Funksjonen [tex]f(x)=x^3-3x^2+2[/tex]
Vis at linja y=ax-a går gjennom (1,0).
Her tok jeg [tex]x=1[/tex], og satt det inn i likningen:
[tex]y=a*1-a=a-a=0[/tex]
For hvilke a-verdier skjærer linja grafen i tre punkter?
Fasitsvar: [tex]a>-3[/tex]
Funksjoner
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
x[sup]3[/sup] - 3x[sup]2[/sup] + 2 = ax - a
(x - 1)(x[sup]2[/sup] - 2x - 2) = a(x - 1)
(x - 1)(x[sup]2[/sup] - 2x - (a + 2)) = 0
x = 1 eller x[sup]2[/sup] - 2x - (a + 2) = 0
x = 1 eller [tex]x = \frac{2 \: \pm \: \sqrt{(-2)^2 \:+\: 4(a \:+\: 2)}}{2} = 1 \: \pm \: \sqrt{a \:+\: 3}[/tex]
Altså har denne tredjegradslikningen tre ulike reelle løsninger når diskriminanten [tex]a \:+\: 3 \:>\: 0[/tex], dvs. når [tex]a \:>\: -3[/tex].
(x - 1)(x[sup]2[/sup] - 2x - 2) = a(x - 1)
(x - 1)(x[sup]2[/sup] - 2x - (a + 2)) = 0
x = 1 eller x[sup]2[/sup] - 2x - (a + 2) = 0
x = 1 eller [tex]x = \frac{2 \: \pm \: \sqrt{(-2)^2 \:+\: 4(a \:+\: 2)}}{2} = 1 \: \pm \: \sqrt{a \:+\: 3}[/tex]
Altså har denne tredjegradslikningen tre ulike reelle løsninger når diskriminanten [tex]a \:+\: 3 \:>\: 0[/tex], dvs. når [tex]a \:>\: -3[/tex].
Han ser i første tilfelle at x = 1 er én løsning:
1 - 2 + 2 = a-a -> 0 = 0.
Så utfører han polynomdivisjon:
[tex]x^3-3x^2+2 \ : \ x-1 = x^2 - 2x - 2[/tex]
Dermed har du faktoriseringen:
[tex](x-1)(x^2-2x-2) = a(x-1)[/tex]
[tex](x-1)(x^2-2x-2) - a(x-1) = 0[/tex]
(x-1) er felles faktor:
[tex](x-1)(x^2-2x-2-a) = 0 \ \Rightarrow \ (x-1)(x^2-2x-(a+2)) = 0.[/tex]
Og du står da igjen med to faktorer (x-1) og (x^2-2x-(a+2)), når en av disse, eller begge er null, så er også uttrykket 0.
1 - 2 + 2 = a-a -> 0 = 0.
Så utfører han polynomdivisjon:
[tex]x^3-3x^2+2 \ : \ x-1 = x^2 - 2x - 2[/tex]
Dermed har du faktoriseringen:
[tex](x-1)(x^2-2x-2) = a(x-1)[/tex]
[tex](x-1)(x^2-2x-2) - a(x-1) = 0[/tex]
(x-1) er felles faktor:
[tex](x-1)(x^2-2x-2-a) = 0 \ \Rightarrow \ (x-1)(x^2-2x-(a+2)) = 0.[/tex]
Og du står da igjen med to faktorer (x-1) og (x^2-2x-(a+2)), når en av disse, eller begge er null, så er også uttrykket 0.
Da er jeg med. Takk for hjelpen!
Men en ting til, hvordan får du [tex]1 \: \pm \: \sqrt{a \:+\: 3}[/tex] her?
[tex]x = \frac{2 \: \pm \: \sqrt{(-2)^2 \:+\: 4(a \:+\: 2)}}{2} = 1 \: \pm \: \sqrt{a \:+\: 3}[/tex]
Skjønner at 2/2 gir 1, men ikke resten.
Men en ting til, hvordan får du [tex]1 \: \pm \: \sqrt{a \:+\: 3}[/tex] her?
[tex]x = \frac{2 \: \pm \: \sqrt{(-2)^2 \:+\: 4(a \:+\: 2)}}{2} = 1 \: \pm \: \sqrt{a \:+\: 3}[/tex]
Skjønner at 2/2 gir 1, men ikke resten.
-
- Euler
- Innlegg: 5889
- Registrert: 26/09-2007 19:35
- Sted: Trondheim
- Kontakt:
[tex]\sqrt{(-2)^2 + 4(a + 2)} = \sqrt{4 + 4(a + 2)} = \sqrt{4(1 + a + 2)} = 2\sqrt{a + 3}[/tex]
Elektronikk @ NTNU | nesizer