S2 2018 vår LØSNING

Fra Matematikk.net
Revisjon per 23. mar. 2019 kl. 20:32 av Quiz (diskusjon | bidrag) (→‎a))
Hopp til:navigasjon, søk

oppgave som pdf

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Løsning laget av mattepratbruker Tommy O.

DEL 1

Oppgave 1

a)

$f(x)=2x^3-4x+1 \\ f'(x) = 6x^2 - 4$

b)

$g(x)=\frac{x}{e^x}$

$g'(x)= \frac{1 \cdot e^x - x \cdot e^x}{(e^x)^2} = \frac{e^x (1-x)}{(e^x)(e^x)} = \frac{1-x}{e^x} $

c)

$h(x)=ln(x^2+4x) \\ g(u)=ln(u), \quad u=x^2+4x \\ h'(x)=g'(u)\cdot u'(x)=\frac{1}{u} \cdot u' =\frac{2x+4}{x^2+4x}$

Oppgave 2

$ I \quad \, 5x+y+2z=0 \\ II \,\,\,\, 2x+3y+z=3 \\ III \, 3x+2y-z=-3$

Legger sammen likning II og III.

$2x+3x + 3y + 2y + z-z = 3 -3 \\ 5x+5y=0 \\ x+y=0 \\ x=-y$

Setter inn $x=-y$ i likning I.

$5\cdot (-y)+y+2z=0 \\ -4y+2z=0 \\ 2z=4y \\ z=2y$

Setter inn $z=2y$ og $x=-y$ i likning II.

$2\cdot (-y)+3y+2y=3 \\ 3y=3 \\ y=1$

$x=-y=-1$

$z=2y=2\cdot 1=2$

Løsning: $x=-1,\,y=1,\,z=2$

Oppgave 3

a)

$P(x)=x^3-3x^2-13x+15$

$P(1)=1^3-3\cdot 1^2-13\cdot 1+15= 1-3-13+15=0$

x=1 er et nullpunkt, så P(x) er delelig med (x-1).

b)

Utfører polynomdivisjon for å faktorisere P(x)

S2 V18 del1 3b.png

Resten faktoriseres: $x^2-2x-15=(x^2-5x+3x+(-5)\cdot 3)=(x-5)(x+3)$. Bruk andregradsformelen ved behov.

Vi har $P(x)=(x-5)(x-1)(x+3)$. Bruker fortegnsskjema for å løse ulikheten.

S2 V18 del1 3b2.png

$P(x)>0$ når $-3<x<1$ og $x>5$.

Løsningen kan også skrives som $x \in \langle -3,\,1 \rangle$ og $x \in \langle 5,\, \rightarrow \rangle$

Oppgave 4

a)

Differansen, d, mellom to ledd i en aritmetisk rekke er konstant. Finner d:

$a_4=a_1+d+d+d \\ 14=2+3d \\ 3d=12 \\ d=4$

n 1 2 3 4 n
$a_n$ 2 6 10 14
Formel $2+4\cdot 0$ $2+4\cdot 1$ $2+4\cdot 2$ $2+4\cdot 3$ $2+4\cdot (n-1)=4n-2$

$a_n=4n-2$

b)

Oppgave 5

a)

Dersom $-1<k<1$ i en geometrisk tallfølge $a_n=a_1k^{n-1}$ sier vi at den konvergerer. I slike tilfeller er $\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n a_i=\frac{a_1}{1-k}$

DEL 2

Oppgave 1

a)

Bruker Geogebra til å utføre en regresjonsanalyse på punktene i tabellen. Velger polynomfunksjon av 3. grad som modell for kostnadene, h(x). Se skjermbildet under.

S2 H18 Del2 1a.png

Jeg har funnet en modell for kostnaden, $h(x)=0,05x^3-1.97x^2+39,43x+501,02$

Inntekten er 80 kroner per enhet, og kan uttrykkes som $I(x)=80x$.

For å finne en modell for overskuddet, O(x), bruker jeg CAS i Geogebra, og regner ut O(x)=I(x)-h(x). Se skjermbildet under.

S2 H18 Del2 1a2.png

Jeg har dermed vist at funksjonen $O(x)=-0,05x^2+2,0x^2+41x-501$ (noe avrundet) er en god modell for det daglig overskuddet til bedriften ved produksjon av x enheter.

b)