Funksjoner

[flodhest]

Funksjonen [tex]f(x)=x^3-3x^2+2[/tex]


Vis at linja y=ax-a går gjennom (1,0).

Her tok jeg [tex]x=1[/tex], og satt det inn i likningen:
[tex]y=a*1-a=a-a=0[/tex]


For hvilke a-verdier skjærer linja grafen i tre punkter?

Fasitsvar: [tex]a>-3[/tex]

[Solar Plexsus]

x[sup]3[/sup] - 3x[sup]2[/sup] + 2 = ax - a

(x - 1)(x[sup]2[/sup] - 2x - 2) = a(x - 1)

(x - 1)(x[sup]2[/sup] - 2x - (a + 2)) = 0

x = 1 eller x[sup]2[/sup] - 2x - (a + 2) = 0

x = 1 eller [tex]x = \frac{2 \: \pm \: \sqrt{(-2)^2 \:+\: 4(a \:+\: 2)}}{2} = 1 \: \pm \: \sqrt{a \:+\: 3}[/tex]

Altså har denne tredjegradslikningen tre ulike reelle løsninger når diskriminanten [tex]a \:+\: 3 \:>\: 0[/tex], dvs. når [tex]a \:>\: -3[/tex].

[flodhest]

Takk for svar!


x[sup]3[/sup] - 3x[sup]2[/sup] + 2 = ax - a

Kan du forklare hva du gjør her?

(x - 1)(x[sup]2[/sup] - 2x - 2) = a(x - 1)

[zell]

Han ser i første tilfelle at x = 1 er én løsning:

1 - 2 + 2 = a-a -> 0 = 0.

Så utfører han polynomdivisjon:

[tex]x^3-3x^2+2 \ : \ x-1 = x^2 - 2x - 2[/tex]

Dermed har du faktoriseringen:

[tex](x-1)(x^2-2x-2) = a(x-1)[/tex]

[tex](x-1)(x^2-2x-2) - a(x-1) = 0[/tex]

(x-1) er felles faktor:

[tex](x-1)(x^2-2x-2-a) = 0 \ \Rightarrow \ (x-1)(x^2-2x-(a+2)) = 0.[/tex]

Og du står da igjen med to faktorer (x-1) og (x^2-2x-(a+2)), når en av disse, eller begge er null, så er også uttrykket 0.

[flodhest]

Da er jeg med. Takk for hjelpen!

Men en ting til, hvordan får du [tex]1 \: \pm \: \sqrt{a \:+\: 3}[/tex] her?

[tex]x = \frac{2 \: \pm \: \sqrt{(-2)^2 \:+\: 4(a \:+\: 2)}}{2} = 1 \: \pm \: \sqrt{a \:+\: 3}[/tex]

Skjønner at 2/2 gir 1, men ikke resten.

[Vektormannen]

[tex]\sqrt{(-2)^2 + 4(a + 2)} = \sqrt{4 + 4(a + 2)} = \sqrt{4(1 + a + 2)} = 2\sqrt{a + 3}[/tex]