Når noe skal bevises i matematikk, starter man med en setning som ofte kalles hypotesen. Denne setningen skal enten bevises eller motbevises.

Bevis

Vi illustrerer noen av idéene bak bevisføring med et ganske enkelt eksempel.

Hypotese: Produktet av et partall og et oddetall blir et partall.

Vi kan starte med å regne litt for å se om det virker sannsynlig. Velger bare noen tilfeldige oddetall og partall og ganger de sammen.

$2\cdot3 = 6$ , $4\cdot5 = 20$ , $3\cdot8 = 24$ .

Dette ser ut til å stemme ganske bra, men dette teller ikke som bevis. Bevis må alltid vises for det generelle tilfellet.

I beviset trenger vi en definisjon på hva oddetall og partall er.

Et oddetall er et tall som kan skrives på formen $2k + 1$ for alle ikke-negative, hele tall $k$ .

Setter vi $k=1$ får vi $2(1) + 1 = 3$ . Setter vi $k=5$ får vi $2(5) + 1 = 11$ , og sånn kan vi finne frem til alle mulige oddetall. Vi har en lignende definisjon for partall.

Et partall er et tall som kan skrives på formen $2n$ for alle positive, hele tall $n$ .

Vi kan nå se på produktet av et partall og et oddetall i det generelle tilfellet.

For to tilfeldige, positive, hele tall $k$ , $n$ har vi et oddetall $2k+1$ og et partall $2n$ .

Vi multipliserer sammen tallene. $2n\cdot(2k+1) \;=\; 4kn + 2n \;=\; 2(2kn + n) \;=\; 2m$ der $m = 2kn + n$ .

Etter vi ganget sammen partallet og oddetallet, endte vi opp med et tall på formen $2m$ . Fra definisjonene over ser vi at dette tallet er på formen til et partall, og beviset er fullført.

Motbevis

Motbevis kan være ganske mye enklere. For at en setning eller en hypotese skal gjelde, skal det kunne føres et ordentlig bevis som gjelder generelt. Hvis vi kan finne et tilfelle der det ikke gjelder, har vi motbevist setningen.

Hypotese: Summen av to oddetall blir et oddetall.

Dette motbevises dersom vi kan finne et tilfelle der det ikke gjelder. $3 + 5 = 8$ . Vi har lagt sammen de to oddetallene $3$ og $5$ . Resultatet av addisjonen er $8$ som er et partall. Vi har motbevist hypotesen.

Oppgaver

1) Motbevis hypotesen. Summen av to partall blir et oddetall. Løsning.
2) Bevis at produktet av to oddetall blir et oddetall. Løsning.
3) Bevis at summen av tre oddetall blir et oddetall. Løsning.