Vektorregning, 3MX: Vise at punkter ligger på linje?

[MrB]

Hei


Har kjørt meg litt fast på en oppgave her, og håper noen kan hjelpe meg litt:

I pyramiden ABCT med toppunkt T er M midtpunktet på sidekanten CT. Vi setter:
[tex]\vec{a}=\vec{AB}[/tex]
[tex]\vec{b}=\vec{AC}[/tex]
[tex]\vec{c}=\vec{CT}[/tex].

Et punkt P er fastsatt ved at:

[tex]\vec{BP}= \frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{8}\vec{b}+\frac{1}{8}\vec{c} [/tex]

Finn ut om punktene B, P og M ligger på linje.

Hvordan kan jeg "angripe" dette? Tenkte å prøve å bevise at vektorene er parallelle, men det blir bare rot (hadde vært lettere hvis det hadde vært koordinater) :/.

På forhånd takk.

[Gustav]

Punktene ligger på linje hvis og bare hvis

[tex]\vec{BP}\times \vec{BM}=0[/tex]

[tex]\vec{BM}=\vec{BC}+\frac{1}{2}\vec{CT}[/tex]



[tex]\vec{BC}=\vec{BA}+\vec{AC}=-\vec{a}+\vec{b}[/tex]


[tex]\vec{BM}=-\vec{a}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}[/tex]

[MrB]

Hmm .. Ikke helt med på hvorfor du setter skalarproduktet lik 0 - betyr ikke det at vektorene står ortogonalt på hverandre?

Takk for svar forresten.

[Gustav]

Ikke skalarprodukt, men kryssprodukt;)

Men det er kanksje mer hensiktmessig å løse oppgaven ved å observere at det tre vektorene a,b,c er lineært uavhengige. Sett at \vec{BM}=k\vec{BP} for en konstant k, og sleng alt over på en side. Da må alle koeffisientene være 0 hvis alle punktene er på linje. Sjekk om det er mulig eller om du får en selvmotsigelse, dvs sjekk om en slik k er mulig/eksisterer.

[MrB]

Takker. Har ikke vært borti kryssprodukt før - vektorregning er vel min svake side. Hehe.

Skal prøve meg litt frem etterpå.

[MrB]

Har prøvd meg litt frem nå, men får det ikke helt til:

[tex]\vec{BM}=-\vec{a}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}[/tex]

[tex]\vec{BM}=k\cdot \vec{BP}[/tex]

[tex]-\vec{a}+\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}=k\cdot \left( \frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{8}\vec{b}+\frac{1}{8}\vec{c}\right)[/tex]

Finner ingen verdi for k som gjør at vektorene som gjør at de blir like ... Men fasiten sier at punktene skal ligge på linje.

På forhånd takk.

[Gustav]

Kan ikke finne noe galt i resonnementet. Er du sikker på at du har skrevet av oppgaven riktig?

[MrB]

Jo, litt "brain malfunction" fra min side- hadde skrevet definisjonen av den ene vektoren feil. Fikk det til nå - de lå på linje.


Takk for hjelpen forresten.

[MrB]

Lurte forresten på en ting til. Det at kryssproduktet til to vektorer er null, betyr det at vinkelen mellom dem ligger på linje - og derfor at punktene ligger på linje? Er dette en generell regel?


Har lest meg litt opp på dette med kryssprodukt, og det virker mye elegant enn å sjekke om de er parallelle etc.

[Vektormannen]

Stemmer, hvis kryssproduktet er 0 så er vinkelen mellom vektorene 0 eller 180 grader, og da er vektorene parallelle.