Matematikk.net - Brukerbidrag [nb]

Brøkregning

2019-10-30T17:47:08Z

Toba: Kun polering og bruk av display-stil, ingen endring i innhold

[https://sites.google.com/view/brokregning/start?authuser=0 En student ved Pedagogisk bruk av IKT ved Høgskolen i Østfold har laget en flott remediering av denne siden ]

== Innledning ==
En '''brøk''' består av tre elementer, ''teller'', ''brøkstrek'' og ''nevner''.

[[Bilde:brok2.PNG]]

Brøkstreken betyr det samme som deletegn. En brøk er en del av noe. Hvor stor del kommer an på teller og nevner. Nevneren forteller hvor mange deler helheten er delt opp i.

<br>
==Hvorfor trenger vi brøk?==

<br>
''' En brøk kan angi en del av noe'''

Vi har tall som er mindre enn en enhet. En halv liter melk forteller noe om mengden i forhold til enheten liter melk.

<br>
'''En brøk kan være svaret på et delestykke'''

Når vi deler et tall på et annet kan vi få et svar som blir mindre enn en:

:<math>
\displaystyle
10 :30 = \frac {10}{30} = \frac 13
</math>

Svaret over er pent og helt nøyaktig. Dersom du bruker kalkulator får du 0,333333...., som ikke er pent og ikke helt nøyaktig.

<br>
'''Brøk kan brukes til å sammenlikne mengder eller størrelser'''

Per fikk fire fisk, og Pål fikk seks fisk. Hvordan kan vi sammenligne fangsten til Per og Pål? Her må vi tenke om vi skal sammenlikne Per med Pål, eller Pål med Per.
Vi har bare kunnskap om antallet fisk og ingen informasjon om størrelsen på fiskene.

Vi sammenlikner Per med Pål: $\frac 46 = \frac 23$. Per fikk to trededeler så mange fisk som Pål.

Vi sammenlikner Pål med Per: $\frac 64 = \frac 32$. Pål fikk 3/2 så mye fisk som Per, eller en og en halv gang så mye. Legg merke til at det vi sammenligner mot alltid skal i teller.

<br>
'''Brøk kan brukes ved deling i like store biter'''

Figuren under til venstre kan representere en brøk som angir "del av noe", fordi alle bitene er like store. Dersom to personer får en bit hver har begge fått like stor mengde, $\frac{1}{18}$.

[[Bilde:like_biter.PNG]]

Figuren til høyre består også av atten biter, men her er bitene av forskjellig størrelse. Denne figuren kan ikke brukes til å representere en brøk som angir "del av mengde".
Dersom to personer får en bit hver har de trolig fått forskjellig mengde av figuren. Denne kan representere antall fisk i eksempelet over.

[[Bilde:storrelse.PNG]]

Dersom man får fem biter sjokolade av sjokolade 1 har man fått $\frac{5}{18}$ av sjokolade 1. Dersom man får fem biter av sjokolade 2 har man fått $\frac{5}{18}$ av sjokolade 2.
Brøkene er de samme, men vi observerer at den som har fått fra sjokolade 1 får mest sjokolade, fordi sjokolade 1 er større. Dersom to personer får fem deler hver, fra samme sjokolade, får de like mye begge to.

Deler du en pizza i fire like store biter blir nevneren fire. Spiser du en av bitene, har du spist 1/4 av pizzaen. Telleren sier altså noe om hvor mange av delene i nevneren som "er med på leken".

[[Bilde:pizzaversjon2.PNG]]

: ''Grønn er teller, grønn + grå er nevner''

Deler du samme pizza opp i åtte like stykker, blir stykkene havparten så store som når du deler den i fire. Om du spiser to stykker når pizzaen er delt i åtte, er det likeverdig med å spise et stykke når pizzaen er delt i fire.
Slik kan vi fortsett. Det kalles å utvide brøken.

<br>
== Å utvide brøken ==
Om vi holder oss til eksempelet over kan vi skrive det slik:

:<math>
\displaystyle
\frac{1}{4} = \frac{2}{8} = \frac{4}{16}
</math>

Det vi egentlig gjør er å multiplisere teller og nevner med samme tall, i dette tilfellet 2.

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">

'''Eksempel:'''<p></p>
:<math>
\displaystyle
\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{2}{8} = \frac{2 \cdot 2}{8 \cdot 2}=
\frac{4}{16}
</math>
<p></p>
</div>

<br>

Vi kan utvide en brøk med både tall og bokstaver, men ''det er viktig at vi gjør det samme i både teller og nevner''. Gjør vi ikke det, vil brøkens verdi endre seg.

<br>
== Å forkorte brøken ==
Å forkorte en brøk er det motsatte av å utvide den. Først må vi faktorisere teller og nevner. Se siden om [[faktorisering]] dersom du ikke kan det.

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel:'''<p></p>

Brøken tolv sekstendeler kan skrives som:

:<math>
\displaystyle
\frac{12}{16} = \frac {2 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{3}{4}
</math><p></p>
</div>

<br>

Når vi forkorter 2-tallene i teller og nevner må vi huske på at de erstattes med tallet 1. De går ikke an å få null i teller eller nevner når vi forkorter på denne måten.
Også her er det viktig at vi gjør det samme i både teller og nevner.

<br>
== Blandet tall eller "uekte brøk"==
Et blandet tall består av et heletall og en brøk. En uekte brøk er ekte nok, betegnelsen brukes om brøker som er større enn en. Det betyr at teller er større enn nevner.

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel:'''

:<math>
\displaystyle
1\frac14
</math>

[[Bilde:brok3.PNG]]

Dette blandede tallet består av en hel og en fjerdedel. Det kan illustreres med figuren over.
</div>

<br>
== Addisjon og subtraksjon ==

<br>
=== Når nevner er den samme ===
Når nevneren i to eller flere brøker skal trekkes sammen legger vi sammen tellerene (eller trekker fra), og beholder nevneren slik den er.

[[Bilde:likenevnere.PNG]]

<p></p>
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel:'''<p></p>

:<math>
\displaystyle
\frac 27 + \frac 37 = \frac{2+3}{7}= \frac 57
</math>
</div>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel:'''<p></p>

:<math>
\displaystyle
\frac 35 - \frac 25 = \frac{3-2}{5}= \frac 15
</math>
</div>

<br>

[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=AFD%2BAFE%2BAFF%2BB00%2BB01%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]

<br>
=== Når nevner er forskjellig ===
Når man skal legge sammen eller trekke fra to eller flere brøker med forskjellig nevner, må man først finne fellesnevner.
<p></p>
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel:'''<p></p>

:<math>
\displaystyle
\frac 13 + \frac 12 = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2}+ \frac {1 \cdot 3}{2 \cdot 3 } = \frac 26 + \frac {3}{6} = \frac 56
</math>

</div>
<p></p>
Vi finner nevnerens minste felles multiplum, det minste tallet som begge nevnerene går opp i. Det minste tallet både to og tre går opp i er seks. Dette er et eksempel på nødvendigheten av å kunne utvide brøker.
<br>

[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=B02%2BB03%2BB04%2BB05%2BB06%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]

<br>

== Multiplikasjon ==

<br>

=== Brøk med brøk ===
Når to brøker skal multipliseres (ganges) med hverandre, multipliserer vi teller med teller og nevner med nevner.

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel:'''<p></p>

:<math>
\displaystyle
\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac {2 \cdot 3}{5 \cdot 4} = \frac{6}{20} = \frac {3}{10}
</math><p></p>
</div>

<br>

[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=B07%2BB08%2BB09%2BB0A%2BB0B%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]

<br>

=== Heltall med brøk ===

Vi multipliserer heltallet i teller og beholder nevner.

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel:'''<p></p>

:<math>
\displaystyle
3 \cdot \frac{2}{7} = \frac {3 \cdot 2}{7}= \frac 67
</math><p></p>
</div>

<br>

[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=88E%2B88F%2B890%2B891%2B892%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]

<br>

== Divisjon ==
Når to brøker skal divideres (deles) med hverandre, snur vi den siste brøken (divisor) og multipliserer utrykket. Med snu menes at vi bytter om teller og nevner.

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel:'''<p></p>

:<math>
\displaystyle
\frac{3}{4}:\frac{1}{2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 1}= \frac 64 = \frac 32
</math><p></p>
</div>

<br>

Hvorfor er det slik? La oss se på et eksempel til:

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">'''Eksempel:'''<p></p>

:<math>
\displaystyle
\frac{2}{3}:\frac{4}{7} = \frac{ \frac{2}{3}}{ \frac{4}{7}} = \frac{ \frac{2}{3} \cdot 7}{ \frac{4}{7} \cdot 7} = \frac{ \frac{2 \cdot 7}{3}}{4} = \frac{ \frac{14}{3} \cdot 3}{4 \cdot 3}= \frac{14}{12} = \frac {7}{6}
</math><p></p>

Man obserever at metoden i eksempelet over er mye enklere. Dette eksemplet er bare ment som en forklaring på hvorfor man kan "snu" den siste brøken og gange.
</div>

<br>

[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=B11%2BB12%2BB13%2BB14%2BB15%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]

<br>

'''Divisjon med brøk og heltall'''

Man løser problemet ved å gjøre heltallet om til brøk og ved å bruke regelen over.

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel:'''<p></p>

:<math>
\displaystyle
\frac{2}{3}: 2 = \frac 23:\frac 21 = \frac 23 \cdot \frac 12 = \frac 26 = \frac 13
</math><p></p>

:<math>
\displaystyle
3: \frac 17 = \frac 31:\frac 17 = \frac 31 \cdot \frac 71 = \frac {21}1 = 21
</math><p></p>

</div>

<br>

== Null i teller ==
Dersom telleren er null er brøkens verdi lik null.

:<math>
\displaystyle
\frac 01 = \frac 02 = \frac 03 = \ldots = \frac 0n = 0
</math>
<p></p>
der $n$ er forskjellig fra null.

<br>

== Null i nevner ==
Det er ikke mulig å få null i nevneren til en brøk. Dersom du har fått det, har du regnet feil.

<br>

== Teller og nevner like store ==
Når teller og nevner er like store er brøkens verdi lik en.

:<math>
\displaystyle
\frac 11 = \frac 22 = \frac 33 = \ldots = \frac nn = 1
</math>
<p></p>
der $n$ er forskjellig fra null.

<br>

== Fra heltall til brøk ==
Et hvilket som helst heltall kan gjøres om til en brøk med en hvilken som helst nevner.

[[Bilde:hele tall.PNG]]

Et heltall gjøres om til brøk slik:

:<math>
\displaystyle
1= \frac 11 = \frac22 = \frac33 = \ldots
</math>

<p></p>
Eller slik:

:<math>
\displaystyle
4= \frac 41 = \frac82 = \frac{12}{3} = \ldots
</math>

Du skriver fire som fire en-deler. Så utvider du brøken slik at du får den nevneren du ønsker. Ønsker du brøken i syvdeler multipliserer du både fire og en med syv og får $\frac{28}{7}$.

----
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/broekmaskinen/index.php PRØV DEG SELV I BRØKREGNING]

[[Category:Algebra]]
[[Category:U - trinn]] [[Category:Ped]][[Category: 1P]][[Kategori:lex]]

Algebra

2019-10-30T11:39:19Z

Toba: Polering

'''Algebra''' er studiet av operasjoner med tall der bokstaver eller variabler inngår. En fordel med bruk av algebra er at man får korte generelle utrykk.

<p></p>

Den kommutative lov (ombytting) for addisjon:

:<math>
\displaystyle
a + b = b + a
</math>

Rekkefølgen til størrelsene som skal adderes er likegyldig.

Den kommutative lov for multiplikasjon:

:<math>
\displaystyle
ab = ba
</math>

Faktorenes orden er likegyldig.

Den assosiative lov (tilføyningsloven) for addisjon:

:<math>
\displaystyle
a + (b + c) = (a + b)+ c
</math>

Rekkefølgen vi adderer tre verdier (eller flere) er likegyldig, da sluttresultatet blir det samme.

Den assosiative lov for multiplikasjon:

:<math>
\displaystyle
a(bc) = (ab)c
</math>

Multipliseringsrekkefølgen er uvesentlig for sluttresultatet.

Den distributive lov (spredningsloven):

:<math>
\displaystyle
a(b + c) = ab + ac
</math>

Vi får samme resultat om vi først adderer $b$ og $c$ for så å multiplisere med $a$, som vi gjør om vi multipliserer $a$ med $b$ og $a$ med $c$ og så summerer $ab$ med $ac$..

----
[[Kategori:lex]]

Addisjon

2019-10-30T10:00:30Z

Toba: Polering. Vektoraddisjon

'''Addisjon''' er en regneoperasjon der vi finner summen av to eller flere størrelser.

Størrelsene som summeres kaller vi ''ledd'' eller også for ''addender''. Resultatet av addisjonen kaller vi en ''sum''.

Å addere er altså synonymt med å "legge til", "legge sammen", "plusse på", og å "summere".

Addisjon er en av de fire grunnleggende regneartene, sammen med [[subtraksjon]], [[multiplikasjon]] og [[divisjon]].

Leddene som adderes kan være [[tall]], men vi kan også addere andre typer størrelser, som for eksempel [[funksjon]]er, [[vektor]]er og [[polynom]].

== Regneregler ==

Addisjon og subtraksjon oppfyller fire grunnleggende regneregler

:<math>
\begin{aligned}
&a + b = b + a &&\text{(kommutativ lov)} \\
&a + (b + c) = (a + b) + c &&\text{(assosiativ lov)} \\
&a + 0 = a &&\text{(null-element)} \\
&a + (-a) = 0 &&\text{(invers-element)}
\end{aligned}
</math>

== Addisjon av vektorer ==

Vektorer adderer vi ved å addere vektorkomponentene parvis. Dersom vi har gitt to vektorer

:<math>
\begin{aligned}
\overrightarrow{a} &= (a_1, a_2, a_3) \\
\overrightarrow{b} &= (b_1, b_2, b_3)
\end{aligned}
</math>

kan vi finne summen av disse slik:

:<math>
\begin{aligned}
\overrightarrow{c} &= (c_1, c_2, c_3) = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \\ \\
c_1 &= a_1 + b_1 \\
c_2 &= a_2 + b_2 \\
c_3 &= a_3 + b_3 \\
\end{aligned}
</math>

----
[[Kategori:lex]]

Absoluttverdi

2019-10-29T20:48:39Z

Toba: Polering. Trekantulikheten.

'''Absoluttverdien''' eller '''tallverdien''' av et reelt tall er lik verdien av tallet uten fortegn, definert slik:

:<math>
\displaystyle
|x| =\left\{
\begin{matrix}
x &\text{dersom} \ \ x \ge 0 \\
-x &\text{dersom} \ \ x < 0
\end{matrix}
\right.
</math>

Absoluttverdien er altså alltid et ikke-negativt tall. Eksempelvis er absoluttverdien av 5 lik 5, og absoluttverdien av -5 er også 5. Vi kan skrive dette slik:

:<math>
\displaystyle
|5| = |-5| = 5
</math>

Absoluttverdien til et tall er avstanden fra tallet til null, på tallinjen.

For absoluttverdien av en sum av to tall $a$ og $b$ gjelder ''trekantulikheten'':

:<math>
\displaystyle
| a+ b | \le |a| + |b|
</math>

Prøv om formelen er riktig med $a = 5$ og $b = -5$!

----
[[Kategori:lex]]

Polygon

2019-10-29T12:04:32Z

Toba: Polering

En '''polygon''' eller en '''mangekant''' er en lukket kurve i planet, bestående av rette linjestykker. Kurven skjærer ikke seg selv.

Polygonene har navn etter hvor mange sider de har:

* [[Trekant]]
* [[Firkant]]
* [[Femkant ]] eller pentagon. Et [[pentagram]] er en spesiell stjerneformet femkant.
* [[Sekskant]] eller heksagon
* Syvkant eller heptagon
* Åttekant eller oktagon
* Nikant eller nonagon
* Tikant eller dekagon

En generell mangekant med $n$ sider og $n$ hjørner kaller vi en $n$-kant.

I et regulært polygon er alle sider like lange og alle vinkler like store.

[[Bilde:Polygon.gif]]

----
[[kategori:lex]]

Trapes

2019-10-28T15:37:05Z

Toba: Skrivefeil

Et '''trapes''' er en [[firkant]] der to sider er parallelle.

Arealet av trapesen er

:<math>
\displaystyle
A = \frac {h(a + c)}{2}

</math>

når $h$ er høyden mellom de parallelle sidene og $a$ og $b$ er lengdene av de to parallelle sidene.

[[Bilde:Trapes.gif]]

De følgende figurene er spesialtilfeller av trapes:

* [[Parallellogram]]: En firkant der to og to sider er parallelle.
* [[Rombe]]: Et parallellogram der alle sidene er like lange.
* [[Rektangel]]: En firkant der to og to sider er parallelle og alle vinklene er rette.
* [[Kvadrat]]: Et rektangel der alle sidene er like lange.

----
[[kategori:lex]]

Rektangel

2019-10-28T15:32:34Z

Toba: Polering

Et '''rektangel''' er en [[firkant]] der sidene er parvis like lange og alle vinklene er 90°.

[[Bilde:Rektangel.gif]]

Arealet av et rektangel er $A = ab$, når sidelengdene i rektangelet er $a$ og $b$. Omkretsen av rektangelet er $O = 2a + 2b = 2(a+b)$.

----
[[kategori:lex]]

Firkant

2019-10-28T11:04:38Z

Toba: Polering

En '''firkant''' er en figur i planet med fire sider og fire hjørner.

En firkant er et [[polygon]], og det er fem spesielle typer firkanter som har egne navn:

* a - [[kvadrat]]
* b - [[rektangel]]
* c - [[rombe]]
* d - [[parallellogram]]
* e - [[trapes]]

[[Figurer i planet#Firkanter|Mer om firkanter]]

[[Bilde:Firkant.gif]]

Firkantene f og g har en tilfeldig form og har ikke spesielle navn, men de representerer to forskjellige typer firkanter.

Dersom vi trekker en rett linje langs en av sidekanten til f ser vi at hele firkanten ligger på den ene siden av firkanten, uansett hvilken av sidekanten vi velger. Firkanten kalles en ''konveks'' firkant.

Trekker vi rette linjer langs sidene i firkant g ser vi at enkelte av linjene går gjennom firkanten eller at deler av firkanten ligger på begge sider av firkanten. Firkanten sies å være ''konkav''.

Definisjonen av konveks og konkav gjelder for alle polygoner, bortsett fra [[trekant]]er.

----
[[Kategori:lex]]

Andregradslikninger

2019-10-28T10:52:14Z

Toba: Manglende mellomrom mellom ord

== Innledning ==

Fra siden om [[potenser uten brøkeksponent]] vet vi at $x \cdot x = x^2$. Sagt med ord sier vi at "$x$ multiplisert med seg selv er lik $x$ i andre".
Andregradslikninger inneholder alltid et ledd hvor $x^2$ er en faktor.
<br>

En '''andregradslikning''' er en likning på formen $ax^2 + bx + c = 0$, der $a$, $b$ og $c$ er konstanter og $a \neq 0$. Konstantene i en annengradslikning kalles koeffisienter.

En løsninger av en likning kalles også en ''rot'' i likningen. Å finne røttene i en likning er altså det samme som å løse likningen.

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">

En fullstendig andregradslikning skrives på formen

:<math>
\displaystyle
ax^2 + bx + c = 0
</math>

Likningen har tre ledd:

* <math> ax^2 </math> kalles andregradsleddet,
* <math> bx </math> kalles førstegradsleddet,
* <math> c </math> kalles konstantleddet.

</div>

<br>
<br>

== Ufullstendig likninger ==

Dersom minst en av koeffisientene $b$ eller $c$ er lik null sier vi at andregradslikningen er ufullstendig.
Dette er spesialtilfeller av andregradslikninger, fordi én av koeffisientene er lik null, slik at likningene mangler et ledd.

Dersom $a = 0$ har vi en førstegradslikning som løses med metoden beskrevet i [[likninger av første grad]].

<br>

=== Tilfellet b = 0 ===

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">

Dersom $b = 0$ ser likningen slik ut:<br>

:<math>
\displaystyle
ax^2 + c = 0
</math>

Denne løses med "bytt og flytt", for så å ta kvadratrot:

:<math>
\begin{aligned}
x = \pm \sqrt {- \frac {c}{a}}
\end{aligned}
</math>

Legg merke til at enten $a$ eller $c$ (men ikke begge!) må være negativ for at denne likningen skal ha en løsning. Vi kan ikke ta kvadratroten av et negativt tall.
</div>

<br>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel:'''

<br>

Løs likningen

:<math>
\displaystyle
4x^2 - 8 = 0
</math>

Vi løser ved "bytt og flytt" og deretter ta kvadratroten:

:<math>
\begin{aligned}
4x^2 &= 8 \\
x^2 &= \frac84 \\
x &= \pm \sqrt { \frac {8}{4}}
\end{aligned}
</math>

:<math>
\displaystyle
x = \sqrt {2} \qquad \vee \qquad x = - \sqrt {2}
</math>

</div>

<br>

=== Tilfellet c = 0 ===

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
<br>
Dersom $c = 0$ har vi følgende formel:

:<math>
\displaystyle
ax^2 + bx = 0
</math>

Vi løser ved faktorisering:

:<math>
\displaystyle
x (ax + b) = 0
</math>

:<math>
\begin{aligned}
x = 0 \qquad &\vee \qquad ax + b = 0 \\
x = 0 \qquad &\vee \qquad x = - \frac ba
\end{aligned}
</math>

</div>

<br>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel:'''

<br>

Løs likningen

:<math>
\displaystyle
-3x^2 + 6x = 0
</math>

Løsning ved faktorisering:

:<math>
\displaystyle
x (-3x + 6) = 0
</math>

:<math>
\begin{aligned}
x = 0 \qquad &\vee \qquad -3x + 6 = 0 \\
x = 0 \qquad &\vee \qquad x = 2
\end{aligned}
</math>

</div>

== ABC-formelen ==

En andregradslikning på formen $ax^2 + bx + c =0$ kan alltid løses ved hjelp av ABC-formelen, som ser slik ut:

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">

ABC-formelen er

:<math>
\displaystyle
x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
</math>

når

:<math>
\displaystyle
ax^2 + bx + c =0
</math>

Dersom $b^2-4ac$ er positiv, vil likningen ha to ulike løsninger. Dersom $b^2-4ac = 0$ kan vi si at likningen har en enkelt løsning - eller også to like løsninger.
</div>

<br>
$a$, $b$ og $c$ er koeffisientene i andregradsuttrykket. Legg merke til at dersom $b^2 - 4ac$ er mindre enn null, får man et negativt tall under rottegnet. Man sier da at likningen ikke har reelle løsninger.
(I høyere kurs viser man at likningen kan ha [[komplekse løsninger]]).<br><br>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel 1:'''

<br>

Løs likningen

:<math>
\displaystyle
3x^2 + 2x - 1 =0
</math>

Likningen har koeffisenter $a = 3$ , $b = 2$ og $c = -1.$<br>

Ved å bruke ABC-formelen får man:

:<math>
\begin{aligned}
x &= \frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} \\ \\
&= \frac{-2 \pm \sqrt{4+12}}{6} \\ \\
&= \frac{-2 \pm 4}{6}
\end{aligned}
</math>

Likningen har to ulike løsninger:

:<math>
\begin{aligned}
x = \frac{-2 + 4}{6} \qquad &\vee \qquad x= \frac{-2 - 4}{6} \\ \\
x = \frac{1}{3} \qquad &\vee \qquad x = - 1
\end{aligned}
</math>

</div>

<br>
<br>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;"><br>
'''Eksempel 2:'''

<br>

Finn røttene i likningen

:<math>
\displaystyle
-x^2 + 4x - 4 =0
</math>

Koeffisientene er $a = -1$ , $b = 4$ og $c = -4.$

<br>

Ved å bruke ABC-formelen får man:

:<math>
\begin{aligned}
x &= \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4 \cdot (-1) \cdot (-4)}}{2 \cdot (-1)} \\ \\
&= \frac{-4 \pm \sqrt{16-16}}{-2}
\end{aligned}
</math>

Med null under rottegnet får man kun en løsning, $x = 2$.

</div>

<br>
<br>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel 3:'''

<br>

Løs likningen:

:<math>
\displaystyle
3x^2 + 2x + 2 =0
</math>

Koeffisientene er $a = 1$ , $b = -2$ og $c = 2$.

<br>

Ved å bruke ABC-formelen får man:

:<math>
\begin{aligned}
x &= \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} \\ \\
&= \frac{2 \pm \sqrt{4-8}}{2} \\ \\
&= \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2}
\end{aligned}
</math>

Her ser man et man får et negativt tall under rottegnet. Da er det på tide å stoppe opp og konkludere med at likningen ikke har reell løsning.
</div>

<br>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel 4:'''

<br>

Løs likningen:

:<math>
\displaystyle
4x^2 - 1 =0
</math>

Koeffisientene er $a = 4$ , $b = 0$ og $c = -1.$

<br>

Likningen mangler førstegradsleddet ($b = 0$), og det enkleste i dette eksempelet er å bruke "bytt og flytt" og så ta kvadratroten, som vist over.
Det er også fullt mulig å bruke ABC-formelen, og da får man:

:<math>
\begin{aligned}
x &= \frac{ \pm \sqrt{-4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4} \\ \\
&= \frac{ \pm \sqrt{16}}{8} \\ \\
&=\pm \frac{ 4}{8}
\end{aligned}
</math>

Likningen har to løsninger:

:<math>
\displaystyle
x= \frac{1}{2} \qquad \vee \qquad x= - \frac{1}{2}
</math>

</div>

<br><br>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel 5:'''

<br>

Løs likningen:

:<math>
\displaystyle
-3x^2 + 6x = 0
</math>

Koeffisentene er $a = -3$ , $b = 6$ og $c = 0.$

<br>

Ved å bruke ABC-formelen får man:

:<math>
\begin{aligned}
x &= \frac{-6 \pm \sqrt{6^2}}{-6} \\ \\
&= \frac{-6 \pm 6}{-6}
\end{aligned}
</math>

:<math>
\displaystyle
x= 2 \qquad \vee \qquad x= 0
</math>

Man ser at ABC-formelen virker her også, men siden konstantleddet mangler ($c = 0$), ville det være mer fornuftig å faktorisere ut $x$ og løse likningene som vist over.
</div>

<br>
<br>

== Grafisk fremstilling av andregradslikninger ==

Hvorfor har noen likninger to løsninger, noen en og andre ingen? Det kan vi forstå dersom vi studerer grafen til andregradspolynomet i likningen.
Løsninger i likningen finner vi som verdiene av $x$ der grafen skjærer $x$-aksen, det vil si der $y = 0$.

Figuren under viser tre ulike andregradspolynom.

<br>

[[Bilde:2likn.PNG]]

<br><br>

Dersom grafen til andregradspolynomet krysser $x$-aksen, har likningen to løsninger. Likningen $g(x) = 0$ har to løsninger fordi $b^2-4ac>0$, og grafen til $g(x)$ skjærer $x$-aksen ''to'' steder.

Dersom grafen tangerer $x$-aksen har likningen en løsning. Likningen $f(x) = 0$ har en løsning fordi $b^2-4ac=0$. Grafen til $f(x)$ tangerer $x$-aksen i ett punkt, i $x= \frac{-b}{2a}$.

Dersom grafen til polynomet ikke krysser eller tangerer $x$-aksen, har likningen ingen løsning. Likningen $h(x) =0$ har ingen løsning fordi $b^2-4ac<0$. Man kan ikke ta kvadratroten av et negativt tall. <br><br>

<br>
<br>

== Bevis for ABC-formelen ==

For å bevise ABC-formelen bruker en [[kvadratsetningene|første kvadratsetning]], som vist i det følgende avsnittet.

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">

:<math>
\begin{aligned}
ax^2 + bx + c &= 0 \\ \\
x^2 + \frac bax + \frac ca &= 0 \\ \\
x^2 + \frac bax &= - \frac ca \\ \\
x^2 + 2\frac {b}{2a}x &= - \frac ca \\ \\
x^2 + 2\frac {b}{2a}x + (\frac {b}{2a})^2 &= - \frac ca + (\frac {b}{2a})^2 \\ \\
(x +\frac {b}{2a})^2 &= - \frac ca + \frac {b^2}{4a^2} \\ \\
(x +\frac {b}{2a})^2 &= - \frac {4ac}{4a a} + \frac {b^2}{4a^2} \\ \\
(x +\frac {b}{2a})^2 &= \frac {-4ac+b^2}{4a^2} \\ \\
(x +\frac {b}{2a}) &= \pm \sqrt{\frac {b^2 -4ac}{4a^2}} \\ \\
x &= -\frac {b}{2a} \pm {\frac {\sqrt {b^2 -4ac}}{2a}} \\ \\
x &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{aligned}
</math>

</div>

<br>
<br>

== Fullstendig kvadrat ==

Man kan bygge opp et fullstendig kvadrat ved å ''halvere, kvadrere, addere.....''
<br>
For å kunne bruke teknikken må du kunne [[kvadratsetningene]] godt.

<br>
Det følgende eksempelet viser hvordan det gjøres:

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel: '''

<br>

Løs likningen

:<math>
\displaystyle
2x^2 - 3x +1 = 0
</math>

Vi omformer likningen:

:<math>
\begin{aligned}
x^2 - \frac 32 x + \frac 12 &=0 \\ \\
x^2 - \frac 32 x &= - \frac 12 \\ \\
x^2 - \frac 32 x &= - \frac 12 \\ \\
x^2 - \frac 32 x + ( \frac 34)^2 &= - \frac 12 + ( \frac 34)^2 \\ \\
(x - \frac 34)^2 &= \frac {1}{16}
\end{aligned}
</math>

:<math>
\begin{aligned}
x - \frac 34 = \sqrt{ \frac {1}{16}}\qquad &\vee \qquad x - \frac 34 = -\sqrt{ \frac {1}{16}} \\ \\
x = 1\qquad &\vee \qquad x = \frac {1}{2}
\end{aligned}
</math>

</div>

<br>

Dersom du sliter med algebra bør du kanskje holde deg til ABC-formelen, men dersom du har oversikt og har ambisjoner om god karakter (5,6), er metoden med fullstendig kvadrat noe du bør beherske.

<br>
<br>

== Andregradslikninger på produktform ==

Man kan ha andregradslikninger på formen:

:<math>
\displaystyle
(x + 1)(x – 2) = 0
</math>

Du ser at dette er en andregradslikning om du multipliserer ut parentesene:

:<math>
\displaystyle
(x + 1)(x – 2) = x^2 - 2x + x – 2 = x^2 – x – 2
</math>

Man kan multiplisere ut faktorene som vist over og bruke ABC–formelen, men det finnes en mye enklere måte å løse likningen på:

Dersom produktet av to faktorer skal bli null, må en av faktorene være null.

Likningen $mn = 0$ medfører at $m$ eller $n$ må være lik null, om likningen skal være oppfylt.

I eksemplet

:<math>
\displaystyle
(x + 1)(x – 2) = 0
</math>

betyr det at $x+1 = 0$ , eller at $x – 2 = 0$.

Det gir løsningene $x = -1$ og $x = 2$.

Problemet er redusert til løsninger av to enkle førstegradslikninger.

<br>
<br>

== Faktorisering av andregradsuttrykk ==

Det generelle andregradsuttrykket er $ax^2 + bx + c.$ Ofte har man behov for å faktorisere uttrykket for å kunne forkorte og forenkle.

Man har følgende formel for faktorisering av andregradsuttrykk:

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">

:<math>
\displaystyle
ax^2 + bx + c = a( x-x_1)(x-x_2)
</math>

Der $x_1$ og $x_2$ er løsninger av $ax^2 + bx + c = 0.$
</div>

<br>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel:'''

<br>

Faktoriser polynomet

:<math>
\displaystyle
6x^2-4x-2
</math>

Vi løser først likningen $6x^2-4x-2=0$ ved hjelp av ABC-formelen og får

:<math>
\displaystyle
x_1 = 1 \qquad \vee \qquad x_2 = - \frac13
</math>

Så bruker vi formelen over og får:

:<math>
\displaystyle
6x^2-4x-2 = a(x-x_1)(x-x_2) = 6(x-1)(x + \frac 13)
</math>

Denne fremgangsmåten er spesielt nyttig (helt nødvendig) når man skal forkorte brøker som inneholder andregradspolynomer.
</div>

<br>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel:'''

<br>

Skriv enklest mulig:

:<math>
\displaystyle
\frac{6x^2-4x-2}{x + \frac13}
</math>

Vi faktoriserer og får:

:<math>
\displaystyle
\frac{6(x-1)(x + \frac 13)}{x + \frac13} = 6(x-1)
</math>

</div>

<br>
<br>

== Sum og produkt av røtter ==

Man har følgende sammenhenger mellom sum og produkt av røtter (løsninger):

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">

En fullstendig andregradslikning skrives på formen

:<math>
\displaystyle
ax^2 + bx + c = 0
</math>

Dersom $x_1$ og $x_2$ er røtter (løsninger) i likningen, så er

:<math>
\begin{aligned}
x_1 + x_2 &= - \frac ba \\ \\
x_1 \cdot x_2 &= \frac ca
\end{aligned}
</math>

</div>

<br>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel:'''

<br>

Vi ønsker å finne et andregradsuttrykk som har røttene $x = -2$ og $x = 1$. Utover det har vi ingen andre krav.

<br><br>
Vi får:

:<math>
\begin{aligned}
x_1 + x_2 &=- \frac ba \\ \\
-2 + 1 &= - \frac ba \\ \\
a &= b
\end{aligned}
</math>

Siden vi ikke har krav til koeffisientene kan vi jo velge $a = 1$. Da får vi at $a = 1$ og
$b = 1$.

<br>
Produktet av røttene må oppfylle likningen

:<math>
\begin{aligned}
x_1 \cdot x_2 &= \frac ca \\ \\
-2 \cdot 1 &= \frac ca \\ \\
c &= -2
\end{aligned}
</math>

Vi får da likningen

:<math>
\displaystyle
x^2 + x - 2 = 0
</math>

Ved å bruke ABC-formelen ser man at dette er en (av mange) likninger som har løsning for $x = 1$ og for $x = -2.$

<br>
Dersom man anvender disse formlene og finner en likning, må man sjekke at den virkelig har løsninger.

</div>

----

[[1T Hovedside|Tilbake til 1T Hovedside]]<p></p>
[[Hovedside]]
[[Category:Algebra]][[Category:Ped]][[Category:1T]]

Andregradslikning

2019-10-28T10:50:04Z

Toba: Polering

En '''andregradslikning''' er en likning av typen

:<math>
\displaystyle
ax^2 + bx + c = 0,
</math>

der $a$ er forskjellig fra 0.

Løsningsmetoder er beskrevet i avsnittet [[Andregradslikninger]]

----
[[Kategori:lex]]

Parallellogram

2019-10-28T10:46:34Z

Toba: Polering

Et '''parallellogram''' er en [[firkant]] der to og to sider er parallelle og like lange. Vinklene er parvis like store.

[[Bilde:Parallellogram.gif]]

Arealet av parallellogrammet er $A = ah$, der $a$ er lengden av grunnlinjen og $h$ er høyden.

----
[[kategori:lex]]

Rombe

2019-10-28T10:42:30Z

Toba: Polering

En '''rombe''' er et [[parallellogram]] der alle fire sidene er like lange.

[[Bilde:Rombe.gif]]

Figuren illustrerer hvordan man kan se at arealet av en rombe (og andre parallellogrammer) er $A=ah$, der $a$ er grunnlinjen og $h$ er høyden i romben. Omkretsen er $4a$.

En rombe der vinklene er rette er et [[kvadrat]].

----
[[kategori:lex]]

Trapes

2019-10-27T20:49:09Z

Toba: Hele setninger. Lenke til relaterte figurer.

Et '''trapes''' er en firkant der to sider er parallelle.

Arealet av trapesen er

:<math>
\displaystyle
A = \frac {h(a + c)}{2}

</math>

når $h$ er høyden mellom de parallelle sidene og $a$ og $b$ er lengdene av de to parallelle sidene.

[[Bilde:Trapes.gif]]

De følgende figurene er spesialtilfeller av trapes:

* [[Parallellogram]]: En firkant der to og to sider er parallelle.
* [[Rombe]]: En parallellogram der alle sidene er like lange.
* [[Rektangel]]: En firkant der to og to sider er parallelle og alle vinklene er rette.
* [[Kvadrat]]: En rektangel der alle sidene er like lange.

----
[[kategori:lex]]

Herons formel

2019-10-27T20:34:15Z

Toba: Venstrejusterte display-style likninger

'''Herons formel''' er en formel som relaterer arealet til en trekant med trekantens sidelengder.
Dersom a, b og c er sidene i en trekant, er trekantens areal $A$ gitt som

:<math>
\displaystyle
A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
</math>

der $s$ er lengden av halve omkretsen til trekanten:

:<math>
\displaystyle
s = \frac{a + b + c}{2}
</math>

Alternativt kan formelen skrives slik:

:<math>
\displaystyle
A= \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4 +b^4+c^4)}
</math>

Formelen har navn etter den greske matematikeren Heron fra Alexandria, som levde i hundreåret etter Kristi fødsel.
----

[[Category:lex]] [[Category:1T]] [[Category:Geometri]]

Andregradslikninger

2019-10-27T20:31:40Z

Toba: Retting og polering. Display-stil for likninger

== Innledning ==

Fra siden om [[potenser uten brøkeksponent]] vet vi at $x \cdot x = x^2$. Sagt med ord sier vi at "$x$ multiplisert med seg selv er lik $x$ i andre".
Andregradslikninger inneholder alltid et ledd hvor $x^2$ er en faktor.
<br>

En andregradslikning er en likning på formen $ax^2 + bx + c = 0$, der $a$, $b$ og $c$ er konstanter og $a \neq 0$. Konstantene i en annengradslikning kalles koeffisienter.

En løsninger av en likning kalles også en ''rot'' i likningen. Å finne røttene i en likning er altså det samme som å løse likningen.

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">

En fullstendig andregradslikning skrives på formen

:<math>
\displaystyle
ax^2 + bx + c = 0
</math>

Likningen har tre ledd:

* <math> ax^2 </math> kalles andregradsleddet,
* <math> bx </math> kalles førstegradsleddet,
* <math> c </math> kalles konstantleddet.

</div>

<br>
<br>

== Ufullstendig likninger ==

Dersom minst en av koeffisientene $b$ eller $c$ er lik null sier vi at andregradslikningen er ufullstendig.
Dette er spesialtilfeller av andregradslikninger, fordi én av koeffisientene er lik null, slik at likningene mangler et ledd.

Dersom $a = 0$ har vi en førstegradslikning som løses med metoden beskrevet i [[likninger av første grad]].

<br>

=== Tilfellet b = 0 ===

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">

Dersom $b = 0$ ser likningen slik ut:<br>

:<math>
\displaystyle
ax^2 + c = 0
</math>

Denne løses med "bytt og flytt", for så å ta kvadratrot:

:<math>
\begin{aligned}
x = \pm \sqrt {- \frac {c}{a}}
\end{aligned}
</math>

Legg merke til at enten $a$ eller $c$ (men ikke begge!) må være negativ for at denne likningen skal ha en løsning. Vi kan ikke ta kvadratroten av et negativt tall.
</div>

<br>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel:'''

<br>

Løs likningen

:<math>
\displaystyle
4x^2 - 8 = 0
</math>

Vi løser ved "bytt og flytt" og deretter ta kvadratroten:

:<math>
\begin{aligned}
4x^2 &= 8 \\
x^2 &= \frac84 \\
x &= \pm \sqrt { \frac {8}{4}}
\end{aligned}
</math>

:<math>
\displaystyle
x = \sqrt {2} \qquad \vee \qquad x = - \sqrt {2}
</math>

</div>

<br>

=== Tilfellet c = 0 ===

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
<br>
Dersom $c = 0$ har vi følgende formel:

:<math>
\displaystyle
ax^2 + bx = 0
</math>

Vi løser ved faktorisering:

:<math>
\displaystyle
x (ax + b) = 0
</math>

:<math>
\begin{aligned}
x = 0 \qquad &\vee \qquad ax + b = 0 \\
x = 0 \qquad &\vee \qquad x = - \frac ba
\end{aligned}
</math>

</div>

<br>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel:'''

<br>

Løs likningen

:<math>
\displaystyle
-3x^2 + 6x = 0
</math>

Løsning ved faktorisering:

:<math>
\displaystyle
x (-3x + 6) = 0
</math>

:<math>
\begin{aligned}
x = 0 \qquad &\vee \qquad -3x + 6 = 0 \\
x = 0 \qquad &\vee \qquad x = 2
\end{aligned}
</math>

</div>

== ABC-formelen ==

En andregradslikning på formen $ax^2 + bx + c =0$ kan alltid løses ved hjelp av ABC-formelen, som ser slik ut:

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">

ABC-formelen er

:<math>
\displaystyle
x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
</math>

når

:<math>
\displaystyle
ax^2 + bx + c =0
</math>

Dersom $b^2-4ac$ er positiv, vil likningen ha to ulike løsninger. Dersom $b^2-4ac = 0$ kan vi si at likningen har en enkelt løsning - eller også to like løsninger.
</div>

<br>
$a$, $b$ og $c$ er koeffisientene i andregradsuttrykket. Legg merke til at dersom $b^2 - 4ac$ er mindre enn null, får man et negativt tall under rottegnet. Man sier da at likningen ikke har reelle løsninger.
(I høyere kurs viser man at likningen kan ha [[komplekse løsninger]]).<br><br>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel 1:'''

<br>

Løs likningen

:<math>
\displaystyle
3x^2 + 2x - 1 =0
</math>

Likningen har koeffisenter $a = 3$ , $b = 2$ og $c = -1.$<br>

Ved å bruke ABC-formelen får man:

:<math>
\begin{aligned}
x &= \frac{-2 \pm \sqrt{2^2-4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} \\ \\
&= \frac{-2 \pm \sqrt{4+12}}{6} \\ \\
&= \frac{-2 \pm 4}{6}
\end{aligned}
</math>

Likningen har to ulike løsninger:

:<math>
\begin{aligned}
x = \frac{-2 + 4}{6} \qquad &\vee \qquad x= \frac{-2 - 4}{6} \\ \\
x = \frac{1}{3} \qquad &\vee \qquad x = - 1
\end{aligned}
</math>

</div>

<br>
<br>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;"><br>
'''Eksempel 2:'''

<br>

Finn røttene i likningen

:<math>
\displaystyle
-x^2 + 4x - 4 =0
</math>

Koeffisientene er $a = -1$ , $b = 4$ og $c = -4.$

<br>

Ved å bruke ABC-formelen får man:

:<math>
\begin{aligned}
x &= \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4 \cdot (-1) \cdot (-4)}}{2 \cdot (-1)} \\ \\
&= \frac{-4 \pm \sqrt{16-16}}{-2}
\end{aligned}
</math>

Med null under rottegnet får man kun en løsning, $x = 2$.

</div>

<br>
<br>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel 3:'''

<br>

Løs likningen:

:<math>
\displaystyle
3x^2 + 2x + 2 =0
</math>

Koeffisientene er $a = 1$ , $b = -2$ og $c = 2$.

<br>

Ved å bruke ABC-formelen får man:

:<math>
\begin{aligned}
x &= \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} \\ \\
&= \frac{2 \pm \sqrt{4-8}}{2} \\ \\
&= \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2}
\end{aligned}
</math>

Her ser man et man får et negativt tall under rottegnet. Da er det på tide å stoppe opp og konkludere med at likningen ikke har reell løsning.
</div>

<br>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel 4:'''

<br>

Løs likningen:

:<math>
\displaystyle
4x^2 - 1 =0
</math>

Koeffisientene er $a = 4$ , $b = 0$ og $c = -1.$

<br>

Likningen mangler førstegradsleddet ($b = 0$), og det enkleste i dette eksempelet er å bruke "bytt og flytt" og så ta kvadratroten, som vist over.
Det er også fullt mulig å bruke ABC-formelen, og da får man:

:<math>
\begin{aligned}
x &= \frac{ \pm \sqrt{-4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4} \\ \\
&= \frac{ \pm \sqrt{16}}{8} \\ \\
&=\pm \frac{ 4}{8}
\end{aligned}
</math>

Likningen har to løsninger:

:<math>
\displaystyle
x= \frac{1}{2} \qquad \vee \qquad x= - \frac{1}{2}
</math>

</div>

<br><br>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel 5:'''

<br>

Løs likningen:

:<math>
\displaystyle
-3x^2 + 6x = 0
</math>

Koeffisentene er $a = -3$ , $b = 6$ og $c = 0.$

<br>

Ved å bruke ABC-formelen får man:

:<math>
\begin{aligned}
x &= \frac{-6 \pm \sqrt{6^2}}{-6} \\ \\
&= \frac{-6 \pm 6}{-6}
\end{aligned}
</math>

:<math>
\displaystyle
x= 2 \qquad \vee \qquad x= 0
</math>

Man ser at ABC-formelen virker her også, men siden konstantleddet mangler ($c = 0$), ville det være mer fornuftig å faktorisere ut $x$ og løse likningene som vist over.
</div>

<br>
<br>

== Grafisk fremstilling av andregradslikninger ==

Hvorfor har noen likninger to løsninger, noen en og andre ingen? Det kan vi forstå dersom vi studerer grafen til andregradspolynomet i likningen.
Løsninger i likningen finner vi som verdieneav $x$ der grafen skjærer $x$-aksen, det vil si der $y = 0$.

Figuren under viser tre ulike andregradspolynom.

<br>

[[Bilde:2likn.PNG]]

<br><br>

Dersom grafen til andregradspolynomet krysser $x$-aksen, har likningen to løsninger. Likningen $g(x) = 0$ har to løsninger fordi $b^2-4ac>0$, og grafen til $g(x)$ skjærer $x$-aksen ''to'' steder.

Dersom grafen tangerer $x$-aksen har likningen en løsning. Likningen $f(x) = 0$ har en løsning fordi $b^2-4ac=0$. Grafen til $f(x)$ tangerer $x$-aksen i ett punkt, i $x= \frac{-b}{2a}$.

Dersom grafen til polynomet ikke krysser eller tangerer $x$-aksen, har likningen ingen løsning. Likningen $h(x) =0$ har ingen løsning fordi $b^2-4ac<0$. Man kan ikke ta kvadratroten av et negativt tall. <br><br>

<br>
<br>

== Bevis for ABC-formelen ==

For å bevise ABC-formelen bruker en [[kvadratsetningene|første kvadratsetning]], som vist i det følgende avsnittet.

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">

:<math>
\begin{aligned}
ax^2 + bx + c &= 0 \\ \\
x^2 + \frac bax + \frac ca &= 0 \\ \\
x^2 + \frac bax &= - \frac ca \\ \\
x^2 + 2\frac {b}{2a}x &= - \frac ca \\ \\
x^2 + 2\frac {b}{2a}x + (\frac {b}{2a})^2 &= - \frac ca + (\frac {b}{2a})^2 \\ \\
(x +\frac {b}{2a})^2 &= - \frac ca + \frac {b^2}{4a^2} \\ \\
(x +\frac {b}{2a})^2 &= - \frac {4ac}{4a a} + \frac {b^2}{4a^2} \\ \\
(x +\frac {b}{2a})^2 &= \frac {-4ac+b^2}{4a^2} \\ \\
(x +\frac {b}{2a}) &= \pm \sqrt{\frac {b^2 -4ac}{4a^2}} \\ \\
x &= -\frac {b}{2a} \pm {\frac {\sqrt {b^2 -4ac}}{2a}} \\ \\
x &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{aligned}
</math>

</div>

<br>
<br>

== Fullstendig kvadrat ==

Man kan bygge opp et fullstendig kvadrat ved å ''halvere, kvadrere, addere.....''
<br>
For å kunne bruke teknikken må du kunne [[kvadratsetningene]] godt.

<br>
Det følgende eksempelet viser hvordan det gjøres:

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel: '''

<br>

Løs likningen

:<math>
\displaystyle
2x^2 - 3x +1 = 0
</math>

Vi omformer likningen:

:<math>
\begin{aligned}
x^2 - \frac 32 x + \frac 12 &=0 \\ \\
x^2 - \frac 32 x &= - \frac 12 \\ \\
x^2 - \frac 32 x &= - \frac 12 \\ \\
x^2 - \frac 32 x + ( \frac 34)^2 &= - \frac 12 + ( \frac 34)^2 \\ \\
(x - \frac 34)^2 &= \frac {1}{16}
\end{aligned}
</math>

:<math>
\begin{aligned}
x - \frac 34 = \sqrt{ \frac {1}{16}}\qquad &\vee \qquad x - \frac 34 = -\sqrt{ \frac {1}{16}} \\ \\
x = 1\qquad &\vee \qquad x = \frac {1}{2}
\end{aligned}
</math>

</div>

<br>

Dersom du sliter med algebra bør du kanskje holde deg til ABC-formelen, men dersom du har oversikt og har ambisjoner om god karakter (5,6), er metoden med fullstendig kvadrat noe du bør beherske.

<br>
<br>

== Andregradslikninger på produktform ==

Man kan ha andregradslikninger på formen:

:<math>
\displaystyle
(x + 1)(x – 2) = 0
</math>

Du ser at dette er en andregradslikning om du multipliserer ut parentesene:

:<math>
\displaystyle
(x + 1)(x – 2) = x^2 - 2x + x – 2 = x^2 – x – 2
</math>

Man kan multiplisere ut faktorene som vist over og bruke ABC–formelen, men det finnes en mye enklere måte å løse likningen på:

Dersom produktet av to faktorer skal bli null, må en av faktorene være null.

Likningen $mn = 0$ medfører at $m$ eller $n$ må være lik null, om likningen skal være oppfylt.

I eksemplet

:<math>
\displaystyle
(x + 1)(x – 2) = 0
</math>

betyr det at $x+1 = 0$ , eller at $x – 2 = 0$.

Det gir løsningene $x = -1$ og $x = 2$.

Problemet er redusert til løsninger av to enkle førstegradslikninger.

<br>
<br>

== Faktorisering av andregradsuttrykk ==

Det generelle andregradsuttrykket er $ax^2 + bx + c.$ Ofte har man behov for å faktorisere uttrykket for å kunne forkorte og forenkle.

Man har følgende formel for faktorisering av andregradsuttrykk:

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">

:<math>
\displaystyle
ax^2 + bx + c = a( x-x_1)(x-x_2)
</math>

Der $x_1$ og $x_2$ er løsninger av $ax^2 + bx + c = 0.$
</div>

<br>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel:'''

<br>

Faktoriser polynomet

:<math>
\displaystyle
6x^2-4x-2
</math>

Vi løser først likningen $6x^2-4x-2=0$ ved hjelp av ABC-formelen og får

:<math>
\displaystyle
x_1 = 1 \qquad \vee \qquad x_2 = - \frac13
</math>

Så bruker vi formelen over og får:

:<math>
\displaystyle
6x^2-4x-2 = a(x-x_1)(x-x_2) = 6(x-1)(x + \frac 13)
</math>

Denne fremgangsmåten er spesielt nyttig (helt nødvendig) når man skal forkorte brøker som inneholder andregradspolynomer.
</div>

<br>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel:'''

<br>

Skriv enklest mulig:

:<math>
\displaystyle
\frac{6x^2-4x-2}{x + \frac13}
</math>

Vi faktoriserer og får:

:<math>
\displaystyle
\frac{6(x-1)(x + \frac 13)}{x + \frac13} = 6(x-1)
</math>

</div>

<br>
<br>

== Sum og produkt av røtter ==

Man har følgende sammenhenger mellom sum og produkt av røtter (løsninger):

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">

En fullstendig andregradslikning skrives på formen

:<math>
\displaystyle
ax^2 + bx + c = 0
</math>

Dersom $x_1$ og $x_2$ er røtter (løsninger) i likningen, så er

:<math>
\begin{aligned}
x_1 + x_2 &= - \frac ba \\ \\
x_1 \cdot x_2 &= \frac ca
\end{aligned}
</math>

</div>

<br>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel:'''

<br>

Vi ønsker å finne et andregradsuttrykk som har røttene $x = -2$ og $x = 1$. Utover det har vi ingen andre krav.

<br><br>
Vi får:

:<math>
\begin{aligned}
x_1 + x_2 &=- \frac ba \\ \\
-2 + 1 &= - \frac ba \\ \\
a &= b
\end{aligned}
</math>

Siden vi ikke har krav til koeffisientene kan vi jo velge $a = 1$. Da får vi at $a = 1$ og
$b = 1$.

<br>
Produktet av røttene må oppfylle likningen

:<math>
\begin{aligned}
x_1 \cdot x_2 &= \frac ca \\ \\
-2 \cdot 1 &= \frac ca \\ \\
c &= -2
\end{aligned}
</math>

Vi får da likningen

:<math>
\displaystyle
x^2 + x - 2 = 0
</math>

Ved å bruke ABC-formelen ser man at dette er en (av mange) likninger som har løsning for $x = 1$ og for $x = -2.$

<br>
Dersom man anvender disse formlene og finner en likning, må man sjekke at den virkelig har løsninger.

</div>

----

[[1T Hovedside|Tilbake til 1T Hovedside]]<p></p>
[[Hovedside]]
[[Category:Algebra]][[Category:Ped]][[Category:1T]]

Herons formel

2019-10-25T16:46:34Z

Toba: Polering. Formelnavn

'''Herons formel''' er en formel som relaterer arealet til en trekant med trekantens sidelengder.
Dersom a, b og c er sidene i en trekant, er trekantens areal $A$ gitt som

\[
A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
\]

der $s$ er lengden av halve omkretsen til trekanten:

\[
s = \frac{a + b + c}{2}
\]

Alternativt kan formelen skrives slik:

\[
A= \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4 +b^4+c^4)}
\]

Formelen har navn etter den greske matematikeren Heron fra Alexandria, som levde i hundreåret etter Kristi fødsel.
----

[[Category:lex]] [[Category:1T]] [[Category:Geometri]]

Potenslikninger

2019-10-24T17:52:43Z

Toba: Retting og polering. Overskriften bruker 'likning' og ikke 'ligning', så bruker dette konsekvent

Med potenslikninger menes likninger som har et ledd med den ukjente x som grunntall i potenser.

Dersom potenseksponentene er heltall, sier vi at ''graden'' til likningen er lik den høyeste eksponenten til den ukjente i likningen.
For eksempel vil en [[andregradslikning|andregradslikninger]] ha som høyeste eksponent tallet 2.

En andregradslikning er en potenslikning, men det finnes også andre typer. Vi ser på noen spesielle tilfeller her.

== Likninger med ett ledd der eksponenten er heltall ==

I sin enkleste form kan likningen se slik ut:

: <math>x^3 = 8</math>

Løsningen på likningen finnes ved å ta tredjeroten på begge sider. <br>

Dersom likningen kun har ledd av samme grad, og disse er heltall, løses likningen ved å ordne den slik at x-leddet kommer på venstre side og konstantleddet på høyre side av likhetstegnet. Man tar så roten på begge sider.

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
<math> ax^n =b</math><br><br>
<math> x = \sqrt[n]{\frac ba}</math>
<br><br>Dersom n er partall må man huske at likningen har både en positiv og negativ løsning for x.
</blockquote>

Eks:<br>
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
<math> 3x^6 + x^6 - 4 = 252</math><br><br>
<math> 4x^6 = 256</math><br><br>
<math> 4x^6 = 256</math><br><br>
<math> x^6 = 64</math><br><br>
<math> x = \pm \sqrt[6]{64}</math><br><br>
<math> x = \pm 2</math><br><br>
</blockquote><br>

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
<math> x^6 + 6x^3 - 16 = 0</math><br><br>
<math> u = x^3</math> <br><br>
<math> u^2 + 6u - 16 = 0</math> <br><br>
<math> u = 8 \qquad \vee \qquad u = -2</math> <br><br>
<math> x^3 = 8 \qquad \vee \qquad x^3 = -2</math><br><br>
<math> x = 2 \qquad \vee \qquad x = -1,26</math><br><br>
</blockquote>

== Flerleddede likninger ==

Det er mulig å løse [[tredje og fjerdegradslikninger]] analytisk. Det ligger langt utenfor pensum og vi skal ikke gjøre det her.

Dersom likningen består av flere ledd med ulik grad, der høyeste grad er større enn to, så får vi normalt problemer med å løse likningen (på videregående skolenivå). Det finnes enkelte unntak. Dersom vi har likningen:

:<math>
x^6- 6x^3 – 16 = 0,
</math>

så kan den løses ved å ”omforme” den til en andregradslikning: Vi setter <math>u = x^3</math> (kalles substitusjon) og får:

:<math>
u^2 - 6u – 16 = 0 .
</math>

Denne likningen har løsninger u = 8 og u = -2 Nå går man tilbake til substitusjonen og får

:$x^3 = 8$ eller $x^3 = - 2$.

For den ukjente x gir dette x = 2 eller x = - 1,26.

== Eksponenten som desimaltall ==

Så langt har vi sett på potenslikninger der eksponenten er et heltall. Det er ikke alltid tilfellet.
Vi kan for eksempel ha en likning som denne:

: <math> x^{1,27} = 3 </math>

Her observerer vi at eksponenten er et desimaltall. likningen løses ved å anvende reglene for potensregning.

<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

\[
\begin{aligned}
x^{1,27} &= 3 \\
x^{\frac{1,27}{1}} &= x^{\frac{127}{100}} = 3 \\
(x^{\frac{127}{100}})^{\frac{100}{127}} &= 3^{\frac{100}{127}} \\
x &= 2,37
\end{aligned}
\]

</blockquote>

----

[[1T Hovedside|Tilbake til 1T Hovedside]]<p></p>
[[Hovedside]]
[[Category:Algebra]][[Category:1T]][[Category:Ped]]

Likninger av første grad

2019-10-19T09:33:11Z

Toba: Skrivefeil

== Innledning ==

I matematikk er det vanlig å bruke bokstaver som erstatning for tallverdier. Bokstaver kan symbolisere tall som vi kjenner, for eksempel π som har tallverdi 3,14. Bokstavene kan også symbolisere tallverdier som vi ikke kjenner, men som vi ønsker å finne. I slike tilfeller bruker vi gjerne bokstavene x, y eller z.
<br><br>
I et spesielt regnestykke kan x kun ha en tallverdi, men x kan ha forskjellige verdier i forskjellige regnestykker.
<br><br>
La oss se på noen eksempler:
<br><br>
Per og Kari har til sammen 5 epler. Per har to. Hvor mange har Kari?
<br><br>
Dette stykket greier du sikkert i hodet, men la oss sette det opp som en ligning slik at vi lærer oss tenkemåten. La oss kalle antall epler som Kari har for x.
<br><br>

Per + Kari = tilsammen<br>
2 + ? = 5<br>
Som likning kan dette skrives:<br>
2 + x = 5

Tenk på en skålvekt. En skålvekt er i likevekt dersom lasten er den samme i begge skålene. Vi kan legge på mer last på vekten, men for at den skal være i likevekt må vi legge like mye i begge skålene. Vi kan også fjerne last fra skålvekten, men vi må fjerne like mye fra begge skålene for at likevekten skal holde seg. Gjør vi ikke det kommer vekten ut av balanse.
<br><br>
Tenk deg at likhetstegnet i vår ligning er balansepunket på skålvekten. Vi kan legge til og trekke fra på begge sider, vi kan gange og dele, men det er viktig at vi gjør det samme på begge sider av likhetstegnet. Gjør vi ikke det kommer "vekten" ut av balanse.
<br><br>
Situasjonen med Per og Kari ser slik ut:
<br><br>
[[Bilde:vekt.png]]<br><br>

Karis epler befinner seg i sekken. Vår oppgave er å finne antall epler i sekken, x.
<br><br>
Dersom vi fjerner to epler på hver side av skålvekten ser det slik ut:

[[Bilde:vekt2.png]]<br><br>

På matematikkspråk kan vi skrive det slik:

2 + x = 5

Dersom vi trekker bort to fra hver side av likhetstegnet får vi:

2 + x - 2 = 5 - 2

x = 5 - 2

"flytt og bytt" er en huskeregel, men det er viktig å forstå at man trekker fra samme tall på begge sider av likhetstegnet.

Med "flytt og bytt" mener man at man flytter leddet som ikke inneholder x over på høyre side av likhetstegnet og bytter fortegn. Likedan kan man flytte ledd som inneholder x fra høyre til venstre side av likhetstegnet og skifte fortegn. Det man i virkeligheten gjør er å trekke fra like mange på hver side.

Når vi løser en ligning er det vår oppgave å få x alene på venstre side av likhetstegnet.
<br>

==Omvendte operasjoner==
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">

*Addisjon og subtraksjon opphever hverandre.

*Multiplikasjon og divisjon opphever hverandre.

*Operasjonene må utføres på alle ledd i likningen, på begge sider av likhetstegnet.
</div>

$5$<span style="color:#FF0000"> x </span>$ =25 + 25$

== Ligning med x som ledd ==

Man flytter alle ledd med x på venstre side og alle ledd uten x på høyre side av likhetstegnet. Husk å bytt fortegn på de ledd som flyttes. Trekk sammen på begge sider av likhetstegnet.

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel 1:'''<br><br>

<math>5x + 3x + 6 - 2 = 7x + 6 \quad \quad</math>Samler først alle ledd med x på venstre side og alle konstanter på høyre side. Skifter fortegn på de ledd som bytter side.<p></p>
<math> 5x + 3x - 7x = 6 - 6 + 2 \quad \quad</math> Trekker sammen på begge sider.<p></p>
<math> x = 2 </math><br>

</div>

[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=AE4%2BAE5%2BAE6%2BAE7%2BAE8%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]

== Ligning med x som faktor ==

Løsningen er å dividere alle ledd på begge sider av likhetstegnet med tallet som står foran x.

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel 2:'''<br><br>

<math>5x = x + 8 \quad \quad</math> Flytter over x på venstre side og skifter fortegn.<br>
<math> 5x - x = 8 \quad \quad</math> Trekker sammen<br>
<math> 4x = 8 \quad|:4 \quad \quad</math>Deler begge sider av likhetstegnet på det tallet som står forran x, i dette tilfelle 4.<br>
<math> x = 2 </math>
</div>

[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=AE9%2BAEA%2BAEB%2BAEC%2BAED%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]

== Ligninger med x i teller ==

Løsningen er å multiplisere alle ledd på begge sider av likhetstegnet med tallet i nevner.
<br>

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel 1:'''<br><br>

<math> \frac{x}{2}+ x - 10 = 20 \quad | \cdot 2 \quad \quad</math> Multipliserer alle ledd med 2, for å fjerne brøken.<p></p>

<math> x + 2x - 20 = 40\quad \quad </math> Flytt over 20 og bytt fortegn<p></p>
<math> 3x = 60 \quad \quad</math> Deler begge sider på tre.<p></p>
<math> x = 20 </math><p></p>
</div>

[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=AEE%2BAEF%2BAF0%2BAF1%2BAF2%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]

== Ligninger med x i nevner ==

Løsningen er å multiplisere alle ledd på begge sider av likhetstegnet med x.

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel 1:'''<br><br>

<math> \frac{2}{x}+ 10 = 12 \qquad \qquad \qquad x \neq 0 \qquad \qquad \qquad</math> Multipliserer alle ledd med x, for å fjerne brøken<p></p>

<math> 2 + 10x = 12x \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad </math> Flytt over og bytt fortegn<p></p>
<math> -2x = -2 \qquad \qquad \qquad</math><p></p>
<math> x = 1 </math><br>
</div>

[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=AF3%2BAF4%2BAF5%2BAF6%2BAF7%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]

== Kombinasjoner av metoder ==

Ofte vil ligningene du løser være en kombinasjon av metodene over:

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel 2:'''<br><br>

<math> 3x + \frac{x}{2} = 4 - \frac{2}{x} + \frac{7x}{2} \qquad \qquad \qquad x \neq 0 \qquad \qquad \qquad</math> Multipliserer alle ledd med 2x, for å fjerne brøken<p></p>

<math> 6x^2 + x^2 = 8x - 4 + 7x^2 \qquad \qquad \qquad\qquad \qquad \qquad </math> Flytt over og bytt fortegn. Legg merke til at andregradsleddene forsvinner.<p></p>
<math> -8x = -4 </math><p></p>
<math> x = \frac12 </math><br>
</div>

[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=AF8%2BAF9%2BAFA%2BAFB%2BAFC%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]

== Prøve på Svaret ==

Hvordan kan vi være sikre på at utregningene i eksemplet over er riktige? Et godt hjelpemiddel er å sette prøve på svaret. Det betyr at vi setter inn den x verdien vi har funnet i ligningen. Vi behandle hver side av likhetstegnet for seg. Dersom svaret vi får blir det samme på begge sider av likhetstegnet har vi med stor sannsynlighet regnet riktig.

Vi tester svaret over:

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel '''<br><br>

<math>VS: \qquad \qquad 3 \cdot \frac12 + \frac{\frac12}{2} = \frac32 + \frac 14 = \frac 74 </math> <br><br>
<math>HS:\qquad \qquad 4 - \frac{2}{\frac12} + \frac{7\cdot \frac12}{2}= 4 - 4 + \frac74 = \frac74</math>

</div>

Vi ser at vi får det samme på begge sider og kan konkludere med at x verdien vi fant er riktig.

Gjør det til en regel at du setter prøve på svaret, selv om det ikke alltid spørres etter det.

[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=B2C%2BB2D%2BB2E%2BB2F%2BB30%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]

== Dagligdags Bruk - tekststykker ==

Når du har lært regnereglene blir utfordringen å omforme dagligdagse problemer til ligninger. Dette er et meget slagkraftig redskap, når du lærer å bruke det:

<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #F8ADB6;">
'''Eksempel 1:'''<br><br>
Astrid er halvparten så gammel som Thorild. Knut er tre år eldre enn Thorild. Til sammen er de 53 år gamle. Hvor gammel er Astrid, Thorild og Knut?
<br>
'''Løsning:'''
<br>
Vi kaller alderen til Thorild for <math>x.</math> <br><br>
Knut er: <math>x+3</math><br><br>
Astrid er: <math> \frac x2</math><p></p>

Når man legger sammen alderen til de tre, får følgende likning:<br><br><math> \frac x2 + x + (x+3)=53</math><br><br>
<math> 2,5x =50</math><br><br>
<math> x =20</math><br><br>
Siden x er 20 betyr det at Thorild er 20 år, Astrid er 10 år og Knut 23 år gammel.
</div>
[http://www.matematikk.net/ressurser/oppgaver/kari/vis_oppgaver.php?q=B27%2BB28%2BB29%2BB2A%2BB2B%7Ctimer_off%7Cshow_all%7Cnq%5B5%5D%7Ccat%5B35%5D%7Cdiff%5B0%5D%26quser_submit_step3 Test deg selv]

== Operasjonenesrekkefølge ==

Dersom man har en ligning med både brøk og parentes kan den løses etter følgende oppskrift:
<div style="padding: 1em; border: 1px blue; background-color: #C9EFF8;">
<ul>
<li>multipliser ut parentesene </li>
<li>sett parenteser rundt brøker med negative fortegn, dersom de har flere ledd i teller </li>
<li>fjern brøkene ved å multiplisere alle ledd på begge sider av likhetstegnet med minste felles multiplum</li>
<li>flytt og bytt slik at alle x ledd kommer på venstre side og alle ledd uten x på høyre side
trekk sammen </li>
<li>divider begge sider på koeffisienten foran x</li>
</ul>
</div>

----

[[Ungdomstrinn Hovedside | Tilbake til Ungdomstrinn Hovedside]]<p></p>
[[Hovedside| Tilbake til hovedside]]

[[Kategori:Algebra]]
[[Kategori:1T]]
[[Kategori:U - trinn]]
[[Kategori:Ped]]