AB}=[0,1]+\frac{1}{2}[-p,q-1]=[\frac{-p}{2},1+\frac{q-1}{2}]=[\frac{-p}{2},\frac{q+1}{2}]$

$S=(\frac{-p}{2},\frac{q+1}{2})$

$r=|\vec{AS}|=\sqrt{(\frac{-p}{2})^2+(\frac{q-1}{2})^2}=\sqrt{\frac{p^2+(q-1)^2}{4}}=\frac{\sqrt{p^2+(q-1)^2}}{2}$

==c)==
Likning for sirkel:

$(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r^2$

$(x+\frac{p}{2})^2+(y-\frac{q+1}{2})^2=\frac{p^2+(q-1)^2}{4}$

Skjæring med x-aksen:

$y=0$

$(x+\frac{p}{2})^2+(-\frac{q+1}{2})^2=\frac{p^2+(q-1)^2}{4}$

$(x+\frac{p}{2})^2=\frac{p^2+(q-1)^2}{4}-\frac{(q+1)^2}{4}$

$x+\frac{p}{2}=\frac{\pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$

$x=\frac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$

Nullpunkter til $f(x)$:

$x^2+px+q=0$

$x=\frac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$

Sirkelen skjærer x-aksen i nullpunktene til $f(x)$.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

===a)===

Det er to bunker:

$P(F) = P( \bar{F})= 0,5$

To røde kort fra bunke A:

$ P(R|F) = \frac 58 \cdot \frac 47 = \frac {5}{14}$

To røde kort fra bunke B:

$P(R| \bar{F})= \frac 37 \cdot \frac 26 = \frac 17$

===b)===

Den totale sannsynligheten for to røde kort:

$P(R) = P(F) \cdot P(R|F) + P(\bar{F}) \cdot P(R|\bar{F})=$

===c)===

==Oppgave 2==

===a)===

===b)===

===c)===

==Oppgave 3==

===a)===

===b)===

===c)===

===d)===

==Oppgave 4==

===a)===

===b)===

R1 2016 vår LØSNING

2016-05-20T18:33:20Z

Stringselings: /* Oppgave 6 */

[http://matematikk.net/res/eksamen/R1/R1_V16.pdf oppgaven som pdf]

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=42911 Diskusjon av denne oppgaven]

==DEL EN==

==Oppgave 1==
==a)==
$f(x)=-3x^2+6x-4$

$f'(x)=-6x+6= -6(x-1)$

==b)==
$g(x)=5\ln(x^3-x)$

$g'(x)=\frac{5(3x^2-1)}{x^3-x}$

==c)==
$h(x)=\frac{x-1}{x+1}$

$h'(x)=\frac{x+1-(x-1)}{(x+1)^2}=\frac{2}{(x+1)^2}$

==Oppgave 2==
==a)==
$p(x)=x^3-7x^2+14x+k$

$p(x)$ er delelig med $(x-2)$ hvis og bare hvis $p(2)=0$

$p(2)=8-7\cdot4+14\cdot2+k=8-28+28+k=8+k$

$8+k=0$

$k=-8$

==b)==

==c)==

==Oppgave 3==
==a)==
$f(x)=x^2e^{1-x^2}$

$f'(x)=2xe^{1-x^2}+x^2\cdot-2xe^{1-x^2}=2xe^{1-x^2}(1-x^2)$

==b)==

==c)==

==d)==

==Oppgave 4==
==a)==
$AB=AC=BC=6 \ cm$

$HB=\frac{1}{2}AB=3 \ cm$

$CH=\sqrt{(BC)^2-(HB)^2}=\sqrt{6^2-3^2} \ cm=\sqrt{27}=\sqrt{3^3} \ cm=3\sqrt{3} \ cm$

$CF=CE=\sqrt{(BC)^2+(BE)^2}=\sqrt{6^2+6^2} \ cm=\sqrt{2\cdot6^2} \ cm=6\sqrt{2} \ cm$

$HF=\sqrt{(CF)^2-(CH)^2}=\sqrt{72-27} \ cm=\sqrt{45} \ cm=\sqrt{9\cdot5} \ cm=3\sqrt{5} \ cm$

==b)==
$\frac{AF}{AB}=\frac{3+3\sqrt{5}}{6}=\frac{3(1+\sqrt{5})}{2\cdot3}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\phi$

==Oppgave 5==

==Oppgave 6==
==a)==
Antall mulige fagkombinasjoner med 2 realfag og 2 andre fag:

${5\choose2}\cdot{8\choose2}=\frac{5\cdot4}{2!}\cdot\frac{8\cdot7}{2!}=10\cdot28=280$

==b)==
Antall mulige fagkombinasjoner med 4 fag hvor minst 2 er realfag:

${5\choose2}\cdot{8\choose2}+{5\choose3}\cdot{8\choose1}+{5\choose4}=280+\frac{5\cdot4\cdot3}{3!}\cdot8+5=280+80+5=365$

==Oppgave 7==
==a)==

==b)==
$f(x)=x^2+px+q$

$A=(0,1)$

$B=(-p,q)$

$\vec{OS}=\vec{OA}+\frac{1}{2}\vec{AB}=[0,1]+\frac{1}{2}[-p,q-1]=[\frac{-p}{2},1+\frac{q-1}{2}]=[\frac{-p}{2},\frac{q+1}{2}]$

$S=(\frac{-p}{2},\frac{q+1}{2})$

$r=|\vec{AS}|=\sqrt{(\frac{-p}{2})^2+(\frac{q-1}{2})^2}=\sqrt{\frac{p^2+(q-1)^2}{4}}=\frac{\sqrt{p^2+(q-1)^2}}{2}$

==c)==
Likning for sirkel:

$(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r^2$

$(x+\frac{p}{2})^2+(y-\frac{q+1}{2})^2=\frac{p^2+(q-1)^2}{4}$

Skjæring med x-aksen:

$y=0$

$(x+\frac{p}{2})^2+(-\frac{q+1}{2})^2=\frac{p^2+(q-1)^2}{4}$

$(x+\frac{p}{2})^2=\frac{p^2+(q-1)^2}{4}-\frac{(q+1)^2}{4}$

$x+\frac{p}{2}=\frac{\pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$

$x=\frac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$

Nullpunkter til $f(x)$:

$x^2+px+q=0$

$x=\frac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$

Sirkelen skjærer x-aksen i nullpunktene til $f(x)$.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

==Oppgave 2==

==Oppgave 3==

==Oppgave 4==

R1 2016 vår LØSNING

2016-05-20T15:23:06Z

Stringselings: /* c) */

[http://matematikk.net/res/eksamen/R1/R1_V16.pdf oppgaven som pdf]

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=42911 Diskusjon av denne oppgaven]

==DEL EN==

==Oppgave 1==
==a)==
$f(x)=-3x^2+6x-4$

$f'(x)=-6x+6= -6(x-1)$

==b)==
$g(x)=5\ln(x^3-x)$

$g'(x)=\frac{5(3x^2-1)}{x^3-x}$

==c)==
$h(x)=\frac{x-1}{x+1}$

$h'(x)=\frac{x+1-(x-1)}{(x+1)^2}=\frac{2}{(x+1)^2}$

==Oppgave 2==
==a)==
$p(x)=x^3-7x^2+14x+k$

$p(x)$ er delelig med $(x-2)$ hvis og bare hvis $p(2)=0$

$p(2)=8-7\cdot4+14\cdot2+k=8-28+28+k=8+k$

$8+k=0$

$k=-8$

==b)==

==c)==

==Oppgave 3==
==a)==
$f(x)=x^2e^{1-x^2}$

$f'(x)=2xe^{1-x^2}+x^2\cdot-2xe^{1-x^2}=2xe^{1-x^2}(1-x^2)$

==b)==

==c)==

==d)==

==Oppgave 4==
==a)==
$AB=AC=BC=6 \ cm$

$HB=\frac{1}{2}AB=3 \ cm$

$CH=\sqrt{(BC)^2-(HB)^2}=\sqrt{6^2-3^2} \ cm=\sqrt{27}=\sqrt{3^3} \ cm=3\sqrt{3} \ cm$

$CF=CE=\sqrt{(BC)^2+(BE)^2}=\sqrt{6^2+6^2} \ cm=\sqrt{2\cdot6^2} \ cm=6\sqrt{2} \ cm$

$HF=\sqrt{(CF)^2-(CH)^2}=\sqrt{72-27} \ cm=\sqrt{45} \ cm=\sqrt{9\cdot5} \ cm=3\sqrt{5} \ cm$

==b)==
$\frac{AF}{AB}=\frac{3+3\sqrt{5}}{6}=\frac{3(1+\sqrt{5})}{2\cdot3}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\phi$

==Oppgave 5==

==Oppgave 6==

==Oppgave 7==
==a)==

==b)==
$f(x)=x^2+px+q$

$A=(0,1)$

$B=(-p,q)$

$\vec{OS}=\vec{OA}+\frac{1}{2}\vec{AB}=[0,1]+\frac{1}{2}[-p,q-1]=[\frac{-p}{2},1+\frac{q-1}{2}]=[\frac{-p}{2},\frac{q+1}{2}]$

$S=(\frac{-p}{2},\frac{q+1}{2})$

$r=|\vec{AS}|=\sqrt{(\frac{-p}{2})^2+(\frac{q-1}{2})^2}=\sqrt{\frac{p^2+(q-1)^2}{4}}=\frac{\sqrt{p^2+(q-1)^2}}{2}$

==c)==
Likning for sirkel:

$(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r^2$

$(x+\frac{p}{2})^2+(y-\frac{q+1}{2})^2=\frac{p^2+(q-1)^2}{4}$

Skjæring med x-aksen:

$y=0$

$(x+\frac{p}{2})^2+(-\frac{q+1}{2})^2=\frac{p^2+(q-1)^2}{4}$

$(x+\frac{p}{2})^2=\frac{p^2+(q-1)^2}{4}-\frac{(q+1)^2}{4}$

$x+\frac{p}{2}=\frac{\pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$

$x=\frac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$

Nullpunkter til $f(x)$:

$x^2+px+q=0$

$x=\frac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$

Sirkelen skjærer x-aksen i nullpunktene til $f(x)$.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

==Oppgave 2==

==Oppgave 3==

==Oppgave 4==

R1 2016 vår LØSNING

2016-05-20T14:41:29Z

Stringselings: /* c) */

[http://matematikk.net/res/eksamen/R1/R1_V16.pdf oppgaven som pdf]

[http://www.matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=42911 Diskusjon av denne oppgaven]

==DEL EN==

==Oppgave 1==
==a)==
$f(x)=-3x^2+6x-4$

$f'(x)=-6x+6= -6(x-1)$

==b)==
$g(x)=5\ln(x^3-x)$

$g'(x)=\frac{5(3x^2-1)}{x^3-x}$

==c)==
$h(x)=\frac{x-1}{x+1}$

$h'(x)=\frac{x+1-(x-1)}{(x+1)^2}=\frac{2}{(x+1)^2}$

==Oppgave 2==
==a)==
$p(x)=x^3-7x^2+14x+k$

$p(x)$ er delelig med $(x-2)$ hvis og bare hvis $p(2)=0$

$p(2)=8-7\cdot4+14\cdot2+k=8-28+28+k=8+k$

$8+k=0$

$k=-8$

==b)==

==c)==

==Oppgave 3==
==a)==
$f(x)=x^2e^{1-x^2}$

$f'(x)=2xe^{1-x^2}+x^2\cdot-2xe^{1-x^2}=2xe^{1-x^2}(1-x^2)$

==b)==

==c)==

==d)==

==Oppgave 4==
==a)==
$AB=AC=BC=6 \ cm$

$HB=\frac{1}{2}AB=3 \ cm$

$CH=\sqrt{(BC)^2-(HB)^2}=\sqrt{6^2-3^2} \ cm=\sqrt{27}=\sqrt{3^3} \ cm=3\sqrt{3} \ cm$

$CF=CE=\sqrt{(BC)^2+(BE)^2}=\sqrt{6^2+6^2} \ cm=\sqrt{2\cdot6^2} \ cm=6\sqrt{2} \ cm$

$HF=\sqrt{(CF)^2-(CH)^2}=\sqrt{72-27} \ cm=\sqrt{45} \ cm=\sqrt{9\cdot5} \ cm=3\sqrt{5} \ cm$

==b)==
$\frac{AF}{AB}=\frac{3+3\sqrt{5}}{6}=\frac{3(1+\sqrt{5})}{2\cdot3}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\phi$

==Oppgave 5==

==Oppgave 6==

==Oppgave 7==
==a)==

==b)==
$f(x)=x^2+px+q$

$A=(0,1)$

$B=(-p,q)$

$\vec{OS}=\vec{OA}+\frac{1}{2}\vec{AB}=[0,1]+\frac{1}{2}[-p,q-1]=[\frac{-p}{2},1+\frac{q-1}{2}]=[\frac{-p}{2},\frac{q+1}{2}]$

$S=(\frac{-p}{2},\frac{q+1}{2})$

$r=|\vec{AS}|=\sqrt{(\frac{-p}{2})^2+(\frac{q-1}{2})^2}=\sqrt{\frac{p^2+(q-1)^2}{4}}=\frac{\sqrt{p^2+(q-1)^2}}{2}$

==c)==
Likning for sirkel:

$(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r^2$

$(x+\frac{p}{2})^2+(y-\frac{q+1}{2})^2=\frac{p^2+(q-1)^2}{4}$

Skjæring med y-aksen:

$y=0$

$(x+\frac{p}{2})^2+(-\frac{q+1}{2})^2=\frac{p^2+(q-1)^2}{4}$

$(x+\frac{p}{2})^2=\frac{p^2+(q-1)^2}{4}-\frac{(q+1)^2}{4}$

$x+\frac{p}{2}=\frac{\pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$

$x=\frac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$

Nullpunkter til $f(x)$:

$x^2+px+q=0$

$x=\frac{-p \pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$

Sirkelen skjærer x-aksen i nullpunktene til $f(x)$.

==DEL TO==

==Oppgave 1==

==Oppgave 2==

==Oppgave 3==

==Oppgave 4==

R1 2016 vår LØSNING

2016-05-20T14:29:21Z

Stringselings: /* Oppgave 7 */

R1 2016 vår LØSNING

2016-05-20T13:59:41Z

Stringselings: /* Oppgave 4 */

R1 2016 vår LØSNING

2016-05-20T13:43:26Z

Stringselings: /* Oppgave 3 */

R1 2016 vår LØSNING

2016-05-20T13:38:46Z

Stringselings: /* Oppgave 2 */

R1 2016 vår LØSNING

2016-05-20T13:25:27Z

Stringselings: /* c) */

R1 2016 vår LØSNING

2016-05-20T13:25:22Z

Stringselings: /* Oppgave 3 */

R1 2016 vår LØSNING

2016-05-20T13:25:10Z

Stringselings: /* b) */

R1 2016 vår LØSNING

2016-05-20T13:25:03Z

Stringselings: /* Oppgave 2 */

R1 2016 vår LØSNING

2016-05-20T13:24:56Z

Stringselings: /* Oppgave 1 */

R1 2016 vår LØSNING

2016-05-20T13:23:12Z

Stringselings: /* Oppgave 3 */

R1 2016 vår LØSNING

2016-05-20T13:19:25Z

Stringselings: /* Oppgave 2 */

S2 2015 høst LØSNING

2015-12-09T16:47:03Z

Stringselings: /* b) */

==DEL 1==
==Oppgave 1==
==a)==
$f(x)=x^3+2x \\ f'(x)=3x^2+2$
==b)==
$g(x)=3e^{2x-1} \\ g'(x)=3e^{2x-1} \cdot (2x-1)'=6e^{2x-1}$
==c)==
$h(x)=x^2 \cdot e^x \\ h'(x)=2xe^x+x^2e^x=xe^x(2+x)$
==Oppgave 2==
==a)==

$f(x)=x^3+3x^2-9x \\ f'(x)=3x^2+6x-9=3(x^2+2x-3)=3(x-1)(x+3)$

Alternativt kan $f'(x)$ faktoriseres med ABC-formelen

[[File:s2.png]]

Toppunkt: $T=(-3,f(-3))=(-3,-27+27+27)=(-3,27)$

Bunnpunkt: $B=(1,f(1))=(1,1+3-9)=(1,-5)$

==b)==

$ f ' ' (x)=6x+6=6(x+1) $

$6(x+1)=0$

$x=-1$

[[File:s22.png]]

Vendepunkt: $V=(-1,f(-1))=(-1,-1+3+9)=(-1,11)$

==c)==

Utifra nullpunkter, ekstremalpunkter, vendepunkt og fortegnslinja til $f'(x)$ skal man kunne klare å lage en god skisse.
[[File:s223.png]]

==Oppgave 3==
==a)==
$x^3-ax^2+2ax-8$ er alltid delelig med $(x-2)$ siden $2^3-2^2a+4a-8=0$

==b)==
Forkorter med polynomdivisjon.
[[File:s224.png]]

==Oppgave 4==
$ (1); \ x+2y-z=2 \\ (2); \ 2x-y+z=3 \\ (3); \ 3x-2y+2z=2 $

Her kan man bruke innsetingsmetoden eller adderingsmetoden.
Jeg bruker adderingsmetoden.
Fra $(1)$ og $(2)$.

$(4); \ (x+2y-z)+(2x-y+z)=3x+y=5$

Fra $(2)$ og $(3)$.

$-2(2x-y+z)+(3x-2y+2z)=-x=-2\cdot3+2=-4$

$x=4$

Fra (4). $y=5-3 \cdot 4=-7$

Fra (1). $z=x+2y-2=4+2\cdot-7-2=-12 $

$x=4 \ , \ y=-7 \ \ , \ z=-12 $

==Oppgave 5==
==a)==
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^{n-1}}$

Dette er en geometrisk rekke siden den følger mønsteret $a_n=(\frac{1}{2})^{n-1}$

==b)==
$S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^{n-1}}$

$S_n=\frac{a_1}{1-k}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$

==Oppgave 6==
==a)==
$a_n=n^3+1 \\ a_1=2 \\ a_2=9 \\ a_3=28 \\ a_4=65$

==b)==
$\frac{a_1}{2}=1 \\ \frac{a_2}{3}=3 \\ \frac{a_3}{4}=7 \\ \frac{a_4}{5}=13$

==c)==
$\frac{a_n}{n+1}=\frac{n^3+1}{n+1}=\frac{(n+1)(n^2-n+1)}{n+1}=n^2-n+1$

Alternativt er det nok å si at $(n+1)$ er en av faktorene til $n^3+1$ siden $(-1)^3+1=0$

==Oppgave 7==
==a)==
Når de selger x enheter vil inntekten være $I(x)=x \cdot p(x)=480x-0.1x^2$

==b)==
$O(x)=I(x)-K(x)=(480x-0.1x^2)-(20000+120x+0.05x^2) \\ O(x)=360x-0.15x^2-20000$

$O'(x)=360-0.3x$

$360-\frac{3}{10}x=0 \Rightarrow x=\frac{360\cdot10}{3}=\frac{360}{3}\cdot10=1200$

(Viktig å tegne fortegnslinje for å vise at 1200 enheter gir et toppunkt og ikke et bunnpunkt.)

==Oppgave 8==
==a)==
( $P(X=a)$ er sannsynligheten for at spilleren ikke får gevinst.
$X=a-200$ betyr at spilleren vinner 200 kr etter å ha betalt $a$ kr til kasinoet. )

En kan oppnå sum 10 på 3 forskjellige måter. (4,6 , 5,5 , 6,4)

$p(X=a-200)=\frac{3}{6^2}=\frac{3}{3\cdot12}=\frac{1}{12}$

En kan oppnå sum 7 på 6 forskjellige måter. (1,6 , 2,5 , 3,4 , 4,3 , 5,2 , 6,1)

$P(X=a-50)=\frac{6}{6^2}=\frac{1}{6}$

==b)==
I det lange løp vil spilleren tape $\frac{27}{36}$ av gangene, vinne 200 kr $\frac{1}{12}$ av gangene og vinne 50 kr $\frac{1}{6}$ av gangene.

$\frac{27}{36}a+\frac{1}{12}(a-200)+\frac{1}{6}(a-50)=5$

$a-\frac{200}{12}-\frac{50}{6}=5$

$a=5+\frac{200}{12}+\frac{50}{6}=5+\frac{150}{6}=5+25=30$

Da bør kasinoet sette prisen til 30 kr pr. spill.

==Oppgave 9==
==a)==

==b)==

==c)==

==DEL 2==

S2 2015 høst LØSNING

2015-12-09T16:37:30Z

Stringselings: /* b) */

S2 2015 høst LØSNING

2015-12-09T16:33:12Z

Stringselings: /* b) */

S2 2015 høst LØSNING

2015-12-09T16:06:06Z

Stringselings: /* a) */

S2 2015 høst LØSNING

2015-12-09T15:18:45Z

Stringselings: /* b) */

==DEL 1==
==Oppgave 1==
==a)==
$f(x)=x^3+2x \\ f'(x)=3x^2+2$
==b)==
$g(x)=3e^{2x-1} \\ g'(x)=3e^{2x-1} \cdot (2x-1)'=6e^{2x-1}$
==c)==
$h(x)=x^2 \cdot e^x \\ h'(x)=2xe^x+x^2e^x=xe^x(2+x)$
==Oppgave 2==
==a)==

$f(x)=x^3+3x^2-9x \\ f'(x)=3x^2+6x-9=3(x^2+2x-3)=3(x-1)(x+3)$

Alternativt kan $f'(x)$ faktoriseres med ABC-formelen

[[File:s2.png]]

Toppunkt: $T=(-3,f(-3))=(-3,-27+27+27)=(-3,27)$

Bunnpunkt: $B=(1,f(1))=(1,1+3-9)=(1,-5)$

==b)==

$ f ' ' (x)=6x+6=6(x+1) $

$6(x+1)=0$

$x=-1$

[[File:s22.png]]

Vendepunkt: $V=(-1,f(-1))=(-1,-1+3+9)=(-1,11)$

==c)==

Utifra nullpunkter, ekstremalpunkter, vendepunkt og fortegnslinja til $f'(x)$ skal man kunne klare å lage en god skisse.
[[File:s223.png]]

==Oppgave 3==
==a)==
$x^3-ax^2+2ax-8$ er alltid delelig med $(x-2)$ siden $2^3-2^2a+4a-8=0$

==b)==
Forkorter med polynomdivisjon.
[[File:s224.png]]

==Oppgave 4==
$ (1); \ x+2y-z=2 \\ (2); \ 2x-y+z=3 \\ (3); \ 3x-2y+2z=2 $

Her kan man bruke innsetingsmetoden eller adderingsmetoden.
Jeg bruker adderingsmetoden.
Fra $(1)$ og $(2)$.

$(4); \ (x+2y-z)+(2x-y+z)=3x+y=5$

Fra $(2)$ og $(3)$.

$-2(2x-y+z)+(3x-2y+2z)=-x=-2\cdot3+2=-4$

$x=4$

Fra (4). $y=5-3 \cdot 4=-7$

Fra (1). $z=x+2y-2=4+2\cdot-7-2=-12 $

$x=4 \ , \ y=-7 \ \ , \ z=-12 $

==Oppgave 5==
==a)==
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^{n-1}}$

Dette er en geometrisk rekke siden den følger mønsteret $a_n=(\frac{1}{2})^{n-1}$

==b)==
$S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^{n-1}}$

$S_n=\frac{a_1}{1-k}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$

==Oppgave 6==
==a)==
$a_n=n^3+1 \\ a_1=2 \\ a_2=9 \\ a_3=28 \\ a_4=65$

==b)==
$\frac{a_1}{2}=1 \\ \frac{a_2}{3}=3 \\ \frac{a_3}{4}=7 \\ \frac{a_4}{5}=13$

==c)==
$\frac{a_n}{n+1}=\frac{n^3+1}{n+1}=\frac{(n+1)(n^2-n+1)}{n+1}=n^2-n+1$

Alternativt er det nok å si at $(n+1)$ er en av faktorene til $n^3+1$ siden $(-1)^3+1=0$

==Oppgave 7==
==a)==
Når de selger x enheter vil inntekten være $I(x)=x \cdot p(x)=480x-0.1x^2$

==b)==
$O(x)=I(x)-K(x)=(480x-0.1x^2)-(20000+120x+0.05x^2) \\ O(x)=360x-0.15x^2-20000$

$O'(x)=360-0.3x$

$360-\frac{3}{10}x=0 \Rightarrow x=\frac{360\cdot10}{3}=\frac{360}{3}\cdot10=1200$

(Viktig å tegne fortegnslinje for å vise at 1200 enheter gir et toppunkt og ikke et bunnpunkt.)

==Oppgave 8==
==a)==

==b)==

==Oppgave 9==
==a)==

==b)==

==c)==

==DEL 2==

S2 2015 høst LØSNING

2015-12-09T15:12:12Z

Stringselings: /* b) */

S2 2015 høst LØSNING

2015-12-09T15:04:46Z

Stringselings: /* a) */

S2 2015 høst LØSNING

2015-12-09T14:56:18Z

Stringselings: /* c) */

S2 2015 høst LØSNING

2015-12-09T14:55:31Z

Stringselings: /* c) */

S2 2015 høst LØSNING

2015-12-09T14:55:06Z

Stringselings: /* c) */

S2 2015 høst LØSNING

2015-12-09T14:51:44Z

Stringselings: /* c) */

S2 2015 høst LØSNING

2015-12-09T14:49:07Z

Stringselings: /* b) */

S2 2015 høst LØSNING

2015-12-09T14:45:46Z

Stringselings: /* a) */

S2 2015 høst LØSNING

2015-12-09T14:44:11Z

Stringselings: /* b) */

S2 2015 høst LØSNING

2015-12-09T14:42:14Z

Stringselings: /* a) */

S2 2015 høst LØSNING

2015-12-09T14:33:04Z

Stringselings: /* Oppgave 4 */

S2 2015 høst LØSNING

2015-12-07T19:46:48Z

Stringselings: /* b) */

S2 2015 høst LØSNING

2015-12-07T19:46:21Z

Stringselings: /* b) */

Fil:S224.png

2015-12-07T19:45:58Z

Stringselings:

S2 2015 høst LØSNING

2015-12-07T19:45:31Z

Stringselings: /* b) */

S2 2015 høst LØSNING

2015-12-07T19:40:30Z

Stringselings: /* a) */

S2 2015 høst LØSNING

2015-12-07T19:40:19Z

Stringselings: /* b) */

S2 2015 høst LØSNING

2015-12-07T19:39:12Z

Stringselings: /* a) */

S2 2015 høst LØSNING

2015-12-07T19:38:55Z

Stringselings: /* Oppgave 3 */

S2 2015 høst LØSNING

2015-12-07T19:36:18Z

Stringselings: /* c) */

Fil:S223.png

2015-12-07T19:35:53Z

Stringselings:

S2 2015 høst LØSNING

2015-12-07T19:35:18Z

Stringselings: /* c) */

S2 2015 høst LØSNING

2015-12-07T19:31:56Z

Stringselings: /* b) */

Fil:S22.png

2015-12-07T19:27:36Z

Stringselings:

S2 2015 høst LØSNING

2015-12-07T19:27:01Z

Stringselings: /* b) */

S2 2015 høst LØSNING

2015-12-07T19:26:13Z

Stringselings: /* b) */

S2 2015 høst LØSNING

2015-12-07T19:21:54Z

Stringselings: /* a) */

Fil:S2.png

2015-12-07T19:13:19Z

Stringselings:

S2 2015 høst LØSNING

2015-12-07T19:01:52Z

Stringselings: Ny side: ==DEL 1== ==Oppgave 1== ==a)== $f(x)=x^3+2x \\ f'(x)=3x^2+2$ ==b)== $g(x)=3e^{2x-1} \\ g'(x)=3e^{2x-1} \cdot (2x-1)'=6e^{2x-1}$ ==c)== $h(x)=x^2 \cdot e^x \\ h'(x)=2xe^x+x^2e^x=xe^x(2+x)...

==DEL 1==
==Oppgave 1==
==a)==
$f(x)=x^3+2x \\ f'(x)=3x^2+2$
==b)==
$g(x)=3e^{2x-1} \\ g'(x)=3e^{2x-1} \cdot (2x-1)'=6e^{2x-1}$
==c)==
$h(x)=x^2 \cdot e^x \\ h'(x)=2xe^x+x^2e^x=xe^x(2+x)$
==Oppgave 2==
==a)==

==b)==

==c)==

==Oppgave 3==
==a)==

==b)==

==Oppgave 4==

==Oppgave 5==
==a)==

==b)==

==Oppgave 6==
==a)==

==b)==

==c)==

==Oppgave 7==
==a)==

==b)==

==Oppgave 8==
==a)==

==b)==

==Oppgave 9==
==a)==

==b)==

==c)==

==DEL 2==

S1 eksempeloppgave 2015 vår LØSNING

2015-05-18T15:06:58Z

Stringselings: /* Oppgave 11 */

==DEL EN ( NB: Nå tre timer)==

==Oppgave 1==

===a)===

$f(x)=3x^2-4x+2 \\ f ´(x)= 6x-4$

===b)===

$g(x)= 3x^3-3 \\ g ´(x)= 9x^2 \\ g ´(2) = 9 \cdot 4 = 36$

==Oppgave 2 ==

===a)===
$\frac{2^{-1}\cdot a \cdot b^{-1}}{4^{-1} \cdot a^{-2} \cdot b^2} = \frac{4 a^3}{2b^3} = 2 (\frac ab)^3$
===b)===

$lg(a^2b)+lg(ab^2)+lb(\frac{a}{b^3}) = 2lga+ lgb + lga + 2lgb + lga - 3lgb = 4lga$

===c)===
$ \frac{3a^2-75}{6a+30} = \frac{3(a+5)(a-5)}{6(a+5)}= \frac{a-5}{2}$

==Oppgave 3==

===a)===

$\frac{61^2-39^2}{51^2-49^2} = \\ \frac{(61+39)(61-39)}{(51+49)(51-49)} =\\ \frac{100 \cdot 22}{100 \cdot 2} =11 $

===b)===

$1997 \cdot 2003 - 1993 \cdot 2007 = \\ (2000 - 3)(2000 + 3) - ( 2000 - 7)( 2000+7) \\ 2000^2 -3^2 - 2000^2 + 7^2 \\ -9 + 49 = 40$

==Oppgave 4==

$f(x) = g(x) \\ x^2-x-2 = x+1 \\ x^2-2x-3 = 0 \\ x= \frac{2 \pm \sqrt{4+12}}{2} \\ x=-1 \vee x= 3 \\ g(-1)=0 \wedge g(3)= 4 \\$

Skjæringspunktene mellom f og g er (-1, 0) og (3,4)

==Oppgave 5==

===a)===

$3x^2=18-3x \\ 3x^2+3x-18=0 \\ x^2 +x -6 =0 \\ x= \frac{-1 \pm \sqrt{1+24}}{2} \\ x= \frac{-1 \pm 5}{2} \\ x= -3 \vee x=2$

===b)===
$3 \cdot 2^x =24 \\ 2^x= 8 \\ 2^x=2^3 \\ x=3$

===c)===
$3^8+3^8+3^8+3^8 +3^8+3^8+3^8+3^8+3^8 = 3^x\\ 9 \cdot 3^8= 3^x \\ 3^{10} = 3^x \\ 10 lg3 = x lg3 \\ x=10$

==Oppgave 6==

===a)===

$ y= a \cdot b^x \\ b^x= \frac ya \\x lgb = lg (\frac ya) \\ x = \frac{ lg(\frac ya) }{lgb} $

===b===

==Oppgave 7==

===a)===

$f(x)= x^3-6x^2+9x \\ f'(x)= 3x^2-12x + 9$

===b)===

==Oppgave 8==

$f(x)= x^2+2x \quad D_f= \R \\ f ´(x) = 2x+2$

Vi skal bruke definisjonen på den deriverte til å vise dette:

$f´(x) = lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+ \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \\ =lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(x+\Delta x)^2 + 2(x+ \Delta x)-x^2-2x}{\Delta x}\\ =lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{x^2+ 2x \Delta x + ( \Delta x)^2+2x +2 \Delta x -x^2-2x}{\Delta x}\\ =lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{ \Delta x ( 2x+ \Delta x +2)}{\Delta x} \\= lim_{\Delta x \rightarrow 0} 2x+ \Delta x +2 \\ = 2x+2$

==Oppgave 9==

1) Galt, fordi x= -3 og x=-2 er en løsning av likningen.

2) Riktig, fordi dersom x=-2 så er likningen riktig.

3) Feil. Likningen har også løsning x = -3, følger også av 1).

==Oppgave 10==

TREKANTTALL

===a)===

{| width="auto"
|n
|$a_n$
|$a_n$
|$s_n$
|$s_n$
|-
|1
|1
|$\binom{2}{2}$
|1
|$\binom{3}{3}$
|-
|2
|3
|$\binom{3}{2}$
|4
|$\binom{4}{3}$
|-
|3
|6
|$\binom{4}{2}$
|10
|$\binom{5}{3}$
|-
|4
|10
|$\binom{5}{2}$
|20
|$\binom{6}{3}$
|-
|5
|15
|$\binom{6}{2}$
|35
|$\binom{7}{3}$
|}

===b)===

$a_n =\binom{n+1}{2} \\ S_n = \binom{n+2}{3}$

==Oppgave 11==
Antall gb lagringsplass til minnepinne type 1: a

Antall gb lagrinsplass til minnepinne type 2: b

Løser likningsettet:

$a+3b=100$

$2a+4b=144$

$2(a+2b)=2\cdot72$

$(a+3b)-(a+2b)=100-72$

$b=28$

$a=100-3b=100-3\cdot28=100-84=16$

Minnepinne type 1 har en lagringsplass på 16 Gb.

Minnepinne type 2 har en lagringsplass på 28 Gb.

==Oppgave 12==

==Oppgave 13==

==DEL TO (NB: Nå kun to timer)==

==Oppgave 1==

==Oppgave 2==

===a)===
[[File:s1-eksempel-2abc.png]]

===b)===

===c)===

==Oppgave 3==
===a)===
Sannsynligheten er den samme i alle delforsøk.

To alternativer, rett eller ikke rett.

Delforsøkene er uavhengige av hverandre.

===b)===

[[File:s1-eksempel-3b.png]]

Det er 17,7% sannsynlig at man får akkurat fem rette svar.

===c)===

[[File: s1-eksempel-3c.png]]

Det er ca 37% sannsynlig at man får minst 5 rette svar.

==Oppgave 4==

===a)===

===b)===

$F(x,y)= 74x + 106y$

Utsalgsprisen for pukk er 106 kroner per tonn.

===c)===

[[File:s1-eksempel-4c.png]]

For å få størst mulig inntekter bør han selge 423,5 tonn grus og 1000 tonn pukk.
Inntekten blir da $F(423,5, 1000) = 74 \cdot 423,5 + 106 \cdot 1000 = 137 339$ kroner.

==Oppgave 5==

===a)===
Sidene i boksens grunnflate blir a-2x- Arealet av grunnflaten blir da $(a-2x)^2$ . Multipliserer vi arealet av grunnflaten med høyden av esken, som er x får vi:

$a>0 \wedge x< \frac a2$

$ V(x)= (a-2x)^2 \cdot x $

===b)===

$ V(x)= (a-2x)^2 \cdot x \\ V(x)= (a^2-4ax+4x^2) \cdot x \\ V(x)= 4x^3 - 4ax^2 +a^2x \\ V'(x) = 12x^2 - 8ax +a^2 $

$V'(x)=0 \\ 12x^2-8ax+a^2=0 \\ x= \frac{8a \pm \sqrt{64a^2-4 \cdot 12 \cdot a^2}}{24} \\ x= \frac{8a \pm \sqrt{16a^2}}{24} \\ x= \frac{8a \pm 4a}{24} \\ x= \frac a2 \vee $

==Oppgave 6==

$f(x)= ax^3-bx-2 \\ f'(x)= 3ax^2-b \\ 0 = 12a -b \\ 2 = 3a-b $

De to siste linjene benytter informasjonen om den deriverte i x = 2 og x = 1.

$f'(2)= 0 \\ 0= 12a-b \\ f'(1)=2 \\ 2= 3a-b$

Løser likningsettet:
$b=12a\\ 2= 3a - 12a \\ a= - \frac 29 \\ b= - \frac{24}{9} $

Funksjonen blir da:

$f(x)= -\frac 29 x^3 + \frac {24}{9}x-2$