Differensiallikninger

[Martin L.]

Hei, jeg har en følgende oppgave:

Finn løsningen y=f(x) når grafen f går gjennom punktet (a,b). (a,b) = (ln3,6)

y' - y = 0, (a,b) = (ln3,6)

Kan noen lære meg hvordan man gjør denne oppgaven, fordi det står ikke noe om hvordan man skal løse oppgaven i Sinus R2 boka.

på forhånd takk

[Janhaa]

mener du sånn:

[tex]\frac{dy}{dx}=y[/tex]

[tex]\int\frac{dy}{y}=\int dx[/tex]

[tex]\ln(y)=x+D[/tex]

[tex]y(x)=Ce^x[/tex]

etc...

[Martin L.]

kan du lære meg hvordan jeg gjør det i oppgaven under ? jeg vet ikke hvordan man skal regne med de formelen du brukte.

[EirFyh]

kan du lære meg hvordan jeg gjør det i oppgaven under ? jeg vet ikke hvordan man skal regne med de formelen du brukte.

En slik difflikning (homogen, lineær og av første orden) kan du løse ganske enkelt på denne måten:

y'-y=0 |*e[sup]-x[/sup]
y'e[sup]-x[/sup]-e[sup]-x[/sup]y=0 (Vi ser at dette er løsningen på produktregelen, fordi (e[sup]-x[/sup])'=-e[sup]-x[/sup])
(y*e[sup]-x[/sup])'=0 (for at den deriverte skal være lik 0, kan y*e[sup]-x[/sup] bare være en konstant.
y*e[sup]-x[/sup]=C | *e[sup]x[/sup]
y=Ce[sup]x[/sup]

Ettersom vi har hvilke koordinater funskjonen går gjennom, kan vi også finne C ved å sette inn disse for x og y, og dermed få C som eneste ukjent.

y=Ce^x | x=ln3 og y=6
6=Ce[sup]ln3[/sup]
6=C*3
C=2

Dermed får vi at funksjonen blir:

y=2e[sup]x[/sup]