R1 2016 høst LØSNING

Løsning laget av mattepratbruker DennisChristensen

Diskusjon av og delvis løsning på denne oppgaven

Oppgave 1

a)

$f(x)= 2x^2-5x-6 \\ f'(x) = 4x-5$

b)

$g(x)= xlnx\\ g'(x)= lnx + x \cdot \frac 1x = lnx + 1$

c)

$h(x)=\frac {e^{2x}}{x-3} \\ h'(x)= \frac{2e^{2x} (x-3)- e^{2x}}{(x-3)^2} = \frac{(2x+7)e^{2x}}{(x-3)^2}$

Oppgave 2

a)

$f(x)=0 \\ (x+1)^2(x-2) \\ x=-1 \vee x=2$

Nullpunkter: (-1, 0) og (2, 0)

b)

$f'(x)=0 \\ f'(x) = 2(x+1)(x-2) + (x+1)^2 = (x+1)(3x-3) \\ x =-1 \vee x= 1$

f'(-2) > 0, f'(0) < 0 og f'(2) > 0 gir toppunkt i ( -1, 0) og minimum for (1,-4 ).

c)

Oppgave 3

a)

$\frac{2x + 10}{x^2-25} +\frac{x}{x+5} - \frac {4}{2x - 10}= \\\frac{2x + 10}{(x+5)(x-5)} +\frac{x}{x+5} - \frac {4}{2(x-5)}= \\ \frac{4x+20+2x(x-5) - 4(x+5)}{2(x+5)(x-5) } = \\ \frac{2x(x-5)}{2(x+5)(x-5)} = \\ \frac{x}{x+5}$

b)

$\frac{2x+10}{x^2-25} + \frac{x}{x+5} = \frac{4}{2x-10} \\ 2(2x+10) + 2x(x-5) = 4(x+5) \\ 4x+20+2x^2-10x = 4x + 20 2x^2-10x=0 \\ x=0 \vee 2x-10=0 \\ x= 0 \vee x= 5$

Må forkaste x = 5, da det gir null i nevner.

L={ 0 }

En mere elegant og tidsbesparende løsning er å løse svaret fra a lik null:

$\frac {x}{x+5} =0$

som gir x=0 direkte.

Oppgave 4

a)

$2^{3x-2} - 13 = 3 \\ 2^{3x-2} = 2^4 \\ 3x-2 = 4 \\ 3x=6 \\ x=3$

b)

$ (lgx)^2 +lgx-2=0 \\ u=lgx\\ u^2+u-2 =0 \\ ABC- formel \\ u= -2 \vee u = 1 \\ lgx = -2 \vee lgx =1 \\ x=0,01 \vee x= 10$

Oppgave 5

a)

[ 1, 1] er paralell med AB vektor:

<math> \left[ \begin{align*}x = -4 + t\\ y = 5+ t \end{align*}\right] </math>

b)

Skjærer x - aksen betyr at y = 0. Da må t vaære - 5.

Da blir x = -9

D ( -9, 0)

c)

$[1, 1] \cdot [-3+4-t, -2-5-t] =0 \\ 1 -t - 7 - t =0 \\ t=-3 \\ x= -7 \wedge y=2$

E ( -7, 2)

Oppgave 6

a)

$P(D|A)= 0,04 \\ P(D|B)= 0,01 \\ P(A) = \frac 13 \\ P(B)= \frac 23$

Total sannsynlighet for defekt nøkkel

$P(D)= P(A) \cdot P(D|A) + P(B) \cdot P(D|B) \\ P(D)= \frac 13 \cdot 0,04 + \frac 23 \cdot 0,01 = 0,06 :3 = 0,02 $

Det er 2% sannsynlig at nøkkelen er deffekt.

b)

$P(D) \cdot P(A|D) = P(A) \cdot P(D|A) \\ P(A|D)= \frac{P(A) \cdot P(D|A)}{P(D)} = \frac 13 \cdot \frac {0,04}{0,02} = \frac 23$

Det er ca. 67% sannsynlig at en defekt nøkkel kommer fra maskin A.

Oppgave 7

a)

$ \triangle PCB$ er likebeint, derfor er $\angle PCB = v $

$\angle PCE$ er 90 grader fordi toppunktet ligger på pereferien og den spenner over 180 grader av sirkelsektoren.

$ \angle ABC$ er også 90 grader, derfor må $\angle ACE = v. $

$ \angle A$ er felles i begge tekantene og $\angle ACE = \angle PCB = v$, derfor er trekantene formlike.

b)

$AB= c, \quad EB=a \\ AE = AB - EB = c-a \\ BP = a, \quad AB= c \\ AP = AB + BP = c+a $

c)

Forholdet mellom sammsvarende sider i formlike trekanter er likt.

$\frac{AP}{AC} = \frac{AC}{AE} \\ \frac{c+a}{b} = \frac{b}{c-a}$

d)

$\frac{c+a}{b} = \frac{b}{c-a} \\ (c+a)= \frac {b^2}{c-a} \\ (c+a)(c-a) =b^2 \\ c^2- ab + ab - a^2 = b^2 \\ a^2 + b^2 = c^2 $

Oppgave 8

(ii) er grafen til funksjonen. Den har minimumspunkt for x=0 og vender sin hule side opp hele tiden, dvs. ingen vendepunkter.

(i) er grafen til f'(x). Den er null origo når f(x) har et minimum. (iii) er grafen til den dobbeltderiverte.