Oppgave 32;
Løs differensiallikning
[tex]y^\prime+y=1[/tex]
Prøver;
[tex]\frac{1}{1-y} \cdot y^\prime=1-y \cdot \frac{1}{1-y}[/tex]
[tex]\frac{1}{1-y} \cdot \frac{dy}{dx}=1 \cdot \frac{1-y}{1-y}[/tex]
[tex]\int \frac{1}{1-y} dy=\int 1 dx[/tex]
[tex]ln|1-y|=x +C^\prime[/tex]
[tex]e^{ln|1-y|}={e^x +C^\prime}[/tex]
[tex]|1-y|=e^x \cdot e^C^\prime[/tex]
[tex]1-y=+-e^C^\prime\cdot e^x[/tex]
[tex]y=1+Ce^{x}[/tex]
Der [tex]\:C= +-e^C^\prime[/tex]
Hva gjør jeg feil?
Edit: Oppgaven er redigert.
Differensiallikning
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
- Riemann
- Innlegg: 1686
- Registrert: 07/09-2007 19:12
- Sted: Trondheim
Lineær?
[tex]\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)[/tex]
[tex]\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)[/tex]
Høgskolen i Sør-Trøndelag, Logistikkingeniør
Ingeniørmatematikk IV
Ingeniørmatematikk IV
-
- Riemann
- Innlegg: 1686
- Registrert: 07/09-2007 19:12
- Sted: Trondheim
Ok... Ta å slutt å rediger poster.. Dette har vi skrevet om i en tidligere post også så slutt å rediger ditt eget utgangspunkt hvertfall...
Høgskolen i Sør-Trøndelag, Logistikkingeniør
Ingeniørmatematikk IV
Ingeniørmatematikk IV
Du gjør en fortegnsfeil i integreringen:
[tex]\int \frac{1}{1-y} dy \neq \ln|1-y|[/tex]
Her er slik jeg ville gått fram:
[tex]y^\prime+y=1 \\ y^\prime = 1-y \\ \frac{y^\prime}{1-y}=1 \\ \int \frac{1}{1-y} \, dy \, = \int 1 \, dx\\ -\ln|1-y|=x+C \\ \ln|1-y| = -x-C \\ |1-y|=e^{-x-C} \\ |1-y|=Ke^{-x}[/tex]
Legger merke til at vi kan fjerne absoluttverditegnet så lenge K er positiv.
[tex]y = 1-Ke^{-x}[/tex]
[tex]\int \frac{1}{1-y} dy \neq \ln|1-y|[/tex]
Her er slik jeg ville gått fram:
[tex]y^\prime+y=1 \\ y^\prime = 1-y \\ \frac{y^\prime}{1-y}=1 \\ \int \frac{1}{1-y} \, dy \, = \int 1 \, dx\\ -\ln|1-y|=x+C \\ \ln|1-y| = -x-C \\ |1-y|=e^{-x-C} \\ |1-y|=Ke^{-x}[/tex]
Legger merke til at vi kan fjerne absoluttverditegnet så lenge K er positiv.
[tex]y = 1-Ke^{-x}[/tex]
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
Alternativt
[tex]y^,+y=1[/tex]
Gang med integrerende faktor [tex]e^x[/tex]:
[tex]y^,e^x+ye^x=e^x[/tex]
[tex](ye^x)^,=e^x[/tex]
[tex]\int d(ye^x)=\int e^x\,dx[/tex].
[tex]ye^x=e^x+K[/tex]
[tex]y=1+Ke^{-x}[/tex].
Fordelen her er at man slipper alt styret med absoluttverdiene etc.
[tex]y^,+y=1[/tex]
Gang med integrerende faktor [tex]e^x[/tex]:
[tex]y^,e^x+ye^x=e^x[/tex]
[tex](ye^x)^,=e^x[/tex]
[tex]\int d(ye^x)=\int e^x\,dx[/tex].
[tex]ye^x=e^x+K[/tex]
[tex]y=1+Ke^{-x}[/tex].
Fordelen her er at man slipper alt styret med absoluttverdiene etc.
-
- Dirichlet
- Innlegg: 199
- Registrert: 23/05-2008 16:44
- Sted: Bebyggelse
Når du har formen y'+ay = b der a og b er konstanter, er det kjapt og greit å bruke løsningsformelen direkte hvis ikke man oppfordres til å bruke integrerende faktor. Sett inn i løsningsformelen
y = b/a + Ce^(-ax)
da får du
y= 1 + Ce^(-x) med en gang.
Så litt informativt mas om praktiske bagateller: Bakdelen med å redigere utgangspunktet for mye slik noen snakker om her, er at da mister svarene på det opprinnelige mening og hele tråden blir mindre lesbar for folk. I verste fall kan svarene folk har gitt deg bli seende litt pussige og tåpelige ut. Trådene er for at folk skal lese og forstå. Men ikke noe krisebig deal altså![Razz :P](./images/smilies/icon_razz.gif)
y = b/a + Ce^(-ax)
da får du
y= 1 + Ce^(-x) med en gang.
Så litt informativt mas om praktiske bagateller: Bakdelen med å redigere utgangspunktet for mye slik noen snakker om her, er at da mister svarene på det opprinnelige mening og hele tråden blir mindre lesbar for folk. I verste fall kan svarene folk har gitt deg bli seende litt pussige og tåpelige ut. Trådene er for at folk skal lese og forstå. Men ikke noe krisebig deal altså
![Razz :P](./images/smilies/icon_razz.gif)
Sist redigert av Tore Tangens den 05/04-2009 16:07, redigert 1 gang totalt.
[tex]\sqrt{Alt \hspace9 ondt}[/tex]