Forskjell mellom versjoner av «Bevis for derivasjon av produkt»
m (Teksterstatting – «<tex>» til «<math>») |
|||
| Linje 1: | Linje 1: | ||
Vi har:<br> | Vi har:<br> | ||
| − | < | + | <math> |
f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x} | f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x} | ||
</tex> dersom grensen eksisterer. | </tex> dersom grensen eksisterer. | ||
| Linje 7: | Linje 7: | ||
Videre har man at: | Videre har man at: | ||
<br><br><br> | <br><br><br> | ||
| − | < | + | <math> |
| − | f(x)=g(x) \cdot h(x)</tex><br>og<br> <br>< | + | f(x)=g(x) \cdot h(x)</tex><br>og<br> <br><math> |
g'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+ \Delta x )-g (x)}{\Delta x}</tex> | g'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+ \Delta x )-g (x)}{\Delta x}</tex> | ||
| − | og < | + | og <math> |
h'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x+ \Delta x )-h(x)}{\Delta x} | h'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x+ \Delta x )-h(x)}{\Delta x} | ||
</tex><br> | </tex><br> | ||
| − | Som gir:<br><br>< | + | Som gir:<br><br><math> |
f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x}= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x+ \Delta x )h(x+ \Delta x )-g (x)h(x)}{\Delta x} | f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x}= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x+ \Delta x )h(x+ \Delta x )-g (x)h(x)}{\Delta x} | ||
</tex><br><br><br> | </tex><br><br><br> | ||
Man må knytte uttrykket for f'(x) opp mot g'(x) og h'(x). Det kan man | Man må knytte uttrykket for f'(x) opp mot g'(x) og h'(x). Det kan man | ||
| − | gjøre ved å legge til og trekke fra < | + | gjøre ved å legge til og trekke fra <math>g(x)h(x+ \Delta x )</tex> i brøkens teller.<br> |
| − | Man får da:<br><br>< | + | Man får da:<br><br><math> |
f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x} | f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x} | ||
<br><br> | <br><br> | ||
| Linje 24: | Linje 24: | ||
</tex> | </tex> | ||
<br><br><br> | <br><br><br> | ||
| − | < | + | <math> |
= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(g(x+ \Delta x ) -g(x))h(x+ \Delta x) +(h(x+ \Delta x ) -h(x))g(x)}{\Delta x} | = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(g(x+ \Delta x ) -g(x))h(x+ \Delta x) +(h(x+ \Delta x ) -h(x))g(x)}{\Delta x} | ||
<br><br><br> | <br><br><br> | ||
Revisjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:56
Vi har:
<math>
f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x}
</tex> dersom grensen eksisterer.
Videre har man at:
<math>
f(x)=g(x) \cdot h(x)</tex>
og
<math>
g'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+ \Delta x )-g (x)}{\Delta x}</tex>
og <math>
h'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x+ \Delta x )-h(x)}{\Delta x}
</tex>
Som gir:
<math>
f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x}= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x+ \Delta x )h(x+ \Delta x )-g (x)h(x)}{\Delta x}
</tex>
Man må knytte uttrykket for f'(x) opp mot g'(x) og h'(x). Det kan man
gjøre ved å legge til og trekke fra <math>g(x)h(x+ \Delta x )</tex> i brøkens teller.
Man får da:
<math>
f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x}
= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x+ \Delta x )h(x+ \Delta x ) + g(x)h(x+ \Delta x )-g(x)h(x+ \Delta x ) -g (x)h(x)}{\Delta x}
</tex>
<math>
= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(g(x+ \Delta x ) -g(x))h(x+ \Delta x) +(h(x+ \Delta x ) -h(x))g(x)}{\Delta x}
= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(g(x+ \Delta x ) -g(x)}{\Delta x}\lim_{\Delta x \to 0}h(x+ \Delta x)+ \lim_{\Delta x \to 0}\frac{h(x+ \Delta x)-h(x)}{\Delta x}g(x)
=g'(x)h(x)+h'(x)g(x)
</tex>
Det forutsettes at g'(x) og h'(x) eksisterer.
