Terminprøve R1 ++

[Nebuchadnezzar]

Her er en terminprøve fra R1 som er litt over snittet.

Den består av tre deler og tar ikke for seg emner som enda ikke er lært.
Nivået er litt høyere enn hva som er forventet, men smarte hoder her inne klarer det sikkert.

Oppgavene er ikke veldig vanskelige men man behover å tenke litt, i motsetning til standaroppgavene der det bare er å plugge inn noen tall inn i en formel.

Ja, jeg har fasit til denne. Men noen andre kan få lov til å lage løsningsforslag.

Alle hjelpemidler er tillatt. Sannsynlighet, Algebra, og vektorer.

------------------------------------------------------------

R1 - Terminprøve

Del 1 - Sannsynlighet


Oppgave 1

1)Hvor mange forskjellige bokstavkombinasjoner kan vi lage av ordene.

a) Trompet b) Onomatopoetikon

2) I en klasse er det 13 elever der 5 av elevene skal bli valgt ut til en julekomite.

a) Hvor mange forskjellige måter kan dette gjøres på?

b) Liste, Tove og Anita vil ikke være i komitèn vis ikke minst en av vennene sine er med. Hvor mange forskjellige måter kan vi nå velge på?


Oppgave 2

Hver morgen må Oda ta bussen til skolen. Etter mange uker med forskning har hun funnet ut sannsynligheten for at et lyskryss er grønt. Resultatene er i tabellen under:

1) 0.80 2) 0.20 3) 0.40 4) 0.10

a) Dersom tre eller flere av lysene er røde rekker ikke Oda skolen.
Vis at sannsynligheten for at Oda ikke rekker skolen en tilfeldig dag er 0,36.

b) Dersom Oda kommer forsent, hva er sannsynligheten for at alle lysene var røde?

c) Hva er sannsynligheten for at Oda kommer forsent, 2 eller flere ganger på en uke ?


Del 2 - Algebra

Oppgave 3

a) Bestem a og b slik at $f(x)$ får toppunktet $(-3,27)$

$f(x)=a{x}^3-x^2+bx$

En annen funksjon er gitt ved:

$g(x)=x^2$

b) Finn Skjæringspunktene mellom $\frac{1}{3}{x}^3-x^2-15x$ og $x^2$.

b) Hva er den lengste horisontale linjen vi kan plassere mellom
funksjonene ?


Oppgave 4

a) $\log (x-3)+\log (x+2)\le \log (10-x)$

b) $P(x)=\frac{8\cdot 3^{4x}+6\cdot 3^{3x}-48\cdot 3^{2x}-8\cdot 3^x+64-3^{5x}}{3^x+8}$

løs $p(x)=0$ , $p(x)>0$ og finn eventuelle toppunkter og bunnpunkter.


Del 3 - Vektorer

Oppgave 5

Gitt en vilkårlig trekant der AB=\vec{a} og AC=\vec{b}
Et punkt K deler AB i forholdet 3:5.
Et punkt L deler AC i forholdet 1:3.
La S være skjæringspunktet mellov vektorene $\overrightarrow{CK}$ og $\overrightarrow{BL}$.

a) Finn et uttrykk for As ved bruk av vektorene a og b.

Nå plasserer vi trekanten inn i et kordinatsystem der
$A(4,6)B(8,4)C(7,12)$.

b) Finn den korteste avstanden mellom $S$ og $AB$.

c) Hva er arealet av BCS ?


Oppgave 6

Tre båter er ute og fisker. Etter t timer er plasseringen til båtene gitt ved parameterfremstillingen. Der $0\le t\le 5$.

$A\{\begin{array}{l}x=5-t\\ y=t^2-5t+6\end{array}B\{\begin{array}{l}x=5t^2+10t\\ y=t^2+t\end{array}C\{\begin{array}{l}x=-7t+3\\ y=t\end{array}$

a) Hva er den minste avstanden mellom båtene, krasjer båtene ?

b) Hva er arealet mellom båtene etter to timer ?

c) Når er området mellom båtene minst ?

[fiskemannen]

Kan du legge ut fasit for denne?
Merkelig så høyt snitt det er, går du på noen spesiell skole? :p

[Nebuchadnezzar]

Har ikke fått igjen prøve. Men har sjekket svarene mine mot datamaskinen og de stemmer så.

Eneste oppgavene jeg ikke fikk til var:

Oppgave 1 2) b) og Oppgave 6 c)

Men du kan jo bare prøve å løse oppgavene da, så kan jeg og andre hjelpe deg på vei. Eventuelt så legger jeg bare ut svarene mine her...

FAZIT

Oppgave 1

1) a) $5040$ b) $2724321600$

2) a) $1287$ b) ?

Oppgave 2

a) Allerde fasit på denne, nemlig 0.36.

b) $0.24$

c) $\frac{5767929}{9765625}=0.59064$

Oppgave 3

a)$a=\frac{1}{3}b=-15$

b) $x=0,x=3+3\sqrt{6},x=3-3\sqrt{6}$

c) $\frac{-106-38\sqrt{19}}{3}\approx 90,55$

Oppgave 4

a) når $x$ er mindre eller lik $4$

b) $\frac{log(2)}{log(3)}$ og $\frac{log(2)}{2log(3)}$

Toppunkt $=(\frac{1}{2},1)$

Oppgave 5

Orker ikke vektorer akkuratt nå.

Oppgave 6

a) Nei, båtene krasjer ikke.

b) $79$ km^2

c) klarte ikke å løse denne. Vet at arealet mellom båtene er $0$ dersom, $A$, $B$ og $C$ ligger på linje. Aner ikke hvordan jeg skal finne ut om de ligger på linje.

[Guest]

Noen som klarer oppgave 6 her?

[Guest]

Noen som klarer oppgave 6 her?

noen?

[Drezky]

Noen som klarer oppgave 6 her?

noen?

Oppgave 6



a)


$\overrightarrow{d}(t)=|r_A(t)-r_B(t)-r_C(t)|=\sqrt{(-7t+6{)}^2+(-5t^2+4t+2{)}^2}$
$\overrightarrow{d}{}^{\prime }(t)=\frac{50t^3+60t^2+45r-50}{\sqrt{(-7t+6{)}^2+(-5t^2-4t+2{)}^2}}$
$\overrightarrow{d}{}^{\prime }(t)=0\iff t=0.54$
$\overrightarrow{d}(0.54)=\frac{1}{500}\sqrt{1886581}km\approx 2.75km$

For at båtene skal krasje samtidig må de ha samme parametervariabel slik at
$x_1=x_2=x_3\wedge y_1=y_2=y_3$
Og hvis du løser dette, så ser du at dette ikke stemmer.

V.h.a av Geogebra kan man lett se dette!


b)

Definerer en glider kalt s:

og punktene :
$(5s^2+10s,s^2+s)$
$(5-s,s^2-5s+6)$
$(-7s+3,s)$

Velger kommandoen mangekant slik at jeg dannet en trekant. Velger $s_{verdi}=2$ i glider og arealet kommer automatisk opp i algebrafeltet: $A_{ettertotimer}=79k{m}^2$

c)

Det aller enkleste her er vel å bare leke litt med glideren og samtidig følge med på arealet til mangekanten til venstre i algebrafeltet.




BTW:

Dette var en artig prøve Nebu!

[Guest]

takk!!

[eaudasy]

Oppgave 1

1)Hvor mange forskjellige bokstavkombinasjoner kan vi lage av ordene.

a) Trompet b) Onomatopoetikon

2) I en klasse er det 13 elever der 5 av elevene skal bli valgt ut til en julekomite.

a) Hvor mange forskjellige måter kan dette gjøres på?

b) Liste, Tove og Anita vil ikke være i komitèn vis ikke minst en av vennene sine er med. Hvor mange forskjellige måter kan vi nå velge på?

Hvordan løser man denne egentlig


1 a) Jeg antar at rekkefølgen ikke spiller noe rolle her og at det ikke er forskjell mellom Trompet og trompeT. Da er vell dette uordnet utvalg ? er litt usikker på om dette er uten eller med tilbakelegging, men jeg tenker at jeg får jeg at $6\ast 6\ast 6\ast 6\ast 6\ast 6=6^6$, også må jeg dele på 2, fordi det er to like bokstaver $\frac{6^6}{2}=23328$
, men dette stemmer jo ikke, kanskje jeg skal bruke hypergeometrisk?

b) Hvordan i huleste kommer man frem til riktig svar her?

Onomatopoetikon

Her har vi 5 O som er felles og 2 T som er felles, og 2 N som er felles.

blir det $\frac{{15}^{15}}{5\ast 2\ast 2}=2.19\ast {10}^{16}$ høres litt mye ut??


2 a)

Stemmer det at det blir $(\genfrac{}{}{0ex}{}{13}{5})=1287$

b) er det slik at jeg skal finne ut sannsynligheten for at liste, tove og anita vil være gitt at minst 1 av de 2 andre er med?

Hvis vi skal trekke 5 elever., da blir jo $P=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1})\ast (\genfrac{}{}{0ex}{}{12-3}{4})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{5})}=0.47727$






setter pris på hvis noen gidder å hjelpe meg/eller konfirmere svar jeg har fått her!!

[Guest]

Hvordan løser man denne egentlig


1 a) Jeg antar at rekkefølgen ikke spiller noe rolle her og at det ikke er forskjell mellom Trompet og trompeT. Da er vell dette uordnet utvalg ? er litt usikker på om dette er uten eller med tilbakelegging, men jeg tenker at jeg får jeg at $6\ast 6\ast 6\ast 6\ast 6\ast 6=6^6$, også må jeg dele på 2, fordi det er to like bokstaver $\frac{6^6}{2}=23328$
, men dette stemmer jo ikke, kanskje jeg skal bruke hypergeometrisk?

b) Hvordan i huleste kommer man frem til riktig svar her?

Onomatopoetikon

Her har vi 5 O som er felles og 2 T som er felles, og 2 N som er felles.

blir det $\frac{{15}^{15}}{5\ast 2\ast 2}=2.19\ast {10}^{16}$ høres litt mye ut??

setter pris på hvis noen gidder å hjelpe meg/eller konfirmere svar jeg har fått her!!

Du tenker mye riktig her. Du har helt rett i at Trompet og trompeT er det samme ordet.
Se for deg at du har en boks med alle bokstavene i, så skal du legge dem ut en etter en og lage forskjellige ord med lengde 7.

Så for den første bokstaven har du 7 bokstaver å velge mellom. Den neste bokstaven har du 6 mulige bokstaver å velge mellom osv. La oss si du velger "r" som den første bokstaven. Nå har du ikke lenger r i boksen din, og mulige bokstaver du kan velge mellom har minket med 1.

Altså har du 7! = 7*6*5*4*3*2*1 mulige valg (ikke 6*6*6*6*6*6), men som du riktig har påpekt er det to t-er. For den første t-en har du to mulige t-er å velge mellom $t_1$ og $t_2$. For den andre har du kun en t å velge mellom. Altså er det 2! = 2*1 alternativer som gir deg samme ord. Disse må man ikke regne med så vi deler på dette.

Totalt har du altså $\frac{7!}{2!}$ mulige ord.

For Onomatopoetikon er det totalt 15 bokstaver og 15! måter å velge ord på. Siden det er 5 o-er, 2 n-er og 2 t-er må du dele på antall alternativer som gir deg samme ord. Dette er 5! * 2! * 2!.

Totalt har du altså $\frac{15!}{5!\cdot 2!\cdot 2!}$

[eudasy]

Hvordan løser man denne egentlig


1 a) Jeg antar at rekkefølgen ikke spiller noe rolle her og at det ikke er forskjell mellom Trompet og trompeT. Da er vell dette uordnet utvalg ? er litt usikker på om dette er uten eller med tilbakelegging, men jeg tenker at jeg får jeg at $6\ast 6\ast 6\ast 6\ast 6\ast 6=6^6$, også må jeg dele på 2, fordi det er to like bokstaver $\frac{6^6}{2}=23328$
, men dette stemmer jo ikke, kanskje jeg skal bruke hypergeometrisk?

b) Hvordan i huleste kommer man frem til riktig svar her?

Onomatopoetikon

Her har vi 5 O som er felles og 2 T som er felles, og 2 N som er felles.

blir det $\frac{{15}^{15}}{5\ast 2\ast 2}=2.19\ast {10}^{16}$ høres litt mye ut??

setter pris på hvis noen gidder å hjelpe meg/eller konfirmere svar jeg har fått her!!

Du tenker mye riktig her. Du har helt rett i at Trompet og trompeT er det samme ordet.
Se for deg at du har en boks med alle bokstavene i, så skal du legge dem ut en etter en og lage forskjellige ord med lengde 7.

Så for den første bokstaven har du 7 bokstaver å velge mellom. Den neste bokstaven har du 6 mulige bokstaver å velge mellom osv. La oss si du velger "r" som den første bokstaven. Nå har du ikke lenger r i boksen din, og mulige bokstaver du kan velge mellom har minket med 1.

Altså har du 7! = 7*6*5*4*3*2*1 mulige valg (ikke 6*6*6*6*6*6), men som du riktig har påpekt er det to t-er. For den første t-en har du to mulige t-er å velge mellom $t_1$ og $t_2$. For den andre har du kun en t å velge mellom. Altså er det 2! = 2*1 alternativer som gir deg samme ord. Disse må man ikke regne med så vi deler på dette.

Totalt har du altså $\frac{7!}{2!}$ mulige ord.

For Onomatopoetikon er det totalt 15 bokstaver og 15! måter å velge ord på. Siden det er 5 o-er, 2 n-er og 2 t-er må du dele på antall alternativer som gir deg samme ord. Dette er 5! * 2! * 2!.

Totalt har du altså $\frac{15!}{5!\cdot 2!\cdot 2!}$

Vel jeg tenkte egentlig at det var forskjellige. siden rekkefølgen ikke spilte noe rolle?
Hvis vi kaller
$x_1=T$, $x_2=r$, $x_3=o$, $x_4=m$, $x_5=p$, $x_6=6$ og $x_7=7$



Det blir riktig i følge fasiten da $7!=5040$.

Jeg ser hva gjorde feil på den andre oppgaven den stemmer, den stemmer også i følge fasiten, men når det står Hvor mange forskjellige bokstavkombinasjoner kan vi lage av ordene.

skal man ikke tolke det som uordnet eller ordnet rekkefølge?


kunne du sett over min løsning av oppgave 2 og :::) ?

[eudasy]

noen?

[Guest]

noen?

?
beklager hvis jeg spammer, men jeg må forstå dette (oppgave 1 og 2)

[Drezky]

noen?

?
beklager hvis jeg spammer, men jeg må forstå dette (oppgave 1 og 2)

Hvorledes skal vi kunne skille mellom ordet trompet og trompet ? forbokstaven $T$ og $t$ er like!


Vi må ta vekk disse duplikatene. Derfor er det ordnet utvalg (rekkefølgen har betydning). uten tilbakelegging



$\frac{7\ast 5\ast 4\ast ...\ast 1=7!}{2}=2520$


Oppgave 2 )

Her har du regnet ut sannsynlighet, men skal finne antall kombinasjoner.. Klarer du det nå?

[eudasy]

I en klasse er det 13 elever der 5 av elevene skal bli valgt ut til en julekomite.

a) Hvor mange forskjellige måter kan dette gjøres på?

b) Liste, Tove og Anita vil ikke være i komitèn vis ikke minst en av vennene sine er med. Hvor mange forskjellige måter kan vi nå velge på?

Okey, takk, men er fremdels litt usikker her


a) blir jo $(\genfrac{}{}{0ex}{}{13}{5})=1287$

b) Her tenker jeg at jeg ser på denne venninnegruppen som en delmengde hvor oppgaven hvor mange muligheter er det hvis minst av vennene er med?

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1})=3$ finnes 3 måter å velge ut 1 venn på blant vennegjengen, , og de resterende blir $(\genfrac{}{}{0ex}{}{12-3}{5-1})=126$


Så $(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1})\ast (\genfrac{}{}{0ex}{}{12-3}{5-1})=3\ast 126=378$ ?
men har jeg ikke tatt høyde til dersom 2 av vennene er med eller 3 av vennene er med?

blir det derfor
$(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1})\ast (\genfrac{}{}{0ex}{}{12-3}{5-1})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2})\ast (\genfrac{}{}{0ex}{}{12-3}{5-2})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3})\ast (\genfrac{}{}{0ex}{}{12-3}{5-3})=666$

?

takk på forhånd!!