R2 - Integrasjon av brøk

[wagashi]

Hei,

jeg lærte delbrøkoppspaltning, men jeg har ikke funnet forklaring på hvordan jeg løser en brøk der telleren består av ukjente verdier som disse to eksempler:

[tex]\int \frac{x}{(x-1)(x-2))}[/tex]

og

[tex]\int \frac{2x}{x^2-2x-3}[/tex]

Den nederste nevneren har jeg gjort om til

[tex](x+1)(x-3)[/tex]


Har sett fasitsvar, og skjønner ikke i det hele tatt hvordan det har kommet fram til slike svar... kan noen gi meg et hint eller et lignende eksempel slik at jeg kan løse disse oppgavene?

[Janhaa]

bruk heller

[tex]u=ax^2+bx+c[/tex]

etc...

[Nebuchadnezzar]

Trodde Alex hadde en video om dette, men fant ingen i farten.

Khan forklarer det relativt bra her https://www.khanacademy.org/math/algebr ... xpansion-1

Tanken er at du ønsker å bestemme $A$ og $B$ slik at

$ \hspace{1cm}
\frac{x}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}
$

Det enkleste for mange er å gange med teller på begge sider slik at en får

$ \hspace{1cm}
x = (x-2)A + (x-1)B
$

Nå er målet å sette inn $x$-verdier slik at du kan bestemme $A$
og $B$. Siden du har to ukjente trenger du to likninger, disse får
du vet å sette inn to $x$ verdier, som kan velges helt fritt.

Noe enklere (eller smaretere) er det å velge $x$-verdiene slik at enten leddet
foran $A$ eller $B$ blir null. I eksempelet ditt blir dette for $x=1$ og $x=2$.

Dog kan delbrøksoppspalting også føres noe raskere via triksing

$
\frac{x}{(x-1)(x-2)}
= \frac{1}{3} \frac{2(x-1) + (x-2)}{(x+1)(x-2)}
= \frac{1}{3} \left( \frac{2(x+1)}{(x+1)(x-2)} + \frac{(x+2)}{(x+1)(x-2)} \right)
= \frac{2}{3} \frac{1}{x+1} + \frac{1}{3} \frac{1}{x-2}
$

[Aleks855]

Trodde Alex hadde en video om dette, men fant ingen i farten.

http://udl.no/r2-matematikk/kapittel-7- ... empel-1128

[wagashi]

Trodde Alex hadde en video om dette, men fant ingen i farten.

http://udl.no/r2-matematikk/kapittel-7- ... empel-1128

Flott med video, men jeg har ikke mulighet til å forstå noe uten undertekst...

[wagashi]

bruk heller

[tex]u=ax^2+bx+c[/tex]

etc...

For hvilket tilfelle?

[wagashi]

Trodde Alex hadde en video om dette, men fant ingen i farten.

Khan forklarer det relativt bra her https://www.khanacademy.org/math/algebr ... xpansion-1

Tanken er at du ønsker å bestemme $A$ og $B$ slik at

$ \hspace{1cm}
\frac{x}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}
$

Det enkleste for mange er å gange med teller på begge sider slik at en får

$ \hspace{1cm}
x = (x-2)A + (x-1)B
$

Nå er målet å sette inn $x$-verdier slik at du kan bestemme $A$
og $B$. Siden du har to ukjente trenger du to likninger, disse får
du vet å sette inn to $x$ verdier, som kan velges helt fritt.

Noe enklere (eller smaretere) er det å velge $x$-verdiene slik at enten leddet
foran $A$ eller $B$ blir null. I eksempelet ditt blir dette for $x=1$ og $x=2$.

Dog kan delbrøksoppspalting også føres noe raskere via triksing

$
\frac{x}{(x-1)(x-2)}
= \frac{1}{3} \frac{2(x-1) + (x-2)}{(x+1)(x-2)}
= \frac{1}{3} \left( \frac{2(x+1)}{(x+1)(x-2)} + \frac{(x+2)}{(x+1)(x-2)} \right)
= \frac{2}{3} \frac{1}{x+1} + \frac{1}{3} \frac{1}{x-2}
$

Tusen takk for videoen med undertekst.

Så uten sistnevnte triksing må jeg gjette fram riktig x-verdi?

Og hvorfor er det valgt 1/3 foran det første leddet i det sistnevnte utregningen?