Økonomiske geometriske rekker

[pesten]

Hey, denne oppgaven er hentet fra Eksamen Høsten 2005:

1) En arbeidstaker bestemte seg for å sette inn 20 000kr inn på en konto i begynnelsen av hvert år, første gang det året hun fyller 47 år og siste gang hun fyller 67 år.

Hvor mye har hun på kontoen i begynnelsen av det året hun fyller 67 år, når vi antar at innskuddsrenta i denne perioden har vært 4 % per år?

2) Hun vil ta ut 8 like store beløp i begynnelsen av hvert år fra det året hun fyller 68 år. Vi antar at rentefoten fortsatt er 4 % per år.

Hvor mye kan hun ta ut hvert år?

Det er mest 1) jeg lurer på. Blir den løst slik?

20000 + 20000*1.04 + 200000*1.04^2 + ... + 20000*1.04^20

Sum = (20000*(1.04^21-1))/(1.04-1) [symbol:tilnaermet] 639384kr

og 2)

639284 * 1.04^8 = x + x*1.04 + ... + x*1.04^7

x = 639284*1.04^8*((1.04-1)/(1.04^8-1)) [symbol:tilnaermet] 94966kr

Er det noen som ser feil i utregningene?

[Janhaa]

Hey, denne oppgaven er hentet fra Eksamen Høsten 2005:
1) En arbeidstaker bestemte seg for å sette inn 20 000kr inn på en konto i begynnelsen av hvert år, første gang det året hun fyller 47 år og siste
gang hun fyller 67 år.
Hvor mye har hun på kontoen i begynnelsen av det året hun fyller 67 år, når vi antar at innskuddsrenta i denne perioden har vært 4 % per år?
2) Hun vil ta ut 8 like store beløp i begynnelsen av hvert år fra det året hun fyller 68 år. Vi antar at rentefoten fortsatt er 4 % per år.
Hvor mye kan hun ta ut hvert år?
Det er mest 1) jeg lurer på. Blir den løst slik?
20000 + 20000*1.04 + 200000*1.04^2 + ... + 20000*1.04^20
Sum = (20000*(1.04^21-1))/(1.04-1) [symbol:tilnaermet] 639384kr
og 2)
639284 * 1.04^8 = x + x*1.04 + ... + x*1.04^7
x = 639284*1.04^8*((1.04-1)/(1.04^8-1)) [symbol:tilnaermet] 94966kr
Er det noen som ser feil i utregningene?

Jeg regna gjennom oppgava istad, og fikk samme resultat som deg.

[MattisTrygstad]

Jeg har akkurat den samme oppgaven i lærerboken min. Hvordan går man frem for å løse oppgave 2? Jeg skjønte ikke helt fremgangsmåten, og klarer ikke å få riktig svar med egen tankegang. Trenger bare litt hjelp på veien.

[LektorH]

1) ser fin ut.

Hvordan har du tenkt i utregninga på 2)? Svaret er riktig, men jeg tror det er tenkt at du skal løse det på samme måte som en oppgave med annuitetslån, med 8 års nedbetaling og 4% rente. Dette er jo samme situasjon som om hun har lånt så mange penger og skal betale dem ned, bortsett fra at banken betaler henne. Hvis du setter opp en vanlig sum for nedbetaling av lån med nåverdi og ganger alt med 1,04^8 får du din formel, men jeg ser ikke hvordan du satt opp den formelen direkte.

[MattisTrygstad]

1) ser fin ut.

Hvordan har du tenkt i utregninga på 2)? Svaret er riktig, men jeg tror det er tenkt at du skal løse det på samme måte som en oppgave med annuitetslån, med 8 års nedbetaling og 4% rente. Dette er jo samme situasjon som om hun har lånt så mange penger og skal betale dem ned, bortsett fra at banken betaler henne. Hvis du setter opp en vanlig sum for nedbetaling av lån med nåverdi og ganger alt med 1,04^8 får du din formel, men jeg ser ikke hvordan du satt opp den formelen direkte.

Det originale spørsmålet er ikke stilt av meg, det er et gammelt innlegg. Jeg fant bare innlegget da jeg lette etter svar på en oppgave jeg slet med. Selv om han fikk riktig svar så skjønte jeg ikke fremgangsmåten. Det jeg ikke skjønner er hvordan man skal sette opp formelen for å angripe oppgaven. Takk for hjelp.

[LektorH]

Ah, jeg så ikke at det var så gammelt.

Jeg ville gjort det slik: Hun har nå 639 284 kr i banken, og skal ta det ut i åtte like store årlige uttak, første gang om ett år, og renta er 4%. Matematikken er da den samme som om hun hadde hatt et lån hun skulle betale ned, med de samme betingelsene. Hvis du vet hvordan du gjør slike låneoppgaver kan du sette det opp, ellers kommer forklaringen her:

Vi kan dele summen i åtte uttak, men pengene forrenter seg etter hvert, så pengene hun tar ut om et år har fått rente en gang, de hun tar ut om to år har fått rente to ganger, osv. Siden hvert uttak skal ha like stor kroneverdi men har fått rente et ulikt antall ganger vil verdien deres i dag være forskjellig. Vi må altså finne nåverdien til hvert uttak. Jeg kaller de åtte nåverdiene for [tex]y_1, y_2, ..., y_8[/tex], da er mengden penger hun har nå gitt ved [tex]y_1+y_2+...+y_8=639284[/tex]. Merk igjen at de åtte nåverdiene ikke er like store, men at de skal bli like store ([tex]x[/tex]) når de har fått rente ulikt antall ganger.

De første pengene hun tar ut har stått inne og fått rente i et år. Hvis de er verdt [tex]y_1[/tex] i dag vil de være verdt [tex]x=y_1 \cdot 1,04[/tex] om et år.
Det betyr at [tex]y_1=\frac{x}{1,04}[/tex]

På samme måte vil pengene hun tar ut om to år være verdt [tex]x=y_2\cdot 1,04^2[/tex].
Dette gir at [tex]y_2=\frac{x}{1,04^2}[/tex]
(Husk at nåverdiene er ulike, men kroneverdiene [tex]x[/tex] skal være det samme for hvert uttak)

Slik kan vi fortsette nedover helt til den siste nåverdien [tex]y_8[/tex], som om åtte år vil ha kroneverdien [tex]x=y_8\cdot 1,04^8[/tex].
Det gir at [tex]y_8=\frac{x}{1,04^8}[/tex]

Så tar vi nåverdisummen og erstatter denne med en sum av kroneverdien til uttakene, [tex]x[/tex], modifisert med rentefoten i riktig antall år:
[tex]y_1+y_2+...+y_8=639284[/tex]

[tex]\frac{x}{1,04}+\frac{x}{1,04^2}+...\frac{x}{1,04^8}=639284[/tex]

Hvis du nå ganger alt med [tex]1,04^8[/tex] får du uttrykket pesten hadde, men det er mer vanlig å se på det som en geometrisk rekke med åtte ledd, [tex]a_1=\frac{x}{1,04}[/tex] og [tex]k=\frac{1}{1,04}[/tex] og sum [tex]639284[/tex], sette opp summeformelen og løse for [tex]x[/tex].

[MattisTrygstad]

Ah, jeg så ikke at det var så gammelt.

Jeg ville gjort det slik: Hun har nå 639 284 kr i banken, og skal ta det ut i åtte like store årlige uttak, første gang om ett år, og renta er 4%. Matematikken er da den samme som om hun hadde hatt et lån hun skulle betale ned, med de samme betingelsene. Hvis du vet hvordan du gjør slike låneoppgaver kan du sette det opp, ellers kommer forklaringen her:

Vi kan dele summen i åtte uttak, men pengene forrenter seg etter hvert, så pengene hun tar ut om et år har fått rente en gang, de hun tar ut om to år har fått rente to ganger, osv. Siden hvert uttak skal ha like stor kroneverdi men har fått rente et ulikt antall ganger vil verdien deres i dag være forskjellig. Vi må altså finne nåverdien til hvert uttak. Jeg kaller de åtte nåverdiene for [tex]y_1, y_2, ..., y_8[/tex], da er mengden penger hun har nå gitt ved [tex]y_1+y_2+...+y_8=639284[/tex]. Merk igjen at de åtte nåverdiene ikke er like store, men at de skal bli like store ([tex]x[/tex]) når de har fått rente ulikt antall ganger.

De første pengene hun tar ut har stått inne og fått rente i et år. Hvis de er verdt [tex]y_1[/tex] i dag vil de være verdt [tex]x=y_1 \cdot 1,04[/tex] om et år.
Det betyr at [tex]y_1=\frac{x}{1,04}[/tex]

På samme måte vil pengene hun tar ut om to år være verdt [tex]x=y_2\cdot 1,04^2[/tex].
Dette gir at [tex]y_2=\frac{x}{1,04^2}[/tex]
(Husk at nåverdiene er ulike, men kroneverdiene [tex]x[/tex] skal være det samme for hvert uttak)

Slik kan vi fortsette nedover helt til den siste nåverdien [tex]y_8[/tex], som om åtte år vil ha kroneverdien [tex]x=y_8\cdot 1,04^8[/tex].
Det gir at [tex]y_8=\frac{x}{1,04^8}[/tex]

Så tar vi nåverdisummen og erstatter denne med en sum av kroneverdien til uttakene, [tex]x[/tex], modifisert med rentefoten i riktig antall år:
[tex]y_1+y_2+...+y_8=639284[/tex]

[tex]\frac{x}{1,04}+\frac{x}{1,04^2}+...\frac{x}{1,04^8}=639284[/tex]

Hvis du nå ganger alt med [tex]1,04^8[/tex] får du uttrykket pesten hadde, men det er mer vanlig å se på det som en geometrisk rekke med åtte ledd, [tex]a_1=\frac{x}{1,04}[/tex] og [tex]k=\frac{1}{1,04}[/tex] og sum [tex]639284[/tex], sette opp summeformelen og løse for [tex]x[/tex].

Nå skjønte jeg det endelig! Tusen takk for god hjelp