MatteNoobs spørsmål ang. trigonometri 3MX

[MatteNoob]

Jeg er inneforstått med hvordan enhetssirkelen fungerer, i allefall til en viss grad (og kun for grader, ikke radianer, enda).

Det jeg lurer på, er eksakte verdier. Jeg forstår ressonementet i en rettvinklet trekant med to spissvinkler á 45 grader, og i tillegg ressonementet i en rettvinklet trekant med kateter som danner vinkler på henholdsvis 60 og 30 grader.

Hvis jeg har 135 grader, vet jeg at denne vinkelen befinner seg i 2. kvadrant på enhetssirkelen, men hvordan finner jeg den eksakte sinusverdien? - Jeg tenkte at fordi sinusverdiene i første omløp ligger symmetrisk om y-aksen, så blir det slik:

[tex]sin(135\textdegree) = sin(45\textdegree) = \frac{1}{\sqrt 2} = \frac{\sqrt 2}{\sqrt 2 \cdot \sqrt 2} = \underline{\underline{\frac{\sqrt 2}{2}}}[/tex]

Er dette riktig ressonnert?

[Dinithion]

Generelt så bruker man disse to reglene:

[tex]sin (u\, \pm\, v) = sin\, u\, cos\, v\, \pm\, cos\, u\, sin\, v \\ sin (u\, \pm\, v) = cos\, u\, cos\, v\, \mp\, sin\, u\, sin\, v[/tex]
(Legg merke til bytte av fortegn i den nederste formelen)

I ditt tilfelle får vi da:

[tex]sin(90 + 45) = cos 45 sin 90 + sin 45 cos 90 = cos 45 = \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]

Det siste leddet strykes, da cos 90 = 0, i det første leddet blir sin 90 = 1, og vi står igjen med cos 45. Men, det burde ikke være noe i vegen å bruke komplimentsvinkler i enkle tilfeller slik du har gjort

[MatteNoob]

Tusen takk. Reglene du nevner kommer visst ikke før lengre ut i kapittelet, dermed antar de vel ikke at elevene allerede har den kunnskapen. Takk igjen for godt svar forresten :]

[Dinithion]

Ok, da er det nok bruk av komplimentsvinkler de vil fram til. Ingen problem forresten

[MatteNoob]

Jeg forstår ikke hva de mener i ekemplet nedenfor, under har jeg en liknende oppgave, men her ser jeg ikke sammenhengen.

Hvordan blir [tex]cos v[/tex] til [tex]sin^2v = 1-cos^2 v[/tex] osv?

Oppgaven jeg skal gjøre er:

Bestem den eksakte verdien til [tex]cos x [/tex]når [tex]sin x = \frac 12\,\,\, 90\textdegree <x< 180\textdegree[/tex]

På forhånd; takk for innspill :]

[zell]

De bruker bare en identitet.

Om du får oppgitt at x = 25, og du har sammenhengen y^2 = 1 - x^2, da er det jo en smal sak å finne y?

[tex]\sin{x} = \frac{1}{2}[/tex]

I 2. kvadrant, følgelig har cosinus en negativ verdi.

Vi har altså, motstående katet i trekanten er 0.5, hyp = 1.

Vi finner hosliggende.

[tex]\cos{v} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]

Nå har vi funnet cosinus til vinkelen i 1. kvadrant, cosinus til vinkelen i 2. kvadrant vil ha samme verdi, bare negativ.

Altså er:

[tex]\cos{v} = -\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]

[Dinithion]

Man har enhetsformelen som sier:

[tex]sin^2\, x + cos^2\, x = 1 \Rightarrow sin^2\, x = 1 - cos^2\, x[/tex]

Når det kommer til de andre eksakte verdiene, så kan de utredes. Jeg trodde utredningen av de skule stå i boka? Det står ihvertfall i formel og fakta, 3mx. Uansett så er det ikke så vanskelig å gjøre det selv ved å benytte en trekant hvor de to katetene er 1 for å finne eksakt verdi for 45grader (og pi/4), og en 30/60/90 trekant for å finne eksakt verdi for 30 og 60 grader (Tenk pytagoras).

[MatteNoob]

De bruker bare en identitet.

JAVEL!!!???!!! Ikke min håper jeg! Hører frekvensen av identitetstyveri konvergerer i disse teknologiske tider!!

Hehehe, neida, skal ikke være så barnslig. Tusen takk for hurtig og godt svar, Zell. Jeg likte at du tro inn [tex]y^2[/tex] eksemplet, det er fort gjort å se seg blind på nye emner, selvom "logikken" er det samme. Det gjelder dessverre for meg i alle fall.

[zell]

Utledningen av [tex]\sin^2{x} + \cos^2{x} = 1[/tex] følger jo av enhetssirkelen!

[MatteNoob]

[tex]cos^2 x - 2 sin^2 x + 1 = 0[/tex]

Jeg har prøvd mye rart med denne likningen, blant annet bruke identiteter på både cos og sin, dividert med cos for så å stå igjen med [tex]\frac{1}{cos^2x}[/tex] og så videre.

Jeg har grafet den, og i første omløp er det fire løsninger.

Jeg ser ikke ut til å komme videre med den uansett hva jeg gjør. Kan noen gi meg et hint, eller løse den?

[zell]

[tex]\cos^2{x} = 1-\sin^2{x}[/tex]

Setter inn:

[tex]1-\sin^2{x} - 2\sin^2{x} + 1 = 0[/tex]

[tex]2-3\sin^2{x} = 0[/tex]

[tex]\sin^2{x} = \frac{2}{3}[/tex]

[Wentworth]

Pøhh...dette er som å finne [tex]sinv,cosv[/tex] eksakt når vi eks, vet at [tex]tan v =2[/tex]

[tex]\frac{sinv}{cosv}=2[/tex]

[tex]sinv=2cosv[/tex]

Bruker bare enhetsformnelen da;

[tex]cos^2v+sin^2v=1[/tex]

[tex]cos^2v+(2cosv)^2=1[/tex]

[tex]5cos^2=1[/tex]

[tex]cos^2=\frac{1}{5}[/tex]

Ringer bjeller ;

[tex]cos v=+- \frac{\sqrt1}{sqrt5}[/tex]

[tex]cov=\frac{1}{sqrt5}[/tex].

Og;

[tex]sinv=2 \cdot \frac{1}{sqrt5}[/tex]

[tex]sinv=\frac{2}{sqrt5}[/tex] Neimen se på dette..

[MatteNoob]

masse vas...

[tex]sinv=\frac{2}{sqrt5}[/tex] Neimen se på dette..

ÅI, DET VAR FINT! Hahaha, du er søt, for svaret ditt er feil, nusse

[Wentworth]

et minus tegn kom inn, har kasta den ut!

[MatteNoob]

Dette er ikke et trigonometriproblem, men jeg kom over dette da jeg forsøkte å forenkle en eksakt verdi.

Her er hva jeg mener.

Vi har feks uttrykket:

[tex]\sqrt{\frac{sqrt 2}{4}}[/tex]

[tex]\sqrt 2 \Rightarrow (2)^{\frac 12}[/tex]

Dermed tenkte jeg at:

[tex]\sqrt{\frac{\sqrt 2}{4}} \Rightarrow \left(\frac{2^{\frac 12}}{4}\right)^{\frac 12}[/tex]

Og siden:

[tex]\left(\frac 24\right)^2 \Rightarrow \frac{2^2}{4^2}[/tex]

Så trodde jeg også at:
[tex]\left(\frac{2^{\frac 12}}{4}\right)^{\frac 12} \Rightarrow \frac{2^{\frac 12 \cdot \frac 12}}{4^{\frac 12}} = \frac{\sqrt[4]{2}}{2}[/tex]

Og alt dette er jo riktig, men hvorfor går det ikke når uttrykket er:

[tex]\sqrt{\frac{\sqrt 2 + 2}{4}} \neq \frac{\sqrt[4]{2} + \sqrt 2}{2}[/tex]

Har dette noe med at idet vi slenger ei rot om to ledd, så blir dette en egen faktor? mao:

[tex]\sqrt{(\sqrt 2 + 2)} = (2^{\frac 12} + 2)^{\frac 12}[/tex]

Hvordan skal man i tilfellet løse ut denne parentesen? Den vil jo bare ganges med seg selv en halv gang, hehe. (Helt sikkert tett spørsmål, men jeg synes faktisk dette var både pussig og interessant)