R1 2015 høst LØSNING
Løsningsforslag laget av LektorH
Løsningsforslag (pdf) fra bruker joes. Send gjerne en melding hvis du har kommentarer til løsningsforslaget. På forhånd, takk.
PS! Løsningsforslaget under er IKKE mitt løsningsforslag.
DEL EN
Oppgave 1
a)
$f(x)= 3x^2+5x-2 \\ f´(x)=6x+5$
b)
$g(x)=3(x^2-2)^4 \\g´(x)= 3 \cdot 4 \cdot 2x(x^2-3)^3 = 24x(x^2-3)^3$
c)
$h(x)= x ln(x^2+3)$
Setter $ u= x^2+3$ som gir $u´= 2x$, og får:
$h´(x)= ln(x^2+3)+ \frac{x \cdot 2x}{x^2+3} \\ h´(x)= ln(x^2+3) + \frac{2x^2}{x^2+3}$
Oppgave 2
$f(x)= xe^{-x} \\ f´x) = e^{-x} +x (-1) e^{-x} = e^{-x}(1-x)$
$e^{-x}$ er positiv for alle x. (1-x) er null for x=1, negativ for x > 1 og positiv for x < 1. x = 1 gir et maksimum for funksjonen.
Oppgave 3
a)
$f(x)=x^3-2x^2-kx+6, \quad D_F = \R$
k slik at $f(x):( x-1)$ går opp:
$1-2-k +6 =0 \\k = 5$
b)
$x^3-2x^2-5x+6 :(x-1)= x^2-x-6 \\-(x^3-x^2) \\ \quad \quad -x^2-5x \\ \quad \quad -(-x^2+x) \\ \quad \quad \quad \quad -6x+6 \\ \quad \quad\quad \quad -(-6x+6)$
Vi løser andregradspolynomet (abc - formel el.) og får totalt disse tre lineære faktorer: (x - 1)(x + 2)(x - 3).
c)
Tegner fortegnsskjema for hver av de tre lineære faktorene i b, og får fortegnslinjen for f(x):
$f(x) \geq 0 \\ x \in [-2,1] \cup [3, \rightarrow > $
Oppgave 4
$lg(a^2b^3)+ lg(\frac{1}{b^2}) - lg ( \frac{b}{a}) = \\ 2 lga + 3 lgb -2lgb - lgb + lga = \\ 3 lg a$
Oppgave 5
a)
$f(x)=-x^4+4x^3 = x^3(-x+4) \quad x \in <-2, 4>$
Siden funksjonen ikke er definert for x = 4 har den bare ett nullpunkt, i Origo (0, 0).
b)
$f´(x) = -4x^3+12x^2 = -4x^2(x-3)$
Grafen har et terrassepunkt for x = 0, dvs. i (0, 0) og et maksimum i (3, f(3)) som gir (3, 27).
c)
Vendepunkt:
$f´´(x)= -12x^2 + 24x \\ f´´(x)=0 \\ -12x(x-2) =0 \\ x=0 \vee x = 2$
x= 0 er sammenfallende med nullpunkt og terrassepunkt, vendepunktene er (0, 0) og (2, 16) ( f(2) = 16).
d)
Oppgave 6
Vinkel u spenner over samme bue som vinkel D. Begge ligger på sirkelperiferien og er derfor like. Vinkel u er 50 grader.
Vinkel C er 90 grader fordi den ligger på pereferien og spenner over diameteren. Da blir vikel v 40 grader.
Oppgave 7
a)
Siden det er 60% jenter og 70% av disse har blå øyner, betyr det at 42% av elevmassen er jenter med blå øyner. Tilsvarende tall for gutter er 22%.
| Blå | ikke blå | Total | |
| Jente | 42% | 18% | 60% |
| Gutt | 22% | 18% | 40% |
| Total | 64% | 36% | 100% |
Fra tabellen ser man at sannsynligheten for å trekke en elev med blå øyner er 64%.
b)
Det er 36% som ikke har blå øyner. 18% av disse er gutter. Sannsynligheten er 0,5 for gutt.
Oppgave 8
a)
b)
Halveringslinjene er blå i figuren over. En vinkelhalveringslinje er et geometrisk sted, like langt fra de to sidene som danner vinkelen. Dersom man befinne seg på den blå linjen som halverer vinkel A betyr det at man er like langt fra linjestykkene AB og AC. Den samme tanken følger vi fra den blå linjen som halverer vinkel B. Punktet S der linjene møtes blir da et punkt som ligger like langt fra alle linjene. Denne avstanden er SD = SE = SF. En sirkel mens sentrum i S og radius SD vil følgelig bli en innskrevet sirkel.
c)
Se over.
d)
Se over.
Oppgave 9
$lg(x+2)^2 = lg x^4 \\ 2 lg (x+2) = lg(x^2)^2 \\ 2 lg (x+2) = 2 lg(x^2) \\ lg(x +2) = lg (x^2) \\ x+2= x^2 \\ -x^2+x+2 =0$
Bruke abc formelen (el.) og får at x = - 1 eller x = 2. Vi kan ikke ta logaritmen til et negativt tall, så vi må sjekke ut svarene. I denne oppgaven er begge svar gyldige.
DEL TO
Oppgave 1
a)
C = 3 og k = 0,01625
(brukte regresjon)
b)
I følge modellen vil dette skje i år 74 etter 1960, dvs. i år 2034, se figur i a.
c)
$f(x) = 3 e^{0,01625x} = 3 (e^{0,01625})^x = 3 \cdot 1,01638^x$ Det betyr at økningen per år er på ca 1,64%
Oppgave 2
a)
b)
Bruker Geogebra og finner at arealet er 35.
c)
Punktet der normalen fra C på AB skjærer x- aksen har koordinatene (x,0).
$\vec{AB} = [8,-1]$
$[8, -1] \cdot [5-x,8] =0 \\40-8x - 8 =0 \\8x= 32 \\ x= 4 $
Oppgave 3
a)
Arealet til rektangelet er lengde gange bredde:
$G(x) = x \cdot f(x) = x (4-0,125x^3)= 4x - 0,125x^4$
b)
De x verdiene som gir rektangelet et areal på 5,0 er x= 1,36 og x= 2,53.
c)
Fra figuren i b ser man at det største arealet får man når x = 2. Arealet av rektangelet er da 6.
Oppgave 4
a)
b)
Fra figuren i a ser man at det tredje skjæringspunktet er (5,8).
Summen av x-koordinatene er 4.
c)
1. Vi definerer g(x) i CAS.
2. Stignigstallet til en rett linje a, er $ \frac{\Delta y}{\Delta x}$ som gir $ a = \frac{g(t)-g(s)}{t-s}$. Stigningstallet blir da det du ser i linje to på CAS klippet.
3. Likningen for en rett linje er y= ax + b. b leddet finner man på linje 3.
d)
Fra linje 4 i c:
x = s, x = t og x = -a -s - t
SUM: x + x + x = s + t + (-a - s - t ) = -a
