Potenslikninger - Sideversjonshistorikk

Toba: Retting og polering. Overskriften bruker 'likning' og ikke 'ligning', så bruker dette konsekvent

2019-10-24T17:52:43Z

Retting og polering. Overskriften bruker 'likning' og ikke 'ligning', så bruker dette konsekvent

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 24. okt. 2019 kl. 17:52
Linje 1:		Linje 1:
	Med ~~potensligninger~~ menes ~~ligninger~~ som har et ledd med x som grunntall ~~og et tall som eksponent~~.		Med potenslikninger menes likninger som har et ledd med den ukjente x som grunntall i potenser.

	[[~~Andregradslikninger~~]] er ~~av denne typen~~, men det finnes også andre. Vi ser på noen spesielle tilfeller her.		Dersom potenseksponentene er heltall, sier vi at ''graden'' til likningen er lik den høyeste eksponenten til den ukjente i likningen.
			For eksempel vil en [[andregradslikning\|andregradslikninger]] ha som høyeste eksponent tallet 2.

			En andregradslikning er en potenslikning, men det finnes også andre typer. Vi ser på noen spesielle tilfeller her.


	== Likninger med ett ledd~~, eksponent~~ er heltall ==		== Likninger med ett ledd der eksponenten er heltall ==


	I sin enkleste form kan ~~ligningen~~ se slik ut:		I sin enkleste form kan likningen se slik ut:

	<math>x^3 = 8</math>		: <math>x^3 = 8</math>

	Løsningen på ~~ligningen~~ finnes ved å ta tredjeroten på begge sider. <br>		Løsningen på likningen finnes ved å ta tredjeroten på begge sider. <br>


	Dersom ~~ligningen~~ kun har ledd av samme grad, og disse er heltall løses ~~ligningen~~ ved å ordne den slik at x leddet kommer på venstre side og konstantleddet på høyre side av likhetstegnet. Man tar så roten på begge sider.		Dersom likningen kun har ledd av samme grad, og disse er heltall, løses likningen ved å ordne den slik at x-leddet kommer på venstre side og konstantleddet på høyre side av likhetstegnet. Man tar så roten på begge sider.

	<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
	<math> ax^n =b</math><br><br>		<math> ax^n =b</math><br><br>
	<math> x = \sqrt[n]{\frac ba}</math>		<math> x = \sqrt[n]{\frac ba}</math>
	<br><br>Dersom n er partall må man huske at ~~ligningen~~ har både en positiv og negativ løsning for x.		<br><br>Dersom n er partall må man huske at likningen har både en positiv og negativ løsning for x.
	</blockquote>		</blockquote>




Linje 49:		Linje 50:
	Det er mulig å løse [[tredje og fjerdegradslikninger]] analytisk. Det ligger langt utenfor pensum og vi skal ikke gjøre det her.		Det er mulig å løse [[tredje og fjerdegradslikninger]] analytisk. Det ligger langt utenfor pensum og vi skal ikke gjøre det her.

	Dersom ~~ligningen~~ består av flere ledd med ~~forskjellige grader~~ der høyeste grad er større enn to får vi normalt problemer med å løse ~~ligningen~~ (på videregående skolenivå). Det finnes enkelte unntak. Dersom vi har ~~ligningen~~:		Dersom likningen består av flere ledd med ulik grad, der høyeste grad er større enn to, så får vi normalt problemer med å løse likningen (på videregående skolenivå). Det finnes enkelte unntak. Dersom vi har likningen:

	~~x6- 6x3 – 16 = 0~~

	~~kan den løses ved å ”omforme” den til en andregradsligning. Vi setter u~~ = ~~x3 (kalles substitusjon) og får:~~		:<math>
			x^6- 6x^3 – 16 = 0,
			</math>

	~~u2 - 6u – 16~~ = 0		så kan den løses ved å ”omforme” den til en andregradslikning: Vi setter <math>u = x^3</math> (kalles substitusjon) og får:

	u = ~~8 V u = - 2~~		:<math>
			u^2 - 6u – 16 = 0 .
			</math>

	Nå går man tilbake til substitusjonen og får		Denne likningen har løsninger u = 8 og u = -2 Nå går man tilbake til substitusjonen og får

	x3 = 8 eller x3 = - 2		:$x^3 = 8$ eller $x^3 = - 2$.

	x = 2 eller x = - 1,26		For den ukjente x gir dette x = 2 eller x = - 1,26.

	~~Så langt har vi sett på potensligninger der eksponenten er et heltall. Det er ikke alltid tilfellet.~~

	== Eksponenten som desimaltall ==		== Eksponenten som desimaltall ==

			Så langt har vi sett på potenslikninger der eksponenten er et heltall. Det er ikke alltid tilfellet.
			Vi kan for eksempel ha en likning som denne:

	~~Vi kan for eksempel ha en ligning som denne~~:		: <math> x^{1,27} = 3 </math>

	~~<math> x^{1,27} = 3 </math>~~		Her observerer vi at eksponenten er et desimaltall. likningen løses ved å anvende reglene for potensregning.

	~~Her observerer vi at eksponenten er et desimaltall. Ligningen løses ved å anvende reglene for potensregning.~~		<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">

	~~<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">~~		\[
	~~<math>~~ x^{1,27} = 3 ~~</math><br><br>~~		\begin{aligned}
	~~<math>~~ x^{\frac{1,27}{1}}=x^{\frac{127}{100}} = 3 ~~</math><br><br>~~		x^{1,27} &= 3 \\
	~~<math>~~ (x^{\frac{127}{100}})^{\frac{100}{127} = 3^{\frac{100}{127} ~~</math><br><br>~~		x^{\frac{1,27}{1}} &= x^{\frac{127}{100}} = 3 \\
	~~<math>~~ x = 2,37 ~~</math><br><br>~~		(x^{\frac{127}{100}})^{\frac{100}{127}} &= 3^{\frac{100}{127}} \\
			x &= 2,37
			\end{aligned}
			\]

	</blockquote>		</blockquote>

Vaktmester: Teksterstatting – «» til «»

2013-02-05T20:59:05Z

Teksterstatting – «</tex>» til «</math>»

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:59
Linje 9:		Linje 9:
	I sin enkleste form kan ligningen se slik ut:		I sin enkleste form kan ligningen se slik ut:

	<math>x^3 = 8</~~tex~~>		<math>x^3 = 8</math>

	Løsningen på ligningen finnes ved å ta tredjeroten på begge sider. <br>		Løsningen på ligningen finnes ved å ta tredjeroten på begge sider. <br>
Linje 17:		Linje 17:

	<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
	<math> ax^n =b</~~tex~~><br><br>		<math> ax^n =b</math><br><br>
	<math> x = \sqrt[n]{\frac ba}</~~tex~~>		<math> x = \sqrt[n]{\frac ba}</math>
	<br><br>Dersom n er partall må man huske at ligningen har både en positiv og negativ løsning for x.		<br><br>Dersom n er partall må man huske at ligningen har både en positiv og negativ løsning for x.
	</blockquote>		</blockquote>
Linje 27:		Linje 27:
	Eks:<br>		Eks:<br>
	<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
	<math> 3x^6 + x^6 - 4 = 252</~~tex~~><br><br>		<math> 3x^6 + x^6 - 4 = 252</math><br><br>
	<math> 4x^6 = 256</~~tex~~><br><br>		<math> 4x^6 = 256</math><br><br>
	<math> 4x^6 = 256</~~tex~~><br><br>		<math> 4x^6 = 256</math><br><br>
	<math> x^6 = 64</~~tex~~><br><br>		<math> x^6 = 64</math><br><br>
	<math> x = \pm \sqrt[6]{64}</~~tex~~><br><br>		<math> x = \pm \sqrt[6]{64}</math><br><br>
	<math> x = \pm 2</~~tex~~><br><br>		<math> x = \pm 2</math><br><br>
	</blockquote><br>		</blockquote><br>


	<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
	<math> x^6 + 6x^3 - 16 = 0</~~tex~~><br><br>		<math> x^6 + 6x^3 - 16 = 0</math><br><br>
	<math> u = x^3</~~tex~~> <br><br>		<math> u = x^3</math> <br><br>
	<math> u^2 + 6u - 16 = 0</~~tex~~> <br><br>		<math> u^2 + 6u - 16 = 0</math> <br><br>
	<math> u = 8 \qquad \vee \qquad u = -2</~~tex~~> <br><br>		<math> u = 8 \qquad \vee \qquad u = -2</math> <br><br>
	<math> x^3 = 8 \qquad \vee \qquad x^3 = -2</~~tex~~><br><br>		<math> x^3 = 8 \qquad \vee \qquad x^3 = -2</math><br><br>
	<math> x = 2 \qquad \vee \qquad x = -1,26</~~tex~~><br><br>		<math> x = 2 \qquad \vee \qquad x = -1,26</math><br><br>
	</blockquote>		</blockquote>

Linje 72:		Linje 72:
	Vi kan for eksempel ha en ligning som denne:		Vi kan for eksempel ha en ligning som denne:

	<math> x^{1,27} = 3 </~~tex~~>		<math> x^{1,27} = 3 </math>

	Her observerer vi at eksponenten er et desimaltall. Ligningen løses ved å anvende reglene for potensregning.		Her observerer vi at eksponenten er et desimaltall. Ligningen løses ved å anvende reglene for potensregning.

	<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
	<math> x^{1,27} = 3 </~~tex~~><br><br>		<math> x^{1,27} = 3 </math><br><br>
	<math> x^{\frac{1,27}{1}}=x^{\frac{127}{100}} = 3 </~~tex~~><br><br>		<math> x^{\frac{1,27}{1}}=x^{\frac{127}{100}} = 3 </math><br><br>
	<math> (x^{\frac{127}{100}})^{\frac{100}{127} = 3^{\frac{100}{127} </~~tex~~><br><br>		<math> (x^{\frac{127}{100}})^{\frac{100}{127} = 3^{\frac{100}{127} </math><br><br>
	<math> x = 2,37 </~~tex~~><br><br>		<math> x = 2,37 </math><br><br>

	</blockquote>		</blockquote>

Vaktmester: Teksterstatting – «» til « $»$

2013-02-05T20:57:49Z

Teksterstatting – «<tex>» til «<math>»

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:57
Linje 9:		Linje 9:
	I sin enkleste form kan ligningen se slik ut:		I sin enkleste form kan ligningen se slik ut:

	<~~tex~~>x^3 = 8</tex>		<math>x^3 = 8</tex>

	Løsningen på ligningen finnes ved å ta tredjeroten på begge sider. <br>		Løsningen på ligningen finnes ved å ta tredjeroten på begge sider. <br>
Linje 17:		Linje 17:

	<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
	<~~tex~~> ax^n =b</tex><br><br>		<math> ax^n =b</tex><br><br>
	<~~tex~~> x = \sqrt[n]{\frac ba}</tex>		<math> x = \sqrt[n]{\frac ba}</tex>
	<br><br>Dersom n er partall må man huske at ligningen har både en positiv og negativ løsning for x.		<br><br>Dersom n er partall må man huske at ligningen har både en positiv og negativ løsning for x.
	</blockquote>		</blockquote>
Linje 27:		Linje 27:
	Eks:<br>		Eks:<br>
	<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
	<~~tex~~> 3x^6 + x^6 - 4 = 252</tex><br><br>		<math> 3x^6 + x^6 - 4 = 252</tex><br><br>
	<~~tex~~> 4x^6 = 256</tex><br><br>		<math> 4x^6 = 256</tex><br><br>
	<~~tex~~> 4x^6 = 256</tex><br><br>		<math> 4x^6 = 256</tex><br><br>
	<~~tex~~> x^6 = 64</tex><br><br>		<math> x^6 = 64</tex><br><br>
	<~~tex~~> x = \pm \sqrt[6]{64}</tex><br><br>		<math> x = \pm \sqrt[6]{64}</tex><br><br>
	<~~tex~~> x = \pm 2</tex><br><br>		<math> x = \pm 2</tex><br><br>
	</blockquote><br>		</blockquote><br>


	<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
	<~~tex~~> x^6 + 6x^3 - 16 = 0</tex><br><br>		<math> x^6 + 6x^3 - 16 = 0</tex><br><br>
	<~~tex~~> u = x^3</tex> <br><br>		<math> u = x^3</tex> <br><br>
	<~~tex~~> u^2 + 6u - 16 = 0</tex> <br><br>		<math> u^2 + 6u - 16 = 0</tex> <br><br>
	<~~tex~~> u = 8 \qquad \vee \qquad u = -2</tex> <br><br>		<math> u = 8 \qquad \vee \qquad u = -2</tex> <br><br>
	<~~tex~~> x^3 = 8 \qquad \vee \qquad x^3 = -2</tex><br><br>		<math> x^3 = 8 \qquad \vee \qquad x^3 = -2</tex><br><br>
	<~~tex~~> x = 2 \qquad \vee \qquad x = -1,26</tex><br><br>		<math> x = 2 \qquad \vee \qquad x = -1,26</tex><br><br>
	</blockquote>		</blockquote>

Linje 72:		Linje 72:
	Vi kan for eksempel ha en ligning som denne:		Vi kan for eksempel ha en ligning som denne:

	<~~tex~~> x^{1,27} = 3 </tex>		<math> x^{1,27} = 3 </tex>

	Her observerer vi at eksponenten er et desimaltall. Ligningen løses ved å anvende reglene for potensregning.		Her observerer vi at eksponenten er et desimaltall. Ligningen løses ved å anvende reglene for potensregning.

	<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
	<~~tex~~> x^{1,27} = 3 </tex><br><br>		<math> x^{1,27} = 3 </tex><br><br>
	<~~tex~~> x^{\frac{1,27}{1}}=x^{\frac{127}{100}} = 3 </tex><br><br>		<math> x^{\frac{1,27}{1}}=x^{\frac{127}{100}} = 3 </tex><br><br>
	<~~tex~~> (x^{\frac{127}{100}})^{\frac{100}{127} = 3^{\frac{100}{127} </tex><br><br>		<math> (x^{\frac{127}{100}})^{\frac{100}{127} = 3^{\frac{100}{127} </tex><br><br>
	<~~tex~~> x = 2,37 </tex><br><br>		<math> x = 2,37 </tex><br><br>

	</blockquote>		</blockquote>

Administrator: /* Eksponenten som desimaltall */

2011-02-01T03:14:45Z

Eksponenten som desimaltall

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 1. feb. 2011 kl. 03:14
Linje 83:		Linje 83:

	</blockquote>		</blockquote>

			----

			[[1T Hovedside\|Tilbake til 1T Hovedside]]<p></p>
			[[Hovedside]]
			[[Category:Algebra]][[Category:1T]][[Category:Ped]]

Administrator: /* Likninger med ett ledd, eksponent er heltall */

2010-01-24T15:28:16Z

Likninger med ett ledd, eksponent er heltall

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 24. jan. 2010 kl. 15:28
Linje 40:		Linje 40:
	<tex> u = x^3</tex> <br><br>		<tex> u = x^3</tex> <br><br>
	<tex> u^2 + 6u - 16 = 0</tex> <br><br>		<tex> u^2 + 6u - 16 = 0</tex> <br><br>
	<tex> u = 8 \qquad \vee \qquad u = -2</tex>		<tex> u = 8 \qquad \vee \qquad u = -2</tex> <br><br>
	<tex> x^3 = 8 \qquad \vee \qquad x^3 = -2</tex>		<tex> x^3 = 8 \qquad \vee \qquad x^3 = -2</tex><br><br>
	<tex> x = 2 \qquad \vee \qquad x = -1,26</tex>		<tex> x = 2 \qquad \vee \qquad x = -1,26</tex><br><br>
	</blockquote>		</blockquote>

Administrator: /* Likninger med ett ledd, eksponent er heltall */

2010-01-24T15:27:07Z

Likninger med ett ledd, eksponent er heltall

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 24. jan. 2010 kl. 15:27
Linje 40:		Linje 40:
	<tex> u = x^3</tex> <br><br>		<tex> u = x^3</tex> <br><br>
	<tex> u^2 + 6u - 16 = 0</tex> <br><br>		<tex> u^2 + 6u - 16 = 0</tex> <br><br>
	<tex> u = 8 \vee u = -2</tex>		<tex> u = 8 \qquad \vee \qquad u = -2</tex>
			<tex> x^3 = 8 \qquad \vee \qquad x^3 = -2</tex>
			<tex> x = 2 \qquad \vee \qquad x = -1,26</tex>
	</blockquote>		</blockquote>

Administrator: /* Likninger med ett ledd, eksponent er heltall */

2010-01-24T15:23:15Z

Likninger med ett ledd, eksponent er heltall

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 24. jan. 2010 kl. 15:23
Linje 38:		Linje 38:
	<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
	<tex> x^6 + 6x^3 - 16 = 0</tex><br><br>		<tex> x^6 + 6x^3 - 16 = 0</tex><br><br>
	<tex> u = x^3</tex>		<tex> u = x^3</tex> <br><br>
	<tex> u^2 + 6u - 16 = 0</tex><br><br>		<tex> u^2 + 6u - 16 = 0</tex> <br><br>
	<tex> x = \~~sqrt[n]{\frac ba}~~</tex>		<tex> u = 8 \vee u = -2</tex>
	</blockquote>		</blockquote>

Administrator: /* Likninger med ett ledd, eksponent er heltall */

2010-01-24T15:17:35Z

Likninger med ett ledd, eksponent er heltall

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 24. jan. 2010 kl. 15:17
Linje 37:		Linje 37:

	<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">		<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
	<tex> ax^n =b</tex><br><br>		<tex> x^6 + 6x^3 - 16 = 0</tex><br><br>
	<tex> x = ~~\sqrt[n]{\frac ba}~~</tex>		<tex> u = x^3</tex>
			<tex> u^2 + 6u - 16 = 0</tex><br><br>
	<tex> x = \sqrt[n]{\frac ba}</tex>		<tex> x = \sqrt[n]{\frac ba}</tex>
	</blockquote>		</blockquote>

Administrator: /* Eksponenten som desimaltall */

2010-01-24T15:09:39Z

Eksponenten som desimaltall

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 24. jan. 2010 kl. 15:09
Linje 69:		Linje 69:
	Vi kan for eksempel ha en ligning som denne:		Vi kan for eksempel ha en ligning som denne:

	<tex> x^1,27 = 3 </tex>		<tex> x^{1,27} = 3 </tex>

	Her observerer vi at eksponenten er et desimaltall. Ligningen løses ved å anvende reglene for potensregning.		Her observerer vi at eksponenten er et desimaltall. Ligningen løses ved å anvende reglene for potensregning.

Administrator: /* Eksponenten som desimaltall */

2010-01-24T15:08:56Z

Eksponenten som desimaltall

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 24. jan. 2010 kl. 15:08
Linje 69:		Linje 69:
	Vi kan for eksempel ha en ligning som denne:		Vi kan for eksempel ha en ligning som denne:

	x 1,27 = 3		<tex> x^1,27 = 3 </tex>

	Her observerer vi at eksponenten er et desimaltall. Ligningen løses ved å anvende reglene for potensregning.		Her observerer vi at eksponenten er et desimaltall. Ligningen løses ved å anvende reglene for potensregning.