Noen som kan hjelpe litt?

Undersøk om følgende gjelder:
5* 823 = 82 + 5 3 (mod 7)
5* 9672 = 967 + 5 2 (mod 7)
Kan denne sammenhengen utvides til å gjelde et vilkårlig helt tall? Grunngi svaret.

Ingen problemer med å vise at dette gjelder for disse to eksemplene, men hvordan forklare at det kan ...

Så, om 4^3 kan skrives som 7*9+1, så kan f.eks 4^4 skrives som 4^3*4=(7*9+1)*4=28*9+4.

4^5 ender opp som 11*9+7.

Men hvordan skal jeg sno dette sammen til et fornuftig bevis?

Sliter med en oppgave. Skal forklare hvor 4^n dividert på 9 alltid gir rest 1, 4 eller 7. n skal være naturlig tall.