1T 2022 høst LK20 LØSNING

oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Oppgave 1

$tan\,u = \frac{motstående katet}{ hosliggende katet} = \frac 4 3$

$sin\,u = \frac{motstående katet}{ hypotenus} = \frac 4 5$

$cos\,u = \frac{ hosliggende katet}{ hypotenus} = \frac 3 5$

$ \frac{sin\,u}{ cos\,u} = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} =\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{3} = \frac{4}{3} = tan\,u $

hvilket skulle vises.

Oppgave 2

a)

Nullpunktene til f(x) er x=-4, x=2 og x=4.

Disse nullpunktene passer best med graf A.

b)

Dette er samme uttrykk som f(x) i oppgave a). Vi ser av tegninga til graf A, at f(x)>0 i intervallene $x \in \langle -4,2 \rangle$ og $x \in \langle 4,\rightarrow \rangle$

Oppgave 3

a)

Lars ønsker å bruke programmet til å skrive ut x verdier med tilhørende funksjonsverdi, fra x=8 til x=-8. Det går bra helt til x=2, da prøver programmet å dele på null, og gir feilmelding.

b)

Lars kan legge til en if-setning inni while-løkka, som dersom x=2, skriver ut at funksjonsverdien ikke er definert. For eksempel fra linje 7, inni while-løkka:

if x == 2:

$\quad$ print(x, "funksjonsverdien er ikke definert")

else:

$\quad$ print(x,f(x))

x=x-1

c)

Bruk en verditabell til å tegne punktene inn i et koordinatsystem (for hånd). Grafen til funksjonen skal se slik ut:

Oppgave 4

Den deriverte til en parabel vil være en rett linje.

$f'(-2)= 9$ og $f'(8) =-11$, Dette er punkter på grafen til den deriverte.

Vi er på jakt etter likningen y = ax + b og finner først a:

$a= \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 -y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-11-9}{8 - (-2)} = -2$

$y = -2x + b$

Så kan vi bruke punktet( 8, -11) og får

$-11 = -2 \cdot 8 + b$ gir b = 5

Desom vi bruker det andre punktet: $9 = -2 \cdot (-2) +b$ gir også b = 5.

Likningen til den deriverte blir y = -2x + 5

Oppgave 1

Oppgaven kan løses grafisk, eller i CAS. Her vist i CAS.

a)

Da er x null, så temperaturen blir da 3,5 + 34,5 = 38 grader celsius når strømmen slåes av.

Se linje 2 i CAS, T(0) er lik 38.

b)

Se linje 3 i CAS. Det vil ta ca. 5,3 timer før temperaturen er under 20 grader.

c)

Se linje 4 i CAS. Stigningstallet er ca. -3.68 grader per time, mellom 0 og 4 timer etter at strømmen blir slått av. Det vil si at temperaturen gjennomsnittlig synker med 3,68 grader per time i dette intervallet.

d)

Se linje 5 og 6 i CAS. Temperaturen synker ikke med mer enn 5 grader per time, etter at strømmen har blitt slått av. (Modellen T(x) gjelder kun for $x\geq 0$)

Den mest ekstreme momentane endringen er i starten, rett etter at strømmen blir slått av. Da er endringen - 4,8

e)

3,5 er temperaturen til omgivelsene.

Oppgave 2

Antalls treroms er x og antall toroms er y.

x + y = 40

3x+ 2y = 90

Multipliserer første likning med -2. Legger så sammen likningene og får

x = 10. Da er y= 30.

Det er altså 10 treroms og 30 toroms i bygården.

Alternativt kan du tenke at det er 40 leiligheter, og hvis alle var toroms, ville det vært 80 rom til sammen. Siden det er 90 rom til sammen, vet vi da at det er 10 treromsleiligheter. De andre 30 er toromsleiligheter.