Integralregning igjen

[Mab]

Heisann. Jeg trenger litt hjelp med noen stykker. Jeg får dem bare ikke til og jeg aner ikke hva jeg gjør feil. Kan noen vise meg utrengingen (så detaljert som dere gidder) på disse?


1. Finn en tilnermingsverdi for integralet

• [tex] \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx}\ [/tex]

vedå bruke trapesmetodenmed fire trapeser, og Simpsons formel.


2. Finn et eksakt uttrykk for volumet når vi dreier det rundt x-aksen:

• f(x)=sin x og [tex]\0 \le x \le \pi \[/tex]

3. Finn volumet av legmet som er avgrenset av y-aksen, linja y=9 og grafen til funksjonen f(x)=x^2,når vi roterer det rundt x-aksen.

[ettam]

Hva har du fått til selv?

[Mab]

Hehe. Hvor detaljert vil du ha det? Jeg har ganske mange A4sider med forsøk og tull. Jeg er på bærtur. Men litt komprimert hva jeg har tenkt,

1. [tex]\frac{1}{2}(f(o) + f(\frac{\pi }{8})(\frac{\pi }{8} - 0) + \frac{1}{2}(f(\frac{\pi }{8}) + f(\frac{\pi }{4}))(\frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{8}) + \frac{1}{2}(f(\frac{\pi }{4}) + f(\frac{\pi }{{2.66}}))(\frac{\pi }{{2.66}} - \frac{\pi }{4}) + \frac{1}{2}(f(\frac{\pi }{{2.66}}) + f(\frac{\pi }{2}))(\frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{{2.66}})\[/tex]
Har ikke prøvd meg på Sinpsons formel ennå.

3.
[tex]\begin{array}{l}\pi \int\limits_0^3 {(9)^2 } - \pi \int\limits_0^3 {(x^2 )^2 } \\ \pi \left[ {81x} \right]_0^3 - \frac{1}{5}\pi \left[ {x^5 } \right]_0^3 \\ 243\pi - \frac{{243\pi }}{5} \\ \end{array}\[/tex]

[groupie]

Vel, Simpsons er ikke ille:

[tex]\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right][/tex]

Dermed har vi:

[tex]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx \approx \frac{\frac{\pi}{2}}{6}\left[f(0) + 4f\left(\frac{\frac{\pi}{2}}{2}\right)+f(\frac{\pi}{2})\right]\approx \frac{\pi}{12}\left[\sin{0}+4\sin{\frac{\pi}{4}+\sin{\frac{\pi}{2}}}\right][/tex]

EDIT: Glemte å fylle ut

[ettam]

Trapesmetoden:

Når du deler intervallet mellom [tex]0[/tex] og [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] i 4 deler får du:

[tex]\Delta x = \frac{\frac{\pi }{2}}{4} = \frac{\pi }{8}[/tex]

[tex]x_1 = 0[/tex]

[tex]x_2 = x_1 + \Delta x = 0 + \frac{\pi }{8} = \frac{\pi }{8}[/tex]

[tex]x_3 = x_2 + \Delta x = \frac{\pi }{8} + \frac{\pi }{8} = \frac{\pi }{4}[/tex]

[tex]x_4 = x_3 + \Delta x = \frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{8} = \frac{3 \pi }{8}[/tex]

[tex]x_5 = x_4 + \Delta x = \frac{3\pi }{8} + \frac{\pi }{8} = \frac{\pi }{2}[/tex]

Og arealet under grafen blir:

[tex]\frac{(f(x_1) + f(x_2)) \cdot \Delta x}{2} + \frac{(f(x_2) + f(x_3)) \cdot \Delta x}{2} + \frac{(f(x_3) + f(x_4)) \cdot \Delta x}{2} + \frac{(f(x_4) + f(x_5)) \cdot \Delta x}{2}[/tex]

Som forenkles til:

[tex]\left(\frac12 f(x_1) + f(x_2) + f(x_3) + f(x_4) + \frac12 f(x_5)\right)\cdot \Delta x[/tex]

Siden [tex]f(x) = sin x[/tex] får vi:

[tex]\left(\frac12 sin 0 + \sin \frac{\pi}{8} + \sin \frac{\pi}{4} + \sin \frac{3\pi}{8} + \frac12 \sin \frac{\pi}{2}\right)\cdot \frac{\pi}{8} \approx \underline{\underline{0,902}}[/tex]

[ettam]

3. Finn volumet av legmet som er avgrenset av [tex]y[/tex]-aksen, linja [tex]y=9[/tex] og grafen til funksjonen [tex]f(x)=x^2[/tex],når vi roterer det rundt x-aksen.

Du skal regne ut integralet:

[tex]V = \pi \int_0^9 \left(x^2 \right)^2 dx[/tex]

[Mab]

Takk så mye for hjelpen.

Men jeg får enda ikke riktig svar på 3. Er du sikker på at grensen skal være 9? f(x)=x^2 krysser jo y=9 på 3. Det er det avgrensede området. Eller har jeg misforstått noe?

[ettam]

Selvsagt, min feil. Integranden var også feil...:

Du skal regne ut integralet:

[tex]V = \pi \int_0^3 \left(9-x^2 \right)^2 dx[/tex]

[Mab]

Hehe, ja, det er jo det jeg har prøvd å regne ut hele tiden. Jeg får det bare ikke til. Kan du kanskje vise meg hvordan jeg skal løse den også?