Nok en gang integral trøbbel(med en differensiallikning)

[Janhaa]

eeek, ble litt skremt nå. Er det en måte å utlede at [tex]\int\frac{dx}{x^2+1}= arctan(x)[/tex] på som kan få en stakkar til å forstå hvorfor?

trur jeg lærte denne engang...

x = tan(y)
y = arctan(x)

x = tan(y)
deriverer denne implisitt:

[tex]dx=(1\,+\,\tan^2(y))\,dy[/tex]

integrerer begge sider:

[tex]\int \frac{dx}{1+x^2}=\int\,dy[/tex]


[tex]\int \frac{dx}{1+x^2}=\arctan(x)\,+\,C[/tex]

[thedole]

Dette tok av, tror jeg må komme tilbake til denne tråden om noen års tid..

[FredrikM]

[tex]f^\prime(c)=\frac{1}{{f^{-1}}^\prime(c)}[/tex] der [tex]c[/tex] er en konstant.

Slik står det ihvertfall i min bok Calculus fra MIT.

Rotet litt jeg. Her er det som som står i min Kalkulus-bok:

Anta at f er en kontinuerlig, strengt monoton funksjon som er deriverbar i punktet x med [tex]f^\prime(x) \neq 0[/tex]. Da er den omvendte funksjonen [tex]g=f^{-1}[/tex] deriverbar i punktet [tex]y=f(x)[/tex]og
[tex]g^\prime(y)=g^\prime(f(x))=\frac{1}{f^\prime(x)}[/tex]

Vi snur på formelen og får: [tex]f^\prime(x) =\frac{1}{g^\prime(f(x))[/tex]. La [tex]f(x)=arctan(x)[/tex] og dermed [tex]g(y)=tan(y)[/tex]. Vi deriverer [tex]g[/tex]:
[tex]g^\prime(y) = 1+tan^2(y)[/tex]
Dermed har vi:
[tex]f^\prime(x)=\frac{1}{1+tan^2(y)} = \frac{1}{1+tan^2(arctan(x))}=\frac{1}{1+x^2}[/tex]

Siden [tex]y=f(x)[/tex].

[Gustav]

Med alle antagelser om deriverbarhet antatt er det vel ikke verre enn at

dersom g er den omvendte funksjonen til f er per def.

[tex]g(f(x))=x[/tex]

Derivering av begge sider gir

[tex]g^,(f(x))*f^,(x)=1[/tex], så

[tex]f^,(x)=\frac{1}{g^,(f(x))}[/tex]

[FredrikM]

*humre* Den der var ganske enkel. Også en del mer forståelig utledning enn matteboken (dog matteboken var sikkert hakket mer rigorøs).

[Gustav]

Ja, min utledning er ikke rigorøs, men egner seg godt som en slags måte å huske formelen på.