S2 2014 høst LØSNING - Sideversjonshistorikk

Maavan: /* d) */

2015-05-17T21:30:02Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 17. mai 2015 kl. 21:30
Linje 504:		Linje 504:

	=== d) ===		=== d) ===

			Vi må finne $z$ slik at $P(Z>z)=0,90$. Så kan vi bruke omregningsformelen til få finne $\mu$.

			$P(Z>z)=0,90$ er det samme som at $ P(Z<z)=0,10 $.

			Vi finner denne verdien i tabellen for standard normalfordeling.

			$z=-1,28$ gir den verdien som er nærmest 0,10.

			$$ z = \frac{x-\mu}{\sigma} \\
			-1,28 = \frac{0,32-\mu}{0,03}$$

			Løser likningen vha. CAS:

			[[File:S2-H14-Del2-Oppg6d.png]]

			Forventningsverdien må være 0,36 liter for at ca. 90 % av kartongene skal inneholde mer enn 0,32 liter juice.

2015-05-17T21:11:47Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 17. mai 2015 kl. 21:11
Linje 475:		Linje 475:

	=== c) ===		=== c) ===

			Jeg setter opp hypoteser:

			$H_0: \mu=0,33 \quad$ (Innholdet er riktig)

			$H_1: \mu<0,33 \quad$ (Innholdet er for lite)

			Vi har testet 25 tilfeldige kartonger, med $\bar{x}=0,292$ liter.

			Da er samla innhold for de 25 kartongene: $25 \cdot 0,292$ liter $=7,3$ liter.

			Vi går ut fra at $H_0$ gjelder.
			Vi lar $X_\Sigma$ være summen av innholdet til 25 tilfeldige kartonger.

			Da er $X_\Sigma$ normalfordelt, med
			$\mu_{X_\Sigma}= n \cdot \mu = 25 \cdot 0,33= 8,25$ og
			$\sigma_{X_\Sigma}= \sqrt{n} \cdot \sigma = \sqrt{25} \cdot 0,03 = 0,15 $

			Vi ønsker nå å finne sannsynligheten for at samla innhold til 25 kartonger er mindre enn 7,3 liter, $P(X_\Sigma < 7,3)$.
			Jeg bruker sannsynlighetskalkulator i GeoGebra:

			[[File:S2-H14-Del2-Oppg6c.png]]

			P-verdien blir $P(X_\Sigma ≤ 7,3)=0 $

			P-verdien er $0 \% < 5 \%$. Da kan vi forkaste nullhypotesen.
			Vi har grunnlag for å si at bedriften i snitt tapper for lite juice på kartongene.

	=== d) ===		=== d) ===

2015-05-17T20:56:39Z

Oppgave 6

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 17. mai 2015 kl. 20:56
Linje 454:		Linje 454:

	== Oppgave 6 ==		== Oppgave 6 ==

			=== a) ===
			Jeg bruker sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra.
			Jeg velger "Normalfordeling", og skriver inn "$\mu=0.33$" og "$\sigma=0.03$".

			[[File:S2-H14-Del2-Oppg6a.png]]

			Jeg finner at $P(X>0,36)=0,1587$.

			Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt kartong inneholder mer enn 0,36 liter er 15,9 %.

			=== b) ===
			Jeg fortsetter med sannsynlighetskalkulatoren:

			[[File:S2-H14-Del2-Oppg6b.png]]

			Jeg finner nå at $P(0,32<X<0,34)=0,2611$.

			26,1 % av kartongene vil inneholde mellom 0,32 og 0,34 liter.

			=== c) ===

			=== d) ===

2015-05-17T20:43:07Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 17. mai 2015 kl. 20:43
Linje 434:		Linje 434:

	=== c)===		=== c)===

			Vi kan se at $T_n=1+2+3+\cdots + n$ er summen av en aritmetisk rekke, med $a_1 =1$, $a_n=n$ og $d=1$.

			Da kan vi bruke formel for sum av en aritmetisk rekke til å skrive $T_n$ på en annen måte:

			$$T_n = \frac{a_1+a_n}{2} \cdot n = \frac{1+n}{2} \cdot n = \frac{(1+n)n}{2} = \frac{n^2+n}{2}$$

			Vi bruker uttrykket for $T_n$ til å finne et uttrykk for $T_{n+3}$:

			$$T_{n+3}= \frac{1+(n+3)}{2} \cdot (n+3) = \frac{(n+4)(n+3)}{2} = \frac{n^2+7n+12}{2} $$

			Da får vi:

			$$B_n = T_n + T_{n+3} -3
			= \frac{n^2+n}{2} + \frac{n^2+7n+12}{2} -3
			= \frac{n^2+n+n^2+7n+12-6}{2}
			= \frac{2n^2 +8n +6 }{2}
			= n^2 +4n +3$$

	== Oppgave 6 ==		== Oppgave 6 ==

2015-05-17T20:19:18Z

Oppgave 5

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 17. mai 2015 kl. 20:19
Linje 414:		Linje 414:

	== Oppgave 5 ==		== Oppgave 5 ==

			=== a)===

			$B_4=35$

			=== b)===

			$$B_n =T_n + T_{n+3} -3 \\
			B_5 = T_5 +T_8 -3 $$

			$$T_n = 1 + 2 + 3 + \cdots n = \sum_1^n n$$

			Jeg bruker CAS til å regne ut dette:

			[[File:S2-H14-Del2-Oppg5b.png]]

			$B_5 = 48 $


			=== c)===

	== Oppgave 6 ==		== Oppgave 6 ==

2015-05-17T19:54:53Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 17. mai 2015 kl. 19:54
Linje 406:		Linje 406:

	=== d) ===		=== d) ===

			Jeg bruker CAS i GeoGebra til å regne ut det bestemte integralet av $V(t)$ mellom $t=0$ og $t=85$.

			[[File:S2-H14-Del2-Oppg4d.png]]

			Den totale produksjonen av olje fra om med 1930 til og med 2014 vil være 665,78 milliarder fat.

	== Oppgave 5 ==		== Oppgave 5 ==

	== Oppgave 6 ==		== Oppgave 6 ==

2015-05-17T19:41:08Z

Oppgave 4

@@ Linje 387: / Linje 387: @@
 == Oppgave 4 ==
 == Oppgave 5 ==
 == Oppgave 6 ==

2015-05-14T21:46:31Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 14. mai 2015 kl. 21:46
Linje 367:		Linje 367:

	===b)===		===b)===

			Dersom Katrine ikke hadde tatt ut 8000 kr hvert år, hadde hun 31. desember 2014 hatt:

			$87249 \cdot 1,03^4 = 98200$ kr på kontoen.

			Nå kan vi finne ut hva de 4 uttakene på 8000 kr hvert år hadde forrentet seg til dersom hun hadde spart de.

			Summen av sluttverdiene blir:

			$8000 \cdot 1,03 + 8000 \cdot 1,03^2 + 8000 \cdot 1,03^3 + 8000 \cdot 1,03^4 $

			Dette er en geometriske rekke. $a_1=8000 \cdot 1,03 $ og $k=1,03$.

			Jeg bruker sumformelen og regner ut summen vha. CAS:

			[[File:S2-H14-Del2-Oppg3b.png]]

			31. desember 2014 har Katrine 63726 kr på sparekontoen.

	== Oppgave 4 ==		== Oppgave 4 ==

2015-05-14T21:10:32Z

Oppgave 3

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 14. mai 2015 kl. 21:10
Linje 346:		Linje 346:

	== Oppgave 3 ==		== Oppgave 3 ==

			===a)===

			Summen av sluttverdiane blir:

			$20000 \cdot 1,035 + 20000 \cdot 1,035^2+ 20000 \cdot 1,035^3+ 20000 \cdot 1,035^4$

			Dette er en geometrisk rekke med 4 ledd.

			$a_1 = 20000 \cdot 1,035 $ og $k=1,035$.

			Jeg bruker sumformelen og regner ut vha. CAS

			$S_4 = a_1 \cdot \frac{k^4-1}{k-1} $

			[[File:S2-H14-Del2-Oppg3a.png]]

			31. desember 2010 hadde Katrine 87249 kr på sparekontoen.


			===b)===

	== Oppgave 4 ==		== Oppgave 4 ==

2015-05-14T20:53:10Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 14. mai 2015 kl. 20:53
Linje 328:		Linje 328:

	=== b) ===		=== b) ===

			Gjerdet har kortest mulig lengde, når funksjonen $G(x)$ har et bunnpunkt.

			Jeg løser likningen $G'(x)=0$ i CAS:

			[[File:S2-H14-Del2-Oppg2b.png]]

			Bare den positive løsningen kan brukes (et gjerde kan ikke ha negativ lengde).

			Gjerdet har kortest mulig lengde når $x=25$.
			Da er er gjerdet 85 meter langt.

			Fra oppg. a) vet vi at $y=\frac{625}{x}$.
			Det gir $y=25$.

			Vi ser at $x=y$. Da er området kvadratisk.

	== Oppgave 3 ==		== Oppgave 3 ==