Store tall og uendelig
Store tall
Noen vil kanskje påstå at det største tallet som finnes er uendelig. Det er det ikke. Uendelig er mange tall og ikke ett tall. Det er også slik at noen uendelige mengder er større enn andre, selv om alle uendelige mengder inneholder uendelig mange elementer. Vi kommer tilbake til det.
En million er 1 000 000. En milliard er 1000 millioner, 1 000 000 000 . En million sekunder er litt over elleve dager. En milliard sekunder er over 31,7 år. Greier du å se for deg denne forskjellen?
Begge disse tallene er små i forhold til de virkelig store tallene man kjenner til.
Hvor store tall trenger man?
Dersom mann skal snakke om årslønn er 100 000 en grei størrelse for de fleste. Dersom man tjener godt greier man seg gjerne med millioner. Dersom man snakker om verdens befolkning er milliarder greit å kjenne, vi er ca 7.687.593.000 personer på jorden ( 17:55 den 02.03.2019). Det er litt mere praktisk å si at vi er ca. 7,7 milliarder. Trenger vi større tall?
"At this level, it is estimated that the there are between $10^{78}$ to $10^{82}$ atoms in the known, observable universe."
Googol
Googol er navnet på $10^{100}$, altså ett 1 tall med 100 nuller bak, 101 siffer etter hverandre. Dette tallet kan skrives ut, men det tar litt tid. Det finnes uendelig mange tall, og det finnes uendelig mange tall større enn en google.
Dette tallet er altså mere enn stort nok dersom vi skulle telle alle atomene i universet. Men det kan jo tenkes at vi ønsker noe større...
Notasjon og betydning
La oss se på et helt vanlig tall, 3. La oss tenke oss at vi har tre siffer til rådighet, alle tretall. Altså 3, 3, 3.
For å lage et større tall en tre kan vi legge dem sammen:
$3 + 3+ 3 =9$
Dersom vi ikke er fornøyde med størrelsen kan vi multiplisere dem:
$3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$
Eller enda større: $3^{3^3} = 3^{27} = 7 625 597 484 987$
En skrivemåte for større tall er å bruke piler som peker oppover:
Knuth's up arrow notation
En pil
$3 \uparrow 3= 3^3 = 27$
$3 \uparrow 4= 3^4 = 81$
En pil har samme betydning som å skrive tallet som en potens. Det høyre tallet er eksponenten, og det venstre er grunntallet.
To piler
$ 3 \uparrow \uparrow 3 = 3^{3^3} = 3^{27} =7 625 597 484 987$
$ 3 \uparrow \uparrow 4 = 3^{3^{3^3}} = 3^{3^{27}} = 3^{7 625 597 484 987}$
Tre piler
$ 3 \uparrow \uparrow \uparrow3 = 3\uparrow\uparrow 3 \uparrow \uparrow 3 = 3\uparrow\uparrow 3 ^{3^3} =3\uparrow\uparrow3^{27} =3\uparrow\uparrow 7 625 597 484 987$
$ 3 \uparrow \uparrow \uparrow 4 = 3\uparrow \uparrow 3\uparrow\uparrow 3 \uparrow \uparrow 3 =....$
