Sigma og grenseverdier

[Justin Sane]

Har en oppgave jeg forestilte meg:

[tex]0,\overline 2 = {2 \over {10}} + {2 \over {100}} + {2 \over {1000}}[/tex]

Grunnen til at jeg valgte en slik oppgave, eller rekke, er fordi jeg har lyst til å lære meg bruken grenser og summetegn (sigma), noe jeg aldri har fått lært meg før

og dermed for eksempel hva summen av denne rekken ville blitt skrivd utifra det jeg har gjetta meg fram til nå:

[tex]0,\overline 2 = {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_?^n {2 \cdot 10^{ - n} }[/tex]

vet at dette er latterlig enkelt for de fleste, men siden jeg stort sett sov gjennom hele videregående trenger jeg litt tid
hva er riktig og hva er feil? Hva skal stå på "?", altså under sigma.

[Gustav]

[tex]2\sum_{n=1}^{\infty}10^{-n}=\frac{20}{9}-2[/tex]

[Justin Sane]

ser den. takk!

[Justin Sane]

men hvordan kan det ha seg at [tex]0,\overline 2[/tex] konvergerer når n øker mot uendelig? trodde den var divergent.. selv om [tex]- 1 < k < 1[/tex]

[Emilga]

Vil [tex]0.222...[/tex] f.eks. noen gang bli større enn [tex]0.3[/tex]?

[Justin Sane]

nei, men den nærmer seg heller aldri et fast tall, etter definisjonen på konvergens.

[Gustav]

nei, men den nærmer seg heller aldri et fast tall, etter definisjonen på konvergens.

La [tex](x_n)[/tex] være en følge gitt ved at [tex]x_n=\sum_{i=1}^{n}2(0.1)^i[/tex]

Da fins for alle [tex]\epsilon>0[/tex] en [tex]N[/tex] slik at

[tex]|x_n-\frac{2}{9}|<\epsilon[/tex] for alle [tex]n>N[/tex].

Derfor konvergerer [tex](x_n)[/tex] mot [tex]\frac{2}{9}[/tex] pr. def.

Er dette sant eller ikke?

[Justin Sane]

det fårn si!

skjønner at jeg så på det litt feil...

[Gustav]

Det monotone konvergensteoremet slår fast at en økende følge [tex](x_n)[/tex] bundet ovenfra i R er konvergent og går mot [tex]\sup_n (x_n)[/tex].

http://en.wikipedia.org/wiki/Monotone_c ... ce_theorem

[FredrikM]

nei, men den nærmer seg heller aldri et fast tall, etter definisjonen på konvergens.

Her ville matteboken min begynt å prise det reelle tallsystemet. Det er nettopp det som er en av kjennetegnene til dette systemet. At enhver konvergent følge konvergerer mot et element i R. Hadde vi arbeidet i Q, f.eks, ville ikke nødvendigvis dette vært tilfelle (her er det jo det, da)

[Justin Sane]

ja jeg skjønte istad at jeg glemte helt de reelle tallene.

[thedole]

Hva betyr den lille streken over to tallet som går igjen her? Har ikke sett den før (tror jeg)..

[Markonan]

Det betyr at tallet, eller tallsekvensen, skal gjentas i det uendelige.

Det er et kjennetegn på et rasjonalt tall (dvs alle tall som kan skrives som en brøk). F.eks
[tex]\frac{19}{7} \;=\; 2.714285\,714285\,714285\ldots[/tex]

Du kan se at sekvensen 714825 gjentar seg, noe den gjør uendelig ganger. Dette forkorter man med
[tex]\frac{19}{7} \;=\; 2.\overline{714285}[/tex]

Dette er i motsetning til de irrasjonale tallene som aldri har en gjentagende sekvens, som f.eks[tex] \pi[/tex] og [tex]\sqrt{2}[/tex].