Forskjell mellom versjoner av «Bevisføring fasit»
m (Teksterstatting – «<tex>» til «<math>») |
m (Teksterstatting – «</tex>» til «</math>») |
||
Linje 7: | Linje 7: | ||
==2== | ==2== | ||
'''Hypotese''': ''Produktet av to oddetall blir et oddetall''. | '''Hypotese''': ''Produktet av to oddetall blir et oddetall''. | ||
− | Vi har to tilfeldige, hele tall, <math>k, n</ | + | Vi har to tilfeldige, hele tall, <math>k, n</math>. Vi har da to oddetall <math>2k+1, 2n+1</math>. |
− | <math>(2k+1)(2n+1) \;=\; 4kn + 2k + 2n + 1 \;=\; 2(2kn + k + n) + 1</ | + | <math>(2k+1)(2n+1) \;=\; 4kn + 2k + 2n + 1 \;=\; 2(2kn + k + n) + 1</math>. |
− | Setter vi <math>m = 2kn + k + n</ | + | Setter vi <math>m = 2kn + k + n</math>, får vi at produktet er <math>2m + 1</math> som vi ser er et oddetall. |
Beviset er fullført. | Beviset er fullført. | ||
Linje 17: | Linje 17: | ||
==3== | ==3== | ||
'''Hypotese''': ''Summen av tre oddetall blir et oddetall''. | '''Hypotese''': ''Summen av tre oddetall blir et oddetall''. | ||
− | For tre vilkårlige tall <math>a,b,c</ | + | For tre vilkårlige tall <math>a,b,c</math>, har vi tre oddetall <math>2a+1,\;2b+1,\;2c+1</math>. |
− | Vi summerer tallene. <math>2a+1+2b+1+2c+1 \;=\; 2a+2b+2c+3</ | + | Vi summerer tallene. <math>2a+1+2b+1+2c+1 \;=\; 2a+2b+2c+3</math>. |
− | Her er tretallet litt forvirrende, men husk at målet vårt er å få det på formen <math>2m + 1</ | + | Her er tretallet litt forvirrende, men husk at målet vårt er å få det på formen <math>2m + 1</math>. |
− | Observer at <math>2a+2b+2c+3 \;=\; 2a+2b+2c+2+1 = 2(a+b+c+1) + 1 \;=\; 2m + 1</ | + | Observer at <math>2a+2b+2c+3 \;=\; 2a+2b+2c+2+1 = 2(a+b+c+1) + 1 \;=\; 2m + 1</math> der <math>m=a+b+c+1</math>. |
Vi har at summen av tre oddetall blir et oddetall, og hypotesen er bevist. | Vi har at summen av tre oddetall blir et oddetall, og hypotesen er bevist. | ||
[[Category:Bevis]] | [[Category:Bevis]] |
Nåværende revisjon fra 5. feb. 2013 kl. 20:58
Fasit til oppgavene i Bevisføring.
1
Hypotese: Summen av to partall blir et oddetall
Vi ser at 2 + 2 = 4. 4 er et partall, og vi har motbevist hypotesen.
2
Hypotese: Produktet av to oddetall blir et oddetall.
Vi har to tilfeldige, hele tall, <math>k, n</math>. Vi har da to oddetall <math>2k+1, 2n+1</math>.
<math>(2k+1)(2n+1) \;=\; 4kn + 2k + 2n + 1 \;=\; 2(2kn + k + n) + 1</math>.
Setter vi <math>m = 2kn + k + n</math>, får vi at produktet er <math>2m + 1</math> som vi ser er et oddetall.
Beviset er fullført.
3
Hypotese: Summen av tre oddetall blir et oddetall.
For tre vilkårlige tall <math>a,b,c</math>, har vi tre oddetall <math>2a+1,\;2b+1,\;2c+1</math>.
Vi summerer tallene. <math>2a+1+2b+1+2c+1 \;=\; 2a+2b+2c+3</math>.
Her er tretallet litt forvirrende, men husk at målet vårt er å få det på formen <math>2m + 1</math>.
Observer at <math>2a+2b+2c+3 \;=\; 2a+2b+2c+2+1 = 2(a+b+c+1) + 1 \;=\; 2m + 1</math> der <math>m=a+b+c+1</math>.
Vi har at summen av tre oddetall blir et oddetall, og hypotesen er bevist.