Logistisk Vekst- Finne Bæreevnen

[nadeem]

Hei,

Kan noen forklare meg hvordan jeg løser denne likningen for B?

[tex] \Huge Y =\frac{B}{1+\frac{e^{-kBx}}{C}}[/tex]

Mvh,

Nadeem Qureshi

[Charlatan]

Løs først for [tex]e^{-kBx}[/tex]. Når du har denne på den ene siden av likningen tar du logaritmen av begge sidene. Se hva du får til etter det.

[nadeem]

Hei,

Takk for tips, men det har jeg allerede prøvd. Kommer ingen vei med det, for da får jeg B i Ln på andre siden.

Nadeem

[Charlatan]

Bruk logaritmeregelen ln(ab)=ln(a)+ln(b), så du kan få ln(B) som et ledd. Isoler ln(B), og deretter opphøyer du e med begge sidene av likhetstegnet.

[nadeem]

1) Får ikke Ln(B) men Ln(B-Y)
2) Uansett får jeg B på begge sider av ligningen.

Har klart å løse likningen for alle de andre variablene, men B er vrien.

[Charlatan]

Min feil, beklager - jeg la ikke merke til B i telleren.

Men det finnes en måte å isolere B på. La oss først gjøre følgende trinn:

[tex]Y(1+\frac{e^{-kBx}}{C})=B[/tex]

[tex]\frac{Y}{C}e^{-kBx} = B-Y[/tex]

[tex]\frac{Y}{C}e^{-kx(B-Y)-kxY} = B-Y[/tex]

[tex]e^{-kxY}\frac{Y}{C}e^{-kx(B-Y)} = B-Y[/tex]

[tex]kxe^{-kxY}\frac{Y}{C}e^{-kx(B-Y)} = kx(B-Y)[/tex]

[tex]kxe^{-kxY}\frac{Y}{C}=kx(B-Y)e^{kx(B-Y)}[/tex]

Nå bruker vi lambert-W-funksjonen [tex]w(x)[/tex]. Les mer om den her: http://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W

Den er definert som invers-funksjonen til [tex]f(t)=te^t[/tex], dvs at [tex]w(f(t))=w(te^t)=t[/tex] (Den kan gi to forskjellige verdier, men dette står nærmere forklart i artikkelen)

Dermed får vi følgende:

[tex]w\left( kxe^{-kxY}\frac{Y}{C}\right)=w\left( kx(B-Y)e^{kx(B-Y)} \right)[/tex]

I dette tilfellet er [tex]t=kx(B-Y)[/tex], og høyresiden reduseres:

[tex]w\left( kxe^{-kxY}\frac{Y}{C}\right)=kx(B-Y)[/tex]

Rensker opp:

[tex]\frac{w\left( kxe^{-kxY}\frac{Y}{C}\right)}{kx}=(B-Y)[/tex]

[tex]B = \frac{w\left( kxe^{-kxY}\frac{Y}{C}\right)}{kx}+Y[/tex]

Lambert-W-funksjonen er ikke injektiv, så den kan ta flere verdier. Det betyr at vi kan få to løsninger for B. Derfor må vi bestemme oss for om vi ønsker at den skal returnere verdier større eller mindre enn -1 hvis den kan ta flere verdier. Jeg anbefaler at du leser artikkelen for å få en bedre forklaring på funksjonen.

Likningen kan ikke løses i hva vi kaller 'elementære' funksjoner som sin(x), ln(x), e^x etc..., så vi må ty til en løsning på denne formen. Slike likninger opptrer så ofte at det er nyttig å ha en slik funksjon.

Trikset man ofte bruker med slike likninger er å få dem på formen

[tex]b=axe^{ax}[/tex] (for a og b som ikke avhenger av x) når vi skal løse for x.

[nadeem]

Hei,

Takk for godt skrevet og utdypende post. Skal prøve å sette meg inn i dette

Nadeem

[nadeem]

Hei,

Et lite spørsmål til.

Er det mulig å løse denne likningen for K der det er mulig å finne K når X=0? Jeg får løst denne likningen for K og X, men da havner en av dem i nevneren, og da kan jeg ikke regne for 0.

Mvh,

Nadeem

[Charlatan]

Vel, hvis x = 0 blir likningen

[tex]Y = \frac{B}{1+\frac{1}{C}}[/tex]. Så du kan ikke løse denne for k. Enten så stemmer likningen, eller så gjør den ikke det; uavhengig av k. Det samme gjelder for k = 0 når du skal løse for x.