Vektorfelt - Sideversjonshistorikk

Administrator: /* Gauss' teorem (Divergensteoremet) */

2025-02-26T08:46:42Z

Gauss' teorem (Divergensteoremet)

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 26. feb. 2025 kl. 08:46
Linje 289:		Linje 289:
	* ''V'' er et lukket volum i rommet		* ''V'' er et lukket volum i rommet
	* ''S'' er randflaten til ''V'', orientert utover		* ''S'' er randflaten til ''V'', orientert utover
	* ''\mathbf{F}'' er et vektorfelt med kontinuerlige deriverte		* ''$\mathbf{F}$'' er et vektorfelt med kontinuerlige deriverte
	* <math> d\mathbf{S} </math> er enhetsnormalen til flaten		* <math> d\mathbf{S} </math> er enhetsnormalen til flaten

Administrator: /* Greens teorem */

2025-02-26T08:24:29Z

Greens teorem

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 26. feb. 2025 kl. 08:24
Linje 159:		Linje 159:
	* <math> \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} </math> er rotasjonen til vektorfeltet		* <math> \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} </math> er rotasjonen til vektorfeltet

	Greens teorem har mange anvendelser i fysikk og ingeniørfag, inkludert beregning av arealer, fluidstrøm og elektromagnetisme.		Greens teorem har mange anvendelser i fysikk og ingeniørfag, inkludert beregning av arealer, fluidstrøm og elektromagnetisme.

	== Eksempel 1: Beregning av et kurveintegral ==		== Eksempel 1: Beregning av et kurveintegral ==

Administrator: /* Referanser */

2025-02-26T08:24:05Z

Referanser

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 26. feb. 2025 kl. 08:24
Linje 276:		Linje 276:
	Dette er prinsippet bak elektriske generatorer.		Dette er prinsippet bak elektriske generatorer.

	== Referanser ==		''Referanser''
	* Stewart, J. (2015). ''Calculus''. Cengage Learning.		* Stewart, J. (2015). ''Calculus''. Cengage Learning.
	* Marsden, J. & Tromba, A. (2003). ''Vector Calculus''. W. H. Freeman.		* Marsden, J. & Tromba, A. (2003). ''Vector Calculus''. W. H. Freeman.

Administrator: /* Gauss' teorem (Divergensteoremet) */

2025-02-26T08:22:32Z

Gauss' teorem (Divergensteoremet)

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 26. feb. 2025 kl. 08:22
Linje 281:		Linje 281:


	== Gauss' teorem (Divergensteoremet) ==		==== Gauss' teorem (Divergensteoremet) ====
	Gauss' teorem, også kjent som divergensteoremet, relaterer flateintegralet av et vektorfelt over en lukket flate til volumintegralet av divergensen til feltet inni flaten. Det uttrykkes som:		Gauss' teorem, også kjent som divergensteoremet, relaterer flateintegralet av et vektorfelt over en lukket flate til volumintegralet av divergensen til feltet inni flaten. Det uttrykkes som:

Administrator: /* Eksempel 1: Beregning av en fluks ved hjelp av Gauss' teorem */

2025-02-26T08:21:45Z

Eksempel 1: Beregning av en fluks ved hjelp av Gauss' teorem

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 26. feb. 2025 kl. 08:21
Linje 294:		Linje 294:
	Teoremet brukes i væskedynamikk, elektromagnetisme (Gauss' lov for elektrisitet og magnetisme) og termodynamikk.		Teoremet brukes i væskedynamikk, elektromagnetisme (Gauss' lov for elektrisitet og magnetisme) og termodynamikk.

	== Eksempel 1: Beregning av en fluks ved hjelp av Gauss' teorem ==		'''Eksempel 1: Beregning av en fluks ved hjelp av Gauss' teorem '''


	Gitt vektorfeltet:		Gitt vektorfeltet:

Linje 319:		Linje 321:

	'''Eksempel 2: Gauss' teorem i elektromagnetisme'''		'''Eksempel 2: Gauss' teorem i elektromagnetisme'''


	Gauss' teorem brukes i Gauss' lov for elektriske felt, som sier at den totale elektriske fluksen gjennom en lukket flate er proporsjonal med den totale ladningen inni:		Gauss' teorem brukes i Gauss' lov for elektriske felt, som sier at den totale elektriske fluksen gjennom en lukket flate er proporsjonal med den totale ladningen inni:

Administrator: /* Eksempel 2: Gauss' teorem i elektromagnetisme */

2025-02-26T07:41:13Z

Eksempel 2: Gauss' teorem i elektromagnetisme

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 26. feb. 2025 kl. 07:41
Linje 318:		Linje 318:
	:<math> \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = 4\pi </math>		:<math> \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = 4\pi </math>

	== Eksempel 2: Gauss' teorem i elektromagnetisme ==		'''Eksempel 2: Gauss' teorem i elektromagnetisme'''
	Gauss' teorem brukes i Gauss' lov for elektriske felt, som sier at den totale elektriske fluksen gjennom en lukket flate er proporsjonal med den totale ladningen inni:		Gauss' teorem brukes i Gauss' lov for elektriske felt, som sier at den totale elektriske fluksen gjennom en lukket flate er proporsjonal med den totale ladningen inni:

Administrator: /* Referanser */

2025-02-26T07:38:59Z

Referanser

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 26. feb. 2025 kl. 07:38
Linje 279:		Linje 279:
	* Stewart, J. (2015). ''Calculus''. Cengage Learning.		* Stewart, J. (2015). ''Calculus''. Cengage Learning.
	* Marsden, J. & Tromba, A. (2003). ''Vector Calculus''. W. H. Freeman.		* Marsden, J. & Tromba, A. (2003). ''Vector Calculus''. W. H. Freeman.


			== Gauss' teorem (Divergensteoremet) ==
			Gauss' teorem, også kjent som divergensteoremet, relaterer flateintegralet av et vektorfelt over en lukket flate til volumintegralet av divergensen til feltet inni flaten. Det uttrykkes som:

			:<math> \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) dV = \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} </math>

			hvor:
			* ''V'' er et lukket volum i rommet
			* ''S'' er randflaten til ''V'', orientert utover
			* ''\mathbf{F}'' er et vektorfelt med kontinuerlige deriverte
			* <math> d\mathbf{S} </math> er enhetsnormalen til flaten

			Teoremet brukes i væskedynamikk, elektromagnetisme (Gauss' lov for elektrisitet og magnetisme) og termodynamikk.

			== Eksempel 1: Beregning av en fluks ved hjelp av Gauss' teorem ==
			Gitt vektorfeltet:

			:<math> \mathbf{F} = (x, y, z) </math>

			Beregn fluksen av <math> \mathbf{F} </math> ut av enhetskulen <math> x^2 + y^2 + z^2 \leq 1 </math> ved hjelp av Gauss' teorem.

			'''Løsning:'''
			Først finner vi divergensen:

			:<math> \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 1 + 1 + 1 = 3 </math>

			Volumintegralet blir:

			:<math> \iiint_V 3 \, dV </math>

			Volumet av enhetskulen er <math> \frac{4}{3} \pi (1)^3 = \frac{4}{3} \pi </math>, så:

			:<math> \iiint_V 3 \, dV = 3 \times \frac{4}{3} \pi = 4\pi </math>

			Ifølge Gauss' teorem er fluksen ut av overflaten:

			:<math> \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = 4\pi </math>

			== Eksempel 2: Gauss' teorem i elektromagnetisme ==
			Gauss' teorem brukes i Gauss' lov for elektriske felt, som sier at den totale elektriske fluksen gjennom en lukket flate er proporsjonal med den totale ladningen inni:

			:<math> \iint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{Q_{\text{inn}}}{\varepsilon_0} </math>

			hvor <math> Q_{\text{inn}} </math> er ladningen inni flaten og <math> \varepsilon_0 </math> er permittiviteten i vakuum.

			For en punktladning <math> Q </math> plassert i origo, er det elektriske feltet:

			:<math> \mathbf{E} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \hat{\mathbf{r}} </math>

			Bruker en kuleflate av radius <math> r </math> som integrasjonsflate:

			:<math> \iint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \times 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0} </math>

			Dette bekrefter Gauss' lov.

			== Referanser ==
			* Stewart, J. (2015). ''Calculus''. Cengage Learning.
			* Griffiths, D. J. (2017). ''Introduction to Electrodynamics''. Cambridge University Press.

Administrator: /* Referanser */

2025-02-26T07:33:52Z

Referanser

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 26. feb. 2025 kl. 07:33
Linje 222:		Linje 222:

	---		---
			== Stokes' teorem ==
			Stokes' teorem generaliserer Greens teorem til tredimensjonale flater. Det relaterer linjeintegralet av et vektorfelt langs en lukket kurve ''C'' til flateintegralet av rotasjonen (curl) av vektorfeltet over en flate ''S'' som har ''C'' som rand:

			:<math> \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} </math>

			hvor:
			* ''C'' er en lukket kurve som er randen til en flate ''S''
			* ''\mathbf{F}'' er et vektorfelt med kontinuerlige førsteordensderiverte
			* ''d\mathbf{S}'' er enhetsnormalvektoren til ''S''

			Stokes' teorem brukes i fysikk og ingeniørfag, spesielt i elektromagnetisme og fluidmekanikk.

			== Eksempel 1: Beregning av et kurveintegral med Stokes' teorem ==
			Vi bruker Stokes' teorem til å evaluere:

			:<math> \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} </math>

			hvor <math> \mathbf{F} = (y, -x, z) </math>, og ''C'' er sirkelen <math> x^2 + y^2 = 1 </math> i planet <math> z = 0 </math>, orientert mot klokken.

			'''Løsning:'''
			Vi beregner rotasjonen av <math> \mathbf{F} </math>:

			:<math> \nabla \times \mathbf{F} =
			\begin{vmatrix}
			\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
			\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
			y & -x & z
			\end{vmatrix}
			= (0,0,-2)
			</math>

			Flaten ''S'' er sirkelskiven <math> x^2 + y^2 \leq 1 </math> i planet <math> z = 0 </math>, med enhetsnormal <math> \mathbf{n} = (0,0,1) </math>.

			Flateintegralet blir:

			:<math> \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \iint_S (-2) dS = -2 \iint_S dS </math>

			Arealet til sirkelen er <math> \pi(1)^2 = \pi </math>, så:

			:<math> \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = -2\pi </math>

			== Eksempel 2: Stokes' teorem i elektromagnetisme ==
			Stokes' teorem brukes i Maxwells ligninger, spesielt for å relatere elektriske og magnetiske felter:

			:<math> \oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{r} = -\iint_S \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \cdot d\mathbf{S} </math>

			Dette viser at et tidsvarierende magnetfelt <math> \mathbf{B} </math> skaper et sirkulerende elektrisk felt <math> \mathbf{E} </math>, som er grunnlaget for induksjonsprinsippet.

			Et praktisk eksempel er en ledersløyfe med en tidsvarierende magnetisk fluks. Ifølge Faradays lov:

			:<math> \oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{r} = -\frac{d\Phi_B}{dt} </math>

			Dette er prinsippet bak elektriske generatorer.

			== Referanser ==
			* Stewart, J. (2015). ''Calculus''. Cengage Learning.
			* Marsden, J. & Tromba, A. (2003). ''Vector Calculus''. W. H. Freeman.

Administrator på 26. feb. 2025 kl. 07:30

2025-02-26T07:30:24Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 26. feb. 2025 kl. 07:30
Linje 149:		Linje 149:

	-----------------------------		-----------------------------
			==== Greens teorem ====
			Greens teorem er et fundamentalt resultat i vektorkalkulus som relaterer et kurveintegral rundt en lukket kurve til et dobbeltintegral over området den omslutter. Det sier at:

			:<math> \oint_C (Pdx + Qdy) = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA </math>

			hvor:
			* ''C'' er en lukket kurve som omgir området ''D''
			* ''P(x, y)'' og ''Q(x, y)'' er funksjoner med kontinuerlige førsteordensderiverte
			* <math> \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} </math> er rotasjonen til vektorfeltet

			Greens teorem har mange anvendelser i fysikk og ingeniørfag, inkludert beregning av arealer, fluidstrøm og elektromagnetisme.

			== Eksempel 1: Beregning av et kurveintegral ==
			Vi bruker Greens teorem til å beregne integralet:

			:<math> \oint_C (y^2dx + x^2dy) </math>

			hvor ''C'' er enhetsirkelen <math> x^2 + y^2 = 1 </math>.

			'''Løsning:'''
			Her har vi:

			:<math> P(x,y) = y^2, \quad Q(x,y) = x^2 </math>

			Vi beregner de partielle derivatene:

			:<math> \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^2) = 2x </math>
			:<math> \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (y^2) = 2y </math>

			Bruker Greens teorem:

			:<math> \oint_C (y^2dx + x^2dy) = \iint_D (2x - 2y) dA </math>

			I polarkoordinater:
			:<math> x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad dA = r \, dr \, d\theta </math>

			Grenser: <math> 0 \leq r \leq 1, \quad 0 \leq \theta \leq 2\pi </math>

			:<math> \iint_D (2r\cos\theta - 2r\sin\theta) r \, dr \, d\theta </math>

			Siden integralene over <math> \cos\theta </math> og <math> \sin\theta </math> over en hel sirkel gir null, får vi:

			:<math> \oint_C (y^2dx + x^2dy) = 0 </math>

			== Eksempel 2: Beregning av et areal ved hjelp av Greens teorem ==
			Greens teorem kan brukes til å finne arealet til et område ''D'' ved:

			:<math> A = \frac{1}{2} \oint_C (xdy - ydx) </math>

			Finn arealet av enhetsirkelen <math> x^2 + y^2 = 1 </math> ved hjelp av denne formelen.

			'''Løsning:'''
			Bruk Greens teorem med:

			:<math> P = -\frac{y}{2}, \quad Q = \frac{x}{2} </math>

			Vi beregner:

			:<math> \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{1}{2}, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{1}{2} </math>

			:<math> \iint_D \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) dA = \iint_D 1 \, dA </math>

			Arealet til sirkelen er:

			:<math> A = \iint_D dA = \pi(1)^2 = \pi </math>

			som forventet.

			== Referanser ==
			* Stewart, J. (2015). ''Calculus''. Cengage Learning.
			* Marsden, J. & Tromba, A. (2003). ''Vector Calculus''. W. H. Freeman.

	---		---

Administrator på 25. feb. 2025 kl. 08:40

2025-02-25T08:40:05Z

← Eldre sideversjon		Sideversjonen fra 25. feb. 2025 kl. 08:40
Linje 1:		Linje 1:

	En vektor er en størrelse som har en retning. Et eksempel på en vektor kan være kraften som overføres i en snor. Dersom vi har mange vektorer snakker man om et ~~vektor felt~~. Dersom alle vektorene har samme størrelse og retning sier man at feltet er '''homogent'''. Dersom vektorene har forskjellig lengde (styrke) og eventuelt også retning er feltet '''inhomogent'''. Et slikt felt er vist nedenfor og kan for eksempel illustrer vindforholdene et gitt sted ved et gitt tidspunkt.		En vektor er en størrelse som har en retning. Et eksempel på en vektor kan være kraften som overføres i en snor. Dersom vi har mange vektorer snakker man om et vektorfelt. Dersom alle vektorene har samme størrelse og retning sier man at feltet er '''homogent'''. Dersom vektorene har forskjellig lengde (styrke) og eventuelt også retning er feltet '''inhomogent'''. Et slikt felt er vist nedenfor og kan for eksempel illustrer vindforholdene et gitt sted ved et gitt tidspunkt.

	[[File:vektorfelt 13.05.24-1.png]]		[[File:vektorfelt 13.05.24-1.png]]