Delbrøkoppspalting

[karo_]

Vi har:

Dersom P(x) er av samme grad som Q(x) eller høyere kan integrasjonen trolig forenkles ved å utføre polynomdivisjonen først. Dersom Q(x) er av høyere grad enn P(x) prøver vi med delbrøkoppspalting som går ut på å skrive nevneren som en sum av flere brøker der nevner er av første grad.



Hvorfor må vi utføre polynomdivisjon før vi kan bruke delbrøkoppspalting?

[Janhaa]

http://www.matematikk.net/ressurser/per ... hp?aid=149

[karo_]

Føler ikke at jeg der får svaret på hvorfor vi må utføre en polynomdivsjon, noen som kan forklare hvorfor?

[Markonan]

La oss si du skal integrere:
[tex]\int \frac{x^2 + 6x + 8}{x^2 + 2x + 1}\,\text{dx}[/tex]

Hvis du utfører en polynomdivisjon, ender du opp med:
[tex]\int 1 + \frac{4x + 7}{x^2 + 2x + 1} \,\text{dx}[/tex]

Siden det er to ledd, kan du ta to integraler.
[tex]\int 1 \,\text{dx} \,+\, \int \frac{4x + 7}{x^2 + 2x + 1} \,\text{dx}[/tex]

Det siste er litt hyggeligere og en litt mer rett-frem delbrøkoppspalting enn den du begynte med, eller hva?

Og du må ikke nødvendigvis utføre en polynomdivisjon, men det kan bli enklere.

[karo_]

Takk:)
Ja, jeg kan ikke forstå hvordan man heller skal kunne bruke delbrøkoppspalting med det første intergralet (der hvor det ikke er utført polynomdivisjon). Det ser umulig ut å få til, men er litt uklart for meg hvorfor:P

[mrcreosote]

Etter polynomdivisjon er også oppspaltinga entydig. I motsatt tilfelle har vi for eksempel [tex]\frac{x^2+3x+4}{x(x-1)}=\frac{x-4}x+\frac8{x-1}=-\frac4x+\frac{x+7}{x-1}[/tex] fordi vi får flere variable enn ligninger når vi prøver å sette opp et system å løse. Dette trenger i grunnen ikke å være et problem, men det er verdt å merke seg.

[karo_]

Tror du at du kunne ha vært så snill å vise hvordan du gjør denne oppspaltingen av en brøk til to ? Hadde vært supert