Hei,
jeg lærte delbrøkoppspaltning, men jeg har ikke funnet forklaring på hvordan jeg løser en brøk der telleren består av ukjente verdier som disse to eksempler:
[tex]\int \frac{x}{(x-1)(x-2))}[/tex]
og
[tex]\int \frac{2x}{x^2-2x-3}[/tex]
Den nederste nevneren har jeg gjort om til
[tex](x+1)(x-3)[/tex]
Har sett fasitsvar, og skjønner ikke i det hele tatt hvordan det har kommet fram til slike svar... kan noen gi meg et hint eller et lignende eksempel slik at jeg kan løse disse oppgavene?
R2 - Integrasjon av brøk
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Trodde Alex hadde en video om dette, men fant ingen i farten.
Khan forklarer det relativt bra her https://www.khanacademy.org/math/algebr ... xpansion-1
Tanken er at du ønsker å bestemme $A$ og $B$ slik at
$ \hspace{1cm}
\frac{x}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}
$
Det enkleste for mange er å gange med teller på begge sider slik at en får
$ \hspace{1cm}
x = (x-2)A + (x-1)B
$
Nå er målet å sette inn $x$-verdier slik at du kan bestemme $A$
og $B$. Siden du har to ukjente trenger du to likninger, disse får
du vet å sette inn to $x$ verdier, som kan velges helt fritt.
Noe enklere (eller smaretere) er det å velge $x$-verdiene slik at enten leddet
foran $A$ eller $B$ blir null. I eksempelet ditt blir dette for $x=1$ og $x=2$.
Dog kan delbrøksoppspalting også føres noe raskere via triksing
$
\frac{x}{(x-1)(x-2)}
= \frac{1}{3} \frac{2(x-1) + (x-2)}{(x+1)(x-2)}
= \frac{1}{3} \left( \frac{2(x+1)}{(x+1)(x-2)} + \frac{(x+2)}{(x+1)(x-2)} \right)
= \frac{2}{3} \frac{1}{x+1} + \frac{1}{3} \frac{1}{x-2}
$
Khan forklarer det relativt bra her https://www.khanacademy.org/math/algebr ... xpansion-1
Tanken er at du ønsker å bestemme $A$ og $B$ slik at
$ \hspace{1cm}
\frac{x}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}
$
Det enkleste for mange er å gange med teller på begge sider slik at en får
$ \hspace{1cm}
x = (x-2)A + (x-1)B
$
Nå er målet å sette inn $x$-verdier slik at du kan bestemme $A$
og $B$. Siden du har to ukjente trenger du to likninger, disse får
du vet å sette inn to $x$ verdier, som kan velges helt fritt.
Noe enklere (eller smaretere) er det å velge $x$-verdiene slik at enten leddet
foran $A$ eller $B$ blir null. I eksempelet ditt blir dette for $x=1$ og $x=2$.
Dog kan delbrøksoppspalting også føres noe raskere via triksing
$
\frac{x}{(x-1)(x-2)}
= \frac{1}{3} \frac{2(x-1) + (x-2)}{(x+1)(x-2)}
= \frac{1}{3} \left( \frac{2(x+1)}{(x+1)(x-2)} + \frac{(x+2)}{(x+1)(x-2)} \right)
= \frac{2}{3} \frac{1}{x+1} + \frac{1}{3} \frac{1}{x-2}
$
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
http://udl.no/r2-matematikk/kapittel-7- ... empel-1128Nebuchadnezzar skrev:Trodde Alex hadde en video om dette, men fant ingen i farten.
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Flott med video, men jeg har ikke mulighet til å forstå noe uten undertekst...Aleks855 skrev:http://udl.no/r2-matematikk/kapittel-7- ... empel-1128Nebuchadnezzar skrev:Trodde Alex hadde en video om dette, men fant ingen i farten.
Tusen takk for videoen med undertekst.Nebuchadnezzar skrev:Trodde Alex hadde en video om dette, men fant ingen i farten.
Khan forklarer det relativt bra her https://www.khanacademy.org/math/algebr ... xpansion-1
Tanken er at du ønsker å bestemme $A$ og $B$ slik at
$ \hspace{1cm}
\frac{x}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}
$
Det enkleste for mange er å gange med teller på begge sider slik at en får
$ \hspace{1cm}
x = (x-2)A + (x-1)B
$
Nå er målet å sette inn $x$-verdier slik at du kan bestemme $A$
og $B$. Siden du har to ukjente trenger du to likninger, disse får
du vet å sette inn to $x$ verdier, som kan velges helt fritt.
Noe enklere (eller smaretere) er det å velge $x$-verdiene slik at enten leddet
foran $A$ eller $B$ blir null. I eksempelet ditt blir dette for $x=1$ og $x=2$.
Dog kan delbrøksoppspalting også føres noe raskere via triksing
$
\frac{x}{(x-1)(x-2)}
= \frac{1}{3} \frac{2(x-1) + (x-2)}{(x+1)(x-2)}
= \frac{1}{3} \left( \frac{2(x+1)}{(x+1)(x-2)} + \frac{(x+2)}{(x+1)(x-2)} \right)
= \frac{2}{3} \frac{1}{x+1} + \frac{1}{3} \frac{1}{x-2}
$
Så uten sistnevnte triksing må jeg gjette fram riktig x-verdi?
Og hvorfor er det valgt 1/3 foran det første leddet i det sistnevnte utregningen?