Skjæring mellom kuleflater

[HåpløsSOS]

Jeg skal avgjøre om følgende påstand er rett eller gal:

Kuleflatene gitt ved x^2 + y^2 + z^2 = 1 og x^2 + (y-4)^2+z^2 = 9 tangerer hverandre.

Hvordan går jeg frem for å finne eventuelle skjæringspunkt mellom disse to flatene?

[Vektormannen]

Hva er sentrum og radius for de to kulene? Forsøk å visualisere hvordan de ligger i forhold til hverandre. Hvordan ser for eksempel snittsirklene mellom kulene og xy-planet ut?

EDIT: For å gjøre dette ved regning løser du ligningssettet som de to kuleligningene gir. Du er jo ute etter eventuelle punkt (x,y,z) som passer inn i både den ene og den andre ligningen. I fra den ene ligningen kan du for eksempel finne et uttrykk for [tex]x^2[/tex], som du så kan erstatte [tex]x^2[/tex] med i den andre ligningen. Se hva som skjer da.

[HåpløsSOS]

Første likning gir x^2 = 1 - y^2 - z^2

Setter jeg dette inn i andre likning, får jeg y = 1.

Første likning gir da x^2 = - z^2

Setter jeg denne likning, kommer jeg frem til at 0z = 0. Dette må da være galt?

[Vektormannen]

Det stemmer, du får y = 1 og videre da at [tex]x^2 = -z^2[/tex]. Det du har gjort videre da tror jeg må være galt. Hva er det du har gjort?

Det jeg tror er enklest å gjøre her er å se at [tex]x^2 = -z^2[/tex] kun kan være sant dersom x = 0 og z = 0. Hvis ikke så står det at et tall som alltid er positivt, [tex]x^2[/tex] skal være lik et tall som alltid er negativt, [tex]-z^2[/tex]. Det er umulig uansett hva x og z er. Da blir løsningen altså (0,1,0). Det er det samme man vil se grafisk.

[HåpløsSOS]

Og ettersom det kun er ett skjæringspunkt, tangerer kuleflatene hverandre?

[HåpløsSOS]

Jeg satte x = -z^2 og y = 1 inn i den andre likningen. Da fikk jeg

-z^2 + 1 - 8 + 16 + z^2 = 9.

Det gir 0z = z. Men jeg skulle kanskje satt x = (-z)^2, slik at jeg får 2z = 0?

[Nibiru]

Og ettersom det kun er ett skjæringspunkt, tangerer kuleflatene hverandre?

Ja.

[Vektormannen]

Å sette inn i den nederste ligningen en gang til gir deg ikke noen ny informasjon. Du begynte med å si at [tex]x^2 = 1 - y^2 - z^2[/tex] fra den første ligningen, og så satte du inn i den nederste. Så fant du ut hva y måtte være for at det skulle stemme. Du fant [tex]y = 1[/tex]. Da vet vi at [tex]x^2 = 1 - 1^2 - z^2 = -z^2[/tex]. Det hjelper ikke å sette det inn på nytt igjen i den nederste -- vi har jo allerede gjort det, men da for å finne y. Når vi så har funnet y så vet vi jo at det vil passe inn i ligningen og gi at venstre og høyre side er like (som gir 0 = 0).