Oppgaven:
En sylinder har radius r og høyde h. Ønsker at dummen av disse skal være lik konstanten C.
Bestem radien og høyden slik at volumet av sylinderen blir størst mulig.
Hvordan skal jeg gå frem her?
Volum og radius
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Sliter veldig med fremgangsmåten til denne oppgaven, noen som kunne hjulpet meg med dette?
Oppgaven:
En sylinder har radius r og høyde h. Ønsker at dummen av disse skal være lik konstanten C.
Bestem radien og høyden slik at volumet av sylinderen blir størst mulig.
Hvordan skal jeg gå frem her?
Oppgaven:
En sylinder har radius r og høyde h. Ønsker at dummen av disse skal være lik konstanten C.
Bestem radien og høyden slik at volumet av sylinderen blir størst mulig.
Hvordan skal jeg gå frem her?
-
Gjest
[tex]Volum = \pi r^2h[/tex]
Skal vi nå derivere for å finne maks/min blir det litt vanskelig (før du lærer om partiell derivasjon) siden funksjonen vår [tex]V(r, h)[/tex] er avhengig at to variabler. Målet vårt må altså være å kvitte oss med en av variablene så vi kan derivere.
[tex]r+h = c[/tex]
To ligninger klarer du å utnytte det til noe? Når du har fått V til å være avhengig av kun en variabel deriverer du bare som vanlig, setter V = 0 og velger den verdien av løsningen som gir maksverdi.
Går det greit da?
Skal vi nå derivere for å finne maks/min blir det litt vanskelig (før du lærer om partiell derivasjon) siden funksjonen vår [tex]V(r, h)[/tex] er avhengig at to variabler. Målet vårt må altså være å kvitte oss med en av variablene så vi kan derivere.
[tex]r+h = c[/tex]
To ligninger klarer du å utnytte det til noe? Når du har fått V til å være avhengig av kun en variabel deriverer du bare som vanlig, setter V = 0 og velger den verdien av løsningen som gir maksverdi.
Går det greit da?
-
Gjest
bruk ligningene jeg ga deg. løse ligningssystem kan du.Gjest07 skrev:Men hvordan får jeg V til å kun være avhengig av en variabel? Skjønner siste leddet med å derivere, V=0
-
Gjest
[tex]V = \pi r^2 h[/tex]
[tex]r+ h = c \Leftrightarrow h = c - r[/tex]
[tex]V = \pi r^2 (c-r)[/tex]
Deriver og sett lik 0. c er bare en konstant. Hva har du funnet nå?
[tex]r+ h = c \Leftrightarrow h = c - r[/tex]
[tex]V = \pi r^2 (c-r)[/tex]
Deriver og sett lik 0. c er bare en konstant. Hva har du funnet nå?
-
Gjest
Nå tror jeg du surrer en del. Ikke gjør det vanskeligere for deg selv enn det trenger å være.
Hva er den deriverte av dette [tex]ax^2[/tex]? og hva er den deriverte av dette [tex]-bx^3[/tex]? Hvis du nå bytter ut x med r, a med [tex]\pi c[/tex] og b med [tex]\pi[/tex] i svarene dine hva får du da?
[tex]V(r) = \pi cr^2 - \pi r^3[/tex]
[tex]V'(r) = ?[/tex]
Hva er den deriverte av dette [tex]ax^2[/tex]? og hva er den deriverte av dette [tex]-bx^3[/tex]? Hvis du nå bytter ut x med r, a med [tex]\pi c[/tex] og b med [tex]\pi[/tex] i svarene dine hva får du da?
[tex]V(r) = \pi cr^2 - \pi r^3[/tex]
[tex]V'(r) = ?[/tex]
Du har den vanlige ligningen for volumet av en sylinder:
$V = A\cdot h = \pi r^2 \cdot h$ Ligning 1
Og du har ligning fra sammenhengen du har fått oppgitt i oppgaveteksten "Ønsker at summen av disse skal være lik konstanten C":
$r + h = C$ Ligning 2
Du kan sette inn Ligning 2 i Ligning 1 (eller motsatt selvsagt) om du stokker litt om på Ligning 1 først:
$h = C - r$
Du ser at ligningen over er lik Ligning 2 og du erstatter så $h$ i Ligning 1 med $C - r$:
$V = \pi r^2 \cdot (C - r)$
Du har nå gått fra V(r,h) til V(r) og da kan du derivere $V = \pi r^2 \cdot (C - r)$ med hensyn på r.
$V(r) = \pi r^2 \cdot (C - r) = \pi r^2 C - \pi r^3 $
$\frac{\mathrm d V}{\mathrm d r} = 2 \pi C r - 3 \pi r^2$
Setter så $\frac{\mathrm d V}{\mathrm d r} = 0$ for å finne r som gir max V:
$\frac{\mathrm d V}{\mathrm d r} = 0$
$2 \pi C r - 3 \pi r^2 = 0 $
$ r = 0$ eller $2 \pi C - 3 \pi r = 0$ som gir $ r = \frac{2}{3} C$
Ser jo med en gang at $r=0$ ikke gir max V, så d står vi igjen med svaret $r = \frac{2}{3} C$.
Med sammenhengen $h = C-r$ får vi $h = \frac{1}{3}C$
Håper det ga klarhet til det du ikke skjønnte
$V = A\cdot h = \pi r^2 \cdot h$ Ligning 1
Og du har ligning fra sammenhengen du har fått oppgitt i oppgaveteksten "Ønsker at summen av disse skal være lik konstanten C":
$r + h = C$ Ligning 2
Du kan sette inn Ligning 2 i Ligning 1 (eller motsatt selvsagt) om du stokker litt om på Ligning 1 først:
$h = C - r$
Du ser at ligningen over er lik Ligning 2 og du erstatter så $h$ i Ligning 1 med $C - r$:
$V = \pi r^2 \cdot (C - r)$
Du har nå gått fra V(r,h) til V(r) og da kan du derivere $V = \pi r^2 \cdot (C - r)$ med hensyn på r.
$V(r) = \pi r^2 \cdot (C - r) = \pi r^2 C - \pi r^3 $
$\frac{\mathrm d V}{\mathrm d r} = 2 \pi C r - 3 \pi r^2$
Setter så $\frac{\mathrm d V}{\mathrm d r} = 0$ for å finne r som gir max V:
$\frac{\mathrm d V}{\mathrm d r} = 0$
$2 \pi C r - 3 \pi r^2 = 0 $
$ r = 0$ eller $2 \pi C - 3 \pi r = 0$ som gir $ r = \frac{2}{3} C$
Ser jo med en gang at $r=0$ ikke gir max V, så d står vi igjen med svaret $r = \frac{2}{3} C$.
Med sammenhengen $h = C-r$ får vi $h = \frac{1}{3}C$
Håper det ga klarhet til det du ikke skjønnte