|
|
| Linje 5: |
Linje 5: |
| | [https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2151 Oppgaven som pdf] | | [https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2151 Oppgaven som pdf] |
| | [https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2160 Sensorveiledning til oppgaven] | | [https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2160 Sensorveiledning til oppgaven] |
| − |
| |
| − | <nowiki>Løsning R2 Vår 18
| |
| − | Løsningsforslag Eksamen vår 2018
| |
| − |
| |
| − | Del 1 – Uten hjelpemidler + forslag poengfordeling
| |
| − |
| |
| − | Oppgave 1 (1+2poeng )
| |
| − | Deriver funksjonene
| |
| − | f(x)=cos〖(πx-2)〗
| |
| − | f^' (x)=〖-πsin〗〖(πx-2)〗
| |
| − |
| |
| − | g(x)=x⋅sinx u=sinx,u^'=cosx v=x,v^'=1
| |
| − | g^' (x)=u^'⋅v+u⋅v^'=x⋅cosx+sinx⋅1=
| |
| − | =x⋅cosx+sinx
| |
| − |
| |
| − | Oppgave 2 (1+1+2 poeng)
| |
| − | Bestem integralene
| |
| − | ∫4x^2+3x dx
| |
| − | =4/3 x^3+3/2 x^2+C
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | ∫4x^2 lnx dx
| |
| − | Bruker delvis integrasjon
| |
| − | u=lnx⇒u^'=1/x
| |
| − | v^'=4x^2⇒v=4/3 x^3
| |
| − | ∫▒〖u⋅v^' 〗 dx=u⋅v-∫▒〖u^'⋅v〗 dx
| |
| − | ∫4x^2 lnx dx=lnx⋅4/3 x^3-∫▒〖4/3 x^3⋅1/x dx〗=lnx⋅4/3 x^3-∫▒〖4/3 x^2 dx〗=lnx⋅4/3 x^3-1/3 x^4+C
| |
| − |
| |
| − | c) ∫_0^(√12)▒〖 2x/(x^2+4)〗 dx Bruker variabelskifte :u=x^2+4,du/dx=2x ,dx=du/2x
| |
| − |
| |
| − | ∫_0^(√12)▒〖 2x/(x^2+4)〗 dx=∫_0^(√12)▒〖 2x/u〗 du/2x=[ln〖|u|〗 ]_0^√12=[ln〖|x^2+4|〗 ]_0^√12=ln〖|〖√12〗^2+4| 〗-ln|0-4|=ln〖16-ln4 〗=ln〖16/4〗=ln4=2 ln2
| |
| − | Oppgave 3
| |
| − | I en aritmetisk rekk3 a_1+a_2+a_3+a_4+⋯a_n er a_2=4 og a_5=13
| |
| − | Bestem en eksplisitt formel for summen av rekka
| |
| − | I: a_2=a_1+d=4
| |
| − | II: a_5=a_1+4⋅d=13
| |
| − | II-I gir (a_1+4⋅d)-a_1+d=13-4
| |
| − | 3d=9⇔d=3
| |
| − | d=3 i I gir a_1+3=4⇔a_1=1
| |
| − | S_n=(2a_1+d(n-1))n/2=(2+3(n-1))n/2=(3n-1)n/2=(3n^2-n)/2
| |
| − | Oppgave 4( 2+1 poeng)
| |
| − | Løs differensiallikningene
| |
| − | y^'=(sinx ) y^2 , y(π)=1.
| |
| − | y^'/y^2 =(sinx )
| |
| − | ∫dy/y^2 =∫(sinx )dx
| |
| − | -1/y=-cosx+C
| |
| − | y=1/(cosx+C)
| |
| − |
| |
| − | b)
| |
| − | 1=1/(cosπ+C)
| |
| − |
| |
| − | C=1-cosπ=2
| |
| − | y=1/(cosx+2)
| |
| − | Oppgave 5 (2+2 poeng)
| |
| − | En funksjon er gitt ved
| |
| − | f(x)=1-x^2
| |
| − | Bestem arealet av flatestykket F som er begrenset av grafen til f, (x-aksen)
| |
| − | f(x) vil være positiv i hele definisjonsmengden.
| |
| − | Finner skjæring først f(x)=0 , x=±1
| |
| − | A=∫_(-1)^1▒1-x^2 dx=[x-1/3 x^3 ]_(-1)^1=(1-1/3)-(-1-1/3 (-1)^3 )=1-1/3-(-1+1/3)=4/3
| |
| − |
| |
| − | Finn volumet av figuren som framkommer ved å rotere flatestykket F 360° om x-aksen.
| |
| − | Omdreiningslegemet vil ha volumet gitt ved
| |
| − | V=π∫_a^b▒〖f(x)^2 〗 dx=π∫_(-1)^1▒(1-x^2 )^2 dx=π∫_(-1)^1▒〖1-〖2x〗^2+x^4 〗 dx=π[x-〖2/3 x〗^3+1/5 x^5 ]_(-1)^1=π(1-2/3+1/5)-π(-1+2/3-1/5)=16/15 π
| |
| − | V=16/15 π
| |
| − |
| |
| − | Oppgave 6
| |
| − | f(x)=2 sin(π/2 (x-1)) ,x∈〈1,9〉
| |
| − | Topppunkt f(x)=2 når sin(π/2 (x-1))=1
| |
| − | sin(π/2 (x-1))=1
| |
| − | π/2 (x-1)=π/2+n⋅2π
| |
| − | π/2 x=π/2+π/2+n⋅2π
| |
| − | x=π⋅2/π+n⋅2π⋅2/π
| |
| − | x=2+n⋅4
| |
| − | x∈〈1,9〉 gir Topppunkt (2,2) og (6,2)
| |
| − | Bunnpunkt f(x)= -2 når sin(π/2 (x-1))=-1
| |
| − | sin(π/2 (x-1))=-1
| |
| − | π/2 (x-1)=-π/2+n⋅2π
| |
| − | π/2 x=-π/2+π/2+n⋅2π
| |
| − | x=n⋅2π⋅2/π
| |
| − | x=n⋅4
| |
| − | Bunnpunkt (4,-2),(8,-2)
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | 2 sin(π/2 (x-1))=0
| |
| − | sin(π/2 (x-1))=0
| |
| − | π/2 (x-1)=n⋅π (snarvei=))
| |
| − | π/2 x=π/2+n⋅π
| |
| − | x=1+n⋅2
| |
| − | Null punkt for x=3 ,x=5 ,x=7 (x=1 og x=9 er utenfor)
| |
| − | L={3,5,7}
| |
| − |
| |
| − | 2 sin(π/2 (x-1))=√3
| |
| − | sin(π/2 (x-1))=√3/2
| |
| − | π/2 (x-1)=π/3+n⋅2π ∨ π/2 (x-1)=2π/3+n⋅2π
| |
| − | π/2 x=π/3+π/2+n⋅2π ∨ π/2 x=2π/3+π/2+n⋅2π
| |
| − | x=5π/6⋅2/π+n⋅2π⋅2/π ∨ x=7π/6⋅2/π+n⋅2π⋅2/π
| |
| − | x=5/3+4n ∨ x=7/3+4n
| |
| − | L={5/3,7/3,17/3,19/3}
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Oppgave 5
| |
| − | En kuleflate er gitt ved x^2-6x+y^2+4y+z^2-8z-20=0
| |
| − | Vis at kuleflaten har sentrum S(3,-2,4) og bestem radius
| |
| − | Likningen for en kuleflate kan skrives som (x-x_0 )^2+(y-y_o )^2+(z-z_0 )^2=r^2
| |
| − | der (x_0,y_0,z_0) er sentrum i kula og r er radius.
| |
| − | Skriver likninga x^2-6x+y^2+4y+z^2-8z-20=0 ved hjelp av kvadrater:
| |
| − | (x-3)^2+(y+2)^2+(z-4)^2=20+9+4+16
| |
| − | (x-3)^2+(y+2)^2+(z-4)^2=7^2
| |
| − |
| |
| − | Denne likningsformen viser at kula har sentrum i S=(3,-2,4) og radius lik 7.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Et plan er gitt ved 6x-3y+2z-4=0
| |
| − | Bestem avstanden fra S til planet
| |
| − | h=|6⋅3-3⋅(-2)+2⋅4-4|/√(6^2+(-3)^2+2^2 )=(|18+6+8-4|)/√49=28/7=4
| |
| − | Skjæringen mellom planet og kula lager en sirkelen
| |
| − |
| |
| − | Bestem arealet av sirkelen
| |
| − |
| |
| − | Vi kjenner radius i kula =7 og avstans fra S til plan =4
| |
| − | Bruker pytagoras for å finne radiusi sirkelen
| |
| − | 7^2-4^2=r^2=33
| |
| − | Arealet av sirkelen blir A=πr^2=33π
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Oppgave 8
| |
| − | En uendelig geometrisk rekke er gitt ved S(x)=1-2x+4x^2-8x^3+⋯..
| |
| − | Avgjør når rekka konvergerer Rekka konvergerere når :
| |
| − | -1<k<1 der k era_(n+1)/a_n =-2x.
| |
| − | -1<-2x<1 gir -2<x<2
| |
| − | S(x)=1/(1-k)=1/(1+2x)
| |
| − | For hvilke verdier av a har S(x)=a løsning ?
| |
| − | S(x)=a gir 1/(1+2x)=a ,tar x<2 først ,S(2)=1/5 S Øker〖mot uendelig når x→-1/2 〗 det〖betyr at 〗
| |
| − | a∈〈1/5,∞〉
| |
| − | -2<x gir ,S(-2)=-1/3 S avtar〖mot- uendelig når x→-1/2 〗 det〖betyr at 〗
| |
| − | a∈〈-1/3,-∞〉
| |
| − | Det betyr at a kan ha alle verdier bortsett fra intervallet [-1/3,1/5]
| |
| − | a∈R\[-1/3,1/5]
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Del 2 – Med hjelpemidler
| |
| − | Oppgave 1 (6 poeng)
| |
| − | Funksjonene til f og g er gitt ved
| |
| − | f(x)=-x^2+3x+3
| |
| − | g(x)=x^2+1
| |
| − |
| |
| − | Bruk graftegner til å tegne grafene til f og g i samme koordinatsystem
| |
| − |
| |
| − | Grafene avgrenser et flatestykke A
| |
| − | Bestem A med CAS
| |
| − |
| |
| − | Arealet er 125/24 linje 4 cas
| |
| − |
| |
| − | Tyngdepunktet er gitt ved (M/A,N/A) der M og N er gitt ved
| |
| − | M=∫_a^b▒〖x(f(x)-g(x))dx〗
| |
| − | M=1/2 ∫_a^b▒〖(f(x))^2-(g(x))^2 dx〗
| |
| − | Der a og b er x- koordinatene til skjæringspunktene mellom f og g og a<b
| |
| − | Bestem Koordinaten til T ved hjelp av CAS
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Hva er perioden til f? Gi en praktisk tolkning av svaret.
| |
| − | Perioden er tiden mellom to bunnpunkter. Bruker kommandoen Ekstremalpunkt. Punktene B og D er bunnpunkter.
| |
| − | periode=19,716-6,389=13,327
| |
| − | Perioden til f er 13,33. Det betyr at tiden fra et lavvann til neste lavvann er 13 timer og 20 minutter.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Hvor raskt stiger vannet klokka 11.00, ifølge modellen?
| |
| − | Klokken 11.00 stiger vannet med 9,1 cm/time
| |
| − |
| |
| − | Når endrer vannstanden seg raskest?
| |
| − |
| |
| − | Vannet stiger raskest kl 9.44 synker raskest kl 03.04
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Oppgave 2 (6 poeng)
| |
| − | Gitt punktene A(0,0,0) og B(1,t+2,3t),C(0,4,t+1)og D(t-3,8,1)
| |
| − | Besten arealet av trekanten ABC
| |
| − |
| |
| − | Bruk CAS til å bestemme t slik at arealet til ABC blir 6
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Arealet blir 6 for 4 ulike verdier av t Linje 8 CAS
| |
| − | Bestem t slik at volumet av Pyramiden ABCD blir størst mulig
| |
| − |
| |
| − | Største volum er 18 .Cas linje 12 . cas 11 (7,18) er maks
| |
| − |
| |
| − | Oppgave 3 (8 poeng)
| |
| − | I en by med 12000 innbyggere sprer det seg en smittsom sykdom. Det viser seg at vekstfarten i antall smittede personer til enhver tid er proporsjonal med antall personer som ennå ikke er smittet. Vi lar k være proporsjonaliteteskonstanten
| |
| − | Sett opp en differensiallikning som beskriver anatll smittede personer y(t), der t er antall uker atter at sykdommen ble oppdaget.
| |
| − | y^'=k(12000-y)
| |
| − | Vis at y(t)=12000-11900e^kt
| |
| − |
| |
| − | Etter 10 uker var 4000 personer smittet
| |
| − | Bruk dette til å bestemme k.
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | På hvilket tidspunkt var halvparten av innbyggerene smittet?
| |
| − |
| |
| − | Halvparten av innbyggerene er smittet etter 17.24 uker (17 uker og 1,7 døgn )
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Oppgave 4
| |
| − | Femkanttallene er gitt ved
| |
| − | P_(n+1)=P_n+3n+1 ,P_1=1
| |
| − | Vis ved induksjon at P_n=(3n^2-n)/2
| |
| − | P_1=(3〖⋅1〗^2-1)/2=2/2=1 OK
| |
| − |
| |
| − | Skal få HS: P_(n+1)=(3(n+1)^2-(n+1))/2=(3n^2+6n+3-n-1)/2=(3n^2+5n+2)/2
| |
| − | VS:P_(n+1)= P_n+3n+1=(3n^2-n)/2+3n+1
| |
| − | =(3n^2-n)/2+(6n+2)/2
| |
| − | =(3n^2-n+6n+2)/2
| |
| − | =(3n^2+5n+2)/2
| |
| − | VS=HS QED
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Figuren viser at P_n=to summer til n-1 og en til n
| |
| − |
| |
| − | P_n=(n(n-1))/2+(n(n-1))/2+n(n+1)/2
| |
| − | P_n=(n^2-n)/2+(n^2-n)/2+(n^2+n)/2
| |
| − |
| |
| − | P_n=n^2-n+(n^2+n)/2
| |
| − | P_n=(〖2n^2-2n+n〗^2+n)/2
| |
| − | P_n=(3n^2-n)/2
| |
| − |
| |
| − | </nowiki>
| |
