Nullpunkt for polynom
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Grothendieck
- Innlegg: 826
- Registrert: 09/02-2015 23:28
- Sted: Oslo
Hvis polynomet er identisk lik $0$ er oppgaven triviell, så anta at dette ikke er tilfellet.plutarco skrev:La $a+\frac12 b+\frac13 c+\frac14 d+\frac15 e=0$. Vis at polynomet $a+bx+cx^2+dx^3+ex^4$ (definert på $\mathbb{R}$) har minst ett nullpunkt.
$$\int_0^1\left(a + bx + cx^2 + dx^3 + ex^4\right) dx = \left[ax + \frac12 bx^2 + \frac13 cx^3 + \frac14 dx^4 + \frac15 ex^5\right]_0^1 = a + \frac12 b + \frac13 c + \frac14 d + \frac15 e = 0,$$
hvilket kan kun skje dersom polynomet ikke har fast fortegn i intervallet $(0,1)$, så det har minst ett nullpunkt.