Hey, jeg prøver å løse denne oppgaven, men får feil svar. Så jg lurte på om det er noen her som kunne være så snill og prøve å gi meg et løsningsforslag:)
oppgaven;
Finn vinklene u, v er elementær til [0, [symbol:pi] ]
sin (x+u) + cos (x+v) = [symbol:rot] 2 cosx
for alle x.
Trigonomoetri
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
sin (x+u) + cos (x+v) = sin x cos u + sin u cos x + cos x cos v - sin x sin v.
Altså er likningen ekvivalent med
(cos u - sin v) sin x + (sin u + cos v - [symbol:rot]2) cos x = 0.
Skal denne likningen være tilfredsstilt for alle x, må
(1) cos u - sin v = 0
og
(2) sin u + cos v - [symbol:rot]2 = 0.
Dermed blir
sin[sup]2[/sup]v + cos[sup]2[/sup]v = cos[sup]2[/sup]u + ([symbol:rot]2 - sin u)[sup]2[/sup]
1 = cos[sup]2[/sup]u + sin[sup]2[/sup]u + 2 - 2[symbol:rot]2 sin u
1 = 1 + 2 - 2[symbol:rot]2 sin u
(3) sin u = 1/[symbol:rot]2,
som i kombinasjon med (2) gir
(4) cos v = 1/[symbol:rot] 2.
Vha. av (3) og (4) kan du nå bestemme de fire aktuelle løsningsparene (u,v). Deretter sjekker du hvilke av disse som tilfredsstiller (1). Da vil du stå igjen med to løsningspar:
(u,v) = ([symbol:pi]/4, [symbol:pi]/4) og (u,v) = (3[symbol:pi]/4, 7[symbol:pi]/4).
Altså er likningen ekvivalent med
(cos u - sin v) sin x + (sin u + cos v - [symbol:rot]2) cos x = 0.
Skal denne likningen være tilfredsstilt for alle x, må
(1) cos u - sin v = 0
og
(2) sin u + cos v - [symbol:rot]2 = 0.
Dermed blir
sin[sup]2[/sup]v + cos[sup]2[/sup]v = cos[sup]2[/sup]u + ([symbol:rot]2 - sin u)[sup]2[/sup]
1 = cos[sup]2[/sup]u + sin[sup]2[/sup]u + 2 - 2[symbol:rot]2 sin u
1 = 1 + 2 - 2[symbol:rot]2 sin u
(3) sin u = 1/[symbol:rot]2,
som i kombinasjon med (2) gir
(4) cos v = 1/[symbol:rot] 2.
Vha. av (3) og (4) kan du nå bestemme de fire aktuelle løsningsparene (u,v). Deretter sjekker du hvilke av disse som tilfredsstiller (1). Da vil du stå igjen med to løsningspar:
(u,v) = ([symbol:pi]/4, [symbol:pi]/4) og (u,v) = (3[symbol:pi]/4, 7[symbol:pi]/4).
-
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Fasitsvaret er rett ettersom du jo har skrevet (noe jeg overså) at [tex]u,v \in [0,\pi].[/tex] Dermed er den andre løsningen (u,v) = (3[symbol:pi]/4, 7[symbol:pi]/4) uaktuell.
Hvordan kommer man seg fraSolar Plexsus skrev:sin (x+u) + cos (x+v) = sin x cos u + sin u cos x + cos x cos v - sin x sin v.
Altså er likningen ekvivalent med
(cos u - sin v) sin x + (sin u + cos v - [symbol:rot]2) cos x = 0.
Skal denne likningen være tilfredsstilt for alle x, må
(1) cos u - sin v = 0
og
(2) sin u + cos v - [symbol:rot]2 = 0.
Dermed blir
sin[sup]2[/sup]v + cos[sup]2[/sup]v = cos[sup]2[/sup]u + ([symbol:rot]2 - sin u)[sup]2[/sup]
1 = cos[sup]2[/sup]u + sin[sup]2[/sup]u + 2 - 2[symbol:rot]2 sin u
1 = 1 + 2 - 2[symbol:rot]2 sin u
(3) sin u = 1/[symbol:rot]2,
som i kombinasjon med (2) gir
(4) cos v = 1/[symbol:rot] 2.
Vha. av (3) og (4) kan du nå bestemme de fire aktuelle løsningsparene (u,v). Deretter sjekker du hvilke av disse som tilfredsstiller (1). Da vil du stå igjen med to løsningspar:
(u,v) = ([symbol:pi]/4, [symbol:pi]/4) og (u,v) = (3[symbol:pi]/4, 7[symbol:pi]/4).
tilSolar Plexsus skrev: (1) cos u - sin v = 0
og
(2) sin u + cos v - [symbol:rot]2 = 0.
Solar Plexsus skrev: sin[sup]2[/sup]v + cos[sup]2[/sup]v = cos[sup]2[/sup]u + ([symbol:rot]2 - sin u)[sup]2[/sup]
Ingenting er bedre enn å finne svaret selv:)
Men det jeg mente var at hvis du gjør litt om på ligningene så får du:
(1) [tex]cos u - sin v = 0 \;\to\;sin v=cos u\;\to\;sin^2v=cos^2u[/tex]
(2) [tex]sin u + cos v - \sqrt2 = 0\;\to\;cos v=\sqrt2-sin u\;\to\;cos^2v=(\sqrt2-sin u)^2[/tex]
altså er [tex]sin^2v+cos^2v=cos^2u+(\sqrt2-sin u)^2[/tex]
Men det jeg mente var at hvis du gjør litt om på ligningene så får du:
(1) [tex]cos u - sin v = 0 \;\to\;sin v=cos u\;\to\;sin^2v=cos^2u[/tex]
(2) [tex]sin u + cos v - \sqrt2 = 0\;\to\;cos v=\sqrt2-sin u\;\to\;cos^2v=(\sqrt2-sin u)^2[/tex]
altså er [tex]sin^2v+cos^2v=cos^2u+(\sqrt2-sin u)^2[/tex]
Skal se mer på den siden, takk!thmo skrev:Ingenting er bedre enn å finne svaret selv:)
Men det jeg mente var at hvis du gjør litt om på ligningene så får du:
(1) [tex]cos u - sin v = 0 \;\to\;sin v=cos u\;\to\;sin^2v=cos^2u[/tex]
(2) [tex]sin u + cos v - \sqrt2 = 0\;\to\;cos v=\sqrt2-sin u\;\to\;cos^2v=(\sqrt2-sin u)^2[/tex]
altså er [tex]sin^2v+cos^2v=cos^2u+(\sqrt2-sin u)^2[/tex]
Forresten, vil det ikke være lettere å gå fra
[tex]sin^2v=cos^2u[/tex]
[tex]cos^2v=(\sqrt2-sin u)^2[/tex]
til
[tex]sin^2v=(\sqrt2-sin u)^2[/tex]? Ser tilsynelatende ut til at det gir samme resultat?