Forskjell mellom versjoner av «Bevis for at kvadratroten av 2 er irrasjonal»
Fra Matematikk.net
(Ny side: Vi bruker teknikken med motsigelse. Dersom et tall er irrasjonalt kan vi ikke skrive det som en brøk. La oss prøve å skrive kvdratroten av to som en brøk der teller og nevner ikke ...) |
|||
Linje 5: | Linje 5: | ||
$ \sqrt 2 = \frac ab \\ 2 = \frac{a^2}{b^2} \\ 2b^2 = a^2$ | $ \sqrt 2 = \frac ab \\ 2 = \frac{a^2}{b^2} \\ 2b^2 = a^2$ | ||
+ | |||
+ | Det betyr at $a^2$ og a er delelig på 2. | ||
+ | |||
+ | Det betyr at a kan skrives som et tell, k, multiplisert med 2: | ||
+ | |||
+ | $a=2k$ | ||
+ | |||
+ | Innsatt for a i uttrykket $2b^2= a^2$ gir det | ||
+ | |||
+ | $2b^2=a^2 \\ 2b^2 = (2k)^2 \\ 2b^2= 4k^2 \\ b^2 =2k^2$ | ||
+ | Hvilket betyr at $b^2$ og b er delelig på 2. | ||
+ | |||
+ | Dette er en motsigelse i forhold til hva vi forutsatte. Kvadratroten av to kan ikke skrives som en brøk og er derved irrasjonal. |
Revisjonen fra 26. aug. 2020 kl. 07:33
Vi bruker teknikken med motsigelse.
Dersom et tall er irrasjonalt kan vi ikke skrive det som en brøk. La oss prøve å skrive kvdratroten av to som en brøk der teller og nevner ikke har noen felles faktorer.
$ \sqrt 2 = \frac ab \\ 2 = \frac{a^2}{b^2} \\ 2b^2 = a^2$
Det betyr at $a^2$ og a er delelig på 2.
Det betyr at a kan skrives som et tell, k, multiplisert med 2:
$a=2k$
Innsatt for a i uttrykket $2b^2= a^2$ gir det
$2b^2=a^2 \\ 2b^2 = (2k)^2 \\ 2b^2= 4k^2 \\ b^2 =2k^2$ Hvilket betyr at $b^2$ og b er delelig på 2.
Dette er en motsigelse i forhold til hva vi forutsatte. Kvadratroten av to kan ikke skrives som en brøk og er derved irrasjonal.