Forskjell mellom versjoner av «S1 2019 vår LØSNING»

Fra Matematikk.net
Hopp til:navigasjon, søk
Linje 101: Linje 101:
  
 
Når x =1 har funksjonen en momentan vekstfart på 6.
 
Når x =1 har funksjonen en momentan vekstfart på 6.
 
  
 
===b)===
 
===b)===
  
 
Den deriverte er positiv for alle verdier av x, derfor er funksjonen voksende og har kun positive tangenter.
 
Den deriverte er positiv for alle verdier av x, derfor er funksjonen voksende og har kun positive tangenter.
 
  
 
===c)===
 
===c)===

Revisjonen fra 29. des. 2019 kl. 15:21

Oppgaven som pdf

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas


DEL EN

Oppgave 1

a)

$3^{x-5} = 81 \\ 3^{x-5} = 3^4 \\ x-5 = 4 \\ x=9 $

b)

$x^2-7x+10 =0$

Faktoriserer

$x^2-7x+10 = (x-2)(x-5)$

Finner nullpunktene:

$(x-2)(x-5)=0 \\ x=2 \vee x = 5$

Kan også bruke abc - formelen for faktorisering.

c)

$lg(x+3) - lgx = 1 \quad x>0 \\ lg ( \frac{x+3}{x} )= 1 \\ 10^{lg(\frac {x+3}{x} )}= 10^1 \\ \frac{x+3}{x} = 10 \\ x+3 = 10x \\ 9x = 3 \\ x = \frac{1}{3}$

Oppgave 2

a)

$ \frac{16^2 \cdot 27^3}{72^2 \cdot 12} \\= \frac{(2^4)^2 \cdot (3^3)^3}{(2^3\cdot 3^2)^2 \cdot 2^2 \cdot 3 } \\ = \frac{2^8 \cdot 3^9}{2^6 \cdot 3^4 \cdot 2^2 \cdot 3} \\ = \frac{2^8 \cdot 3^9}{2^8 \cdot 3^5} \\ = 2^{8-8} \cdot 3^{9-5} = 2^0 \cdot 3^4 = 3^4 = 81$

b)

$ \frac{x-2}{x-1} - \frac{x}{x+1} - \frac{2x}{x^2-1} \\ =\frac{(x-2) \cdot \color{red}{ (x+1)}}{(x-1) \cdot \color{red}{ (x+1)}} - \frac{x \cdot \color{red}{ (x-1)}}{(x+1) \cdot \color{red}{ (x-1)}} - \frac{2x}{(x+1)(x-1)} \\= \frac{(x^2+x-2x-2) - (x^2-x) - 2x}{(x-1)(x+1)} \\= \frac{x^2+x-2x-2-x^2+x-2x}{(x-1)(x+1)} \\ = \frac{-2x-2}{(x-1)(x+1)} \\ = \frac{-2(x+1)}{(x-1)(x+1)} \\ = - \frac{2}{x-1}$

c)

$lg( \frac{2}{x^2}) + lg (2x^2) + lg(x) - lg (4x) \\ =( lg(2) - lg(x^2)) + ( lg (2) + lg(x^2)) + lg(x) - (lg(4) + lg(x)) \\= lg(2) - 2lg(x) +lg(2) + 2lg(x) + lg(x)- lg(2^2) - lg(x) \\ = 2 lg(2) + lg(x) -2lg(2) - lg(x) \\ = 0 $

Oppgave 3

<math> \left[ \begin{align*} x^2+2y =13x \\ 3x - y =-5 \end{align*}\right] </math>

Løser andre likning og setter inn i den første.

$ y = 3x + 5$

Vi setter inn for y i den første likningen:

$x^2 + 2 (3x + 5) = 13x \\ x^2 + 6x+10 = 13x \\x^2 -7x + 10 = 0$

Fra oppgave 1b) har vi at $x_1=2$ og $x_2=5$

Fra andre likning har vi:

$y_1=3\cdot2+5=11$

$y_2=3\cdot 5+5=20$

Løsning: $x_1=2$, $y_1=11$ og $x_2=5$, $y_2=20$

Oppgave 4

a)

Pris brus = x og pris pølse = y.

<math> \left[ \begin{align*} 6x + 4y =170 \\ 5x + 10y =275 \end{align*}\right] </math>

b)

Løser likning II med hensyn på x:

$5x=275-10y \\ x = 55 - 2y $

setter så uttrykket for x inn i likning I:

$6( 55 - 2y) +4y =170 \\ 330 -12y + 4y = 170 \\ -8y = -160 \\ y = 20$

Setter inn y=20 i likning II:

$x= 55-2\cdot 20=55-40=15$

En brus koster 15 kroner og en pølse koster 20 kroner.

Oppgave 5

a)

$ f(x) = x^3+3x \\ f ' (x) = 3x^2+3 \\ f '(1) = 3 \cdot 1 + 3 = 6 $

Når x =1 har funksjonen en momentan vekstfart på 6.

b)

Den deriverte er positiv for alle verdier av x, derfor er funksjonen voksende og har kun positive tangenter.

c)

$ f ' (x) = 15 \\ 3x^2+3 = 15 \\ 3x^2 = 12 \\ x^2 = 4 \\ x= \pm 2 $

Oppgave 6

Oppgave 7

Oppgave 8

a)

Omkrets: $ O = 4y +8x = 12 \\ 4y = 12 - 8x \\ y= 3-2x$

Areal: $A= y^2+2x^2 \\ A(x)= (3-2x)^2+2x^2 \\ A(x)= 9-12x+4x^2+2x^2 \\ A(x)= 6x^2-12x +9$

b)

$A' (x)= 12x -12 \\ A' (x)=0 \\ 12x-12 =0 \\ x=1 \\ $

Innsatt for y: $y = 3 - 2x \\ y = 3 - 2 \cdot 1 \\ y=1$

Det minste arealet får man når både x = 1 og y = 1.

DEL TO