Vi har:
Dersom P(x) er av samme grad som Q(x) eller høyere kan integrasjonen trolig forenkles ved å utføre polynomdivisjonen først. Dersom Q(x) er av høyere grad enn P(x) prøver vi med delbrøkoppspalting som går ut på å skrive nevneren som en sum av flere brøker der nevner er av første grad.
Hvorfor må vi utføre polynomdivisjon før vi kan bruke delbrøkoppspalting?
Delbrøkoppspalting
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
La oss si du skal integrere:
[tex]\int \frac{x^2 + 6x + 8}{x^2 + 2x + 1}\,\text{dx}[/tex]
Hvis du utfører en polynomdivisjon, ender du opp med:
[tex]\int 1 + \frac{4x + 7}{x^2 + 2x + 1} \,\text{dx}[/tex]
Siden det er to ledd, kan du ta to integraler.
[tex]\int 1 \,\text{dx} \,+\, \int \frac{4x + 7}{x^2 + 2x + 1} \,\text{dx}[/tex]
Det siste er litt hyggeligere og en litt mer rett-frem delbrøkoppspalting enn den du begynte med, eller hva?
Og du må ikke nødvendigvis utføre en polynomdivisjon, men det kan bli enklere.
[tex]\int \frac{x^2 + 6x + 8}{x^2 + 2x + 1}\,\text{dx}[/tex]
Hvis du utfører en polynomdivisjon, ender du opp med:
[tex]\int 1 + \frac{4x + 7}{x^2 + 2x + 1} \,\text{dx}[/tex]
Siden det er to ledd, kan du ta to integraler.
[tex]\int 1 \,\text{dx} \,+\, \int \frac{4x + 7}{x^2 + 2x + 1} \,\text{dx}[/tex]
Det siste er litt hyggeligere og en litt mer rett-frem delbrøkoppspalting enn den du begynte med, eller hva?
Og du må ikke nødvendigvis utføre en polynomdivisjon, men det kan bli enklere.
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Lao Tzu
-
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Etter polynomdivisjon er også oppspaltinga entydig. I motsatt tilfelle har vi for eksempel [tex]\frac{x^2+3x+4}{x(x-1)}=\frac{x-4}x+\frac8{x-1}=-\frac4x+\frac{x+7}{x-1}[/tex] fordi vi får flere variable enn ligninger når vi prøver å sette opp et system å løse. Dette trenger i grunnen ikke å være et problem, men det er verdt å merke seg.