Trigonomoetri

[Jasmin88]

Hey, jeg prøver å løse denne oppgaven, men får feil svar. Så jg lurte på om det er noen her som kunne være så snill og prøve å gi meg et løsningsforslag:)

oppgaven;
Finn vinklene u, v er elementær til [0, [symbol:pi] ]

sin (x+u) + cos (x+v) = [symbol:rot] 2 cosx

for alle x.

[Solar Plexsus]

sin (x+u) + cos (x+v) = sin x cos u + sin u cos x + cos x cos v - sin x sin v.

Altså er likningen ekvivalent med

(cos u - sin v) sin x + (sin u + cos v - [symbol:rot]2) cos x = 0.

Skal denne likningen være tilfredsstilt for alle x, må

(1) cos u - sin v = 0

og

(2) sin u + cos v - [symbol:rot]2 = 0.

Dermed blir

sin[sup]2[/sup]v + cos[sup]2[/sup]v = cos[sup]2[/sup]u + ([symbol:rot]2 - sin u)[sup]2[/sup]

1 = cos[sup]2[/sup]u + sin[sup]2[/sup]u + 2 - 2[symbol:rot]2 sin u

1 = 1 + 2 - 2[symbol:rot]2 sin u

(3) sin u = 1/[symbol:rot]2,

som i kombinasjon med (2) gir

(4) cos v = 1/[symbol:rot] 2.

Vha. av (3) og (4) kan du nå bestemme de fire aktuelle løsningsparene (u,v). Deretter sjekker du hvilke av disse som tilfredsstiller (1). Da vil du stå igjen med to løsningspar:

(u,v) = ([symbol:pi]/4, [symbol:pi]/4) og (u,v) = (3[symbol:pi]/4, 7[symbol:pi]/4).

[Jasmin88]

Tusen takk, u skrev dette veldig forståelsesfullt..
Men i fasiten står det slik; u = v = [symbol:pi] /4
hvorfor er det bare dette alternatviet som er riktig og ikke de andre?

Takk:)

[Solar Plexsus]

Fasitsvaret er rett ettersom du jo har skrevet (noe jeg overså) at [tex]u,v \in [0,\pi].[/tex] Dermed er den andre løsningen (u,v) = (3[symbol:pi]/4, 7[symbol:pi]/4) uaktuell.

[Jasmin88]

aha.. sant det. Takker!!!!!!!;)

[kimjonas]

sin (x+u) + cos (x+v) = sin x cos u + sin u cos x + cos x cos v - sin x sin v.

Altså er likningen ekvivalent med

(cos u - sin v) sin x + (sin u + cos v - [symbol:rot]2) cos x = 0.

Skal denne likningen være tilfredsstilt for alle x, må

(1) cos u - sin v = 0

og

(2) sin u + cos v - [symbol:rot]2 = 0.

Dermed blir

sin[sup]2[/sup]v + cos[sup]2[/sup]v = cos[sup]2[/sup]u + ([symbol:rot]2 - sin u)[sup]2[/sup]

1 = cos[sup]2[/sup]u + sin[sup]2[/sup]u + 2 - 2[symbol:rot]2 sin u

1 = 1 + 2 - 2[symbol:rot]2 sin u

(3) sin u = 1/[symbol:rot]2,

som i kombinasjon med (2) gir

(4) cos v = 1/[symbol:rot] 2.

Vha. av (3) og (4) kan du nå bestemme de fire aktuelle løsningsparene (u,v). Deretter sjekker du hvilke av disse som tilfredsstiller (1). Da vil du stå igjen med to løsningspar:

(u,v) = ([symbol:pi]/4, [symbol:pi]/4) og (u,v) = (3[symbol:pi]/4, 7[symbol:pi]/4).

Hvordan kommer man seg fra

(1) cos u - sin v = 0

og

(2) sin u + cos v - [symbol:rot]2 = 0.

til

sin[sup]2[/sup]v + cos[sup]2[/sup]v = cos[sup]2[/sup]u + ([symbol:rot]2 - sin u)[sup]2[/sup]

[moth]

Finn et uttrykk for sinv fra (1) og et uttrykk for cos v fra (2) også kvadrer og adder.

[kimjonas]

Vet ikke om jeg helt skjønte det du mente nå, men jeg fant en egen vei. (selvsagt en mulighet at jeg gjorde slik du mente), men jeg endte i alle fall opp med riktig svar.

[moth]

Ingenting er bedre enn å finne svaret selv:)

Men det jeg mente var at hvis du gjør litt om på ligningene så får du:

(1) [tex]cos u - sin v = 0 \;\to\;sin v=cos u\;\to\;sin^2v=cos^2u[/tex]

(2) [tex]sin u + cos v - \sqrt2 = 0\;\to\;cos v=\sqrt2-sin u\;\to\;cos^2v=(\sqrt2-sin u)^2[/tex]

altså er [tex]sin^2v+cos^2v=cos^2u+(\sqrt2-sin u)^2[/tex]

[kimjonas]

Ingenting er bedre enn å finne svaret selv:)

Men det jeg mente var at hvis du gjør litt om på ligningene så får du:

(1) [tex]cos u - sin v = 0 \;\to\;sin v=cos u\;\to\;sin^2v=cos^2u[/tex]

(2) [tex]sin u + cos v - \sqrt2 = 0\;\to\;cos v=\sqrt2-sin u\;\to\;cos^2v=(\sqrt2-sin u)^2[/tex]

altså er [tex]sin^2v+cos^2v=cos^2u+(\sqrt2-sin u)^2[/tex]

Skal se mer på den siden, takk!

Forresten, vil det ikke være lettere å gå fra
[tex]sin^2v=cos^2u[/tex]
[tex]cos^2v=(\sqrt2-sin u)^2[/tex]

til
[tex]sin^2v=(\sqrt2-sin u)^2[/tex]? Ser tilsynelatende ut til at det gir samme resultat?

[moth]

Det er nok bare tilfeldig siden sin[sup]2[/sup]v og cos[sup]2[/sup]v er lik i dette tilfellet. Men de er ikke alltid det og da kan du ikke sette de lik hverandre.