Forskjell mellom versjoner av «Bokstavregning»

Fra Matematikk.net
Hopp til:navigasjon, søk
m (Teksterstatting – «<tex>» til «<math>»)
Linje 8: Linje 8:
 
En sirkel har radius 10 cm. Hva er arealet av sirkelen?
 
En sirkel har radius 10 cm. Hva er arealet av sirkelen?
  
Arealet blir: <tex>A= 10cm \cdot 10cm \cdot \pi = 314,2 cm^2</tex>. Men, det gjelder bare når radius i sirkelen er 10 cm. For alle andre radier er dette arealet feil.
+
Arealet blir: <math>A= 10cm \cdot 10cm \cdot \pi = 314,2 cm^2</tex>. Men, det gjelder bare når radius i sirkelen er 10 cm. For alle andre radier er dette arealet feil.
  
Et areal som gjelder for alle radier er: <tex> A= \pi r^2</tex>
+
Et areal som gjelder for alle radier er: <math> A= \pi r^2</tex>
  
 
Bokstaver gir en formel som er allmenngyldig mens aritmetikken (tallregning)fokuserer på en eller flere spesielle tallverdier.
 
Bokstaver gir en formel som er allmenngyldig mens aritmetikken (tallregning)fokuserer på en eller flere spesielle tallverdier.
Linje 54: Linje 54:
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
 
'''Regel:'''<p></p>
 
'''Regel:'''<p></p>
<tex> a \cdot a \cdot a = a^3</tex> <p></p>
+
<math> a \cdot a \cdot a = a^3</tex> <p></p>
 
</blockquote>
 
</blockquote>
  
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
 
'''Eksempel:'''<p></p>
 
'''Eksempel:'''<p></p>
<tex> 3 \cdot x \cdot 2 \cdot y \cdot x \cdot y \cdot y = 3 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y = 6x^2y^3</tex><p></p>
+
<math> 3 \cdot x \cdot 2 \cdot y \cdot x \cdot y \cdot y = 3 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y = 6x^2y^3</tex><p></p>
 
</blockquote>
 
</blockquote>
  
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
 
'''Regel:'''<p></p>
 
'''Regel:'''<p></p>
<tex> a \cdot b = b \cdot a </tex><p></p>
+
<math> a \cdot b = b \cdot a </tex><p></p>
 
</blockquote>
 
</blockquote>
  
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
 
'''Eksempel:'''<p></p>
 
'''Eksempel:'''<p></p>
<tex>y \cdot x \cdot 3 \cdot y = 3xy^2</tex><p></p>
+
<math>y \cdot x \cdot 3 \cdot y = 3xy^2</tex><p></p>
 
</blockquote>
 
</blockquote>
  
Linje 79: Linje 79:
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
 
'''Eksempel:'''<p></p>
 
'''Eksempel:'''<p></p>
<tex>(5+2x)(x+3y) = 5x+15y+2x^2+6xy</tex><p></p>
+
<math>(5+2x)(x+3y) = 5x+15y+2x^2+6xy</tex><p></p>
 
</blockquote>
 
</blockquote>
  
Linje 96: Linje 96:
 
  <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
 
  <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
  
<tex>(a +b)^2 = a^2 + 2ab + b^2</tex>
+
<math>(a +b)^2 = a^2 + 2ab + b^2</tex>
 
<p></p> Grafisk kan formelene over se slik ut:
 
<p></p> Grafisk kan formelene over se slik ut:
 
<p></p>
 
<p></p>
Linje 105: Linje 105:
 
'''Eksempel'''<p></p>  
 
'''Eksempel'''<p></p>  
 
Regn ut:  
 
Regn ut:  
<tex> (x+2)^2 </tex><p></p>
+
<math> (x+2)^2 </tex><p></p>
Man får:<p></p> <tex>(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4</tex>  
+
Man får:<p></p> <math>(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4</tex>  
 
<p></p>
 
<p></p>
  
Linje 115: Linje 115:
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
 
'''Eksempel'''<p></p>  
 
'''Eksempel'''<p></p>  
Faktoriser <tex>9 + 12x + 4x^2</tex><p></p>
+
Faktoriser <math>9 + 12x + 4x^2</tex><p></p>
Man får:<p></p> <tex> 9 + 12x + 4x^2 = (3 + 2x)^2 </tex>  
+
Man får:<p></p> <math> 9 + 12x + 4x^2 = (3 + 2x)^2 </tex>  
 
<p></p>
 
<p></p>
  
Linje 128: Linje 128:
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
  
<tex>(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 </tex>
+
<math>(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 </tex>
  
 
<p></p>
 
<p></p>
Linje 137: Linje 137:
 
'''Eksempel''' <p></p>
 
'''Eksempel''' <p></p>
  
Regn ut<p></p> <tex>(x - 2y)^2</tex>
+
Regn ut<p></p> <math>(x - 2y)^2</tex>
 
<p></p>
 
<p></p>
 
Løsning<p></p>
 
Løsning<p></p>
<tex>x^2- 4xy + 4y^2 </tex>
+
<math>x^2- 4xy + 4y^2 </tex>
  
  
Linje 152: Linje 152:
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
 
'''Eksempel'''<p></p>
 
'''Eksempel'''<p></p>
Faktoriser <tex>x^2-12x+36</tex><p></p>
+
Faktoriser <math>x^2-12x+36</tex><p></p>
 
Løsning:<p></p>
 
Løsning:<p></p>
<tex>(x-6)^2 </tex>
+
<math>(x-6)^2 </tex>
  
 
<p></p></blockquote>
 
<p></p></blockquote>
Linje 166: Linje 166:
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted blue;">
  
<tex>a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)</tex>  
+
<math>a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)</tex>  
 
<p></p> Grafisk kan likningen tolkes slik:
 
<p></p> Grafisk kan likningen tolkes slik:
 
<p></p>
 
<p></p>
Linje 174: Linje 174:
  
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"><p></p>'''Eksempel'''  <p></p>
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"><p></p>'''Eksempel'''  <p></p>
Regn ut <tex>(x- 4)(x+4)</tex><p></p>
+
Regn ut <math>(x- 4)(x+4)</tex><p></p>
 
Løsning<p></p>
 
Løsning<p></p>
<tex>x^2-16 </tex>
+
<math>x^2-16 </tex>
  
 
<p></p></blockquote>
 
<p></p></blockquote>
Linje 184: Linje 184:
  
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"><p></p>'''Eksempel'''  <p></p>
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"><p></p>'''Eksempel'''  <p></p>
Faktoriser<p></p><tex>x^2-1</tex><p></p>Løsning<p></p>
+
Faktoriser<p></p><math>x^2-1</tex><p></p>Løsning<p></p>
<tex>(x-1)(x+1) </tex>
+
<math>(x-1)(x+1) </tex>
Her må man huske at <tex>1^2 = 1 </tex>
+
Her må man huske at <math>1^2 = 1 </tex>
 
<p></p></blockquote>
 
<p></p></blockquote>
 
<p></p>
 
<p></p>
Linje 200: Linje 200:
  
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"><p></p>'''Eksempel'''  <p></p>
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"><p></p>'''Eksempel'''  <p></p>
Skriv<tex> \frac{x^2-1}{x+1} </tex> enklest mulig.<p></p>Løsning<p></p>
+
Skriv<math> \frac{x^2-1}{x+1} </tex> enklest mulig.<p></p>Løsning<p></p>
<tex> \frac{x^2-1}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = x-1</tex>
+
<math> \frac{x^2-1}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = x-1</tex>
  
 
<p></p></blockquote>
 
<p></p></blockquote>
Linje 207: Linje 207:
  
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"><p></p>'''Eksempel'''  <p></p>
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"><p></p>'''Eksempel'''  <p></p>
Skriv<tex> \frac{x-1}{x^2-1} </tex> enklest mulig.<p></p>Løsning<p></p>
+
Skriv<math> \frac{x-1}{x^2-1} </tex> enklest mulig.<p></p>Løsning<p></p>
<tex> \frac{x-1}{x^2-1} = \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = \frac {1}{x+1}</tex>
+
<math> \frac{x-1}{x^2-1} = \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = \frac {1}{x+1}</tex>
  
 
<p></p></blockquote>
 
<p></p></blockquote>
Linje 214: Linje 214:
  
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"><p></p>'''Eksempel'''  <p></p>
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"><p></p>'''Eksempel'''  <p></p>
Skriv <tex> \frac{(x+3)^2}{x^2 +6x +9} </tex> enklest mulig.<p></p>Løsning<p></p>
+
Skriv <math> \frac{(x+3)^2}{x^2 +6x +9} </tex> enklest mulig.<p></p>Løsning<p></p>
<tex> \frac{(x+3)^2}{(x+3)(x+3)} = \frac{(x+3)(x+3)}{(x+3)(x+3)} = 1</tex>
+
<math> \frac{(x+3)^2}{(x+3)(x+3)} = \frac{(x+3)(x+3)}{(x+3)(x+3)} = 1</tex>
  
  
Linje 223: Linje 223:
  
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"><p></p>'''Eksempel'''  <p></p>
 
<blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;"><p></p>'''Eksempel'''  <p></p>
Skriv enklest mulig:<p></p><tex> \frac{x^2 - 6x + 9}{2x^2-18}</tex><p></p>
+
Skriv enklest mulig:<p></p><math> \frac{x^2 - 6x + 9}{2x^2-18}</tex><p></p>
 
Løsning:<p></p>
 
Løsning:<p></p>
<tex> \frac{x^2 - 6x + 9}{2x^2-18} = \\ \frac{(x-3)(x-3)}{2(x^2-9)}\\ \frac{(x-3)(x-3)}{2(x-3)(x+3)} = \\ \frac{(x-3)}{2(x+3)}</tex>
+
<math> \frac{x^2 - 6x + 9}{2x^2-18} = \\ \frac{(x-3)(x-3)}{2(x^2-9)}\\ \frac{(x-3)(x-3)}{2(x-3)(x+3)} = \\ \frac{(x-3)}{2(x+3)}</tex>
  
 
<p></p></blockquote>
 
<p></p></blockquote>

Revisjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:56

Algebra, eller bokstavregning, viser generelle sammenhenger. Tallregning eller aritmetikk gir oss mer spesielle sammenhenger.


Hvorfor bokstaver?

En sirkel har radius 10 cm. Hva er arealet av sirkelen?

Arealet blir: <math>A= 10cm \cdot 10cm \cdot \pi = 314,2 cm^2</tex>. Men, det gjelder bare når radius i sirkelen er 10 cm. For alle andre radier er dette arealet feil.

Et areal som gjelder for alle radier er: <math> A= \pi r^2</tex>

Bokstaver gir en formel som er allmenngyldig mens aritmetikken (tallregning)fokuserer på en eller flere spesielle tallverdier.

Regneregler

Se på uttrykket 2x + 4ab

  • LEDD, utrykket består av to ledd, 2x og 4ab. Ledd adskilles med pluss eller minus.
  • FAKTOR, leddet 2x er et PRODUKT av to faktorer; 2 og x. Faktorer adskilles med multiplikasjonstegn (gangetegn). Dersom det ikke kan missforståes er det vanlig å utelate multiplikasjonstegnet. 4ab er et produkt av faktorene 4, a og b. Man kunne ha skrevet 4ab som 4∙a∙b, men siden det ikke er grunnlag for å misforstå sløyfer vi gangetegnet.

Når man regner med tall og parenteser har man muligheten til å trekke sammen parentesene før man løser de opp, i algebra er denne muligheten begrenset da man ikke uten videre kan trekke sammen for eksempel a + b.

Regel:

a + b = b + a

Eksempel:

4 + 2 = 2 + 4 = 6

Regel:

(a + b) + c = a + (b + c)

Eksempel:

(a+5)+a = a +(5+a) = 2a+5

Regel:

a + a + a + a = 4a

Eksempel:

a + b + 4 + 3a - 2 -b = 4a - 2

Regel:

<math> a \cdot a \cdot a = a^3</tex>

Eksempel:

<math> 3 \cdot x \cdot 2 \cdot y \cdot x \cdot y \cdot y = 3 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y \cdot y = 6x^2y^3</tex>

Regel:

<math> a \cdot b = b \cdot a </tex>

Eksempel:

<math>y \cdot x \cdot 3 \cdot y = 3xy^2</tex>

Regel:

(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd

Eksempel:

<math>(5+2x)(x+3y) = 5x+15y+2x^2+6xy</tex>

Regel:

a(b + c) = ab + ac

Eksempel:

3(2x +y) = 6x+3y

Test deg selv

Første kvadratsetning

<math>(a +b)^2 = a^2 + 2ab + b^2</tex>

Grafisk kan formelene over se slik ut:

Forste.png

Eksempel

Regn ut:

<math> (x+2)^2 </tex>

Man får:

<math>(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4</tex>

Test deg selv

Eksempel

Faktoriser <math>9 + 12x + 4x^2</tex>

Man får:

<math> 9 + 12x + 4x^2 = (3 + 2x)^2 </tex>

For å kjenne igjen kvadratsetningene denne veien må man ha øvd en del samtidig som man alltid må ha dem i bakhodet når det er snakk om faktorisering.

Test deg selv

Andre kvadratsetning

<math>(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 </tex>

Andre.png


Eksempel

Regn ut

<math>(x - 2y)^2</tex>

Løsning

<math>x^2- 4xy + 4y^2 </tex>


Test deg selv


Eksempel

Faktoriser <math>x^2-12x+36</tex>

Løsning:

<math>(x-6)^2 </tex>


Test deg selv

Konjugatsetningen (3. Kvadratsetning)

<math>a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)</tex>

Grafisk kan likningen tolkes slik:

Tredje.png

Eksempel

Regn ut <math>(x- 4)(x+4)</tex>

Løsning

<math>x^2-16 </tex>

Test deg selv

Eksempel

Faktoriser

<math>x^2-1</tex>

Løsning

<math>(x-1)(x+1) </tex> Her må man huske at <math>1^2 = 1 </tex>

Test deg selv

Forkorting

Poenget med å forkorte et uttrykk er ønsket om å skrive det enklest mulig. Dersom et brøk uttrykk har en fator med samme verdi både i teller og nevner kan disse forkortes. Før man forkorter må man faktorisere. Det er ikke alle uttrykk som lar seg forkorte.

Fra tallregningen er vi vant med at svaret blir et tall bestående av et eller flere siffer. Når man driver med bokstavregning blir svaret gjerne en blanding av tall, bokstaver og brøk.


Eksempel

Skriv<math> \frac{x^2-1}{x+1} </tex> enklest mulig.

Løsning

<math> \frac{x^2-1}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = x-1</tex>


Eksempel

Skriv<math> \frac{x-1}{x^2-1} </tex> enklest mulig.

Løsning

<math> \frac{x-1}{x^2-1} = \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = \frac {1}{x+1}</tex>

Test deg selv

Eksempel

Skriv <math> \frac{(x+3)^2}{x^2 +6x +9} </tex> enklest mulig.

Løsning

<math> \frac{(x+3)^2}{(x+3)(x+3)} = \frac{(x+3)(x+3)}{(x+3)(x+3)} = 1</tex>



Eksempel

Skriv enklest mulig:

<math> \frac{x^2 - 6x + 9}{2x^2-18}</tex>

Løsning:

<math> \frac{x^2 - 6x + 9}{2x^2-18} = \\ \frac{(x-3)(x-3)}{2(x^2-9)}\\ \frac{(x-3)(x-3)}{2(x-3)(x+3)} = \\ \frac{(x-3)}{2(x+3)}</tex>




Tilbake til Ungdomstrinn Hovedside

Tilbake til hovedside