Løse likning med cosinus til brøk?

[HenrikPalm]

[tex]3-2cos(2X-\frac\pi2) =4[/tex]

Jeg forstår ikke hvordan jeg skal få løst opp denne brøken og løse likningen.
Det som forvirrer meg er at den tilhører cosinus, så jeg kan ikke gange cosinus med begge leddene inni brøken akkurat.

Setter stor pris på svar

edit: Hmm "=4" skal så klart på utsiden av brøken, første gang jeg prøver "latex", hehe.

edit2: der satt den

[Dinithion]

Jeg tror du må fikse litt på brøken din

[HenrikPalm]

Jeg tror du må fikse litt på brøken din

Wow, siste innlegg her er over ti dager siden, trodde jeg hadde itt bedre tid på meg

edit: Jeg er sikker på at det sto andre datoer her før jeg registrerte meg som bruker, dette er jo et aktivt forum!

[Dinithion]

Her er det masse aktivitet. Bra at du lærer deg latex med en gang forresten.

Over til bøken. Du løser den først slik at cosinus står alene på den ene siden. Når du har cosinus alene på den ene siden, kan du bruke arccos/cos¯¹/acos (kjært barn har mange navn) på begge sider. Da vil arccos og cosinus oppveie hverandre, og man står igjen med en vanlig likning. Forskjellen er bare at her har man to løsninger. Jeg kan gi ett lite eksempel:

[tex]3+4cos(3x - 1.432) = 5[/tex]

[tex]4cos(3x - 1.432) = 2[/tex]

[tex]cos(3x - 1.432) = \frac{1}{2}[/tex]

Nå kommer man altså til "trikset" ved å bruke cos¯¹ eller arccos som det også kalles.

Da tar man den inverse til cosinus (Du har sikkert lært om dette tidligere?)

[tex]\cancel{arccos} \cancel{cos} 3x - 1.432 = arccos (\frac{1}{2})[/tex]

Siden cosinus er en periodisk funksjon, vil man få to løsninger. (Ved unntak om den er i ett toppunkt eller bunnpunkt). Den andre løsningen finner man ved å ta negativt fortegn. Siden det også er en periodisk funksjon, vil det si at den gjentar seg med en periode på 2[symbol:pi]. Derfor må man også ha med den i regnestykket.

[tex]3x - 1.432 = \frac{\pi}{2} +n2\pi\, og\, 3x - 1.432 = -\frac{\pi}{2} +n2\pi[/tex].

[tex]3x = 2.479 +n2\pi\, og\, 3x = 0.385 + n2\pi[/tex]

[tex]x = 0.826 + \frac{2\pi}{3}\, og\, x = 0.128 + \frac{2\pi}{3}[/tex]

Da ser vi at vi har en løsning (Når grafen stiger) og en annen løsning (Når grafen synker). Den vil også være 5 en/to ganger for hver periode, derfor plusser vi på perioden på slutten. Om du ikke er helt med på hvorfor den har to løsninger, eller hvorfor den gjentar seg, så tegn den inn på en kalkulator sammen med en linje y2=5

Da håper jeg du skjønner litt mer, men bare spør om du lurer på noe

Edit: Gjorde om til eksakte verkdier.

[groupie]

Skriv om utgangspunktet ditt:

[tex]3-2cos(2X-\frac\pi2) =4 \\ \rightarrow -\cos{(2x-\frac{\pi}{2})}=\frac{1}{2}[/tex]

Kommer du lenger nå?

EDIT: Liten feil der..

[HenrikPalm]

Dette skjønte jeg!

Dinithion: Takk for utfyllende og raskt svar, veldig forståelig skrevet!

Groupie: Det var akkurat så langt jeg hadde kommet, men ja, det hjelper klart å få kortet ned litt på leddene. Jeg forvirres lett når det er mange tall

Skal poste et løsningsforsøk etterpå, så får vi se da

[Dinithion]

Det er bra du skjønte det

Siden vi er inne på det, så kan jeg nevne at framgangsmåten er noenlunde den samme for sinus, men når man skal finne løsning nummer to der, så setter man ikke bare negativt fortegn, men man trekker svaret fra [symbol:pi]

Siden jeg ikke har så mye annet fornuftig å gjøre, så kan jeg løse det samme eksempelet ovenfor bare med sinus istedenfor cosinus

[tex]3+4sin(3x - 1.432) = 5[/tex]

[tex]4sin(3x - 1.432) = 2[/tex]

[tex]sin(3x - 1.432) = \frac{1}{2}[/tex]

[tex]\cancel{arcsin} \cancel{sin} 3x - 1.432 = arcsin (\frac{1}{2})[/tex]

[tex]3x - 1.432 = \frac{\pi}{6} +n2\pi\, og\, 3x - 1.432 =\pi - \frac{\pi}{6} +n2\pi[/tex].

(Legg merke til at man av og til får ett negativt svar av arcsin. Da må man ha tungen rett i munnen, for da blir det minus minus, altså pluss )

[tex]3x = 1.956 +n2\pi\, og\, 3x = 4.050 +n2\pi[/tex]

[tex]x = 0.652 + \frac{2\pi}{3}\, og\, x = 1.350 + \frac{3\pi}{2}[/tex]

Edit: Gjorde om til eksakte verdier etter "klage" fra jarle

[=)]

du ser kanskje også at [tex]\cos(2X-\frac{\pi}{2}) = \sin(2X)[/tex]?

[Charlatan]

ikke gjør om [symbol:pi]/2 om til desimaltall i en trigonometrisk likning. Når du er kommet til [tex]\cos(2x-\frac{\pi}{2})=-\frac{1}{2}[/tex] Tar du invers cosinus på begge sider. Og du vet at [tex]\cos^{-1}(-\frac{1}{2})=\frac{2\pi}{3} + k\cdot 2\pi\ \ \vee \ \ \frac{4\pi}{3}+k\cdot 2\pi[/tex], så da er det bare å fikse på likningen videre...

[HenrikPalm]

[tex]cos(2X - \frac\pi2)=4[/tex]
[tex]2X- \frac\pi2=cos^-1 (-\frac{1}{2})[/tex]
[tex]2X- \frac\pi2=2.094[/tex]
[tex]2X=3.665 + n2\pi[/tex] og [tex]2X=-0.523 + n2\pi[/tex]
[tex]X=1.8325+ \frac{2\pi}{2}[/tex] og [tex]X=-0.261 + \frac{2\pi}{2}[/tex]
X[symbol:tilnaermet]5 og X=2.88

[HenrikPalm]

Hvordan ser dette ut?
Jeg skal nå derivere funksjonen for å finne største og minste verdien for f(x), tar gjerne imot litt guiding der og!

[symbol:funksjon](x)=[tex]3-2cos(2x-\frac\pi2)[/tex]
[symbol:funksjon]'(x)=[tex]-2 -sin(2-\frac\pi2)[/tex] ??

3 er en konstant, den skal bort.
cos X derivert er -sin X, men skal jeg derivere det som er inni brøken? Skal jeg bruke kjerneregelen her?

eller
[symbol:funksjon]'(x)=[tex]-2sin(2-\frac{0*2 - \pi*0}{2^2})[/tex]

her bruker jeg formelen y'=[tex]\frac{u`v - u v`}{v^2}[/tex]

[Dinithion]

Jeg har ikke sjekket om svarene dine er riktig. Det kan du gjøre ved å sette prøve på svaret

Når det kommer til å finne største og minste verdi, så trenger du ikke å derivere. Du vet hva den største og minste verdien til cosinus kan være? Altså kan du finne ut hva som er største og minste verdi funksjonen kan være. Løs deretter oppgaven som likning. Ingen derivering.

Men om du skal derivere, så bruker du i praksis kjerneregelen, ja, men det finnes en snarvei:

[tex]f(x) = cos (kx)\, gir\, f^{\tiny\prime} (x) = -ksin (kx)[/tex]

Legg merke til at det er kjerneregelen som er brukt, og derfor forsvinner konstantleddet som blir derivert bort. (Det forsvinner ikke inne i cosinus funksjonen, men når du ganger med den deriverte av kjernen, forsvinner det.

altså:
[tex]f(x) = cos (kx +a)\, gir\, f^{\tiny\prime} (x) = -ksin (kx +a)[/tex]

[Dinithion]

Jeg så litt over utregningen din. Du har ikke tatt med alle detaljer, men det ser ut til å være riktig, ja. Svarene stemmer jo også med det jeg fikk, men tilnærmet 5 var litt drøyt i mine øyne. Det hadde gått helt fint om det bare sto 1.8.. (Så framt ikke intervallet i oppgaven sier noe annet, men det tviler jeg på)

n2[symbol:pi]/2 kan jo forkortes til n[symbol:pi] (Og du må ikke ta bort n, den skal være der for å vise at man kan legge til så mange perioder man vil få samme svar)

[HenrikPalm]

Største og minste verdi for cosinus er 0 og 1? Jeg forstår ikke hvor dette kommer inn i stykket mitt...

[tex]3-2 cos(2X-\frac\pi2)=cos 0[/tex] For å finne minsteverdi?

[Dinithion]

Nei, cosinus går fra -1 til 1

Dermed så er maksverdien 3 - (-2) = 5 og minsteverdien 3 - 2 = 1