Delvis integrasjon

[Lise33]

Hei=) Trenger litt hjelp her.

1) [symbol:integral] Lnx/x dx.
Kan noen regne den ut. svaret er 1/2(lnx)^2
Skjønner ikke hvordan man får til det. står fast på lnx/x.

2) [symbol:integral] (x*e^x)^2 dx

3) [symbol:integral] x(lnx)^2 dx

De to siste sliter jeg med hvordan jeg skal gjøre det når de er opphøyd i 2. Hadde vært kjempefint om jeg kunne få hjelp=) Alle skal løses med delvis integrasjon.

[Lise33]

Kjempefint om noen kunne hjelpe. Læreren vår blir borte til påske så jeg vet ikke helt hvem jeg skal spørre...=)

[Markonan]

1)
Hmmm. Den første klarte jeg ikke å løse med delvis integrasjon, siden jeg alltid fikk ln(x) i integralet. Men det var ikke noen sak med substitusjon.

Da setter man bare u = ln(x)

2)
Det kan være greit å se at
[tex](x\cdot \text{e}^x) = x^2\text{e}^{2x}[/tex]

Du må vel kanskje gjøre delvis integrasjon to ganger på denne.

[sEirik]

[tex]I = \int \frac{\ln x}{x} {\rm d}x[/tex]

[tex]u^\prime = \frac{1}{x}[/tex] [tex]v = \ln x[/tex]

[tex]u = \ln x[/tex] [tex]v^\prime = \frac{1}{x}[/tex]

[tex]I = \ln x \cdot \ln x - \int \frac{\ln x}{x} {\rm d}x[/tex]

[tex]I = \ln^2 x - I + C[/tex]

[tex]I = \frac{1}{2}\ln^2 x + C[/tex]

Trikset her er å bruke delvis en eller flere ganger til du kommer tilbake til det opprinnelige integralet ditt! Da kan du erstatte det uttrykket med I, og ikke glem å ta med integrasjonskonstanten C også.
Til slutt løser du bare som en likning for å finne I.

Prøv deg på denne da! [tex]\int \sin (x) \cdot \cos (x) {\rm d}x[/tex]

Samme metode som over.

[Lise33]

Tusen takk=) Men hva menes egentlig med I? Noen som får til treeren?=) evig takknemmelig=) Er så trått å sitte med matte når man ikke kommer videre, så tusen takk for at dere tar dere tid til dette=)

[Olorin]

[tex]I_3=\int x(\ln x)^2\rm{d}x[/tex]

[tex]v=(\ln x)^2,\,\ v^\prime=\frac{2\ln x}{x},\,\ u^\prime=x,\,\ u=\frac12x^2[/tex]

[tex]I_3=\int u^\prime v\rm{d}x=uv-\int uv^\prime \rm{d}x[/tex]

[tex]I_3=\frac12x^2\cdot (\ln x)^2-\int \frac12x^2\cdot \frac{2\ln x}{x}\rm{d}x[/tex]

[tex]I_3=\frac12x^2(\ln x)^2-\int x\ln x\rm{d}x[/tex]

Du må igjennom enda en delvis integrasjon, prøv selv først!

[sEirik]

Tusen takk=) Men hva menes egentlig med I? Noen som får til treeren?=) evig takknemmelig=) Er så trått å sitte med matte når man ikke kommer videre, så tusen takk for at dere tar dere tid til dette=)

Sett at du skal føre et litt knotete integral:

[tex]\int blablablabla {\rm d}x = blabla[/tex]

[tex]\int blablablabla {\rm d}x = blabla2[/tex]

[tex]\int blablablabla {\rm d}x = blabla3[/tex]

[tex]\int blablablabla {\rm d}x = blabla4[/tex]

[tex]\int blablablabla {\rm d}x = blabla5[/tex]

[tex]\int blablablabla {\rm d}x = endeligsvar[/tex]

Det er veldig slitsomt å skrive sånn igjen og igjen mange linjer etter hverandre hvis du skal løse et innviklet integral! Da er det mye lettere å skrive [tex]I = \int blablablabla {\rm d}x[/tex] på første linje:

[tex]I = \int blablablabla {\rm d}x[/tex]

[tex]I = blabla[/tex]

[tex]I = blabla2[/tex]

[tex]I = blabla3[/tex]

[tex]I = blabla4[/tex]

[tex]I = blabla5[/tex]

[tex]I = endeligsvar[/tex]

Ikke sant?

[Lise33]

Skjøna=)